La statistica

Elementi di statistica descrittiva

per i ragazzi della V ITER a.s. 2009/2010

(e per tutti gli altri che vorranno leggerli ed usarli).

Prof. Claudio Scordari

STATISTICA

Si definisce statistica la scienza cha ha per oggetto la raccolta, l’analisi e la descrizione di fenomeni collettivi.

In generale si distingue tra:

• Statistica descrittiva

• Statistica induttiva o inferenza statistica

• La statistica descrittiva ha lo scopo di raccogliere ed elaborare dati per descrivere fenomeni collettivi o di massa

• La statistica induttiva si occupa di stimare le caratteristiche di un fenomeno collettivo a partire dall’analisi delle caratteristiche di un campione.

Unità statistiche

• Definiamo unità statistica il più piccolo elemento su cui si operano le rilevazioni.

• A sua volta l’unità statistica può essere suddivisa in :Unità statistica semplice se corrisponde ad un

solo elemento (persone, automobili etc.)Unità statistica composta se corrisponde ad

un insieme di elementi (famiglie, categorie sociali etc.)

• Definiamo dato statistico il dato ottenuto da una rilevazione operata sulle unità statistiche.

• All’insieme sul quale viene svolta l’indagine si dà il nome di popolazione statistica .

La popolazione statistica può essere unUniverso statistico se costituita da tutti gli elementi

oggetto di rilevazioneCampione statistico se costituita da un certo numero

di elementi estratti dalla popolazione.

DATI E POPOLAZIONE

Caratteri

L’indagine statistica si indirizza su una o più caratteristiche comuni di una popolazione. Tali caratteristiche prendono il nome di caratteri statistici.

Gli aspetti secondo i quali i caratteri si manifestano si chiamano modalità.

Esse possono essere:Qualitative se sono espresse da attributi (colore dei

capelli, marche etc.)Quantitative se sono espresse da numeri (altezze,

reddito, pesi etc.)

FASI DELL’INDAGINE STATISTICA

• Pianificazione

• Raccolta dei dati

• Spoglio

• Rappresentazione

• Elaborazione

• Interpretazione

Sistemazione dei dati

• Tabella a semplice entrata:– È costituita da due colonne: nella prima sono

riportate le modalità del carattere qualitativo o le varie intensità del carattere quantitativo. Nella seconda colonna sono riportate le frequenze (ossia il numero di unità statistiche che possiedono quella modalità del carattere).

– Per esempio è una tabella a semplice entrata la seguente:

Indagine sul tipo di lettura preferita dagli alunni dell’ITC.”Calasso”

Tipo di lettura N.di giovani

Narrativa 300

Fantascienza 175

Giallo 200

Storica 150

Scientifica 175

totale 1000

• Tabelle a doppia entrata:Le unità statistiche vengono classificate

secondo due caratteri.Sulle righe si riportano le modalità di un

carattere e sulle colonne le modalità dell’altro carattere.

Nell’ultima colonna e nell’ultima riga si riportano i totali.

Vediamo un esempio…..

Distribuzione di 100 abitazioni secondo il numero di vani e i componenti della famiglia

N. vani

Componenti famiglia

Totali1 2 3 4 5 6

1 10 4 1 0 0 0 15

2 6 10 5 2 0 0 23

3 3 10 12 8 2 1 36

4 1 3 8 4 2 2 20

5 0 1 2 1 1 1 6

totali 20 28 28 15 5 4 100

Frequenza assoluta, relativa e percentuale

• Frequenza assoluta è il numero di individui il cui carattere assume una determinata modalità

• Frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta e la totalità della popolazione statistica su cui si sta svolgendo l’indagine. Pertanto è un numero positivo minore o uguale a uno.

• Frequenza percentuale è semplicemente la frequenza relativa moltiplicata per cento. Pertanto è un numero positivo minore o uguale a cento.

Indagine sul tipo di lettura preferita dagli alunni dell’ITC.”Calasso”

Tipo di lettura Freq. Assolute Freq. relative Percentuali

Narrativa 300 0,3 30%

Fantascienza 175 0,175 17,5%

Giallo 200 0,2 20%

Storica 150 0,15 15%

Scientifica 175 0,175 17,5%

totale 1000 1 100%

Rappresentazione grafica di un’indagine statistica

• Diagrammi cartesiani:si usano per rappresentare caratteri quantitativi:in ascissa si riportano i valori del carattere ed in ordinate le frequenze.

Andamento delle iscrizioni

0

500

1000

1500

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

anno scolasticon

um

ero

di i

scr

itti

Istogrammi• Si usano soprattutto nel

caso di caratteri divisi in classi. L’asse del carattere viene suddiviso in intervalli adiacenti e su ogni intervallo si disegna un rettangolo la cui area è proporzionale alla frequenza assoluta o relativa.

N.B. Con i dati divisi per classi la costruzione dell’istogramma deve tener conto anche dell’ampiezza della classe. Nell’esempio i rettangoli hanno tutti la stessa base e quindi sono le altezze ad essere proporzionali alle frequenze.

Andamento delle iscrizioni

0

500

1000

1500

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

anno scolastico

num

ero

di is

critt

i

Diagrammi a torta

• Diagrammi a torta (o a settori circolari):

si divide un cerchio in settori ciascuno dei quali ha un’area (ovvero l’angolo al centro) proporzionale alla frequenza corrispondente.

Letture preferite

300

175200

150

175

Narrativa

Fantascienza

Giallo

Storica

Scientifica

I valori di sintesi

Spesso è utile descrivere una distribuzione di dati statistici mediante pochi valori sintetici che possono consentire di:•Confrontare analisi effettuate in tempi e luoghi diversi •Farci un’idea della variabilità dei dati.Per quanto riguarda il primo punto distinguiamo tra: Medie di calcolo : sono quelle che dipendono da tutti i valori della distribuzione e si ottengono mediante una formula (con la condizione di lasciare invariato un risultato operato sui dati) Medie di posizione: si ottengono considerando solo alcuni valori della distribuzione.

Media aritmetica semplice e ponderata

• La media aritmetica è quel valore che sostituito ai dati lascia invariata la loro somma.

• Se i dati sono singoli si parla di media aritmetica semplice:

n

XM

ni

ii

1

Esempio

Se i tuoi voti sono:

5,7,8,3,5,6,7,7,7,5

Allora

n=10

10

1

605777653875i

iiX

610

60

10

1

n

XM i

i

• Se ad ogni valore è associata una frequenza allora si parla di :

media aritmetica ponderata:

• Dove pi sono le frequenze associate al dato i-mo

ni

ii

ni

iii

p

pXM

1

1

Esempio di calcolo di una media aritmetica ponderata:

Dato Frequenza Dato x freq.

X p Xp

3 2 6

4 4 16

5 5 25

7 3 21

8 5 40

10 1 10

totali 20 118

M=118/20= 5,9

Classe Valore Frequenza Dato x freq.

da a centrale p Xp

0 5 2,5 2 5

5 10 7,5 4 30

10 15 12,5 5 62,5

15 20 17,5 3 52,5

20 30 25 5 125

30 50 40 1 40

    totali 20 315

M=315/20= 15,75

Calcolo di una media aritmetica con dati divisi per classi

Medie di posizione

• Mediana.Se i dati sono ordinati in senso non decrescente la

mediana è il valore centrale ossia il valore che supera la prima metà dei valori ed è superato dall’altra metà.

• Moda E’ il valore al quale corrisponde la frequenza più

alta.

….non ci addentriamo oltre nel calcolo delle medie di posizione

Indici di variabilità

• I valori medi non sono sufficienti a darci un’idea della distribuzione dei dati attorno al valore medio. Distribuzioni diverse possono avere la stessa media ma dati molto diversi tra di loro e diversi dal valore medio.

• Per quantificare la variabilità di una distribuzione si utilizzano alcuni indici di variabilità.

Ne vedremo solo alcuni….

Intervallo di variazione

• Non è altro che la differenza tra il valore massimo ed il valore minimo della distribuzione.

• Per esempio nella tabella riportata a lato l’intervallo di variazione è pari a (10-3)=7

Dato

X

3

4

5

7

8

10

Varianza a scarto quadratico medio

• Se definiamo scarto di un valore dalla media aritmetica la differenza di quel valore dalla media stessa, allora

• La Varianza è il valore medio degli scarti al quadrato

• Lo Scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza

….Vedremo nelle prossime diapositive due esempi di calcolo della varianza e dello s.q.m.

Calcolo della varianza e dello scarto quadratico medio nel caso di dati singoli

  Voti Scarti Scarti ^2

  5 -1 1

  7 1 1

  8 2 4

  3 -3 9

  4 -2 4

  6 0 0

  9 3 9

somma 42 0 28

       

media=42/7= 6    

Varianza=28/7= 4    

S.q.m.= radq(4)= 2    

Calcolo della varianza e dello scarto quadratico medio nel caso di dati con frequenze diverse

Dato FrequenzaDato x

freq. Scarti Scarti x p Scarti^2Scarti^2 x

p

X p Xp v vp v^2 v^2p

3 2 6 -2,9 -5,8 8,41 16,82

4 4 16 -1,9 -7,6 3,61 14,44

5 5 25 -0,9 -4,5 0,81 4,05

7 3 21 1,1 3,3 1,21 3,63

8 5 40 2,1 10,5 4,41 22,05

10 1 10 4,1 4,1 16,81 16,81

totali 20 118 1,6 0 35,26 77,80

M=118/20= 5.9

Varianza = 77.80/20= 3.89

S.q.m.= radq(3.89)=1.97

Buon lavoro da parte del vostro prof. !!!