La struttura a Termine dei Tassi d’interesse

Idee fondamentali

Il tempo è rischio, quindi 100 domani non valgono 100 oggi.Ergo si deve attualizzare, ossia trovare il valore attuale dei 100 domani.Tuttosi compara al valore di oggi.

Domande•Quali tassi?•Come si calcolano dai prezzi del mercato?•Cosa si può dire sui tassi nel futuro?•Che significano gli spread sui tassi?

Tipologie di strutture

● Tipi di curve dei tassi– Zero Curve– Yield Curve– Par Yield Curve

Tassi Zero

● Alcune definizioni– il tasso zero (tasso spot) per la scadenza T è il

tasso di interesse relativo ad un investimento effettuato oggi e rimborsato interamente in T senza pagamenti intermedi.

– La curva dei tassi zero è una curva che esprime la relazione tra i tassi spot e le varie scadenze.

Tassi Zero: un esempio

Maturity(years)

Zero Rate(% cont comp)

0.5 5.0

1.0 5.8

1.5 6.4

2.0 6.8

Tassi zero e pricing di bond

● Attualizzazione dei flussi di cassa a seconda delle scandenze

● Es. Un bond a 2 anni con coupon semestrale e intersse del 6%– Capitalizzazione continua

– Capitalizzazione discreta

3e−0.05∗0.53e−0.058∗1.03e−0.064∗1.5

103 e−0.068∗2.0=98.39

310,050,5

310,058 1,0

310,064 1,5

10310,068 2,0

=98.79

Tassi Yield

● Lo yield di un bond è il suo tasso di rendimento interno ossia il tasso che utilizzato per attualizzare tutti i flussi futuri fornisce il prezzo di mercato del bond

● Es. Bond price = 98,39– Capitalizzazione continua

Yieldcont=6,807%– Capitalizzazione discreta

Yield = 7,04%

3e−y∗0.53e−y∗1.03e−y∗1.5103e−y∗2.0=98.39

31y 0,5

31y 1,0

31y 1,5

1031y 2,0

=98.79

Tassi Par Yield

● Il tasso Par yield è il tasso di interesse della cedola al quale un bond dovrebbe essere venduto at par

● Es

c2

e−0.05×0.5c2

e−0.058×1.0c2

e−0.064×1.5

100c2 e−0.068×2.0=100

implica c=6.87con composizione continua

Come costruiamo la curva dei tassi?•I requisiti/proprietà

–Additività–Attinenza al mercato–Continuità (della curva)

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

Attinenza al mercato (present value): devo riprodurrei valori osservati sul mercato valutando

dove F è il fattore di sconto per il tempo k (caso discreto)

e Ck il cash-flow

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

P=∑k=1

NF0,k Ck

F0,k= 1

1i0,T kT k

Nel caso di zero coupon ( T minore di circa 1y)

dove Pk è il prezzo dello strumento con scandenza al

tempo ke N è il suo nominale (valore facciale)

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

N⋅F0,k=Pk

F0,k=11i0,k

T k

Per le altre scadenze dove non ci sono gli zero-coupon si usa la tecnica del Bootstrapping

–Definizione–Metodologia–Applicazioni–Descrizione del modello

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

–Definizione•E’ un metodo di stima induttiva della struttura dei tassi zero mediante le osservazioni delle quotazioni degli strumenti finanziari trattati sul mercato.

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

–Metodologia–Il metodo del bootstrapping permette di ricavare la struttura dei tassi, riferita ad un set di strumenti finanziari attraverso:

• calcolo dei fattori di sconto associati ai vari strumenti utilizzando i rispettivi flussi e valori di mercato (Prezzi)•calcolo dei rispettivi tassi di interesse

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

–Metodologia:•il calcolo dei fattori di sconto avviene effettuando il prodotto tra la matrice inversa dei flussi ed il vettore dei rispettivi prezzi (in valore assoluto);•il calcolo dei tassi zero dai fattori di sconto utilizzando :

capitalizzazione composta;capitalizzazione semplice.

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

•Metodologia, dati due bond uno a 1Y ed uno a 2Y:

t0 2Y1Y

N R2Y

F0,1Y

(N+N R2Y)F0,2Y

F0,2Y=1N2Y

P2Y−N2Y R2Y⋅F0,1Y

1R2Y

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

F0,1Y N1Y=P1Y

F0,1Y N2Y R2YF0,2Y N2YN2Y R2Y=P2YF0,2Y=

1−R2YF0,1Y

1R2Y

par yield

Più in generale con molte scadenze (che per semplicita supponiamo annuali) si ha

Possiamo scrivere in maniera più compatta

dove C sono i cash flow

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

F0,1Y N1Y=P1Y

F0,1Y N2Y R2YF0,2Y N2YN2Y R2Y=P2Y

F0,1Y N3Y R3YF0,2Y N3Y R3YF0,3Y N3YN3Y R3Y=P3Y...

F0,1Y NnY RnYF0,2Y NnY RnY....F0,nY NnYNnY RnY =PnY

∑k=1

mF 0,kC k ,m=Pm ∀m

C k ,m=RmN m km; Cm ,m=1RmN m

L'espressione precedente può esser generalizzata

a scadenze non annuali e a cedole non annuali

e scritta in maniera più compatta in forma matriciale

Come

E se m=n risolta per i fattori di sconto come

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

F TC=PT

F vettore conn tempi ; P vettore conm prezzi ; Cmatrice n xmdei cash− flow

F=C−1T P

Esempio–Portafoglio di bonds

Instruments description

ID coupon coupon freq maturity priceB1Y 7% 12 1 100B2Y 7,50% 12 2 100B3Y 7,50% 12 3 100

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

Interpolazione

Siccome non si osservano tutte le maturitàe voglimo una curva continua dobbiamointerpolare i dati ottenuti● Lineare● Esponenziale● Spline● Svensson

5 61 2 3 4, z x z x

SF x z z z z x e z xe

Duration

E' la sensibilità del prezzo al variare degli interessi (yield)

Ma anche una “durata temporale” media

1P

d Pd y

=− D1y

~−D

1Pd Pd y

=−1

1 y∑

C k /P

1 y kT T k D=∑

C k /P

1 y kT T k

si noti come ∑C k /P

1 y kT=1

Duration

Esempio: Obbligazione con i=0.04 N=1 e pagamento annualedi durata 30y• y=0.03 P=1.196 D=19.06 P(0.04)= P (1-D /(1+0.03)*0.01)=0.97466

• y=0.04 P=1.000 D=17.94P(0.03)= P(1+D/1.04*0.01)=1.1729P(0.05)= P(1-D/1.04*0.01)=0.8708

• y=0.05 P=0.8463 D=16.89P(0.04)=P(1+D/1.05*0.01)=0.9824

NOTATE L'ERRORE DOVUTO AL PRIM'ORDINE

Duration#source(filename)function [P,D] = D(rate,years,deltaT,y)%rate = rate of interest of coupon%years = years to maturity%deltaT= how many years between the payment of two coupons %y = yield P=0; D=0; y *= deltaT; rate *= deltaT; years /= deltaTfor t=1:deltaT:years P += rate/(1+y)^t; D += t* rate/(1+y)^t;# printf('t=%i P=%f D=%f\n',t,P,D); endfor% add the nominal P += 1/(1+y)^years; D += years*1/(1+y)^years; %normalize D D *= deltaT/P; endfunction

Complicazioni: il calcolo dei fattori di sconto mediante la formula

implicazioni sul numero di scadenze su cui sono definiti i flussi degli strumenti m=n!

Problema di omogeneita’ tra numero di strumenti con numero di scadenze m≠ n

Soluzione: CLUMPING.

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

F=C−1T P

•Clumping–Definizione–Garanzie–Applicazione

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

•Clumping•Definizione

Il clumping è una tecnica che consente di riprodurre un flusso di cassa posto su di una scadenza mediante due

flussi di cassa teorici con scadenze diverse.

t

Flusso originale

Data Grid Data Grid

Flusso rimappato

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

•Clumping–Garanzie:

•L’applicazione del clumping ad un set di flussi preserva:•il valore di mercato del portafoglio;•l’esposizione al rischio del portafoglio rispetto ai fattori di sconto della term structure.

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

•Clumping•Dato un flusso C definito su una scadenza t, la tecnica del clumping consente di riesprimere tale flusso in due flussi:

definiti rispettivamente sulle scadenze t 1 e t

2 tali che t

1 <

t <t2.

–Il peso α è funzione delle scadenze t, t1 e t

2 (se la

correlazione è uguale a 1):

=t2−t

t2−t1

1−=t−t1

t2−t1

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

F 1=C F 2=1−C

L'espressione precedente si ottieneinterpolando linearmente la volatilità

e poi uguagliando la volatilità interpolata aquella del portafoglio composto dai due flussidi cassa ( e supponendo che ).

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

1 2=1

=11−2

2=Var []

•Clumping–Esercizio numerico:

•rispetto della condizione di sensitività rispetto ai fattori di sconto;•rispetto della condizione di valore

–Flusso originale 80 sulla scadenza 2Y da rimappare sulle scadenze 1Y e 3Y

Proprietà e Metodi di costruzione delle curve dei tassi

– Definizione – Modalita’ di calcolo uniperiodale– Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo– Modalita’ di calcolo multiperiodale – Esempio

● Struttura crescente● struttura decrescente● struttura prima crescente poi decrescente

Tassi forward impliciti

Tassi forward impliciti

● Definizionei tassi forward impliciti in una data struttura a

termine f (t, t1, t2) sono i tassi d’interesse determinati in data spot (t), ma riferiti ad un intervallo temporale che comincia in data successiva (t1) alla data spot e termina in data ulteriormente successiva (t2)

Tassi forward impliciti

● Modalita’ di calcolo uniperiodale– i tassi forward impliciti in una data

struttura a termine f (t, t1, t2) vengono calcolati in base alla seguente formula:

1f t ,t1,t2= [1i t ,t2t2−t

1i t ,t1t1−t ]

1t2−t1

Tassi forward impliciti

● Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo

il tasso a termine = aspettative di mercato del valore a pronti del tasso su quella

scadenza

assenza di arbitraggio

Tassi forward impliciti

● Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo– Assenza di arbitraggio

se tasso a termine < aspettative

operatore acquisterebbe a termine facendo salire il prezzo a termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio)

se tasso a termine > aspettative

operatori venderebbero a termine facendo scendere il prezzo a termine fino a farlo coincidere con le aspettative (equilibrio)

Tassi forward impliciti

● Ipotesi determinanti la modalita’ di calcolo– il tasso forward viene determinato in modo tale

che risultino indifferenti:● un investimento unitario da t a t2 al tasso spot i(t,t2)

● un investimento unitario da t a t1 al tasso spot i (t,t1)

il cui montante viene reinvestito da t1 a t2 al tasso forward implicito

1i t , t 2t2−t=1i t , t1

t1−t 1 f t , t1, t2t2−t1

Tassi forward impliciti

● Modalita’ di calcolo multi periodale – Periodi: i = 0…n-1– Durata periodi:

i(t0,tn) = Tasso spot riferito all’intervallo (t0,tn)

f(t0, ti, ti+1 ) = Tasso forward riferito all’intevallo ( i, i+1)

Con:

iii ttk −= +1

),(),,( 10100 ttitttf =

1i t0, t nt 0−tn=1i t0, t1

t 1−t01 f t0, t1, t 2t 2−t1 ....1 f t0, tn−1 , tn

tn−t n−1

=∏i=0

n−11 f t0, t i , t i1

t i1−t i

Spread e Recovery rate

Che significato hanno gli spread nei rendimenti?Sono collegati alla probabilità di default.

In maniera molto semplificata:Y yield del risk freey yield del bond con recovery rate RR recovery rate (quando si recupera di 100 investito dopo il default)Q probabilità di default

Allora abbiamo

N e−Y T=1−Q N e− y TQ N Re−y T

Q=1−e−Y− y T

1−R

Preso da Moody's Ultimate Recovery Database (2006)