La fattorizzazione dei polinomi Cos’è la fattorizzazione

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Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi.

Metodi di scomposizione

• i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale

• il riconoscimento di prodotti notevoli

Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario.

• la regola del trinomio caratteristico

• l’individuazione dei divisori della forma x – a

I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri:

La fattorizzazione dei polinomi Raccoglimenti

2

RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTOR COMUNE

5mn – 10mn2 + 15m2n = 5 m n – 2 5 m n n + 3 5 m m n =

= 5mn(1 – 2n + 3m)

• Si individua il M.C.D. fra i termini del polinomio

•Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M.C.D. calcolato.

ESEMPIO

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPIO

Raccoglimenti

3

RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTOR COMUNE

Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini , in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale.

2ay + 2by + ax + bx = 2y(a + b) + x(a + b) =

raccoglimento parziale

(a + b) (2y + x)

raccoglimento totale

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPI

Riconoscimento dei prodotti notevoli

4

TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 + 8a + 16 =

(a)2

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2

(4)2

2 a 4

1. (a + 4)2

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPI

Riconoscimento dei prodotti notevoli

5

9x2 – 12xy + 4y2

(3x)2 (2y)2

2 3x 2y

4a2 – 6xy + 9x2

(2a)2 (3x)2

2a 3x

ESEMPI

3.

2.

non è lo sviluppo di un quadrato

= (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPI

Riconoscimento dei prodotti notevoli

6

POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2

a2 + 2ab + b2 + 4a + 4b + 4

(a)2 (b)2

2 a b 2 a 2

2 b 2

(2)2

= (a + b + 2)21.

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPI

Riconoscimento dei prodotti notevoli

7

x2 – 4x2y3 + 6x2 + 4y6 – 12y3 + 9

(x)2 = (−x)2

2 (−x)2 (−2y3) = −2 (−x)2 (2y3)

(2y3)2 = (−2y3)2

2 (x) (3) = 2(−x)(−3)

2 (−2y3)(3) = 2 (2y3)(−3)

2. = (x – 2y3 + 3)2 = (− x +2y3 – 3)2

(3)2 = (−3)2

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPIO1.

Riconoscimento dei prodotti notevoli

8

DIFFERENZA DI QUADRATI

a2 − b2 = (a + b) (a – b)

9x2 − y2

(3x)2

9z2 − (z + 5)2

(3z)2 (z + 5)2

ESEMPIO

2.

= (3x + y) (3x – y)

(y)2

= (3z + z +5) (3z – z – 5) =

= (4z + 5) (2z – 5) =

= [3z + (z + 5)] [3z – (z + 5)] =

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPIO

1.

Riconoscimento dei prodotti notevoli

9

QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3

x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

(x)3

3 (x)2 (2y)

3 x (2y)2

(2y)3

= (x + 2y)3

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPIO

2.

Riconoscimento dei prodotti notevoli

10

a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3

(a2)3

3(a2)2 (−3b)

3(a2) (−3b)2

(−3b)3

= (a2 − 3b)3

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPIO

Trinomio caratteristico

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Forma del trinomio caratteristico: x2 + (a + b)x + ab

Procedura di scomposizione

• si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x2 + ax + bx + ab

•Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a)

•Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b)

Regola di scomposizione: x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b)

x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 3 = (x + 2) (x + 3)

La fattorizzazione dei polinomi

ESEMPIO

Ricerca dei divisori di un polinomio

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• Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a).

• Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0.

• Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x).

x3 + 4x2 + x − 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

La fattorizzazione dei polinomi Ricerca dei divisori di un polinomio

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Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo.

2x3 + 3x2 + 11x + 6

Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± 1

2

3

2

Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ±6

Divisori di 2: ± 1, ± 2

ESEMPIO

La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini

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P(x) = 2x3 + 9x2 + 7x – 6

• Calcolo di P(a): P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0

P(−1) = −2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0

P(−2) = −16 + 36 − 14 – 6 = 0

ESEMPIO

continua

• Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± 1

2

3

2

La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini

15

• Divisione con la regola di Ruffini −692

−2

2

−4

−3

6

0

7

−10

5

• 1a scomposizione di P(x):(x + 2) (2x2 + 5x –3)

• Scomponiamo Q(x) = 2x2 + 5x – 3 seguendo i passi precedenti:

Possibili valori di a: ± 1, ± 3, ± 3

2

Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0Q(−3) = 18 − 15 – 3 = 0

continua

Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0

La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini

16

Regola di Ruffini

scomposizione: (x + 3) (2x – 1)

Quindi: 2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1)

−32

−3

2 −1

+3

5

−6

0

La fattorizzazione dei polinomi Somma e differenza di cubi

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Applicando il teorema di Ruffini si ottiene:

ESEMPIO

8y3 + 1 = (2y + 1) (4y2 − 2y + 1)

x3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2)

x3 − a3 = (x − a) (x2 + ax + a2)

somma delle basi

differenza delle basi

quadrato dellaprima base

quadrato dellaseconda base

prodotto cambiatodi segno delle due basi

x3 – 27 = (x – 3) (x2 +3x + 9)

La fattorizzazione dei polinomi Somme e differenze di potenze

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Ricorda che:

• Qualunque differenza di potenze pari può essere interpretata come differenza di quadrati.

ESEMPI

x4 – 1 = (x2)2 – (1)2 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)

x6 − 1 = (x3 – 1) (x3 + 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x +1) (x2 – x + 1)

x6 + 1 = (x2)3 + 1 = (x2 + 1) (x4 − x2 + 1)

somma di cubi

differenzadi cubi

sommadi cubi

• Le somme di potenze con esponenti multipli di 3 possono essere scomposte come somme di cubi.

ESEMPIO

La fattorizzazione dei polinomi Sintesi

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Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni:

• controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale

• riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un:

binomio

somma di quadrati x2 + a2 irriducibile

differenza di quadrati x2 – a2 = (x – a) (x + a)

somma di cubi x3 + a3 = (x + a) (x2 − ax + a2)

differenza di cubi x3 – a3 = (x − a) (x2 + ax + a2)

trinomio

trinomio caratteristico x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

quadrato di un trinomio a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

quadrinomio

differenza di due quadrati a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2 = (a + b + x) (a + b − x)

cubo di un binomio a2 ± 3a2b +3ab2 ± b3 = (a ± b)3

polinomio di sei termini quadrato di un trinomio a2 + 4b2 + 9 + 4ab − 6a – 12b = (a + 2b – 3)2

a2 + 2a + 1 – x2 + 2xy − y2 = (a + 1)2 − (x – y)2 == (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y)

differenza dei quadrati di due binomi

• cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini.

La fattorizzazione dei polinomi M.C.D. e m.c.m. tra polinomi

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Per determinare il M.C.D. fra due o più polinomi:

•si scompongono i polinomi in fattori,

•si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono.

Per determinare il m.c.m. fra due o più polinomi:

•si scompongono i polinomi in fattori,

•si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono.

Seguono esempi

La fattorizzazione dei polinomi M.C.D. e m.c.m. tra polinomi

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ESEMPIO

8x2 + 16xy + 8y2 4x4 – 4x2y2 12x2 + 12xy

Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M.C.D. e m.c.m.:

Scomponiamo in fattori i tre polinomi:

• 8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2

• 4x4 – 4x2y2 = 4x2(x2 – y2) = 4x2(x – y) (x + y)

• 12x2 + 12xy = 12x(x + y)

M.C.D. = 4(x + y) m.c.m. = 24x2(x + y)2 (x – y)