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L 20Scegliere tra infinite
alternativeRodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2
Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L18):
1. infinite alternative
2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi
3. decisioni ricorsive
Esaminiamo dapprima il caso più semplice:
ipotesi A. i disturbi sono deterministici
ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie
Problema di pura pianificazione
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3
Il modello del sistema
xt+1 = ft xt,u
p,ut,wt,εt+1( )
up ∈U p
ut ∈Ut up,xt( )
εt+1 : φt ⋅up( )
gt+1 =gt xt,up,ut,wt,εt+1( )
In pianificazione e in condizioni deterministiche il modello si semplifica:
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4
Il modello del sistema
xt+1 = ft xt,u
p,ut,wt,εt+1( )
up ∈U p
ut ∈Ut up,xt( )
εt+1 : φt ⋅up( )
gt+1 =gt xt,up,ut,wt,εt+1( )
In pianificazione il modello si semplifica:Il modello globale del sistema in pianificazione (deterministica)
xt+1 = ft xt,u
p,wt( )
up ∈U p
gt =gt xt,up,wt( )
Assumiamo il sistema periodico di periodo T:
ft⋅( ) = ft+kT ⋅( ) e gt ⋅( ) =gt+kT ⋅( ) con k=1,2,...
w0 ,w1,...,wT−1,w0 ,w1,...,wT−1,...{ }
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Il Problema di pura pianificazione (deterministica)
xt+1 = ft xt,u
p,wt( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
Questa è la formulazione più generale: considera ciò che accade sia in transitorio, sia a regime.
Spesso il Decisore è interessato solo al regime.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6
Transitorio vs. regime
Israele ha proposto un Progetto per lo sfruttamento idroelettrico del Mar Morto (-400 m s.l.m.).
Denotiamo con up il diametro della condotta idraulica tra il Mar Mediterraneo e il Mar Morto.
Si assuma che la portata turbinata sia tempo-invariante.
Mar Morto
Mar Mediterraneo
Giordano
El Araba
Gerusalemme40 km
Mar Mediterraneo
Mar Morto
Israele Giordania
Esempio: Progetto Mar Morto
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 7
Transitorio vs. regime
Ipotesi: gli afflussi sono deterministici e periodici.
Il lago non ha emissari.
L’invaso lacuale fluttua con periodo T
Mar Morto
Mar Mediterraneo
Giordano
El Araba
Gerusalemme40 km
Esempio: Progetto Mar Morto
s1= f0 s0 ,0,w0( )
Ls0 = fT−1 sT−1,0,wT−1( )
Cosa accade quando si costruisce una condotta?
Il livello del lago sale fino a raggiungere un nuovo equilibrio.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8
Transitorio vs. regime
Transitorio o regime?
La scelta dipende dal Decisore, ma questi sarà quasi sempre interessato alla condizione di regime.
- Quando l’indicatore è di forma TDC si attribuisce più importanza al transitorio che al regime
Esempio: Progetto Mar Morto
TDC i = γτgτ (xτ ,u
p,wτ )τ=0
∞
∑- Per considerare il solo regime utilizzare la forma AEV, che ignora
ciò che accade nel transitorio
o, in alternativa,
riformulare il problema di pianificazione.
AEV i =lim
h→∞
1h+1
gτ (xτ ,up,wτ )
τ=0
h
∑
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Il Problema di pura pianificazione
xt+1 = ft xt,u
p,wt( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =min
upi(x0 ,u
p,w0h−1)
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10
Il Problema di pianificazione del regime
x1= f0 x0 ,u
p,w0( ), L , x0 = fT−1 xT−1,up,wT−1( )
up ∈U p
w0T−1 scenario dato
eventuali altri vincoli t=0,...,T -1
J (u p*) =min
upi(up,w0
T−1)
Questa formulazione definisce la stessa alternativa ottima di un problema con obiettivo AEV, ma per particolari forme dell’obiettivo e dei vincoli permette di individuarla più facilmente.
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Lo scenario dei disturbiIn molti Progetti di pianificazione del regime si assume come scenario del disturbo deterministico la traiettoria dei disturbi casuali nell’anno medio o nell’anno peggiore
Ma l’uguaglianza è verificata solo se l’indicatore è lineare!!!
con l’idea di valutare la prestazione media (o peggiore)
%w
t=
εt+kT
n+1k=0
n
∑ per t=1,...,T anno medio
w
t=max
k=0,...,nεt+kT per t=1,...,T anno peggiore
Eεt{ }t=1,...,T
J x0 ,up,ε1
T( )⎡
⎣⎤⎦
maxεt{ }t=1,...,T
J x0 ,up,ε1
T( )⎡
⎣⎤⎦
... calcolando la prestazione del sistema nella condizione media (o peggiore)
=J x0 ,up, %w0
T−1( )
=J x0 ,up,w0
T−1( )ERRATO, in generale
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Algoritmo risolventeSe U p contiene pochi elementi: si valuta l’obiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore.
Orizzonte finito:
∀ up ∈U p, dati w0h−1 e x0 , si simula il sistema su H con
x
t+1 = ft xt,up,wt( ), si ottiene la traiettoria x0
h
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13
Se U p contiene pochi elementi: si valuta l’obiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore.
Algoritmo risolvente
Orizzonte infinito: la simulazione non sembra adatta, perché continuerebbe all’infinito, ma ...
AEV
i =limh→∞
1h+1
gt(xt,up,wt)
t=0
h
∑
... sconta i costi tanto più quanto più sono lontani nel tempo, così che le variazioni del valore dell’indicatore diventano sempre più piccole al crescere di t;
... se il sistema possiede una condizione di regime ciclo-stazionaria le variazioni del valore dell’indicatore diventano sempre più piccole al crescere di t.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14
Algoritmo risolvente
Dal punto di vista pratico possiamo, quindi, arrestare la simulazione quando le variazioni del valore dell’indicatore diventano abbastanza piccole.
Condizione di terminazione: | i(k+1)T (•)−ikT (•) |<α
Al crescere di α diminuisce il tempo richiesto dalla simulazione, ma aumenta l’approssimazione della soluzione.
Se U p contiene pochi elementi: si valuta l’obiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore.
Orizzonte infinito: la simulazione non sembra adatta, perché continuerebbe all’infinito, ma ...
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Algoritmo risolventeSe U p contiene un numero molto elevato o infinito di elementi la
soluzione esaustiva non è più praticabile: ci si deve accontentare di una soluzione sub-ottima.
Si utilizzano per questo metodi evolutivi vincolati:
• viene calcolato il valore dell’indicatore, via simulazione, solo per alcuni elementi di U p;
• l’algoritmo evolve in U p alla ricerca di una soluzione il più vicino possibile a quella ottima;
• quando il numero di componenti di up è elevato, anche questo approccio è computazionalmente molto oneroso.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16
Il Piano del Sinai
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17
Il Piano del Sinai
Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto aumentando la superficie coltivata.Azioni: Bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1 ÷ 7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1 ÷ 4)e scegliendo in ciascuna la rotazione colturale Ri (i=1÷5) e la tecnica irrigua Ih (h=1 ÷ 3) più appropriate.
Criterio di valutazione: beneficio netto a regime.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18
Il Piano del Sinai
j Zona bonificabile Zj Aj [feddan]
1 Costa Nord-Est del Sinai 515 000
2 Pianura di El Tina 135 000
3 Territori a Ovest del Canale di Suez 235 000
4 Territori a Nord del Canale di Salhia 102 000
5 Territori tra i Canali Ismailia e Salhia 120 000
6 Territori a sud del Canale di Ismailia 45 000
7 Territori a Sud del lago di Manzala 29 000
max area bonificabile nella zona Zj
4 212 m2
s Canale SS ws [109m3]
1 Ismailia 4.4
2 Bahr Hadous 2.4
3 Bahr El Baqar 1.4
4 Damietta-Salam 2.3
volume medio annuo derivabile da SS
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Il Piano del Sinai
j Zona bonificabile Zj Aj [feddan]
1 Costa Nord-Est del Sinai 515 000
2 Pianura di El Tina 135 000
3 Territori a Est del Canale di Suez 235 000
4 Territori a Nord del Canale di Salhia 102 000
5 Territori tra i Canali Ismailia e Salhia 120 000
6 Territori a sud del Canale di Ismailia 45 000
7 Territori a Sud del lago di Manzala 29 000
max area bonificabile nella zona Zj
4 212 m2
i Rotazione colturale Ri bi [LE/feddan]
1 Trifoglio-Riso 298
2 Trifoglio-Cotone 374
3 Trifoglio-Mais 152
4 Trifoglio-Soia 158
5 Grano-Mais 184
s Canale SS ws [109m3]
1 Ismailia 4.4
2 Bahr Hadous 2.4
3 Bahr El Baqar 1.4
4 Damietta-Salam 2.3
h Tecnica irrigua Ih Lh [LE/feddan]
1 A scorrimento 650
2 A pioggia 1500
3 A goccia 2500
volume medio annuo derivabile da SS
beneficio agricolo unitario prodotto dalla
rotazione Ri
costo di impianto unitario per la tecnica
irrigua Ih
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
21
Il Piano del Sinai: Fase 0 - ricognizione
Condizioni poste dal Ministero:
• il Piano deve essere elaborato in modo non-partecipato;
• il Decisore è lo stesso Ministero;
• il metodo di valutazione deve essere l’Analisi Costi-Benefici (ACB);
• il Piano deve essere valutato a regime.
Condizioni individuate dall’Analista:
• i Portatori d’interesse sono gli Agricoltori e gli attuali utilizzatori (industrie e idroelettrico) dei volumi idrici che verrebbero destinati all’irrigazione;
• è fondamentale considerare la qualità dell’acqua prelevata: in alcuni canali la salinità Qs [ppm] è tale da ridurre la produttività delle colture.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
23
Il Piano del Sinai:Fase1- definizione delle azioni
Le azioni proposte dal Ministero riguardano:
• superficie da bonificare in ogni zona
• rotazione colturale
• tecnica di irrigazione
area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih
u
ijh1 :
volume idrico annuale [m3] da convogliare dal canale Ss alla zona Zj
u
sj2 :
• volume idrico da fornire
• sorgente da cui prelevarlo
Possiamo quantificarle con le seguenti variabili:
Non tutte le combinazioni sono possibili (ad es. non si può irrigare il riso a goccia)
Indichiamo con F l’insieme delle combinazioni ammissibili di i,j,h,s
Il vettore up delle decisioni di pianificazione è il seguente Il vettore up delle decisioni di pianificazione è il seguente
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Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25
Il Piano del Sinai: Fase2- definizione del criterio e dell’indicatore
L’obiettivo del Progetto è formulato con l’ACB (come richiesto)
max (Benefici_sociali - Costi_sociali)beneficio agricolo specifico
coeff. di produttività [%]: tiene conto del fatto che la produttività decresce al crescere della salinità media Qj
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Il Piano del Sinai: Fase2- definizione del criterio e dell’indicatore
L’obiettivo del Progetto è formulato con l’ACB (come richiesto)
max (Benefici_sociali - Costi_sociali)
• costi installazione impianti di irrigazione
Cirr= Lhuijh
1
( i, j ,h)∈F
∑
costo unitario di impianto della tecnica Ih
• costi di trasporto dell’acqua dai canali all’area bonificata
• costi opportunità
Ctr= ctrlsjusj
2
(s, j )∈F
∑
costo specifico [LE /m3 km] costante su tutto il territorio
distanza [km] tra il canale Ss e la zona Zj
Copp
= osusj2
(s, j )∈F
∑ costo opportunità [LE /m3] dell’acqua del canale Ss
In conclusione l’indicatore di progetto è il seguenteIn conclusione l’indicatore di progetto è il seguente
i(u p , w) =Bagr −Cirr −Ctr −Copp
vettore dei volumi idrici ws derivabili dai canali
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
28
Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello
Si vuole valutare la situazione a regime (come richiesto dal Ministero) e sono noti i volumi annui ws derivabili dai canali, pertanto:
• Problema di Progetto = problema di pianificazione del regime;
• passo temporale = anno.
Il modello è pertanto
x = f0 x,up,w( )
up ∈U p w scenario dato eventuali altri vincoli
lo stato è la salinità all’equilibrio:
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
distanza [km] tra la sorgente Ss e la zona Zj
perdita unitaria [km-1]
Insieme delle azioni ammissibili. Vediamo come è definito.
29
Il Piano del Sinai: L’insieme
E’ definito da tre vincoli:
1. Il volume complessivamente derivato dal canale Ss non deve superare quello disponibile ws
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
pU
2. L’area complessivamente bonificata nella zona Zj non deve superare la massima area bonificabile Aj
3. Le componenti del vettore up non possono assumere valori negativi, poiché privi di senso
(N.B. L’Alternativa zero corrisponde al vettore identicamente nullo.)
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
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Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello
Si vuole valutare la situazione a regime (come richiesto dal Ministero) e sono noti i volumi annui ws derivabili dai canali, pertanto:
• Problema di Progetto = problema di pianificazione del regime;
• passo temporale = anno.
Il modello è pertanto
x = f0 x,up,w( )
up ∈U p w scenario dato eventuali altri vincoli
volumi ws derivabili dai canali
tutti i vincoli che non ricadono in quelli precedentemente considerati
precisamente
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31
Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello
Il beneficio specifico bi è stato stimato in corrispondenza di una fornitura di acqua che soddisfi totalmente la domanda idrica delle colture. Pertanto affinché il Beneficio agricolo
sia stimato correttamente è necessario imporre che
il volume complessivamente fornito a una zona sia maggiore della domanda idrica della rotazione considerata
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j domanda specifica [m3/feddan] della rotazione Ri irrigata con la tecnica Ih
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
33
Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative
Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma
J (u p*) = max
up ,Q1 ,...,Q7
biPi (Qj )uijh1
( i, j ,h)∈F∑ - Cirr up
( )- Ctr up( )- Copp up
( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare
55 variabili di decisione
80 vincoli
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j
34
Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative
Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma
soggetto ai vincoli
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j
OSSERVAZIONE:
se i valori di Qj (j=1,...,7) fossero fissati il Problema sarebbe lineare
OSSERVAZIONE:
se i valori di Qj (j=1,...,7) fossero fissati il Problema sarebbe lineare
idea per la
soluzione
Un algoritmo evolutivo nello spazio Qj (j=1,...,7) che massimizza
J (Q
1,...,Q
7) =max
upi up,w( )
soggetto agli stessi vincoli della formulazione originale.
algoritmo del simplesso
J (u p*) = max
up ,Q1 ,...,Q7
biPi (Qj )uijh1
( i, j ,h)∈F∑ - Cirr up
( )- Ctr up( )- Copp up
( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
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Il Piano del Sinai: l’Alternativa ottima
La soluzione del Problema fornisce l’Alternativa ottima (si è assunto os = 10 [LE/1000 m3])
Bonifica complessiva = 444 000 feddan
Beneficio annuo netto (obiettivo) = 80 000 000 LE
Zona Area bonificata
[feddan]
Canali
utilizzati
Rotazione Tecnica
irrigua
1 0 * * *
2 135 000 1 e 3 5 2
3 235 000 2 e 3 2 1
4 0 * * *
5 0 * * *
6 45 000 3 5 2
7 29 000 2 e 4 2 1
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 36
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 37
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
PIANIFICAZIONE
Alternativa ottima
MO
DS
S