10° SEMINARIO NAZIONALE SUL CURRICOLO VERTICALE

Firenze, 10 maggio 2015

La formula di Eulero per i poliedri, un approccio laboratoriale

Ivan Casaglia Liceo Scientifico “Guido Castelnuovo” – Firenze

La formula di Eulero per i poliedri costituisce uno dei risultati più interessanti della geometria dello spazio [anche se il suo significato più profondo non può essere interamente compreso in una trattazione al livello di scuola superiore] I libri di testo più diffusi presentano la formula di Eulero (quando la presentano), scollegata dagli altri risultati, relegata ad una sorta di curiosità, talvolta accompagnata da qualche informazione sul suo significato topologico

Il problema del “significato” in matematica non può essere affrontato solo attraverso la “modellizzazione” ma anche ricostruendo il senso del fare matematica In questa prospettiva l’approccio laboratoriale va inteso non solo come utilizzo di modelli fisici, ecc. (che è comunque cosa molto utile), ma come osservazione, scoperta, formulazione di ipotesi, verifica, validazione, generalizzazione

Questa traccia di percorso didattico si ispira ad una proposta di George Polya contenuta nel capitolo finale di La scoperta matematica (1962), dal titolo Indovinare e metodo scientifico

Ripercorre il ragionamento condotto da Eulero nella prima delle tre memorie dedicata a questo argomento (in cui spiega come fu portato alla scoperta della formula, senza fornirne una dimostrazione)

Ha il merito di mostrare alcune caratteristiche del modo di procedere del pensiero matematico

- ricerca della generalizzazione di un risultato già noto,

- osservazione “sperimentale” di casi “concreti”

- formulazione di una congettura (evidenziando quindi il momento “induttivo” del lavoro matematico)

- ricerca di una dimostrazione

Che cosa serve per partire? Il concetto di poliedro (e questo è di per sé un bel problema: cosa definiamo come poliedro?) A partire dall’analogia tra poliedri nello spazio e poligoni nel piano ci si chiede quali proprietà dei poligoni siano “traducibili” (cioè generalizzabili) anche per i poliedri e si considera in particolare la proprietà angolare dei poligoni

la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è uguale a

n − 2( ) ⋅ π

(1) Che cosa può prendere il posto degli angoli quando si passa dai poligoni ai poliedri? Diedri formati dalle facce? Angoli solidi nei vertici? Per i primi si può chiedere agli studenti di indagare in proprio, a partire da casi molto semplici (tetraedri) Per i secondi occorrerebbe definire preliminarmente il significato di addizione tra angoloidi In entrambi i casi la somma dipende, in generale, dalla “forma” del poliedro

Consideriamo il caso più “semplice” → angoli delle facce (2) “L’osservazione può condurre alla scoperta” Invitiamo gli studenti a costruire una tabella che permetta di raccogliere le osservazioni relative a diversi tipi di poliedri per vedere se si riesce a individuare qualche regolarità

poliedro

f

Somma angoli di una

faccia

α∑

tetraedro

4

π

4π

cubo

6

2π

12π

ottaedro

8

π

8π

poliedro

f

Somma angoli di una

faccia

α∑

5−prisma

7

3π (basi)

2π (facce laterali)

2 ⋅ 3π + 5 ⋅ 2π = 16π

4−torre

9

2π (base e facce dei

“muri”)

π (facce del “tetto”)

5 ⋅ 2π + 4 ⋅ π = 14π

(3) “L’osservazione dovrebbe rivelare qualche regolarità, schema o legge” Osserviamo qualche regolarità? No, se ci limitiamo a tentare di generalizzare in modo ingenuo, cercando una relazione tra numero delle facce [ f ] e somma degli angoli “L’osservazione ha più probabilità di dare risultati degni di nota se è guidata da qualche buona considerazione o intuizione” idea guida

Nella tabella abbiamo sommato gli angoli “faccia per faccia”; che cosa accade se sommiamo gli angoli “vertice per vertice”? Non siamo in grado di farlo perché non sappiamo quanto vale la somma degli angoli che concorrono in uno stesso vertice, ma sappiamo che questa somma deve essere minore di 2π e quindi se indichiamo con v il numero dei vertici del poliedro

α∑ < 2πv Verifichiamo questa relazione nella tabella considerata

poliedro

f

α∑

v

2πv

tetraedro

4

4π

4

8π

cubo

6

12π

8

16π

ottaedro

8

8π

6

12π

poliedro

f

α∑

v

2πv

5−prisma

7

16π

10

20π

4−torre

9

14π

9

18π

Questa nuova tabella permette di osservare che, in tutti i casi considerati

2πv − α∑ = 4π che può essere riscritta nella forma

α∑ = 2π v − 2( )

Tenuto conto che nei poligoni il numero dei vertici è uguale al numero dei lati, questa relazione si presenta come una naturale estensione ai poliedri della proprietà angolare dei poligoni

(4) Si tratta di una coincidenza o è una proprietà di carattere generale? Per cominciare invitiamo gli studenti a considerare altri casi, oltre a quelli già visti, per verificare se vale ancora la proprietà [cioè mettiamo alla prova la proprietà appena scoperta]

poliedro

f

α∑

v

2πv

dodecaedro

12

36π

20

40π

icosaedro

20

20π

12

24π

n−prisma

n + 2

4n − 4( )π

2n

4πn

n−piramide

n + 1

2n − 2( )π

n + 1

2n + 2( )π

Considerata la varietà dei casi esaminati, la proprietà

α∑ = 2π v − 2( )

può essere considerata una congettura L’osservazione dà solo generalizzazioni ipotetiche, congetture, non dimostrazioni Controllate la vostra congettura: esaminate i casi particolari e le relative conseguenze Qualunque caso particolare o conseguenza che sia verificata aggiunge credito alla congettura

Alla ricerca di una dimostrazione… (5) Si può dimostrare questa proprietà? Un dimostrazione “guidata” → si tratta di generalizzare il procedimento utilizzato per compilare la tabella Consideriamo un poliedro con f facce e immaginiamo di numerarle, indicando con - s1

il numero dei lati (spigoli) della prima faccia

- s2 il numero dei lati della seconda faccia

ecc. Andiamo quindi a sommare gli angoli “faccia per faccia”

α∑ = π s

1− 2( ) + π s

2− 2( ) + ... + π s

f− 2( ) = π s

1+ s

2+ ... + s

f− 2f( )

La somma

s

1+ s

2+ ... + s

f rappresenta la somma dei lati di

tutte le facce e poiché ogni spigolo del poliedro è lato di due di queste facce

s

1+ s

2+ ... + s

f= 2s

Mettendo insieme queste due relazioni possiamo scrivere

α∑ = π 2s − 2f( ) = 2π s − f( )

Questa relazione (a differenza della congettura) è stata dimostrata Se combiniamo questa relazione con la congettura, eliminando α∑ , otteniamo

2π v − 2( ) = 2π s − f( )

da cui la formula di Eulero

v − s + f = 2

(6) Nel nostro tentativo di dimostrare la congettura abbiamo “scoperto” questa nuova relazione che è equivalente alla prima Una dimostrazione della congettura permette di provare anche la formula di Eulero (e viceversa) Una prima osservazione: se immaginiamo di poter deformare il poliedro con continuità, cioè senza strappi, in modo che la connessione tra vertici, spigoli e facce resti immutata, il poliedro di modifica, ma i numeri v , s e f rimangono gli stessi

Una simile trasformazione modifica i singoli angoli delle facce, ma non modifica la somma α∑ che, come abbiamo già dimostrato, dipende soltanto dal numero degli spigoli e dal numero delle facce Immaginiamo allora di “appoggiare” una base del poliedro su un piano orizzontale (il piano di un tavolo) e immaginiamo di “allargare” questa base in modo che l’intero poliedro possa essere proiettato ortogonalmente (o “schiacciato”) su questa base, in modo che i vertici che non appartengono alla base “allargata” vengano proiettati in punti interni alla base stessa Si ottengono, in questo modo, i diagrammi di Schlegel

Si può proporre la costruzione del più semplice e invitare gli studenti a costruire gli altri

(7) Considerando il diagramma di Schlegel di un generico poliedro

possiamo calcolare α∑

Il diagramma si Schlegel rappresenta un poliedro “schiacciato” costituito da due “fogli” poligonali sovrapposti:

- il foglio “inferiore” (la base allargata) che è un unico poligono

- il foglio “superiore” che è suddiviso in f − 1 poligoni

Indichiamo con n il numero dei lati del poligono che racchiude i due fogli (cioè il numero degli spigoli della faccia allargata) e andiamo a calcolare α∑ .

Foglio “inferiore” la somma degli angoli interni è

n − 2( )π

Foglio “superiore” • la somma degli angoli del bordo è la stessa di quella del foglio inferiore,

n − 2( )π

• la somma degli angoli “interni” può essere ottenuta sommando “vertice per vertice”:

- la somma degli angoli in ciascun vertice è 2π - i vertici interni al foglio sono v − n

Riassumendo

α∑ = n − 2( )π

s. angoli foglio inferiore + n − 2( )π + v − n( )2π

s. angoli foglio sup. = 2π v − 2( )

(8) La formula di Eulero può essere dimostrata direttamente considerando il diagramma di Schelegel di un poliedro generico → rete piana (9) Un curiosità: i radiolari I radiolari sono protozoi caratterizzati da uno scheletro siliceo

A colpo d’occhio: un poliedro con facce esagonali (necessariamente non regolari)

Se si guarda con maggiore attenzione si individuano delle facce pentagonali È un caso o la presenza di facce pentagonali è in qualche modo necessaria? Può esistere un poliedro le cui facce siano tutte esagonali? La formula di Eulero permette di provare che non è possibile che tutte le facce siano esagonali

(10) poliedri regolari

La formula di Eulero permette di dimostrare che i poliedri regolari convessi sono solo cinque (senza tener conto del fatto che le facce sono poligoni regolari…)

(11) Un possibile sviluppo La formula di Eulero vale per questo “poliedro”?

v − s + f = 2 − 2g

(12) Formula di Eulero e definizione di poliedro [Imre Lakatos, Dimostrazione e confutazioni – la logica della scoperta matematica] poliedro → superficie poliedrica (i) è una superficie formata da poligoni se in uno spigolo concorrono quattro facce non vale la formula di Eulero → due tetraedri “affiancati” lungo uno spigolo

v − s + f = 3

(ii) è una superficie formata da poligoni disposti in modo che in ogni spigolo si incontrino esattamente due di essi, formando un diedro se in un vertice si incontrano sei facce non vale la formula di Eulero → due tetraedri “incollati” in un vertice]

v − s + f = 3

(iii) è una superficie formata da poligoni disposti in modo che in ogni spigolo si incontrino esattamente due di essi, formando un diedro, e che inoltre sia possibile arrivare da qualunque faccia a qualunque altra, oltrepassando degli spigoli [Hilbert – Cohn-Vossen, Geometria intuitiva, 1932] e così via…

(10)* Se tutte le f facce fossero esagonali si avrebbe

- v = 6f

3= 2f (ogni vertice è comune tre facce)

- s = 6f

2= 3f (ogni spigolo è comune a due facce)

da cui

v − s + f = 2f − 3f + f = 0

(11)* Consideriamo un poliedro regolare con f facce, poligoni (regolari e congruenti) di n lati → n ≥ 3 Indichiamo con r il numero delle facce che concorrono in uno stesso vertice → r ≥ 3 n ⋅ f = 2s (ogni spigolo è comune a due facce) r ⋅v = 2s (ogni spigolo contiene due vertici)

v − s + f = 2s

r− s + 2s

n= 2

1r+ 1

n= 1

s+ 1

2

n ≥ 3 e r ≥ 3, ma non possono essere entrambi maggiori di 3

[se fosse n = r = 4 si avrebbe 1s= 0]

→ n = 3 o r = 3

(a) n = 3 (triangoli equilateri) l’uguaglianza diventa

1r− 1

6= 1

s

Poiché deve essere 1s> 0 si hanno solo tre casi possibili

r = 3 → s = 6 tetraedro r = 4 → s = 12 ottaedro r = 5 → s = 30 icosaedro

(b) r = 3 (triangoli equilateri) l’uguaglianza diventa

1n− 1

6= 1

s

come prima si hanno solo tre casi possibili n = 3 → s = 6 tetraedro n = 4 → s = 12 cubo n = 5 → s = 30 dodecaedro