La trasformata Zeta

Marco Marcon

ENSENS

Trasformata zetaTrasformata zetaE’ l’estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace.

Applicata all’analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione I/O e lo schema circuitale del sistema in esame.

PERCHE’ non basta la DTFT?

Esistono delle situazioni per le quali la DTFT non esiste.

La trasformata zeta in genere converge in modo uniforme per una classe di sequenze più ampie della DTFT.

C l’ li i d i i i LTI h i di di i i Consente l’analisi dei sistemi LTI anche in presenza di condizioni iniziali non nulle.

Permette di mettere immediatamente in luce alcune caratteristiche importanti dei sistemi LTI, quali la causalità e la stabilità.

trasformata zeta (definizione)trasformata zeta (definizione)Data una sequenza bilatera x(n) (-∞<n<+∞) si definisce trasformata zeta:

definisce una relazione biunivoca tra la sequenza x(n) ed una funzione dellavariabile complessa z.z generalizza il concetto di frequenza al z generalizza il concetto di frequenza al piano complesso, e viene indicata con pulsazione complessa. Il dominio della variabile z risulta tutto il piano complessoz (come ogni var. complessa) può essere scritta in modulo e fase:

trasformata zetatrasformata zetaSi tratta di una serie infinita di potenze. Il luogo dei punti nel piano complesso per cui converge in modo uniforme a X(z) (valore finito) é detta regione di convergenza (ROC).

Nella regione di convergenza X(z) è una funzione analitica, cioè continua e indefinitamente derivabile con derivate continue in z.

C di i di i t T f t tCondizione di esistenza: Trasformata zeta

La DTFT della sequenza x(n)ρ-n esiste (cioè la sommatoria converge ad un valore finito) se la sequenza é sommabile in modulo:

DTFT e Trasformata zeta ROCDTFT e Trasformata zeta, ROCLa regione di convergenza ROC della sommatoria dipende solo dal modulo ρ delle pulsazioni complesse z e non dalla loro fase.

Questo comporta che le regioni di convergenza nel piano Questo comporta che le regioni di convergenza nel piano complesso z siano delimitate da circonferenze, luoghi dei punti z a modulo costante.p

Relazione tra trasformata z e DFTRelazione tra trasformata z e DFT

Esempi di trasformata zEsempi di trasformata zLa trasformata z della sequenza bilatera x(n) = 2δ(n+1)+ δ( δ(δ(n)+ 4δ(n-2)

Nota: serie geometricheNota: serie geometricheRicordiamo la seguente formula riguardante le seriegeometriche convergenti:

Che converge solo se |q|<1 ed in tal caso si ha anche

Esempi di trasformata zEsempi di trasformata zLa trasformata z della sequenza gradino x(n) = u(n) (sequenza causale):

Causale Anticausale

Esempi di trasformata ZEsempi di trasformata Z

E i di fi it ( l )Esempio di sequenza finita (causale)Calcolare la trasformata z della sequenza finita :

x(n) =αn [u(n) - u(n - N)],

dove N è una costante intera finita e α è una costante reale.

Esempio sequenza finita (causale)Esempio sequenza finita (causale)Definiamo poli: radici del denominatore

e zeri: le radici del numeratore

La trasformata X(z) possiede un polo di ordine N – 1 ll’ i i N 1 i (l di = α d l d i t è nell origine e N -1 zeri (la radice z = α del denominatore è

fittizia e viene compensata da uno zero del numeratore nella medesima pulsazione).p

Esempio sequenza finita (causale)Esempio sequenza finita (causale)Il polinomio di ordine N: zN - αN al numeratore possiede N zeri disposti in modo uniforme su una circonferenza di raggioα.Le radici del polinomio si Le radici del polinomio si trovano nelle pulsazioni complesse:

Gli zeri della funzione X(z) ( )

sono quindi definiti come:

ESEMPIO i fi it ( l )ESEMPIO sequenza infinita (causale)Determinare la trasformata zeta del segnale:

Si tratta di una serie geometrica infinita di ragioneche converge a

112z−

che converge a

trasformata zeta razionaletrasformata zeta razionaleNei casi pratici di interesse, la funzione X(z) è una funzione razionale di due polinomi:

X(z) = N(z)/D(z)

d N( ) D( ) d l ll b l 1 dove N(z) e D(z) sono due polinomi nella variabile z-1, rispettivamente di grado pn e pd.

Scrivendo i due polinomi N(z) e D(z) in forma estesa si Scrivendo i due polinomi N(z) e D(z) in forma estesa, si ottiene:

trasformata zeta razionaleesprimendo in termini di potenze positive di z e fattorizzando i due polinomi in termini delle rispettive fattorizzando i due polinomi in termini delle rispettive radici elementari, si ottiene:

Analisi dei sistemi LTI mediante la t f t trasformata z

Sistemi LTI a tempo discreto possono essere descritti da equazioni lineari alle differenze a coefficienti costanti.

A li d l DTFT d i t i i ttiApplicando la DTFT ad ogni termine si ottiene:

Nb va ricordato che:Nb va ricordato che:

Analisi dei sistemi LTI mediante la t f t trasformata z

Raccogliendo tutti i termini Y(ejω) e X(ejω) si ottiene

Per il teorema della convoluzione:

la risposta in frequenza H(ejω) di un sistema LTI espresso tramite le equazioni alle differenze può essere calcolata come seguele equazioni alle differenze, può essere calcolata come segue:

Analisi dei sistemi LTI mediante la t f t trasformata z

per la relazione che lega DTFT e trasformata z:

e applicando il teorema della convoluzione, si ha che la risposta del sistema in fre uen a complessa è data dasistema in frequenza complessa z è data da:

L d d ll f Y( ) d l ùLa regione di convergenza della funzione Y(z) coincide, nel caso piùgenerale possibile, quando non avvengano cancellazioni tra poli e zeri inX(z) e H(z), con l’intersezione tra le regioni di convergenza delle duefunzioni X(z) e H(z).

Analisi dei sistemi LTI mediante la t f t trasformata z

Si è visto che la funzione di trasferimento H(ejω) è una Si è visto che la funzione di trasferimento H(ejω) è una funzione razionale, quindi anche la funzione di trasferimento H(z) è una funzione razionale del tipo: N(z)/D(z)

la quale corrisponde all’equazione alle differenze.

sistemi LTIsistemi LTINella classe dei sistemi LTI descritti attraverso le equazioni alle differenze si distinguono due importanti tipologie di sistemi.

Sistemi con risposta all’impulso di supporto finito (FIR Sistemi con risposta all impulso di supporto finito (FIR, Finite Impulse Response): sono sistemi non ricorsivi nei quali l’uscita y(n) dipende solo dal segnale di ingresso x(n):q y p g g

sistemi LTIsistemi LTISistemi con risposta all’impulso di supporto infinito (IIR, Infinite Impulse Response): sono sistemi ricorsivi nei quali l’uscita y(n) dipende non solo dal segnale di ingresso ma anche dai campioni del segnale di uscita:ingresso, ma anche dai campioni del segnale di uscita:

Una sottoclasse di tali sistemi riguarda i sistemi puramente g pricorsivi, ovvero quelli per cui la relazione I/O assume la forma:

FIR attraverso trasformata zFIR attraverso trasformata zUn sistema LTI causale e non ricorsivo di tipo FIR

può essere descritto tramitel t f i di t f i tla seguente funzione di trasferimento:

Filtri IIR puramente ricorsivoFiltri IIR puramente ricorsivoUn sistema LTI causale e puramente ricorsivo di tipo IIR

può essere descritto tramite la

seguente funzione di trasferimento:

LTI caso generaleLTI caso generale

LTI e trasformata zetaLTI e trasformata zetaLa funzione di trasferimento H(z) può essere espressa in termini d ll di i d i li i l l d i delle radici dei polinomi al numeratore e al denominatore fattorizzando i due polinomi N(z) e D(z):

La risposta di un sistema LTI viene analizzata attraverso i i poli e gli zeri della funzione di trasferimento H(z).

P i l il di i ò i Per un sistema causale, il numero di zeri non può essere superiore al numero dei poli, e quindi il grado del polinomio al numeratore non può essere superiore al grado del polinomio al denominatore.p p g p

x(n) =αnu(n)

x(n) =αnu(n)

Poli complessi e coniugati

FIRFIRFIR per definizione significa risposta all’impulso finita:

Dato un generico ingresso x(n) si ottiene quindi una risposta Dato un generico ingresso x(n), si ottiene quindi una risposta y(n):

Dato h(n) si ha subito la trasformata z:

EsercizioEsercizioTrovare la risposta y(n) di un sistema con:

Quando l’input è x(n)= u(n);

Stabilità del sistemaStabilità del sistemaLa stabilità di un sistema LTI impone che la risposta all’impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire:

Se il sistema ècausale, la condizione si traduce nel dominio z nell’imporre che la funzione di trasferimento H(z) abbia poli nell imporre che la funzione di trasferimento H(z) abbia poli contenuti nel cerchio di raggio unitario del piano z.

StabilitàStabilitàPoli multipli sul cerchio unitario conducono ad una crescita di tipo polinomialepolinomiale.

Ha un polo di ordine 2 in z=1e quindi risposta all’impulso e qu sposta a pu so h(n)=n u(n) di tipo “a rampa” e quindiinstabile

Progetto di filtri tramitei i t di li iposizionamento di poli e zeri

i poli devono essere posizionati in prossimità del cerchio di raggio unitario nelle pulsazioni complesse z corrispondenti allegg p p pcomponenti armoniche nel segnale d’ingresso x(n) che devono essereenfatizzate.Gli zeri devono essere posizionati vicino ai punti z del cerchioGli zeri devono essere posizionati vicino ai punti z del cerchiodi raggio unitario corrispondenti alle componenti armoniche del segnale d’ingresso x(n) che devono essere attenuate.

www.elet.polimi.it/dsp/courses/ens lp p _1

Filtro passa basso idealeFiltro passa basso ideale

i poli del filtro devono essere posizionati nelle pulsazionicomplesse z

C i d ti ll f d ll b d t di H( jω)Corrispondenti alle frequenze della banda passante di H(ejω): 

|ω|  [0, ωt].•Gli i d bb i i ti i i ità •Gli zeri dovrebbero essere posizionati in prossimità, oppure sul cerchio|z|= 1, nelle pulsazioni complesse z corrispondenti alle frequenze |ω|  [ωt,π ].f q | | [ , ]

Filtro passa-basso 1 polo e 1 zeroFiltro passa basso 1 polo e 1 zero

Filtro passa basso 1 polo e 1 zeroFiltro passa-basso 1 polo e 1 zero

Filtro passabasso con 3 zeriFiltro passabasso con 3 zeriE’possibile enfatizzare l’attenuazionedel filtro passa-basso alle alte frequenze, inserendo zeri ulteriori sul cerchio di raggio unitario in coppie complesse coniugate ( per la realizzabilità fisica del filtro)fisica del filtro).

Filtro passabasso con 3 zeriFiltro passabasso con 3 zeri

Passa basso e passa alto: distribuzionedi li idi poli e zeri

Passa alto con un polo ed uno zeroPassa alto con un polo ed uno zero

Filtro passa banda

Alcuni esempi significativiAlcuni esempi significativiSequenza costituita da due campioni: sistema con 1 zero.

Caratteristica di ampiezza

Caratteristica di fase

Caratteristica di ampiezza e faseCaratteristica di ampiezza e fase

Zeri a fase minima o massimaZeri a fase minima o massimaSi possono avere zeri sia sul cerchio unitario (ed allora annullano sinusoidi vere e proprie)

che fuori (annullano sinusoidi generalizzate crescenti con l’indice) l indice)

che infine dentro (annullano sinusoidi generalizzate decrescenti con l’indice).).

Gli zeri posizionati dentro il cerchio unitario sono chiamati zeri a fase minima e zeri a fase massima quelli all’esterno

Analisi di uno zeroAnalisi di uno zero

La caratteristica di fase e cioè lo sfasamento apportato a sinusoidi di pulsazione ω è discontinua nell’origine:

Si consideri ora uno zero sempre a frequenza zero, ma non l hi i i Si i disul cerchio unitario. Sia quindi:

Se lo zero è interno al cerchio unitario la caratteristica di faseSe lo zero è interno al cerchio unitario la caratteristica di fasea frequenza 0 è nulla e continua.

Zeri reciproci e coniugatiZeri reciproci e coniugatiQuando lo zero è assai prossimo al cerchio unitario,

i i i i i d i l i d i i i d ll variazioni minime dei valori dei campioni della sequenza possono portare a variazioni molto forti della caratteristica di fase.E’ interessante osservare che due zeri reciproci e coniugati (ossia due sequenze di 2 campioni le cui trasformate z sono caratterizzate da zeri z0 1/ z0

* in posizione reciproca e caratterizzate da zeri z0, 1/ z0 in posizione reciproca e coniugata) hanno eguale andamento della caratteristica di ampiezza (ma solo sul cerchio unitario) e diversa

tt i ti di fcaratteristica di fase

Sequenze coniugate, ribaltate e it d tritardate

Pertanto la caratteristica di fase di sarà quella corrispondente ad un ritardo pari a NT e cioè: