La discussione matematica

Una macchina nuova

Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

SCOPO:

• Riflettere sui propri processi di pensiero al fine di produrre una analisi a priori del problema che si propone agli studenti

•Individuare, per quanto possibile, i nodi

cognitivi del problema proposto

•Orchestrare una discussione matematica

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

L’analisi a priori

È L’ANALISI CHE, A PRIORI, L’INSEGNANTE DEVE FARE DEL PROBLEMA CHE PONE AGLI STUDENTI.

Non sempre è completa, ma serve per avere elementi per guidare la discussione collettiva

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un oggetto matematica (concetto, problema, procedura, ecc) che costituisce un motivo dell’attività di insegnamento apprendimento (Bartolini Bussi, 1995)

DISCUSSIONE MATEMATICA

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

DISCUSSIONE MATEMATICA

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

• Come è fatta la macchina?

•Cosa fa la macchina?

•Perché lo fa?

Le tre fasi dell’esplorazione

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

Lo sforzo è quello di descrivere i nostri processi esplorativi

Parte pubblica Parte privata

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

AL LAVORO ( 20’)

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

Simulazione della discussione

1 Come è fatta la macchina?

- due punti fissi- due aste di uguale lunghezza- la distanza fra i due punti fissi è uguale alla lunghezza dell’asta che congiunge le due aste che si incrociano- ……-……..

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

2. Cosa fa la macchina?

- dove si mettono le mine?- esploro una configurazione particolare (rettangolo)- esploro diverse configurazioni- sembra una ellisse (metodo giardiniere)- Ci sono anche due crf (compasso piano)- la macchina ha 1 solo grado di libertà,

disegna una curva stabilita-…….

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

3. Perché lo fa?

-la caratteristiche dell’ellisse è: la somma delle distanze dai fuochi è costante.- AP+PB è costante-- come sono PD e PB?

A B

C

P

D

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4. Cosa succederebbe se …?-Se sposto i due punti fissi ottengo sempre una ellisse?--se le aste non fossero uguali…?

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ISTITUZIONALIZZAZIONE

1.Come si costruisce un antiparallelogramma

Compasso di Van Schooten

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Parallelogramma e antiparallelogramma

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

2. Cosa fa

Disegna una ellisse di fuochi O e A

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

3. Perché lo fa?

I triangoli ABC e ADC sono congruenti perché hanno tre lati congruenti (AC in comune e CB=AD perché aste congruenti e lo stesso per AB e CD congruenti per costruzione).

Allora gli angoli ACB e DAC sono congruenti (corrispondenti nei due triangoli ) e quindi CPA è un triangolo isoscele. Quindi si può dire che PD e PB sono congruenti perché differenza di lati congruenti.

Quindi AP+ PB= lunghezza asta AD che è costante. 

Dimostrare che AP+PD è costante

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

Diversi tipi di discussione

A.Discussione di un problemaA1. Discussione di soluzione (vedi

seminiA2 Discussione di bilancio (vedi tre

cerchi)

B. Discussione di concettualizzazione: cos’è un numero pari, cosa è un grafico?

19

Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati due cerchi di raggi 2 cm e 3 cm, con distanza tra i centri di 7 cm].

Spiega chiaramente il metodo che utilizzi in modo che altri possano usarlo.

Spiega con cura perché il metodo funziona.

paderno- VIII 2009

1. Un problema di costruzione geometrica

Soluzione

Metodo

Giustificazione

Es. DISCUSSIONE DI BILANCIO

20paderno- VIII 2009

Testi individuali utilizzati per il confronto durante la discussione matematica

[Canio]Ho aperto il compasso di 4 cm e ho cercato il punto adatto per poter combaciare i due cerchi con quello costruito dal sottoscritto. Ho unito i tre punti e ho trovato un triangolo.Il mio metodo funziona perché è stato fatto regolarmente, con tutti e tre i punti esatti.

Procedimento per tentativi giustificato empiricamente.

Soluzione

21paderno- VIII 2009

[Francesco]Procedimento:traccio una riga che passi da A e B partendo da A traccio un raggio che si prolunga al di fuori della circonferenza lungo 7 cm (somma dei raggi) . Partendo da b traccio un raggio che oltrepassa la circonferenza che sia di 6 cm (somma dei due raggi). Sposto i raggi fino a trovare il loro punto di incontro che poi sarà il centro del cerchio tangente. Il mio metodo funziona perché la misura dei due segmenti è uguale alla somma dei due raggi e i punti di tangenza sono allineati con i centri.Il metodo si basa su considerazioni teoriche che però non si concretizzano nella soluzione con il compasso

Metodo

Giustificazione

22paderno- VIII 2009

[Annalisa]Per disegnare un cerchio di raggio 4 tangente agli altri due ho proceduto in questo modoho unito con una retta A e Cpunto in C e apro il compasso della lunghezza della somma dei raggi (2+4=6) e traccio un archetto;punto in C e apro il compasso della somma dei raggi (4+3=7) e traccio un arco che si incroci con quello di prima;trovo così il punto B che sarà il centro del cerchio che devo costruire.Sono sicura che il cerchio che ho costruito è tangente perché AKB e CHB sono allineati e AK+KB=AB e CH+HB=CBCostruzione geometrica giustificata utilizzando proprietà note.

Metodo

Giustificazione

Soluzione

23paderno- VIII 2009

1° Stralcio di discussione: i tentativi1.P- Sono stati utilizzati metodi diversi ad esempio Canio ha usato un metodo…vuoi parlarne? 2.Canio- Io non ho usato un metodo, l’ho fatto a caso 3. P- sei sicuro?4.Canio- proprio a caso no, sono andato per tentativi sempre più vicino 5. Simone- ma quello non è un metodo, perché non dice esattamente cosa fare6. Francesco- anch’io ho fatto per tentativi, ho aperto il compasso della somma dei raggi e spostavo le linee finchè non si toccavano . Quando si toccavano quello era il centro del cerchio tangente7. P- Anche Canio apriva il compasso della somma dei raggi?8. Canio- No, io non ci ho neanche pensato9. Annalisa - Francesco va per tentativi perché muove i raggi finchè non si incontrano, però è diverso da Canio…[…]...

26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio?27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi.29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto d’incontro..

2° Stralcio di discussione: l’emergere della teoria

Teoria

24paderno- VIII 2009

26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio?27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi.29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto d’incontro..

2° Stralcio di discussione: l’emergere della teoria

Teoria

25paderno- VIII 2009

3° Stralcio di discussione: l’abduzione

40- Giulio- io subito ho fatto come Canio, per tentativi poi, una volta disegnato ho trovato il metodo.41- Voci- Anch’io, anch’io…42-P- Spiegate meglio43- Giulio- Ho fatto per tentativi, quando l’ho disegnato [il cerchio] ho collegato i tre centri e ho lavorato sulla lunghezza dei raggi.44- P- Cosa vuol dire?45- Giulio- Ho misurato e ho visto che erano 4+2 e 4+3, allora ho capito che c’entrava la somma dei raggi46- Annalisa- Io ho fatto uguale, però io ho usato il compasso 47- P- In che senso?48 — Annalisa- Prima l’ho disegnato a mano poi ho aperto il compasso tra i centri e ho misurato e ho visto che era la somma dei raggi e poi mi sono accorta che il punto nuovo doveva essere distante 7 dal primo centro e 6 cm dal secondo e allora ho pensato di usare il compasso prima da una parte e poi dall’altra per trovare quel punto

Abduzione

26paderno- VIII 2009

52-P- Francesco ti dice niente, questo?

53- Francesco- Ecco come dare la giusta inclinazione

ai due segmenti, col compasso!

4° Stralcio di discussione: lo strumento

27paderno- VIII 2009

Strumento

88- Federico- Io ho fatto come Sara e Annalisa però poi ho notato una cosa diversa.. posso venire alla lavagna?…89.- Federico- ho tracciato questa linea che va dal centro del cerchio dato al centro di quell’altro dato, poi ho cercato di trovare con le perpendicolari la metà, ma non andava bene, allora ho pensato che in Tecnica ci aveva fatto fare la costruzione dei triangoli con il compasso e allora ho visto che con i tre cerchi ho tre linee e che quindi si tratta di un triangolo.89-P- In altre parole tu hai ricondotto il nostro problema a un altro problema: come trovare il terzo vertice di un triangolo avendo due lati e la misura del terzo lato.

4°Stralcio di discussione: trasformazione

Abduzione

28paderno- VIII 2009

29paderno- VIII 2009

METODO1 Apri il compasso di r+r1 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del primo cerchio;2 Apri il compasso di r+r2 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del secondo cerchio,3 il punto di incontro è il cerchi del centro tangente

GIUSTIFICAZIONEIl metodo funziona perché il centro del cerchio tangente ha una distanza dagli altri due centri uguale alla somma dei raggi (condizione di tangenza)

ENUNCIATOSe il centro del cerchio disegnato è distante dal primo cerchio come la somma dei loro raggi e dal centro del secondo cerchio come la somma dei loro raggi, allora il cerchio disegnato è tangente agli altri due.

Testo collettivo

Convegno UMI-CIIM 23.10.2008 Garuti 30

Es. DISCUSSIONE DI SOLUZIONE

Prima elementare 24 settembre 2008- F. Ferri

Ins. FF Abbiamo contato insieme i semi che abbiam raccolto. Sono 186 […] Secondo voi ce n’è uno per tutti i bimbi?

Molti Sofia Fabio Mohassen

Si Per me ce ne sono due per ogni bimbo Anche tre Per me se ne possono dare quattro ad ogni bimbo

Ins. FF Ma come facciamo a dire che ce n’è uno per ogni bimbo? O due? O cinque. Non possiamo dirlo a caso. Dobbiamo trovare un MODO

Convegno UMI-CIIM 23.10.2008 Garuti 31

Jie Ne dai uno a tutti e se te ne rimangono puoi ricominciare

Fabio Di sicuro 22 è più piccolo di 186. Puoi fare due o tre giri

Patrick Di sicuro 186 è più grande di 22 perché ha un numero in più. In più del 22 ha il 100 quindi è più grande

Arianna Io farei così: prima ne conti 22 e li tiri via, se ne avanzano ancora ne conti altri 22 e li tiri via[…] Sempre così fino a che non li finisci o ne avanzano pochi

Ins. FF …sono rimasti 10 semi. Riusciremo a darne uno a tutti i bimbi?

…continua

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

1. ANALISI A PRIORI

2. PREDISPOSIZIONE DELLA DISCUSSIONE

- SCELTA DEI PROTOCOLLI SE DISCUSSIONE DI BILANCIO

- SCELTA DEL PROBLEMA SE DISCUSSIONE DI SOLUZIONE

- SCELTA DEL CONCETTO SE DI CONCETTUALIZZAZIONE

3. GESTIONE DELLA DISCUSSIONE (regole, rispecchiamento,..)

4. ISTITUZIONALIZZAZIONE

FASI

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti

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