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L10 Il passo temporale

et al.Rodolfo Soncini Sessa

MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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Il passo temporale

La maggior parte delle variabili (livelli, disturbi, afflussi, ...) varia

nel tempo con continuità.

Solo le decisioni di gestione (i controlli) vengono assunte in istanti discreti (reti irrigue, centrali idroelettriche, ...)

L’intervallo di tempo che intercorre tra una decisione e la successiva

è detto passo decisionale.

Si potrebbe credere che la sua durata dipenda dalla rapidità con cui varia lo stato del sistema, ma in realtà non è così!

o è uniforme o è periodico.

Il passo decisionale deve essere uguale al passo di modellizzazione.

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Il passo temporale

Due opposte esigenze:

Come fissare la durata del passo temporale?Δ

1. abbastanza breve da permettere il tempestivo adeguamento

della decisione alle variazioni del sistema.

Δ

2. abbastanza lungo da consentire che tutti i fenomeni fisici ed

economici che la decisione influenza si adattino a essa.

Δ

La decisione non si cambia in tempo nullo e comporta dei costi.

Rappresentabilità del sistema fisico

Accettabilità sociale della alternativa

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Il passo temporale

Quando il sistema è già in esercizio

il passo temporale esistente è quasi sicuramente un buon compromesso tra le due esigenze; se così non fosse il regolatore farebbe fatica a gestire il sistema.

Quando il sistema è realizzato ex-novo è necessario considerare:

- i vincoli imposti dalla dinamica del sistema

- la frequenza con cui sono misurate le variabili idrologiche

- le esigenze di stabilità dei Portatori d’interesse

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Il passo temporale

Quando assumere un passo temporale tempo-variante?quando il passo Δ che si vorrebbe adottare non è un

sottomultiplo del periodo T del sistema.

Esempio: T = anno

Δgiorno: è un sottomultiplo, il passo può essere costante

Δsettimana: non è un sottomultiplo, passo non

costante Porre Δt uguale a 7 giorni per le prime 52

settimane e a 1 o 2 giorni alla fine dell’anno

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Δ decade: non è un sottomultiplo, passo non costante

Definire Δt uguale a 10 giorni, in corrispondenza del primo e dell’undicesimo giorno del mese, e di durata pari alla

restante parte del mese in corrispondenza del ventunesimo.

Δ mese: il passo è naturalmente periodico

Il passo temporale

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Il passo temporale: due difficoltà

Spesso periodicità diverse agiscono sullo stesso sistema.

Esempio 1

In un distretto irriguo l’eliofania ha periodicità annuale, mentre le attivitàagricole settimanale.

Esempio 2

In un impianto idroelettrico la domanda ha una componente periodica annuale, a causa della temperatura, e una settimanale, a causa della distribuzione delle attività antropiche.

L’anno non è periodico per la presenza degli anni bisestili.

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Soluzione: tempo naturale e antropico

Si definisce un ANNO STANDARD anno non-bisestile che inizia di lunedì

Al giorno corrente si associano due indici:

Tempo naturale: il numero ordinale che lo contraddistingue a partire dal primo giorno dell’anno corrente (giorno 0)

Tempo antropico: il tempo naturale del giorno più vicino nell’anno standard che ha lo stesso nome (Lunedì, Martedì, ...) del giorno corrente.

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Un esempio

ANNO STANDARD

lunedì domenicasabatovenerdìgiovedìmercoledìmartedì

0 654321

domenicasabatovenerdìgiovedì

1gen04 4gen043gen042gen040 1 2 3 tempo naturale

3 4 5 6 tempo antropico3

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Laghi in regime naturaleh

e

s

a r

hmin

n t( ) =a t( )−e t( )

r

s

(s - smin)

0 se ssmin

N(s) =

s•

t( ) =n t( )−r t( )N(s(t))

afflusso netto o efficace

scala di deflusso r(t)=N(s(t))

smin

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s t +1( )−smin = s t( )−smin( )e−Δ + n η( )

τ

τ +Δ

∫ e− τ +Δ−η( )dη

t+Δτ

&s τ( ) =n τ( )−N s τ( )( )(s - smin)

Nota: s(t+1) dipende significativamente da s(t) solo se

Δ= 1.

T è detta costante di tempo del serbatoio.

Linearizzazione e costante di tempo

r

ssminΔt t+1

τ

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s t +1( )−smin = s t( )−smin( )e−Δ + n η( )

τ

τ +Δ

∫ e− τ +Δ−η( )dη

t+Δτ

&s τ( ) =n τ( )−N s τ( )( )(s - smin)

Nota: s(t+1) dipende significativamente da s(t) solo se

Δ= 1.

T è detta costante di tempo del serbatoio.

Linearizzazione e costante di tempo

r

ssminΔt t+1

τ

Significato di TPonendo Δ=T=1/ in assenza di afflusso si ottiene

T è il tempo impiegato dall’invaso, in assenza di afflusso, per portarsi a circa 1/3 del suo valore iniziale.

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&s τ( ) =n τ( )−N s τ( )( )(s - smin)

Nota: s(t+1) dipende significativamente da s(t) solo se

Δ= 1

T è detta costante di tempo del serbatoio

Linearizzazione e costante di tempo

r

ssmin

Una buona modellizzazione richiede Δ Teorema di Shannon o del campionamento

Una buona modellizzazione richiede Δ Teorema di Shannon o del campionamento

t t+1

τ

s t +1( )−smin = s t( )−smin( )e−Δ + n η( )

τ

τ +Δ

∫ e− τ +Δ−η( )dη

t+Δτ

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LAGO S T= 1

[km2] [giorni]

Maggiore 212.0 7.4Lugano 48.9 8.7Varese 15.0 34.7Alserio 1.5 8.0Pusiano 5.2 15.0Como 146.0 7.7Iseo 61.0 7.8Garda 370.0 86.6

Il passo temporale di modellizzazione dei laghi con T = 8è di circa 1 giorno.

Sono tutti laghi con bacini imbriferi piccoli rispetto alla superficie del lago.

La loro bocca non ha ancora raggiunto la condizione di equilibrio.

Per la maggior parte dei laghi T è di circa 8 giorni.

Costanti di tempo dei laghi lombardi

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dB1/T

• Le ampiezze di onde entranti con frequenza minore di 1/T non vengono attenuate.

Es.: onde di piena da scioglimento nivale.

• Onde con frequenza maggiore di 1/T vengono attenuate.

Es.: onde di piena prodotte da temporali.

Diagramma di Bode

Laminazione ossia smorzamento

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Il passo temporale dipende dallo stato

Il modello non è lineare: T non definita.

Sarebbe quindi opportuno avere modelli con passo Δ variante con s, ma gli algoritmi oggi disponibili non lo permettono

Unica possibilità: utilizzare modelli con Δ diversi in momenti diversi approfondiremo il tema nel corso specialistico

Δ varia con s

T varia con il punto s in cui si linearizza

Linearizzare il sistema

Per la rappresentabilità del sistema fisico:

Δ 0,1* T

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r

h1

Confronto tra due laghi

h =hmin +

nS

2 >1 h2 < h1

h

2t( ) < h1 t( )

livello medio

>1

h 0( ) < h1 0( )

1) n(t)=n)h

.=0

hmax

h

t

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Comunità rivierasca

max

th t( ) =h 0( ) =hmin + n*

S+ P

S

Utenti di valle

più soddisfatta dal lago 2 ( T piccolo )

più soddisfatti dal lago 1 ( T grande )

Confronto tra i due laghi soggetti a una piena impulsiva

CONFLITTOCONFLITTOh

t

r

t

h t( ) =hmin +

n*

S+

PS

e−t

T t≥0

livello mediolivello medio*

min

nh

S

*

min

nh

S

risposta a una piena impulsivarisposta a una piena impulsiva

t

TPe

S

t

TPe

S

n

t

n*

P

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Comunita’ rivierasche grande

Utenze di valle piccolo

Quale compromesso?

Lago naturale Lago regolato

Scale di deflusso diverse in tempi

diversi

Scala in regime libero

Scala naturale

Scale per diverse posizioni delle paratoie

r

h

Regolazione del lago

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Utenti di valle

Mesi

t

t

Rivieraschi

h(t)

u

Regolazione del lago

t

t

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Leggere

MODSS Cap. 5