Argomentazione discussione pedemonti toscana

Bettina Pedemonte

La didattica dell’argomentazione

Bettina PedemonteDiDiMa srlITD-CNR

Diventiamo noi stessi attraverso gli altri [...] Ogni funzione, psichica superiore è stata esterna perché è stata sociale prima ancora che interiore e psichica, è stata cioè originariamente un e psichica, è stata cioè originariamente un rapporto sociale tra due persone. (L. S. Vygotskij, 1974, p. 200)

Ogni funzione nel corso dello sviluppo culturale del bambino fa la sua apparizione due volte, su due piani diversi, prima su quello sociale, poi su quello psicologico , dapprima tra le persone su quello psicologico , dapprima tra le persone come categoria interpsichica e poi all'interno del bambino come categoria intrapsichica.

Importanza della relazione sociale

Il rapporto tra la parola e il pensiero deve essere considerato non come qualcosa di statico, ma come un processo, come un movimento continuo dal pensiero alla parola e dalla parola al continuo dal pensiero alla parola e dalla parola al pensiero. Il rapporto tra la parola e il pensiero subisce cioè dei cambiamenti i quali possono essere considerati come le diverse fasi di un processo di sviluppo (L. S. Vygotskij, 1966, p. 160)

Zona di Sviluppo Prossimale

La zona di sviluppo prossimale è la distanza tra il livello effettivo di sviluppo così come è determinato dal problem –solving autonomo e il livello di sviluppo potenziale così come è livello di sviluppo potenziale così come è determinato attraverso il problem–solving sotto la guida di un adulto o in collaborazione con i propri pari più capaci (L. S. Vygotskij, 1987, p. 127 ss)

Argomentazione in matematica

... per affrontare difficoltà nei contenuti, nella formalizzazione, nell’interpretazione, formalizzazione, nell’interpretazione, nell’applicazione di algoritmi, regole...

Retorica

• Finalità : persuadere

• Auditorio particolare

Dialettica

• Finalità : convincere

• Auditorio universale

Analitica

• Finalità : convincere con dei ragionamenti

Tre tecniche oratorie (Aristotele, I Primi Analitici)

• Auditorio particolare

• Le conclusioni non sono necessariamente vere

• Le conclusioni non sono necessariamente vere ma colui che argomenta crede che lo siano

con dei ragionamenti corretti

• Le conclusioni sono necessariamente vere



Caratteristiche funzionali

Caratteristiche strutturali


• L’argomentazione ha une finalità, un obiettivo (Toulmin, 1958; Perelman, 1958 ; Anscombre et Ducrot, 1983).

Il carattere giustificativo dell’argomentazione in matematica

• L’argomentazione deve « giustificare » (Toulmin, 1958)

Il carattere giustificativo dell’argomentazione in matematicasi esprime nella sua forma: il ragionamento.

Le raisonnement est la démarche d’une inférence explicite qui dérive l’affirmation d’une proposition à partir d’une ou plusieurs propositions données (Duval, 1995)

Il modello giuridico può rappresentare un modello per l’argomentazione (Toulmin, 1958, Perelman et Olbrechts-Tyteca, 1958).

In particolare per l’argomentazione in matematica


• L’argomentazione vuole convincere e non persuadere

• L’argomentazione si rivolge ad un interlocutore universale e non particolare

• L’argomentazione è relativa ad un campo (Toulmin, 1958).

Two arguments will be said to belong to the same field when the data and conclusions in each of the two arguments are, respectively, of the same logical type (Toulmin, 1958, p. 14)


Il campo determina i criteri di accettabilità (Toulmin, 1958).

The statements of our assertions, and the statements of the facts adducedin their support, are, as philosophers would say, of many different ‘logicaltypes’ – reports of present and past events, predictions about the future,verdicts of criminal guilt, aesthetic commendations, geometrical axiomsand so on. (Toulmin, 1958, p. 16)

D : Dati E : Conclusione

F : Forza R : Restrizione

Probabilmentea meno che i suoi genitori

siano stranieri

Caratteristiche strutturaliModello di Toulmin


L: Legge di inferenza

S : Supporto

Essendo date le disposizioni legali seguenti…

Harry è nato alle BermudaHarry è un soggetto

britannico

Un individuo nato alle Bermuda è generalmente un soggetto

britannico


F : Forza R : Restrizione

ProbabilmenteLa palla di ferro arriva

prima di quella di legno perché è più pesante

Caratteristiche strutturaliModello di Toulmin

L: Legge di inferenza

S : Supporto

La legge della gravitazione :v ∝ t ; s ∝ t2 (Newton)

Due palle, l’una di ferro, l’altra di legno, sono lasciate cadere da una torre ad uno

stesso istante

Arrivano a terra allo stesso istante

La velocità di caduta è proporzionale al tempo

(Galileo)

Perché il modello di Toulmin per gli insegnanti?

• Può essere utilizzato in contesti disciplinari diversi e per ogni tipo di argomentazione

• Induce a selezionare gli elementi che lo compongono per analizzare le varie proposizioni (che svolgono il ruolo di dati, leggi di inferenza,...) e suggerisce i procedimenti per stabilire connessioni logiche tra gli elementi

• Permette di confrontare varie forme di argomentazioneche intervengono in una stessa attività

Esempi

• Problema Angoli (classe I a)• Problema Numeri (classe V a)

Esempi tratti dalla presentazione di Franca Ferri al seminario “Argomentare, congetturare dimostrare” svolto il 25-26 agosto a Paderno del Grappa

• Problema Numeri (classe V a)• Problema semini (classe I a)

Andrea ha misurato gli angoli acuti di un triangolorettangolo e ha scritto che misurano rispettivamente 35 e 65 gradi (D) .

Problema Angoli

E : Andrea ha errato

D : Andrea ha misurato gli angoli acuti di un triangolo rettangolo e ha scritto che misurano rispettivamente 35 e 65

F: certo

e 65 gradi (D) .

L’insegnante, senza misurare, dice che Andrea ha di certo (F) errato (E).

Perché l’insegnante è sicura dell’errore di Andrea? Motiva bene la tua risposta.

rispettivamente 35 e 65 gradi L :?

Andrea ha sbagliato (E) perché noi abbiamo studiato che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°(L) e allora se fai 90 +

Problema Angoli: Chiara

E : Andrea ha sbagliato

D : Andrea ha misurato gli angoli acuti di un triangolo rettangolo e ha scritto che misurano rispettivamente 35 e 65 gradi

F: certo

L : la somma degli angoli interni di 180°(L) e allora se fai 90 + 35 + 65 (D) vedi che fa 190 e ci sono 10°in più. La maestra se n’è subito accorta perché conosce questa regola, mentre Andrea forse non se la ricordava.

L : la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°

E : in 190 ci sono 10 in più

D : se fai 90 + 35 + 65 vedi che fa 190


Il supporto è implicito: è la geometria euclidea

Andrea avrà misurato male, perché il goniometro è difficile da usare ed io mi sbaglio sempre. Secondo

Problema Angoli: Joseph

E : Andrea ha sbagliato

D : Andrea ha misurato gli angoli acuti di un triangolo rettangolo e ha scritto che misurano rispettivamente 35 e 65 gradi

F: certo

L : Andrea ha misurato malesbaglio sempre. Secondo me invece di 65°, lui doveva scrivere 55°e così sarebbe andato bene

L : Andrea ha misurato male

E : Invece di 65 doveva scrivere 55(55+35+90)

D : Andrea ha misurato male


“Avrà” e non “ha” fa pensare alla produzione di un’ipotesi

E : Andrea ha misurato male

D : Andrea ha sbagliato

L : Il goniometro è difficile da usare

Chiara e Joseph: due diversi livelli di argomentazione e di esplicitazione

Forse i diversi gradi di implicito presenti nelle argomentazioni possono essere considerati come indicatori di scarsa competenza e ancor più di padronanza?

Problema numeri

Cosa succede se ai numeri 6, 10, 3, 25, 100 … aggiungi 1?

E : ?D : 6, 10, 3, 25, 100

F:?

… aggiungi 1?

Rispondi ed argomenta bene le tue risposte.

L : aggiungi 1 a ciascun numero

Numero diventa più grande.6 diventa 7, 10 diventa 11, 3 diventa 4, 25 diventa 26 e 100 diventa 101. Tutti numeri diventati più grandi . Anche

E : Tutti i numeri

diventano più grandi

D : 6 diventa 7, 10 diventa 11, 3 diventa 4, 25 diventa 26 e 100 diventa 101

F: anche 1000 diventa 1001

Problema numeri: Wang Ping

diventati più grandi . Anche altri numeri diventano più grandi, tutti i numeri se tu aggiungi uno diventano più grandi anche 1000 diventa 1001, perché tu fai più e con più diventa più grande .

L : aggiungi 1

Wang Ping generalizza, fornisce altri esempi

S: tu fai più e con più diventa più grande

Se tu fai somma di tutti, anche quella cambia. 6+10+3+25+100 = 144 Se tu fai con nuovi numeri devi fare 144 + 5, perché tu fai 5

E : 144+5

D :6+10+3+25+100=144

L : tu fai 5 volte 1


fare 144 + 5, perché tu fai 5 volte 1.

Wang Ping estende la domanda ponendosi un altro problema: di quanto aumenta la somma di numeri naturali se si considerano i rispettivi successivi?

Trova una nuova regola


Trova una nuova regola(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = S + m.1Dato un insieme qualsiasi di numeri naturali e considerata la loro somma, si ha che la somma dei rispettivi successivi è data dalla somma precedentemente considerata più il numero degli elementi moltiplicati per uno.

Wang Ping

• Definisce

• Generalizza

• Fornisce altri esempi• Fornisce altri esempi

• Estende la domanda, ponendosi un altro problema

• Trova una regola nuova

Perché far argomentare gli studenti?

• Aiuta a confrontare il proprio punto di vista con quello deg li altri

• Favorisce il passaggio dalle nozioni intuitive e dai livelli operativi a forme di pensiero più consapevoli

• Perché gli allievi riconoscano il peso concreto delle parole ecapiscano che alle parole corrispondono azioni e intenzioni, che si può agire con il discorso , proprio perché gli enunciati “vincolano”

• Perché comprendano che occorre essere responsabili di ciò che si dice o non si dice

• Perché inizino a vedere le implicazioni pratiche delle teorie

La valutazione dell’argomentazione

Criteri possibili:

• Uso appropriato dei connettivi (perché, a causa di...)

• Livello (concreto/astratto; particolare/generale; semplice/complessa)

• Completezza

La valutazione dell’argomentazione

Criteri possibili:

Il modello di Toulmin può essere INCOMPLETO• Consapevolezza degli impliciti presenti

nell’argomentazione

• Consapevolezza dei meccanismi dell’argomentazione

Il modello di Toulmin può essere INCOMPLETO(ad esempio per assenza della Restrizione ) e in molti casi restare IMPLICITO (in particolare per la legge di inferenza e il supporto)

Secondo Toulmin il ragionamento è essenzialmente uno spazio pubblico, inter-personale e sociale,uno spazio pubblico, inter-personale e sociale,e dunque sostanzialmente dialogico.

“II ragionamento non è quindi un modo per arrivare alle idee, ma piuttosto un modo per vagliare criticamente le idee”.

La discussione matematica

Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un oggetto matematico (concetto, problema, procedura, ecc.), che costituisce un motivo problema, procedura, ecc.), che costituisce un motivo dell’attività di insegnamento-apprendimento” (Bartolini Bussi, 1995)

Caratteristiche della discussione matematica� Esiste un tema che ne definisce l’obiettivo� Esiste l’interazione tra voci (polifonia )� Esiste un riferimento esplicito all’attività di

insegnamento/apprendimento

Insegnante ha ruolo di guida•Inserisce una particolare discussione nel flusso dell’attività della classe


insegnamento/apprendimento� Si richiede la presenza di voci diverse tra cui, essenziale,

quella dell’insegnante� Si valorizza la presenza di voci imitanti (diversi tipi di

imitazione nel contrappunto)

flusso dell’attività della classe•Influenza la discussione in modo determinante, inserendosi con interventi mirati nel suo sviluppo.

Si possono individuare per la scuola elementare e media tre grandi tipologie di discussione (con sottotipi):

� A. Discussione di un problema , vista come parte dell’attività complessiva di problem solving, nei due aspetti di:


A1. Discussione di soluzione , intesa come quel processo di tutta la classe che risolve un problema dato a parole con l’eventuale supporto di immagini o oggetti.

A2. Discussione di bilancio , intesa come il processo di informazione, analisi e valutazione delle soluzioni individuali proposte ad un problema dato a parole.

B. Discussione di concettualizzazione , intesa come il processo di costruzione attraverso il linguaggio e collegamenti tra esperienze già vissute e termini particolari della matematica. Essa può essere introdotta da domande dirette (che cosa è un numero, che cos’è un grafico) o indirette (perché molti di voi hanno descritto questo problema come un problema di disegno


hanno descritto questo problema come un problema di disegno geometrico?)

C. Meta-discussione , intesa come momento della definizione dei valori e degli atteggiamenti nei confronti del sapere matematico. Essa può essere introdotta da domande del tipo: “come nascono le figure?”, “perché è importante generalizzare in matematica?”.

Problema semini

Abbiamo contato insieme i semi che hanno raccolto Jie e Giacomo. Sono 186.

E :?D : 186 semini22 alunni

F: ?

Giacomo. Sono 186.Siete stati molto bravi e avete dimostrato che sapete contare. Secondo voi ce n’è uno per tutti i bimbi?

L :?

Molti: siSofia: per me ce ne

sono due per ogni bimbo. Si possono fare due giri

ES : 2 semini per ogni bimbo

D : 186 semini 22 alunni

L : ?

EF : 3 semini per ogni bimbo

EM : 4 semini per ogni bimbo

Problema semini

due giriFabio: Anche treMohassen: per me se

ne possono dare quattro ad ogni bimbo

Evelyn: per me fino a cinque

L : ? Mogni bimbo

EE : 5 semini per ogni bimbo

Ins: Ma come facciamo a dire che ce n’è uno per ogni bimbo? O due? O cinque? Non possiamo dirlo a caso, dobbiamo trovare un modo

Jie: Ne dai uno a tutti e se te ne rimangono puoi

EJ :D : 186 semini 22 alunni

LJ : Ne dai uno a tutti e se te ne rimangono puoi ricominciare

Problema semini

ne rimangono puoi ricominciare

Fabio: di sicuro 22 è più piccolo di 186. Puoi fare due o tre giri.

Patrick: di sicuro186 è più grande di 22 perché ha un numero in più. In più del 22 ha il 100 quindi è più grande

EF:puoi fare due o tre

giri


L : Ne dai uno a tutti e se te ne rimangono puoi ricominciare

F: di sicuro

Arianna: io farei cosi’. Prima ne conti 22 e li tiri via. Se ne avanzano ancora ne conti altri 22 e li tiri

EA :D : 186 semini 22 alunni

L : Ne conti 22 e li tiri via...fino a che non li finisci o ne avanzano pochi

Problema semini

conti altri 22 e li tiri via. Se ce ne sono più di 22 fai un altro giro e ne tiri via altri 22. Sempre cosi’ fino a che non li finisci o ne avanzano pochi

pochi

I bimbi hanno distribuito 8 semini a ciascun alunno. Rimangono 10 semini

Ins: Riusciremo a darne uno a tutti i bimbi? Pensate bene prima di rispondereGiacomo : Forse sì. ProviamoFabio: No perché noi oggi

E : 8 semini per ciascun alunno.

Restano 10 semini


L : Ne conti 22 e li tiri via...fino a che non li finisci o ne avanzano pochi

Problema semini

Fabio: No perché noi oggi siamo 21 e dobbiamo tenerne anche per Esther che è assenteEvelyn: per me si perché 10 sono tantiGabriel: per me no perché 10 è più piccolo di 22 e non ce n’è abbastanza.

E : Non c’è un semino per

ciascun alunno


LGa : 10 è più piccolo di 22

E : C’è un semino per ciascun alunnoD : 10 semini

22 alunniLGia : ?LE: 10 sono tanti

F: forse

Lucia: Non sono abbastanza possiamo tenerli da parte e domani prenderne altri per poterne dare uno a tutti. Sara: Li possiamo dare a

E : Servono ancora 12 semini

D : I semini sono 10 e non sono abbastanza per tutti

LP : 10+12 =22

Problema semini

Sara: Li possiamo dare a 10 bambini e poi agli altri li diamo domani. Patrick : Ne servono altri 12 per fare 22. 10 e12 fa 22. Domani ne prendiamo 12 siamo a posto. Ins: Come sempre siete bravissimi. A domani..

LP : 10+12 =22

Riflessioni� Saper argomentare è una competenza che va

costruita nel tempo (lasciare agli allievi tutto il tempo necessario per strutturare pensieri, per avere delle curiosità…)

� Si basa anche sul rispetto e sulla fiducia verso sé e verso gli altri (io ho il diritto di verso sé e verso gli altri (io ho il diritto di essere ascoltato, io sono capace di ascoltare, ho il diritto di sbagliare, …)

� L’insegnante è un esempio (stabilisco rapporti con tutti, organizzo tempi e spazi, costruisco consegne mirate…)

� Contratto didattico

Per l’abilitazione...

Riconoscere l’importanza del ruolo del linguaggio verbale nella competenza matematica (Lucangeli e Passolunghi, 1995)

Intervento utile e diffuso oltre al rinforzo delle abilità di calcolo, è l’abilitazione delle competenze linguistiche .

Argomentare per...

• Far emergere le difficoltà• Far emergere le difficoltà

• Comprendere la natura delle difficoltà

• Intervenire come aiuto, supporto, guida

Argomentare per...

• Associare significati ai numeri, ai calcoli, ai problemi matematici

•Imparare a giustificare in un senso matematico •Imparare a giustificare in un senso matematico (dimostrazione)

•Costruire immagini mentali a concetti troppo astratti

•Dare senso ai problemi

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