L 17 Il Problema di Progetto

Andrea Castelletti

Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali

2

Gli elementi del Problema di progetto

Un Problema di progetto è composto da:

1. Il modello del sistema

2. Il passo temporale

3. L’indicatore di progetto (obiettivo)

4. L’orizzonte di progetto

5. Lo scenario di progetto

6. Eventuali altri vincoli

3

1. Il modello del sistema

1 1

1

1 1

, , , ,

,

, , , ,

pt t t t t t

p p

pt t t

pt t

pt t t t t t

f

U

U

g g

x x u u w ε

u

u u x

ε u

x u u w ε

È necessario identificare un modello globale del sistema (vedi Lez L15)

4

2. Il passo temporale

Si fissa il passo temporale (vedi Lez. L08), che, quando occorra, può essere anche tempo-variante, purché

periodico.

5

3. L’indicatore

L’indicatore i è un funzionale delle traiettorie 1 10 0 0 1 h h h h x u w ε

0,..., .H hdefinito sull’orizzonte di progetto

1 10 0 0 1( , , , , )h p h h hi i x u u w ε

1( , , , , ) 0,..., 1; ( , ) p pt t t t t h hi g t h g x u u w ε x u

Molto spesso i è separabile o può essere reso tale:

indicatore per passo

penalemax

Σ

6

3. Indicatore per passo1( , , , , ) p

t t t t tg x u u w ε

può essere associato ad un solo componente

oppure

può essere l’aggregazione degli indicatori per passo di n componenti

3

1 1i=1

( , , , , ) = Gp Idro it t t t t tg

x u u w ε

Esempio: Progetto Vomano energia prodotta dalla centrale i-esima

in alternativa3

1 1 1i=1

( , , , , ) = G (1 )gp Idro i irriguot t t t t t tg

x u u w ε

stress idrico nel distretto irriguo

peso fissato

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4. L’orizzonte di progetto

1( , , , , ) 0,..., 1 ( , ) p pt t t t t h hi g t h g x u u w ε x u

8

1

10

0

( , , , , ) ( , )

dato

hp p

t t t t t h ht

i g g

x u u w ε x u

x

4a. Orizzonte finito

• Orizzonte finito: non ci si preoccupa di ciò che accadrà oltre h.

E’ facile da definire solo quando il sistema ha realmente una vita di h passi.In caso contrario la penale gioca un ruolo rilevante.

Attenzione!Attenzione!

1( , , , , ) 0,..., 1 ( , ) p pt t t t t h hi g t h g x u u w ε x u

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4b. Orizzonte mobile• Orizzonte mobile: ad ogni istante t si considera l’orizzonte [t ,t+h]

t

t +1

t +h

t +h+1

ut/t

ut+1/t+1

t +1

xt dato

Soluzione del problema

dopo un passo

xt+1 noto

m t+1/t(•)

1

1( , , , , ) ( , )

dato

t hp p

t h t ht

t

i g g

x u u w ε x u

x

applico

10

4b. I vantaggi dell’orizzonte mobile

• L’influenza della penale è meno rilevante che nell’orizzonte finito, perché tra l’istante di decisione e la fine dell’orizzonte rimane sempre una distanza rilevante.

• Permette di sfruttare l’informazione acquisita nell’intervallo [t, t+1) riformulando il problema di controllo. Si può così tener conto sia di cambiamenti delle caratteristiche del sistema (e.g. variazioni della domanda a seguito di una centrale fuori servizio), che di nuove informazioni sui disturbi.

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4c. Orizzonte infinito

• Orizzonte infinito con costi futuri attualizzati (TDC): con coefficiente di attualizzazione

• Costo medio su orizzonte infinito (AEV):

10

lim ( , , , , )h

t pt t t t t

ht

i g

x u u w ε

10

1lim ( , , , , )

1

hp

t t t t th

t

i gh

x u u w ε

12

L’orizzonte influenza la decisione

1 2 3 4 5 6t 0

+2

+10

+11

up=1

up= 2

up= 3

Consideriamo un automa deterministico

tutte le transizioni hanno beneficio nullo tranne gli autoanelli

scegliere up in modo da massimizzare il beneficio

h=5

up=1 6.0

up=2 0.0

up=3 0.0

h=5h==0.9

up=1 6.0 16.2

up=2 0.0 59.0

up=3 0.0 58.5

h=5h==0.9

h= AEV

up=1 6.0 16.2 2

up=2 0.0 59.0 10

up=3 0.0 58.5 11

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Costo attualizzato vs Costo medio

Sconta il futuro: favorisce pertanto quelle alternative che danno prestazioni buone nell’immediato, ma che potrebbero andar via via peggiorando con il passare del tempo.

• Orizzonte infinito con costi futuri attualizzati (TDC):

• Costo medio su orizzonte infinito (AEV):

Considera solo il lungo periodo: accetta pessime prestazioni in un transitorio anche molto lungo, purché finito, pur di avere buone prestazioni a regime.

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5. Lo scenario di progetto

1 10 0 0 1( , , , , )h p h h hi i x u u w ε

Sono l’oggetto della scelta.x0 è dato

x1 ,..., xh sono definiti ricorsivamente dal modello del sistema

Fa parte dello scenario di progetto

1 1

1

, , , ,

,

pt t t t t t

p p

pt t t

pt t

f

U

U

x x u u w ε

u

u u x

ε u

Insieme delle traiettorie (deterministiche o stocastiche) delle variabili che non sono nè direttamente, nè indirettamente influenzate dall’alternativa esaminata e non dipendono quindi dalla scelta del Decisore

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5. Lo scenario di progettoEsempio: costruzione di un serbatoio che alimenta un

distretto irriguo

fanno parte dello scenario di progetto:• traiettoria della domanda irrigua• traiettoria dei prezzi di vendita delle derrate prodotte• costi dei materiali per la costruzione dello sbarramento• costo del lavoro per la costruzione dello sbarramento• quota di esondazione nei villaggi sulle rive del lago creato• traiettoria (o processo) degli afflussi

- se l’alternativa concerne anche la scelta delle colture nel distretto

- se i mercati in cui si vendono e comprano i prodotti sono piccoli e sono quindi influenzati dalla costruzione del serbatoio

!

distretto irriguo

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Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L16):

1. infinite alternative

2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi

3. decisioni ricorsive

Esaminiamo dapprima il caso più semplice:

ipotesi A. i disturbi sono deterministici

ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie

Problema di pura pianificazione

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6. Eventuali altri vincoli

Il vincolo

permette di escludere che si verifichino

esondazioni nell'ori

zzonte di progetto.

Esempio

ts s t

Invaso in corrispondenza del quale inizia l’esondazione

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Il modello del sistema

1 1

1

1 1

, , , ,

,

, , , ,

pt t t t t t

p p

pt t t

pt t

pt t t t t t

f

U

U

g g

x x u u w ε

u

u u x

ε u

x u u w ε

In pianificazione il modello si semplifica:

19

Il modello del sistema

1 1

1

1 1

, , , ,

,

, , , ,

pt t t t t t

p p

pt t t

pt t

pt t t t t t

f

U

U

g g

x x u u w ε

u

u u x

ε u

x u u w ε

In pianificazione il modello si semplifica:Il modello globale del sistema in pianificazione

1 , ,

, ,

pt t t t

p p

pt t t t

f

U

g g

x x u w

u

x u w

Assumiamo il sistema periodico di periodo T:

0 1 1 0 1 1

e con 1,2,...

, ,..., , , ,..., ,...t t kT t t kT

T T

f f g g k

w w w w w w

20

Il Problema di pura pianificazione

1

10

0

, , 0,..., -1

scenario dato

dato

eventuali altri vincoli 0,..., -1

pt t t t

p p

h

f t h

U

t h

x x u w

u

w

x

* 10 0( ) min ( , , )

p

p h p hJ i u

u x u w

Questa è la formulazione più generale: considera ciò che accade sia in transitorio, sia a regime.

Spesso il Decisore è interessato solo al regime.

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Leggere

MODSS Cap. 8-10