automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 1

La Stabilita’

• La stabilità alla Lyapunov dei sistemi– Semplice– Asintotica– Esponenziale– Locale– Globale

• La stabilità dei sistemi linearizzati

• Stabilità input-output (BIBO)– Risposta impulsiva

• (vedi Marro par. 2.3, vedi Vitelli-Petternella par. III.1, vedi es. in LabView)

– Poli sull’asse immaginario

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 2

Sistemi non lineari• Per un Sistema NL non si parla di stabilità del “Sistema” (non è un

concetto globale).

• Il pendolo ha due punti di equilibrio (PDEq)

• Per i satelliti esistono solo alcune orbite geostazionarie (traiettorie stabili e non punti)

• La stabilità può dipendere (i.e., in generale dipende) dall’ingresso.

x x u= ⋅

360°

ϑ

ϑu = 0 => Infiniti punti di equilibrio

u < 0, x = 0 è PDEq stabile

u > 0, x = 0 è PDEq instabile

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 3

Definizioni preliminari

• Sistema Autonomo: Ingresso := nullo

• Funzione di transizione dello stato: ϕ(t, t0, x0, u(.)) => x(t)

• Traiettoria: Insieme dei valori {x(t)}, (il tempo non appare)

• Moto: tempo & traiettoria {t, x(t)}

• Moto periodico: x(t+nT)=x(t) T=periodo del moto

• Punto di Equilibrio (PDEq), xe : ϕ(t, t0, xe, u(.)) =xe t>t0

( )x f x= e.g.: sin(t)

ϑ

ϑ

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 4

Stabilità di un punto di equilibrio

( ) , ( )x f x x x= =0 0• Sistema autonomo

xe stabile := ∀ε ∃η − < ⇒ − < ∀ >, : ( )x x x t x te e0 0η ε

ε

η

0xcomunque (piccolo) si scelga ε, esiste η

• Se inoltre: lim ( )t

ex t x→∞

− = 0

stabilità asintotica di xe.

• Se poi vale allora si parla di stabilità asintotica globale∀ ∈x X0

• Infine, se

si ha stabilità esponenziale di xe

∃λ − < ⇒ − < ∀ >−: ( )x x x t x e te et

0 0η ε λ

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 5

2° metodo di Lyapunov - definizioni

Funz. definita positiva

Funz. semidefinita positiva

Esempi

Funzione uniforme wrt

Funz. radialmente illimitata

f x t t f t f x t( , ): , ( , ) , ( , )∀ ≥ = >0 0 0 0

f x t( , ) ≥ 0

12

12

2 2Mv Li x Q x q x xTij i j

ji; ; = ∑∑

lim ( , ) ,x

f x t t→

= ∀0

0 uniformemente

lim ( , )x

f x t t→∞

= ∞ ∀

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 6

Come varia l’energia nel tempo?

L didt

v t

C dvdt

i t

=

= −

RS|T|

( )

( )

E Li Cv= +12

12

2 2+

v,i

0

ii

dE E Exdt x t

v iLi CvL C

∂ ∂∂ ∂

= + =

= ⋅ − =

∑10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

2 0dE v Ri iLi Cv Ridt L L C

= ⋅ − − = − <

L didt

v t Ri t

C dvdt

i t

= −

= −

RS|T|

( ) ( )

( )10.80.60.40.20-0.2-0.4

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

v,i

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 7

2° theo di Lyapunov (1892)

B(ε):= sfera Sex t xe( ) − < ε ∃V x t V e in B( , ), ( )continua, è d.p. ε

il punto è (almeno) localmente stabilexeV è s.d.n

il punto è localmente asintoticamente stabilexeV è d.n

il punto è globalmente stabile per il sistemaxelim ( )x

V x→∞

= ∞

(radialmente illimitata)Se non si riesce a trovare V, non si può dedurre nulla

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 8

Dimostrazionew.l.o.g, N=2Linee di livello di V(x): Lk = {x: V(x)=k}

sono chiuse (almeno vicino a xe ) perchè V(x) continua e V(xe)= 0sono “annidate”

seguendo la definizione:

= lo stato non esce dalla Lk

xe

c.v.d.

Lk

εxe

B( )ε

B( )ηηx0

∀ε ⊂

∀ ⊂

esisteesiste

k L BL B L

k

k k

: ( ): ( )

ε

η η

( ) ( ( ))V x V x t≤ ⇒0 è non crescente

x x x t x te e0 0− < ⇒ − < ∀ >η ε( )

⇒ ∈ ∀ >x t B t( ) ( )ε 0

quindi:

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 9

Stabilità di un punto di equilibrio

Esempio

v+i

L didt

v E Li Cv

C dvdt

i i vL OO C

iv

= = + =

= − = LNMOQPLNMOQP

RS|

T|

12

12

12

2 2

,

E dEdt

EX

dXdt

Li vLCv iCi

i= = = ⋅ − =∑ ∂∂

0

v0,i0i

v

s.d.n. ⇒ stabilità semplice

Come varia nel tempo?

i v+L didt

v Ri

C dvdt

i

= −

= −

RS|

T|

E Li vL

RiL

Cv iC

Ri i= ⋅ −FHIK − = − < ≠2 0 0

è s.d.n. in quanto vale zero anche con v i≠ =0 0,

i

vv0,i0

⇒ stabilità semplice

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 10

Stabilita’ Esponenziale

Hp: V x d p( ) . .( )V x ≤ 0

∃ ≤ − ∀ ∈h V x hV x x B: ( )a f a f ε

dimostrazione

V x t e V x t kh t t h t t( ) ≤ ≤− − − −0 00 0a f a fa f

lim limt t

V x t x t→∞ →∞

( ) = ⇒ ( ) =0 0

Stabilita’ esponenziale globaleHp: V x( ) Radialmente illimitata

x 2x 1

V

x 1

x 2

(Garantisce che le curve di livello siano chiuse)

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 11

Punti di equilibrio

x2

10

5

0

-5

-10

x1 210-1-2

86420

x2

105

0-5

-10

x1

21

0-1

-2

Un sistema NL ha in generale più PDE

In particolare il pendolo ne ha infiniti

V x T U ML xMgL x

( ) .( cos )

= + = ⋅ +

+ −

0 51

222

1

sin sin

x x

x MgLML

x gL

x1 2

2 2 1 1

=

= − ⋅ = −RS|T| x = FHG

IKJ

ϑω

( ) ( ) sinV x ML x x MgL x x

ML x x ML x x

= ⋅ + =

= − =

2 12

0

22 2 2 1

21 2

22 1d i

T+U

s.d.n. !(Stabilita’ non asintotica)

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 12

Studio del sistema linearizzato

• La stabilità asintotica dell’origine del sistemalinearizzato (tutti gli autovalori dello Jacobiano sonoa parte reale negativa) implica la stabilità asintoticalocale dello stato xe del sistema originario.

• Se il sistema linearizzato è instabile (almeno un autovalore dello Jacobiano ha parte reale positiva) allora, nel sistema originario, lo stato xe è instabile

• Se lo Jacobiano non ha autovalori con parte realepositiva ma ha qualche autovalore con parte reale nulla(il sistema linearizzato può essere stabile ma non asintoticamente), allora nulla si può dire sulla stabilitàdello stato xe del sistema originario (caso critico)

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 13

La Stabilita’ BIBOBIBO: “Bounded Input Bounded Output” detta ancheILUL: “ Ingresso Limitato Uscita Limitata”

dato un sistema a riposo per il quale valga y(t)=0 per u(t)=0,Si ha stabilità BIBO se applicando un ingresso limitato |u(t)| < Mu ,

l’uscita y(t) rimane limitata |y(t)| < My

CNES:

Cioè la Risp. Impulsiva è sommabile

g d M( )τ τ0

∞

z ≤ < ∞

y t u g t d u g t d M g t dt t

u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ≤ − ≤ −z z z∞

τ τ τ τ τ τ τ τ0 0 0

Dim:

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 14

E Quindi la G(s) ?

G s g t e dt g t e dtst st( ) ( ) ( )= ≤−∞

−∞

z z0 0

Dalla definizione

Consideriamo s nel semipiano destro:Re[s]≥0 in modo che sia e est t− −= ≤σ 1

G s g t dt( ) ( )≤∞

z0

(quando Re[s]>0)allora

Quindi g(t) non può essere sommabile se G(s) ha poli nel semipiano destro(sarebbe possibile porre s=polo perche’|G(s)|

La stabilità richiede cheG(s) abbia solo poli p.r.n.

→ ∞

(vedi Marro pag.231 per la sufficienza)

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 15

E se ci sono poli : Re[p]=0 ?

1sν

t Transitorio divergente

Σ instabile

Consideriamo un caso semplicissimo

Osserviamo: 1s

α α1s

CI=α

=1ν

“integratore” 1s

U Y U: limitato e a valor medio nullo Y limitato

U contiene Y contiene αt

→αs

→ U = α →

Quindi esiste un solo ingresso (il gradino) per cui l’uscita diverge = Σ al limite di stabilita’

Sin(ωt) ωωs2 2+

Osservazione: Risonanza !!!!