La stabilità alla Lyapunov dei sistemi · positiva ma ha qualche autovalore con parte reale nulla...

automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 1

La Stabilita’

• La stabilità alla Lyapunov dei sistemi– Semplice– Asintotica– Esponenziale– Locale– Globale

• La stabilità dei sistemi linearizzati

• Stabilità input-output (BIBO)– Risposta impulsiva

• (vedi Marro par. 2.3, vedi Vitelli-Petternella par. III.1, vedi es. in LabView)

– Poli sull’asse immaginario


Sistemi non lineari• Per un Sistema NL non si parla di stabilità del “Sistema” (non è un

concetto globale).

• Il pendolo ha due punti di equilibrio (PDEq)

• Per i satelliti esistono solo alcune orbite geostazionarie (traiettorie stabili e non punti)

• La stabilità può dipendere (i.e., in generale dipende) dall’ingresso.

x x u= ⋅

360°

ϑ

ϑu = 0 => Infiniti punti di equilibrio

u < 0, x = 0 è PDEq stabile

u > 0, x = 0 è PDEq instabile


Definizioni preliminari

• Sistema Autonomo: Ingresso := nullo

• Funzione di transizione dello stato: ϕ(t, t0, x0, u(.)) => x(t)

• Traiettoria: Insieme dei valori {x(t)}, (il tempo non appare)

• Moto: tempo & traiettoria {t, x(t)}

• Moto periodico: x(t+nT)=x(t) T=periodo del moto

• Punto di Equilibrio (PDEq), xe : ϕ(t, t0, xe, u(.)) =xe t>t0

( )x f x= e.g.: sin(t)

ϑ

ϑ


Stabilità di un punto di equilibrio

( ) , ( )x f x x x= =0 0• Sistema autonomo

xe stabile := ∀ε ∃η − < ⇒ − < ∀ >, : ( )x x x t x te e0 0η ε

ε

η

0xcomunque (piccolo) si scelga ε, esiste η

• Se inoltre: lim ( )t

ex t x→∞

− = 0

stabilità asintotica di xe.

• Se poi vale allora si parla di stabilità asintotica globale∀ ∈x X0

• Infine, se

si ha stabilità esponenziale di xe

∃λ − < ⇒ − < ∀ >−: ( )x x x t x e te et

0 0η ε λ


2° metodo di Lyapunov - definizioni

Funz. definita positiva

Funz. semidefinita positiva

Esempi

Funzione uniforme wrt

Funz. radialmente illimitata

f x t t f t f x t( , ): , ( , ) , ( , )∀ ≥ = >0 0 0 0

f x t( , ) ≥ 0

12

12

2 2Mv Li x Q x q x xTij i j

ji; ; = ∑∑

lim ( , ) ,x

f x t t→

= ∀0

0 uniformemente

lim ( , )x

f x t t→∞

= ∞ ∀


Come varia l’energia nel tempo?

L didt

v t

C dvdt

i t

=

= −

RS|T|

( )

( )

E Li Cv= +12

12

2 2+

v,i

0

ii

dE E Exdt x t

v iLi CvL C

∂ ∂∂ ∂

= + =

= ⋅ − =

∑10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

2 0dE v Ri iLi Cv Ridt L L C

= ⋅ − − = − <

L didt

v t Ri t

C dvdt

i t

= −

= −

RS|T|

( ) ( )

( )10.80.60.40.20-0.2-0.4

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

v,i


2° theo di Lyapunov (1892)

B(ε):= sfera Sex t xe( ) − < ε ∃V x t V e in B( , ), ( )continua, è d.p. ε

il punto è (almeno) localmente stabilexeV è s.d.n

il punto è localmente asintoticamente stabilexeV è d.n

il punto è globalmente stabile per il sistemaxelim ( )x

V x→∞

= ∞

(radialmente illimitata)Se non si riesce a trovare V, non si può dedurre nulla


Dimostrazionew.l.o.g, N=2Linee di livello di V(x): Lk = {x: V(x)=k}

sono chiuse (almeno vicino a xe ) perchè V(x) continua e V(xe)= 0sono “annidate”

seguendo la definizione:

= lo stato non esce dalla Lk

xe

c.v.d.

Lk

εxe

B( )ε

B( )ηηx0

∀ε ⊂

∀ ⊂

esisteesiste

k L BL B L

k

k k

: ( ): ( )

ε

η η

( ) ( ( ))V x V x t≤ ⇒0 è non crescente

x x x t x te e0 0− < ⇒ − < ∀ >η ε( )

⇒ ∈ ∀ >x t B t( ) ( )ε 0

quindi:


Stabilità di un punto di equilibrio

Esempio

v+i

L didt

v E Li Cv

C dvdt

i i vL OO C

iv

= = + =

= − = LNMOQPLNMOQP

RS|

T|

12

12

12

2 2

,

E dEdt

EX

dXdt

Li vLCv iCi

i= = = ⋅ − =∑ ∂∂

0

v0,i0i

v

s.d.n. ⇒ stabilità semplice

Come varia nel tempo?

i v+L didt

v Ri

C dvdt

i

= −

= −

RS|

T|

E Li vL

RiL

Cv iC

Ri i= ⋅ −FHIK − = − < ≠2 0 0

è s.d.n. in quanto vale zero anche con v i≠ =0 0,

i

vv0,i0

⇒ stabilità semplice


Stabilita’ Esponenziale

Hp: V x d p( ) . .( )V x ≤ 0

∃ ≤ − ∀ ∈h V x hV x x B: ( )a f a f ε

dimostrazione

V x t e V x t kh t t h t t( ) ≤ ≤− − − −0 00 0a f a fa f

lim limt t

V x t x t→∞ →∞

( ) = ⇒ ( ) =0 0

Stabilita’ esponenziale globaleHp: V x( ) Radialmente illimitata

x 2x 1

V

x 1

x 2

(Garantisce che le curve di livello siano chiuse)


Punti di equilibrio

x2

10

5

0

-5

-10

x1 210-1-2

86420

x2

105

0-5

-10

x1

21

0-1

-2

Un sistema NL ha in generale più PDE

In particolare il pendolo ne ha infiniti

V x T U ML xMgL x

( ) .( cos )

= + = ⋅ +

+ −

0 51

222

1

sin sin

x x

x MgLML

x gL

x1 2

2 2 1 1

=

= − ⋅ = −RS|T| x = FHG

IKJ

ϑω

( ) ( ) sinV x ML x x MgL x x

ML x x ML x x

= ⋅ + =

= − =

2 12

0

22 2 2 1

21 2

22 1d i

T+U

s.d.n. !(Stabilita’ non asintotica)


Studio del sistema linearizzato

• La stabilità asintotica dell’origine del sistemalinearizzato (tutti gli autovalori dello Jacobiano sonoa parte reale negativa) implica la stabilità asintoticalocale dello stato xe del sistema originario.

• Se il sistema linearizzato è instabile (almeno un autovalore dello Jacobiano ha parte reale positiva) allora, nel sistema originario, lo stato xe è instabile

• Se lo Jacobiano non ha autovalori con parte realepositiva ma ha qualche autovalore con parte reale nulla(il sistema linearizzato può essere stabile ma non asintoticamente), allora nulla si può dire sulla stabilitàdello stato xe del sistema originario (caso critico)


La Stabilita’ BIBOBIBO: “Bounded Input Bounded Output” detta ancheILUL: “ Ingresso Limitato Uscita Limitata”

dato un sistema a riposo per il quale valga y(t)=0 per u(t)=0,Si ha stabilità BIBO se applicando un ingresso limitato |u(t)| < Mu ,

l’uscita y(t) rimane limitata |y(t)| < My

CNES:

Cioè la Risp. Impulsiva è sommabile

g d M( )τ τ0

∞

z ≤ < ∞

y t u g t d u g t d M g t dt t

u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ≤ − ≤ −z z z∞

τ τ τ τ τ τ τ τ0 0 0

Dim:


E Quindi la G(s) ?

G s g t e dt g t e dtst st( ) ( ) ( )= ≤−∞

−∞

z z0 0

Dalla definizione

Consideriamo s nel semipiano destro:Re[s]≥0 in modo che sia e est t− −= ≤σ 1

G s g t dt( ) ( )≤∞

z0

(quando Re[s]>0)allora

Quindi g(t) non può essere sommabile se G(s) ha poli nel semipiano destro(sarebbe possibile porre s=polo perche’|G(s)|

La stabilità richiede cheG(s) abbia solo poli p.r.n.

→ ∞

(vedi Marro pag.231 per la sufficienza)


E se ci sono poli : Re[p]=0 ?

1sν

t Transitorio divergente

Σ instabile

Consideriamo un caso semplicissimo

Osserviamo: 1s

α α1s

CI=α

=1ν

“integratore” 1s

U Y U: limitato e a valor medio nullo Y limitato

U contiene Y contiene αt

→αs

→ U = α →

Quindi esiste un solo ingresso (il gradino) per cui l’uscita diverge = Σ al limite di stabilita’

Sin(ωt) ωωs2 2+

Osservazione: Risonanza !!!!

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