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2 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
SOMMARIO
1. Introduzione (3)
2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo (4) 3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo (8)
3.1 Ritardo puro (8)
3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo (13)
4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico (16)
5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua (18) calda acqua fredda
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Sistemi con ritardo
1. Introduzione
Nello studio dei sistemi dinamici spesso si assume che la FdT sia una funzione razionale fratta
(cioè, un rapporto di polinomi nella variabile “s” di Laplace). Questa modalità di rappresentazione
è valida solo per sistemi che rispondono istantaneamente alle variazioni della variabile di ingresso.
Una tipica risposta di un sistema senza ritardo è riportata nella figura 1.
Figura 1 - Sistema istantaneo
In molti casi pratici tale ipotesi di “istantaneità” non è verificata e sono presenti ritardi finiti.
Esempio 1.
Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L . In corrispondenza della sezione SIN posta sul
lato sinistro viene immessa una portata q(t) di un certo fluido, che si propaga nella tubazione con
velocità costante V.
Figura 2 - Sezione di tubazione
Se si considerano come variabile di ingresso u(t) la portata q(t) immessa alla sezione di ingresso SIN
e come variabile di uscita y(t) la portata misurata all’istante t nella sezione di uscita SOUT, si ricava
facilmente come l’uscita dipenda dalla portata in ingresso attraverso un legame (statico) che
coinvolge un ritardo temporale
u(t)
y(t)
t0
t0
𝑦(𝑡0+) ≠ 0
u(t)
q(t)
y(t)
q(t-)
SIN SOUT
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𝑢(𝑡) = 𝑞(𝑡) (1)
𝑦(𝑡) = 𝑞(𝑡 − ) (2)
=𝐿
𝑉=
[𝑚]
[𝑚/𝑠]= [𝑠]
Il ritardo temporale dipende ovviamente sia dalla lunghezza L della tubazione che dalla velocità
di transito del fluido.
Nella figura 3 analizziamo un possibile segnale di ingresso e la relativa uscita. L’uscita riproduce,
con un ritardo temporale , il medesimo profilo dell’ingresso.
Figura 3 - Possibile andamento dell'ingresso e dell'uscita per il sistema dell'Esempio 1
Il ritardo è il tempo che si deve attendere affinché una variazione dell’ingresso si manifesti in
una corrispondente variazione dell’uscita. Vediamo se è possibile dare una rappresentazione di
un legame dinamico che coinvolga un ritardo per mezzo di una FdT.
2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo
Per caratterizzare in termini di FdT sistemi dinamici con ritardi finiti si impiega il Teorema di traslazione nel tempo, una della proprietà notevoli della Trasformata di Laplace (TdL).
Teorema di traslazione nel dominio del tempo della TdL
Sia X(s) la TdL del segnale x(t):
L(x(t)) = X(s) (3)
La Trasformata di Laplace del segnale ritardato x(t-), dove è un ritardo costante, vale
L(x(t-)) = X(s)𝑒− 𝑠 (4)
Applicando tale teorema al legame I/O dell’Esempio 1 si può determinarne la FdT associata.
Si ha:
q(t)
y(t)
t
t
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𝑈(𝑠) = 𝑄(𝑠) (5)
𝑌(𝑠) = 𝑄(𝑠)𝑒− 𝑠 (6)
e pertanto, ricordando come la FdT sia, per definizione, il rapporto tra le TdL dell’uscita e dell’ingresso, si avrà
𝑊(𝑠) =𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝑄(𝑠)𝑒−𝑠
𝑄(𝑠)= 𝑒− 𝑠 (7)
La FdT individuata nella (7) è una funzione trascendente, e contiene il termine esponenziale complesso tipico dei sistemi con ritardo.
Più in generale, la FdT di un sistema SISO con ritardo viene espresso nella forma seguente
𝑊(𝑠) =𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)𝑒− 𝑠 (8)
dove B(s) ed A(s) sono polinomi razionali ed il parametro positivo viene detto ritardo del
sistema.
Si noti che la rappresentazione (8), con il termine esponenziale 𝑒− 𝑠 che postmoltiplica la FdT
razionale fratta 𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠) è solo un caso particolare di FdT associate a sistemi con ritardo, caso che
peraltro copre una vasta casistica di interesse applicativo.
Legami ingresso-uscita di carattere più generale rispetto al semplice legame (2) portano a FdT di
forma più complessa.
Ad esempio, il legame dinamico �̇�(𝑡) + 𝑦(𝑡 − 𝛿1) = 𝑞(𝑡 − 𝛿2) , che contiene due diversi valori
del ritardo per l’uscita e per l’ingresso, viene trasformato con Laplace nella forma seguente
(𝑠 + 𝑒−𝛿1𝑠)𝑌(𝑠) = 𝑒−𝛿2𝑠𝑄(𝑠) e conduce, come è facile verificare, alla seguente FdT
𝑊(𝑠) =𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝑒−𝛿2𝑠
𝑠+𝑒−𝛿1𝑠
che non può essere ricondotta nella forma di rappresentazione (8):
Peraltro, come si è detto, la rappresentazione (8) è sufficientemente generale da coprire molti casi
di interesse applicativo e quindi il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi.
Esempio 2 - Laminatoio
Si consideri un impianto di laminazione, schematizzato nella Figura 4 . L’obbiettivo del controllo è
quello di regolare lo spessore di un laminato agendo sulla distanza tra i cilindri del laminatoio. La
distanza verticale h tra i cilindri viene variata per mezzo di un motore elettrico accoppiato ad un
opportuno riduttore.
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Figura 4 - Schema di principio di un laminatoio
Con riferimento alla Figura 4 individuiamo gli elementi costituenti il sistema. Il laminato scorre da
destra verso sinistra con velocità costante V. Per motivi pratici, il trasduttore, ottico o a contatto,
che misura lo spessore dovrà essere posizionato ad una certa distanza dai cilindri del laminatoio,
nei pressi dei quali vi sono, ad esempio, vibrazioni che rendono problematica l’inserzione del
sensore.
Il trasduttore di misura rileva dunque lo spessore y del laminato, e ne trasduce il valore in un
segnale elettrico. Tale segnale viene confrontato in un nodo di comparazione con il valore di set-
point, ed il risultante segnale di errore viene elaborato dal blocco regolatore. L’uscita del blocco
regolatore deve pilotare il motore, e a tal fine è necessario interporre un opportuno amplificatore
di potenza in grado di interfacciarsi direttamente con gli avvolgimenti del motore.
Il legame tra l’uscita del sistema, y(t), e l’ingresso h(t) è descritto dalla seguente relazione
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡 − 𝛿) 𝛿 = 𝑑
𝑉 (9)
Sulla base di quanto detto in precedenza ciò significa che la FdT W(s) tra lo spessore del laminato e
la distanza tra i cilindri è data da
𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠)/𝐻(𝑠) = 𝑒−(𝑑
𝑉)𝑠 (10)
Si può quindi costruire uno schema a blocchi equivalente come quello in Figura 5
•
•
Laminato
Misuratore di
spessore
Amplificatore Riduttore
Set-point
d
V
h
y
Cilindro 1
Cilindro 2
Motore
Regolatore
−
+
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Figura 5 – Rappresentazione del laminatoio mediante schema a blocchi
Esempio 3 – Scambiatore di calore
Consideriamo uno scambiatore di calore a fasci tubieri per la produzione di acqua calda.
All’interno dei fasci tubieri viene immessa acqua fredda. I fasci tubieri vengono investiti da vapore
ad alta temperatura che trasferisce energia termica al fluido che scorre al loro interno. All’uscita
dello scambiatore troviamo pertanto acqua calda (oltre che, ovviamente, il vapore condensato). Si
faccia riferimento alla seguente Figura 6.
Figura 6 – Schema di principio di uno scambiatore di calore
La portata del vapore in ingresso viene modulata per mezzo di una servovalvola pneumatica di
regolazione, che è pertanto l’organo attuatore dell’azione di controllo. La servo valvola è asservita
ad un sistema di controllo in retroazione basato sulla misura della temperatura T dell’acqua
Amplificatore Riduttore
Motore
Regolatore 𝑊(𝑠)
−
+ y
h
Set-point
Acqua
calda
Regolatore
− +
Set-point
Condensa
Acqua
fredda
Servovalvola
I / P
Sensore di
temperatura
Convertitore Corrente/Pressione
pneumatica
Vapore ad alta
temperatura
T
p
T
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all’uscita dello scambiatore. Il segnale di controllo per la servo valvola viene generato da un
opportuno convertitore corrente/pressione, che converte il segnale elettrico in uscita dal
regolatore (che supponiamo essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA) in un segnale di
pressione “p” che si interfaccia direttamente con il posizionatore della servo valvola (un range
tipico per i segnali di pressione utilizzati nei sistemi di controllo in tecnologia pneumatica è 3÷15
Psi). La grandezza di uscita è pertanto la temperatura T dell’acqua all’uscita dello scambiatore, una
quantità che si desidera regolare ad un valore costante.
Fra il punto in cui viene misurata la temperatura ed il punto in cui si esercita l’azione di controllo vi
è un ritardo finito che dipende sia dalla velocità di transito dell’acqua nei fasci tubieri che dalla
lunghezza e geometria degli stessi. Si ha pertanto un ritardo finito tra l’istante in cui una modifica
della variabile di ingresso (la portata di vapore in ingresso) si manifesta in una modifica della
variabile di uscita (la temperatura T). Aumentando la lunghezza dei fasci tubieri, o riducendo la
velocità di transito dell’acqua all’interno dello scambiatore, tale ritardo aumenta.
Analizziamo qualitativamente le dinamiche principali che concorrono nel fenomeno di scambio
termico controllato che avviene nel sistema seguendo i vali legami di causa-effetto conseguenti ad
una variazione del segnale di controllo “p” della servo valvola.
A fronte di una variazione del segnale di controllo della servo valvola si produce una variazione
della portata del vapore che transita nella servo valvola. Tale variazione avviene secondo la
dinamica propria della servo valvola, e dipende anche dalle condizioni termodinamiche (pressione,
temperatura,..) del vapore a monte e a valle della valvola.
La variazione della portata del vapore induce un transitorio di adeguamento della temperatura
nella regione esterna ai fasci tubieri che viene investita dal vapore ad alta temperatura.
Si ha quindi la dinamica dello scambio termico tra l’esterno e l’interno dei fasci tubieri.
In ultimo, si ha il transito del fluido fino al condotto di uscita in cui viene misurata la temperatura
3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo 3.1 Ritardo puro
Gli esempi precedenti mostrano come la presenza di ritardi finiti nei sistemi di controllo sia un
fenomeno rilevante. Abbiamo anche visto come i ritardi finiti si prestino ad una rappresentazione
nel dominio della Trasformata di Laplace basata su fattori esponenziali del tipo 𝑒−𝛿𝑠, dove
rappresenta il valore del ritardo (espresso in secondi).
Analizziamo le caratteristiche della risposta armonica di una FdT puramente esponenziale
𝐺(𝑠) = 𝑒−𝛿𝑠 (11)
Ricordiamo che una FdT esponenziale del tipo (11) definisce un legame I/O nella forma di un
ritardo temporale puro (v. Fig 7).
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Figura 7 - Schema a blocchi di un ritardo puro
La funzione di risposta armonica vale
𝐺(𝑗) = 𝑒−𝑗𝛿 (12)
Dalla identità
𝐺(𝑗) = 𝑀(𝜔)𝑒𝑗𝜑(𝜔) = 𝑒−𝑗𝛿 (13)
si ricavano le espressioni del modulo e della fase della 𝐺(𝑗):
𝑀(𝜔) = 1 𝜑(𝜔) = −𝛿 (14)
La FdT esponenziale (12) ha una funzione di risposta armonica in cui il valore dei moduli è unitario
su tutte le frequenze mentre è presente uno sfasamento in ritardo che cresce linearmente
all’aumentare della frequenza. La pendenza negativa della retta 𝜑(𝜔) è proprio il ritardo .
Le relazioni (13) e (14) ci dicono che, con riferimento alla Figura 7, una sinusoide x(t) di ampiezza
unitaria e pulsazione in ingresso al blocco G(s) da luogo, in uscita, ad una sinusoide della
medesima frequenza, di ampiezza unitaria, sfasata in ritardo rispetto all’ingresso di un angolo .
Ciò è ovvio se si considera il legame ingresso uscita y(t)=x(t-), che implica come la riposta y(t)
all’ingresso x(t)=sin(t) sia y(t)= x(t-)=sin(t-).
I diagrammi di Bode della Funzione di risposta armonica 𝐺(𝑗) sono riportati a seguire
Figura 8 - Diagrammi di risposta armonica del termine esponenziale
𝑒−𝛿𝑠 x(t) y(t)
y(t) = x (t-)
log()
log()
MdB()=20log10(M())
()
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Per quanto concerne il diagramma delle fasi si osservi che l’andamento esponenziale decrescente
è dovuto al fatto che l’asse delle ascisse è graduato in termini del log(). Un grafico equivalente,
ma con l’asse delle ascisse graduato sulla frequenza e non sul suo logaritmo, vedrebbe un
diagramma delle fasi con andamento rettilineo decrescente (con pendenza negativa 𝛿 , in accordo
con la seconda delle (14)). E’ utile confrontare i diagrammi delle fasi in corrispondenza di due
diversi valori del ritardo. Si considerino i valori 1 e 2, con 1>2 e si faccia riferimento alla figura
seguente.
Figura 8 - Diagrammi delle fasi per diversi valori del ritardo
Osserviamo come ad una data frequenza il valore del ritardo determini un maggiore o minore
sfasamento in ritardo del corrispondente diagramma degli sfasamenti.
Intuitivamente, gli sfasamenti in ritardo introdotti dai ritardi finiti hanno effetti deleteri sulle
proprietà di stabilità degli schemi a ciclo chiuso (al crescere del ritardo si riduce progressivamente
il margine di stabilità. Eccetto pochi semplici casi “accademici” di scarsa rilevanza pratica, un
ritardo sufficientemente elevato rende certamente negativo il margine di fase inducendo
l’instabilità a ciclo chiuso del sistema).
Investighiamo ora le proprietà di stabilità a ciclo chiuso di sistemi contenenti dei ritardi.
Iniziamo dal caso più semplice di un sistema in retroazione con funzione di trasferimento di ciclo
aperto 𝐹(𝑠) = 𝑘𝑒−𝛿𝑠 . Consideriamo per semplicità un sistema di controllo a retroazione unitaria.
Figura 9 – Sistema a ciclo chiuso
Il legame ingresso-uscita a ciclo aperto è un ritardo puro:
𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝛿)
Il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso è:
𝑦(𝑡) + 𝑘 𝑦(𝑡 − 𝛿) = 𝑘 𝑥(𝑡 − 𝛿) (15)
log()
()
𝛿1 𝛿2 𝛿1 > 𝛿2
𝑒−𝛿𝑠
−
+ k
x(t) y(t) u(t)
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Si desidera investigare le proprietà di stabilità del sistema a ciclo chiuso, descritto dalla funzione di
trasferimento
𝑊(𝑠) =𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)=
𝑘𝑒−𝛿𝑠
1+𝑘𝑒−𝛿𝑠 (16)
Il polinomio caratteristico 𝑃𝑐𝑎𝑟(𝑠) = 1 + 𝑘𝑒−𝛿𝑠 è una funzione trascendente che ne complica
l’analisi. Utilizziamo il criterio di stabilità di Nyquist, la cui validità copre anche sistemi dinamici
affetti da ritardi finiti.
La funzione di risposta armonica a ciclo aperto è 𝐹(𝑗𝜔) = 𝑘𝑒−𝑗𝛿𝜔.
La figura 10 riporta il diagramma di Nyquist della 𝐹(𝑗𝜔), che “parte”, a frequenza =0, dal punto
di coordinate (k,0) e coincide con la circonferenza centrata nell’origine di raggio k, che viene
percorsa infinite volte (in senso orario per valori crescenti della frequenza). Nell’analisi secondo il
criterio di Nyquist risulta determinante, ai fini della determinazione della stabilità, che il “punto
critico” (-1,j0) non venga “circondato” dal diagramma completo di Nyquist della 𝐹(𝑗𝜔), cioè il
dagramma ottenuto facendo variare 𝜔 tra −∞ e +∞. Si noti come il diagramma completo risulti
sovrapposto al diagramma per frequenze positive in figura 10
La variazione, in aumento o in diminuzione, del guadagno k causa una corrispondente
“espansione” o “contrazione” della curva circolare in figura 10, che induce una traslazione
orizzontale del punto critico verso sinistra o verso destra rispettivamente. Averlo collocato in
Figura 10 alla sinistra del punto (–k,0), intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo,
significa avere implicitamente assunto, nel tracciare il diagramma, che k < 1. In tale condizione il
punto critico non viene “circondato” dal diagramma e pertanto il sistema a ciclo chiuso è stabile.
Se invece k>1 il punto critico si trova alla destra del punto (–k,0), e quindi all’interno della
circonferenza individuata dal diagramma di Nyquist. Pertanto il sistema a ciclo chiuso è instabile
se k>1. Quando k=1 il diagramma passa per il punto critico, e quindi siamo in condizione di limite
di stabilità per il sistema a ciclo chiuso.
Figura 10 – Diagramm di Nyquist per frequenze positive della FdT a ciclo aperto
k -k •
-1+j0 Re(F(j))
Im(F(j))
Punto di partenza (=0)
Punto critico
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L’analisi con il criterio di Nyquist ci dice quindi che il sistema a ciclo chiuso è:
- Stabile se k < 1
- instabile se k > 1
- al limite di stabilità se k=1
Le proprietà di stabilità a ciclo chiuso della semplice FdT in esame 𝐹(𝑠) = 𝑘𝑒−𝛿𝑠 dipendono quindi
soltanto dal valore del guadagno d’anello e non dal particolare valore del ritardo. E’ un fatto
inusuale, che come detto non si presenta se non in questo semplice caso e in poche altre situazioni
poco significative,
In genere il valore del ritardo è determinante ai fini della determinazione della stabilità a ciclo
chiuso del sistema
Verifichiamo i risultati ottenuti simulando il sistema in Figura 9 con un ingresso x(t) a gradino
unitario, un valore del ritardo pari a 𝛿 = 0.1𝑠, e, in successione, con tre diversi valori del
guadagno k (rif. File “ritardo_puro.mdl”).
Per k=1 il sistema presenta come atteso una oscillazione permanente. Per k=0.5 l’uscita tende al
valore di regime k/(1+k), calcolabile applicando il teorema del valore finale. Per k = 1.1 l’uscita
diverge. Si vedano i corrispondenti grafici nelle tre figure seguenti. Si verifichi come valori
differenti del ritardo conducano al medesimo comportamento qualitativo di oscillazione
permanente, convergente, o divergente.
Uscita a ciclo chiuso con k=1
Uscita a ciclo chiuso con k=0.5 Uscita a ciclo chiuso con k=1.1
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3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo
Ora analizziamo la stabilità a ciclo chiuso di sistemi dinamici più complessi.
Tratteremo in successione i tre casi seguenti
𝐴: 𝐹1(𝑠) =𝑘
1 + 𝜏𝑠𝑒−𝛿𝑠 𝐵: 𝐹2(𝑠) =
𝑘
𝑠𝑒−𝛿𝑠 𝐶: 𝐹3(𝑠) =
𝑘
𝑠(1 + 𝜏𝑠)𝑒−𝛿𝑠
dove è una costante di tempo positiva.
A. 𝐹1(𝑠) =𝑘
1+𝜏𝑠𝑒−𝛿𝑠
Analizziamo preliminarmente le proprietà di stabilita a ciclo chiuso per la Fdt senza il ritardo.
La FdT 𝐹1′(𝑠) =
𝑘
1+𝜏𝑠 ha un diagramma di Nyquist che, limitatamente alle frequenza positive, è
interamente contenuto nel IV° quadrante (v. Figura 11-(a)). Ciò dipende dal fatto che la fase di
𝐹1′(𝑗𝜔) è sempre compresa tra 0 e -90°. Il diagramma parte per =0 dal punto (k,0), e converge
all’origine per → con un andamento simile a quello riportato nella Figura 11-(a).
Quindi, la FdT senza il ritardo da luogo ad un sistema che, a ciclo chiuso, è sempre stabile
qualunque sia il valore di k. Questa è una proprietà facilmente verificabile analizzando luogo delle
radici della 𝐹1′(𝑠) =
𝑘
1+𝜏𝑠 .
Le cose cambiano quando si include la presenza del ritardo .
Un importante risultato preliminare valido in presenza del ritardo può essere dedotto ragionando
sul fatto che qualunque sia il valore del ritardo (che come visto in precedenza non altera il
diagramma dei moduli) il modulo della funzione di risposta armonica 𝐹1 (𝑗𝜔) è sempre inferiore a
k, eccetto che alla frequenza nulla in corrispondenza della quale il modulo assume proprio tale
valore. Si presti attenzione al fatto che stiamo considerando, in questa sede, il valore “naturale”
del modulo, e non il suo valore in dB che si incontra nel diagramma di Bode.
Una banale conseguenza del criterio di stabilità di Nyquist è che se il modulo della FdT a ciclo
aperto è sempre minore di uno a tutte le frequenze allora il sistema a ciclo chiuso è certamente
stabile. In questo caso, difatti, i diagramma completo di Nyquist è interamente contenuto
all’intermo della circonferenza di raggio unitario, e non può quindi circondare in nessun modo il
punto critico.
Sulla base di tale ragionamento si desume che il sistema in esame è sempre stabile se k<1,
qualunque sia il valore del ritardo 𝝉.
Nella figura 11-(b) si riportano due possibili andamenti per i diagrammi di Nyquist della F1(s) =k
1+τse−δs, in corrispondenza di due diversi valori 1 e 2 del ritardo, con 1 < 2 . Il ritardo
“distorce” l’andamento del diagramma di Nyquist.
Nei diagrammi delle FdT con ritardo la fase non è più compresa tra 0 e -90° a causa del progressivo
sfasamento in ritardo, crescente con , introdotto dal ritardo. Anche in presenza di un ritardo
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molto piccolo la fase varierà tra 0 e - al variare di da 0 a , e come risultato il diagramma di
Nyquist mostrerà delle rotazioni contrattive verso l’origine, La convergenza verso l’origine è
garantita dal fatto che il valore del modulo tende a zero per tendente a .
Figura 11 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 𝐅𝟏′(𝐬) =
𝐤
𝟏+𝛕𝐬 e con ritardo 𝐅𝟏(𝐬) =
𝐤
𝟏+𝛕𝐬𝐞−𝛅𝐬
In particolare, a causa della presenza del ritardo i diagrammi ora intersecano il semiasse reale
negativo in un punto P la cui ascissa p dipende dal valore del ritardo. Si può affermare che al
crescere del ritardo il punto P si sposta verso sinistra. L’ascissa del punto P è inoltre direttamente
proporzionale, in valore assoluto, al valore del guadagno k. Sfruttiamo tale proprietà per calcolare
il massimo valore consentito per il guadagno k (guadagno critico)
Sia p=p() l’ascissa del punto di intersezione con il semiasse reale negativo in corrispondenza di un
generico valore di quando k=1.
Valori di k superiori alla soglia kcr= kcr()=1/p() destabilizzano il sistema a ciclo chiuso in quando
collocano il punto di intersezione alla sinistra del punto critico.
Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha quindi in definitiva, per un prefissato valore
* del ritardo:
- Sistema stabile se k < kcr(*)
- Sistema instabile se k > kcr(*)
- Sistema al limite di stabilità se k= kcr(*)
essendo kcr(*)=1/p(*) , ove p=p(*) è l’ascissa del punto di intersezione del diagramma di Nyquist
con il semiasse reale negativo quando =* e k=1. In base alle considerazioni precedentemente
sviluppate, il valore kcr sarà sempre maggiore dell’unità
Analizziamo ora cosa succede tenendo costante k ad un valore maggiore di uno (per valori inferiori
ad uno si è già mostrato come il sistema sia sempre stabile indipendentemente dal ritardo) e
facendo variare il ritardo . Al crescere del ritardo il punto di intersezione con il semiasse reale
negativo si sposta progressivamente verso sinistra, tendendo “asintoticamente” verso il punto (-
k,j0), che si trova alla sinistra del punto critico in conseguenza del fatto che si sta considerando il
caso k>1.
k •
k •
(-1,0) (-1,0)
𝛿1 𝛿2
11-(a) 11-(b)
𝛿1< 𝛿2
𝛿 = 0
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Pertanto, con k > 1, quando il ritardo eccede una certa soglia cr= cr(k) il punto di intersezione si
sarà spostato alla sinistra del punto critico (-1,j0), destabilizzando quindi il sistema a ciclo chiuso
sulla base del criterio di stabilità di Nyquist.
Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha pertanto,
- Sistema sempre stabile se k 1
- Fissato k > 1:
o Sistema stabile se < cr
o Sistema instabile se > cr
o Sistema al limite di stabilità se = cr
La determinazione analitica del valore di cr sarà affrontata nel prosieguo del documento.
Si faccia riferimento al file “F1.mdl”, che simula il sistema a ciclo chiuso con 𝜏 = 1𝑠. Si può
verificare mediante simulazione come ponendo k=2 si ottiene un cr pari a 1.21s circa. Si riporta a
seguire lo schema Simulink.
𝐵: 𝐹2(𝑠) =𝑘
𝑠𝑒−𝛿𝑠
L’analisi della stabilità a ciclo chiuso della FdT 𝐹2(𝑠) viene condotta in maniera simile al
precedente caso A. La FdT senza ritardo F2′ (s) =
k
s ha un diagramma di Nyquist completo come
quello riportato nella Figura 12-(a), nel quale viene evidenziata anche la “richiusura” all’infinito da
effettuarsi in senso orario. Poiché il diagramma completo in Figura 12-(a) non circonda il punto
critico (-1,j0) si può concludere che il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si
scelga k > 0. L’introduzione del ritardo provoca la comparsa di una rotazione contrattiva verso
l’origine simile a quella visto nell’esempio precedente ( v. Figura 12-(b)).
y(t)
Transport
DelayTransfer Fcn
1
s+1
Gain 3
2
1
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Figura 12 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 𝐅𝟐′(𝐬) =
𝐤
𝐬 e con ritardo 𝐅𝟐(𝐬) =
𝐤
𝐬𝐞−𝛅𝐬
La presenza di un punto di intersezione con l’asse reale negativo significa che fissato uno specifico
valore del ritardo *, vi sarà un kcr= kcr(*) tale che valori superiori ad esso destabilizzeranno il
sistema a ciclo chiuso. La determinazione analitica di kcr può essere condotta analogamente a
quanto presentato nel precedente caso A. in funzione della l’ascissa del punto di intersezione del
diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo quando =* e k=1. A differenza dal caso A
precedente, non si può più però affermare con certezza che kcr è maggiore di 1.
Poiché, inoltre, al crescere del ritardo il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si
sposta verso sinistra, vi sarà come prima anche un cr= cr(k). Nel caso in esame un ritardo
sufficientemente elevato sarà sempre destabilizzante, qualunque sia il valore di k (non più, come
nel caso A, solo quando si aveva k>1). La determinazione analitica del valore di cr sarà affrontata
nel prosieguo del documento.
𝐶: 𝐹3(𝑠) =𝑘
𝑠(1 + 𝜏𝑠)𝑒−𝛿𝑠
La Figura 13-(a) riporta il diagramma di Nyquist completo della FdT senza ritardo 𝐹3′(𝑠) =
𝑘
𝑠(1+𝜏𝑠),
La parte “positiva” del diagramma di Nyquist (cioè quella corrispondente a valori della frequenza
compresi tra 0 e infinito) è interamente contenuta nel terzo quadrante, come conseguenza del
fatto che il corrispondente valore di fase varia tra -90° e -180°. Il diagramma mostra come il
relativo sistema a ciclo chiuso sia sempre stabile comunque si scelga k > 0. Infatti non vi è un
punto di intersezione con il semiasse reale negativo che si sposti verso sinistra al crescere di k e il
punto critico (-1,j0) rimane sempre al di fuori della regione di piano individuata dalla richiusura del
diagramma di Nyquist completo.
Nel medesimo diagramma possiamo anche leggere graficamente il valore del margine di fase m
individuando il punto di intersezione A tra il diagramma e la circonferenza di raggio unitario
• • (-1,0) (-1,0)
𝛿1
𝛿2
=0+
=0−
= = =-
12-(a)
12-(b)
𝛿1< 𝛿2
=0+
17 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
centrata nell’origine e valutando l’angolo m che la congiungente AO individua con l’asse reale
negativo. L’analisi del diagramma della FdT con il ritardo (Fig. 13-(b)) vede ancora la presenza delle
“rotazioni” nel percorso verso l’origine, e di un punto di intersezione con il semiasse reale negativo
che si sposta verso sinistra all’aumentare del ritardo 𝛿 e/o del guadagno k. Sulla base di
considerazioni analoghe a quelle sviluppate nel precedente esempio B, il sistema a ciclo chiuso con
un ritardo non nullo viene quindi destabilizzato sia da guadagni k troppo elevati, che (qualunque
sia k anche eventualmente <1) da ritardi troppo elevati.
Figura 13 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 𝐹3′
(𝑠) = 𝑘𝑠(1+𝜏𝑠)
e con ritardo 𝐹3(𝑠) =
𝑘
𝑠(1+𝜏𝑠)𝑒−𝛿𝑠
4. Determinazione per via grafica del guadagno critico e del ritardo critico
Vediamo ora una semplice procedura per ricavare per via grafica i valori di kcr e di cr. Sia
𝐹(𝑠) = 𝑘𝐹′(𝑠)𝑒−𝛿𝑠 (17)
Fissato un valore per , vediamo come si determina il guadagno critico kcr. Si tracciano i diagrammi
di Bode della funzione 𝐹′(𝑠)𝑒−𝛿𝑠 (che non dipende dal valore del guadagno) e si deve valutarne il
margine di guadagno MgdB in decibel. Graficamente si deve individuare la pulsazione cr
(“pulsazione critica”) alla quale la fase vale -180° ed il corrispondente valore in dB del modulo,
cambiato di segno, è il margine di guadagno (v. Figura 14)
Una volta determinato il margine di guadagno, il guadagno critico vale
𝑘𝑐𝑟 = 10𝑀𝑔𝑑𝐵 /20 (18)
• • (-1,j0)
(-1,0)
𝛿1
𝛿2
=0+
=0−
= =
13-(a)
13-(b)
𝛿1< 𝛿2
(0,-j)
m
=0+
A
O
18 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
Figura 14 – Valutazione grafica del margine di guadagno e del margine di fase
Fissato un valore per k vediamo ora come si determina il ritardo critico cr.
Si deve stavolta determinare il margine di fase della funzione di trasferimento 𝑘𝐹′(𝑠) (tale FdT
non dipende dal valore del ritardo). Graficamente, dopo averne tracciato i diagrammi di Bode si
deve individuare la pulsazione t (“pulsazione di attraversamento”) alla quale il modulo in dB vale
zero e valutare lo sfasamento 𝜑∗ = 𝜑(𝜔𝑡) a tale pulsazione. Il margine di fase è pari a (v.figura 14)
𝑚𝜑 = 180 + 𝜑∗ (19)
Dal margine di fase 𝑚𝜑 della FdT 𝑘𝐹′(𝑠), e dal valore della associata pulsazione di
attraversamento t è possibile risalire facilmente al valore del ritardo critico, che vale
cr= m/t (20)
Giustifichiamo la semplice formula (20). Il ritardo finito non altera il valore dei moduli (quindi non
altera la pulsazione di attraversamento 𝜔𝑡) e introduce uno sfasamento in ritardo variabile con la
frequenza di valore 𝜑(𝜔) = −𝛿 (v. (14)). Alla frequenza di attraversamento t il termine di
ritardo introduce pertanto uno sfasamento pari a −𝜔𝑡𝛿 . La condizione che deve essere
rispettata per il mantenimento della stabilità è che il ritardo di fase introdotto alla frequenza t
non ecceda, in modulo, il margine di fase.
log()
log()
MdB()=20log10(M())
()
−180°
cr
MgdB
t
m
19 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua calda acqua fredda
Esempio 4 – Miscelatore acqua calda-acqua fredda
Consideriamo un sistema di miscelazione di acqua calda e acqua fredda che consenta di ottenere acqua miscelata a una certa temperatura di riferimento (set-point). Si faccia riferimento alla Figura 15.
Figura 15 – Schema di principio di un miscelatore acqua calda acqua fredda
Il sistema non è molto dissimile dallo scambiatore del precedente esempio 3.
Descriviamo nel dettaglio tutte le componenti del sistema ricavando anche opportune equazioni di
funzionamento che ci consentano di costruire un modello Simulink e simulare il funzionamento del
miscelatore.
A. Un trasduttore di temperatura, che ipotizziamo avere un range di misura lineare tra 20÷60°C,
e uscita in corrente 4÷20 mA. La dinamica del sensore è trascurabile rispetto agli altri
componenti del sistema di controllo. Il sensore di temperatura fornisce una uscita 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 pari a
4 mA quando la temperatura 𝑇° nel punto di misura è pari a 20°, e fornisce una uscita pari a
Regolatore
− +
[Set-point]
Servovalvola
I / P
Sensore di
temperatura
Convertitore Corrente/Pressione
pneumatica
𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴
Acqua calda
Acqua
miscelata
d
Acqua fredda
𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴
𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖
𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴
𝑇0 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐0
20 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
20 mA quando la temperatura 𝑇° nel punto di misura è pari a 60°. Quindi la caratteristica del
sensore nel suo campo di funzionamento lineare può essere cosi rappresentata:
𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 = 4 𝑚𝐴 + 𝐾𝑇(𝑇° − 20°𝐶) 𝐾𝑇 =
(20−4)
(60−20)
𝑚𝐴
°𝐶= 0.4
𝑚𝐴
°𝐶 (21)
Nella equazione precedente 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 è il valore di uscita in mA fornito dal sensore, 𝑇° è la
temperatura dell’acqua nel punto di misura espressa in °C, e KT è il guadagno del sensore di
temperatura.
B. Un circuito elettrico che genera il set-point. Il set-point deve poter essere confrontato con
il segnale di misura 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 , e deve pertanto essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA che è
il range del segnale di misura prodotto dal sensore di temperatura.
Essendo 𝑇𝑑𝑒𝑠° il valore desiderato in gradi per la temperatura nel punto di misura, il segnale di set-
point, che chiamiamo 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴 , sarà generato in base alla seguente relazione, che riproduce la
caratteristica di misura del sensore di temperatura
𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴 = 4 𝑚𝐴 + 𝐾𝑇(𝑇𝑑𝑒𝑠
° − 20°𝐶) 𝐾𝑇 = 0.4𝑚𝐴
°𝐶 (22)
C. Un regolatore di tipo proporzionale con quadagno KP=5. E’ un dispositivo che deve
produrre in uscita una corrente proporzionale alla differenza tra due correnti in ingresso secondo
la relazione
𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 = 12𝑚𝐴 + 𝐾𝑝(𝑇𝑑𝑒𝑠
𝑚𝐴 − 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴) (23)
Il valore del bias nella (23), posto pari a 12 mA, è scelto alla metà del range consentito 4÷20 mA
per il segnale 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 in modo da massimizzare il range di funzionamento lineare del sistema di
controllo per valori positivi e negativi dell’errore 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴 − 𝑇𝑚𝑖𝑠
𝑚𝐴 (se 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 superasse il valore di 20
mA o scendesse sotto i 4mA l’attuatore andrebbe difatti in “saturazione”).
D. Un convertitore corrente/pressione che deve convertire il segnale in corrente 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴
prodotto dal regolatore in un segnale di tipo pneumatico che possa direttamente pilotare la
servovalvola pneumatica di regolazione.
Un range operativo comune per le servovalvole pneumatiche è 3÷15 psi. Ricordiamo che
1 psi 0.06 Atm 15 psi 1.02 Atm
Il convertitore I/P “modula” pertanto la pressione in un circuito pneumatico connesso ad una rete
di distribuzione di aria compressa, che deve pertanto essere disponibile. Il convertitore I/P deve
“mappare” il segnale 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 (che varia nel range 4÷20 mA ) in un segnale in pressione equivalente
nel range 3÷15 psi. Il foglio di specifica del convertitore suggerisce inoltre di tenere conto di una
21 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
dinamica del primo ordine con una costante di tempo 𝜏𝐼/𝑃 = 0.7 𝑠. Definiamo pertanto una
variabile ausiliaria 𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 che governa la parte “statica” della conversione I/P (eq. (24)) e
generiamo il segnale di pressione effettivo 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 in uscita dal convertitore I/P filtrando la variabile
ausiliaria 𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 con un filtro passa-basso a guadagno unitario e costante di tempo 𝜏𝐼/𝑃 (eq. (25))
𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖
= 3 𝑝𝑠𝑖 + 𝐾𝐼/𝑃(𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 − 4 𝑚𝐴) 𝐾𝐼/𝑃 =
(15−3)
(20−4)
𝑝𝑠𝑖
𝑚𝐴= 0.75
𝑝𝑠𝑖
𝑚𝐴 (24)
𝜏𝐼/𝑃 �̇�𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖
+ 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖
= 𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 (25)
Le equazioni (24) e (25) si realizzano in termini di schemi a blocchi come riportato in Figura 16
Figura 16 – Schema a blocchi per il convertitore I/P
E. Una servovalvola pneumatica che con un ingresso nel range 3÷15 psi compia l’intera
corsa. Il foglio di specifica della servovalvola ne riporta la costante di tempo 𝜏𝑉 pari a 3 secondi.
Si deve modellare il legame dinamico tra il segnale di pressione in ingresso alla valvola, 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 , e la
temperatura dell’acqua nel punto di misura 𝑇° intesa come variabile di uscita. La costante di
tempo 𝜏𝑉 che modella la risposta dinamica della servovalvola è da considerarsi dominante rispetto
alle costanti di tempo proprie dei transitori termici di miscelazione. Quindi la temperatura
dell’acqua nel punto di miscelazione 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 dipenderà dal segnale di pressione 𝑝𝑟𝑒𝑔
𝑝𝑠𝑖 secondo una
FdT del primo ordine avente come costante di tempo la costante di tempo 𝜏𝑉 della valvola. Per
determinarne il guadagno 𝐾𝑉 si deve fare qualche ipotesi e qualche ragionamento.
Osserviamo preliminarmente che il legame tra 𝑇° e 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 sarà con buona approssimazione un
ritardo puro , proporzionale alla distanza d tra il punti di miscelazione e il punti di misura ed
inversamente proporzionale alla velocità di transito dell’acqua nella tubazione:
𝑇°(𝑡) = 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 (𝑡 − ) (26)
Ora ritorniamo al problema della determinazione del guadagno 𝑲𝑽. Ipotizziamo che la
temperatura della acqua fredda sia di 20°C. Ciò implica che con la valvola completamente chiusa
(𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 = 3 𝑝𝑠𝑖) il valore di regime per 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐
𝑜 sarà pari a 20°C.
Ciò implica la seguente forma per la relazione tra le variabili in gioco
22 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 − 20°𝐶 =
𝐾𝑉
1 + 𝜏𝑉𝑠(𝑝𝑟𝑒𝑔
𝑝𝑠𝑖− 3𝑝𝑠𝑖)
Si noti come la precedente relazione, non completamente rigorosa da un punto di vista
matematico formale, combina la presenza di segnali funzione del tempo e di FdT funzioni della
variabile s di Laplace. Il suo significato è esemplificato dal seguente schema a blocchi
Le equazioni di funzionamento complessive, comprendenti anche il legame (26), sono
implementate mediante lo schema a blocchi riportato nella Figura 17:
Figura 17 – Schema a blocchi per la servovalvola
Ai fini della determinazione del guadagno KV , ipotizziamo che con la valvola tutta aperta (𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖
=
15 𝑝𝑠𝑖) il valore di regime per 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 (e quindi anche per 𝑇𝑜 ) sia pari a 60°C.
Il valore di regime per 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 quando 𝑝𝑟𝑒𝑔
𝑝𝑠𝑖 è pari a 15 𝑝𝑠𝑖 vale 20+KV (15−3). Affinché tale valore
sia pari a 60°C, il guadagno KV deve valere
𝐾𝑉 =60−20
15−3
°𝐶
𝑝𝑠𝑖= 3.33
°𝐶
𝑝𝑠𝑖 (27)
Implementando mediante schemi a blocchi tutte le equazioni ricavate finora si ottiene lo Schema
Simulink riportato nella pagina seguente (file “miscelatore.mdl”). Si riporta il file
“miscelatore_dati.m “ che contiene le assegnazioni per i parametri.
% TRASDUTTORE DI TEMPERATURA
K_T=0.4;
% REGOLATORE PROPORZIONALE
Kp=5;
% CONVERTITORE CORRENTE PRESSIONE
K_IP=0.75;
tau_IP=0.7;
% VALVOLA
K_V=3.33333;
tau_V=3;
%RITARDO
delta=0.5; % il valore del ritardo e’ scelto a caso
𝐾𝑉
1 + 𝜏𝑉𝑠 𝑒−𝛿𝑠
𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜
𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖
20
+
+
20
+
+
−
3
𝑇𝑜 − 20
𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 − 20
𝑇𝑜
𝐾𝑉
1 + 𝜏𝑉𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑔
𝑝𝑠𝑖 − 3𝑝𝑠𝑖 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 − 20°𝐶
23 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
T°-
20°C
T_des^m
A
T_m
is^m
A
p_re
g^p
si
T°
p_re
g^p
si
p_1re
g^p
si
m_re
g^m
AT
°_m
isc
T°_
des
T°
T_m
is^m
A
Serv
ovalv
ola
3.3
333
3s+1
Ritard
o f
inito
Riferim
ento
K_IP
Rego
lato
re
Kp
Guadagno
senso
redi te
mpera
tura
K_T
Filt
ro d
el
rife
rim
ento
1
3s+1
Co
nvert
ito
re I/P
1
tau_
IP.s
+1
Co
nvers
ione d
el
rife
rim
ento
4+K
_T*(
u-20)
3
20
43
12
4
20
Schema SIMULINK
Files “miscelatore.mdl”
“miscelatore_dati.m“
24 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
Esplicitiamo la funzione di trasferimento a ciclo aperto
𝐹(𝑠) = 𝐹′(𝑠)𝑒−𝑡0𝑠 =𝐾𝑝𝐾𝐼/𝑃𝐾𝑉𝐾𝑇
(1+𝜏𝐼/𝑃𝑠)(1+𝜏𝑉𝑠)𝑒−𝛿𝑠 =
5
(1+0.7𝑠)(1+3𝑠)𝑒−𝛿𝑠 (28)
𝐹′(𝑠) =5
(1+0.7𝑠)(1+3𝑠) (29)
% ANALISI DEL SISTEMA MISCELATORE
% FUNZIONE DI TRASFERIMENTO A CICLO APERTO
% F(s)=F'(s) e^(-delta s)
% NUMERATORE E DENOMINATORE DELLA FdT F'(s)
num_Fprimo=Kp*K_IP*K_V*K_T;
den_Fprimo=conv([tau_V 1],[tau_IP 1]);
Fprimo=tf(num_Fprimo,den_Fprimo);
% CALCOLO DEI MARGINI DI STABILITA’
margin(Fprimo),grid
L’istruzione margin produce il seguente diagramma, in cui vengono anche restituiti i valori della
pulsazione di attraversamento e del margine di fase
Figura 18. Diagrammi di risposta armonica della FdT a ciclo aperto.
𝐏𝐮𝐥𝐬𝐚𝐳𝐢𝐨𝐧𝐞 𝐝𝐢 𝐚𝐭𝐭𝐫𝐚𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝜔𝑡 = 1.22 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitude (dB)
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-180
-135
-90
-45
0
Phase (deg)
Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 64.7 deg (at 1.22 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
25 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
𝐌𝐚𝐫𝐠𝐢𝐧𝐞 𝐝𝐢 𝐟𝐚𝐬𝐞 𝑚𝜑 = 64.7° = 1.129 𝑟𝑎𝑑
Applicando la relazione (20) è possibile determinare il ritardo critico
𝛿𝑐𝑟 =𝜔𝑡
𝑚𝜑 =1.129
1.22= 0.9254 𝑠 (30)
Nella Figura 19 sono riportati i diagrammi di modulo e fase della funzione di risposta armonica
𝐹(𝑗𝜔) per tre diversi valori del ritardo: =0, =1=0.5 s , e =2=1s. Si può notare come in
corrispondenza della pulsazione di attraversamento 𝜔𝑡 la curva nera (=0) e la curva rossa
(=0.5) stiano sopra la retta a -180°, mentre la curva blu (=1) sta al di sotto a indicare come il
sistema a ciclo chiuso sia instabile.
Figura 19 Diagrammi di modulo e fase della FdT 𝐅(𝐬) per diversi valori del ritardo
La sequenza di istruzioni Matlab che genera la Figura 19 è riportata nel seguito:
delta1=0.5;
delta2=1;
W=logspace(-2,1,200);
[MAG,PHASE,W] = BODE(Fprimo,W);
PHASE_rit1=PHASE(:,:)'-W.*((delta1*360)/(2*pi));
PHASE_rit2=PHASE(:,:)'-W.*((delta2*360)/(2*pi));
figure(2)
subplot(2,1,1)
semilogx(W,20*log10(MAG(:,:))),grid,title('Diagramma dei moduli'),
subplot(2,1,2)
semilogx(W,PHASE(:,:),'k',W,PHASE_rit1,'r',W,PHASE_rit2,'b'),
grid,title('Diagramma delle fasi con \delta=0 (curva nera), \delta = 0.5 …
secondi (curva rossa) e \delta= 1 s(curva blu)'),
xlabel('Omega [rad/sec]')
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
20Diagramma dei moduli
10-2
10-1
100
101
-800
-600
-400
-200
0Diagramma delle fasi con =0 (curva nera), =0.5 secondi (curva rossa), e =1 s (curva blu)
Omega [rad/sec]
26 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
Il sistema a ciclo chiuso con kp = 5 è stabile per valori del ritardo inferiori al 𝛿𝑐𝑟 calcolato nella
eq. (30), ed instabile per valori di superiori. Nei test è stato impiegato il seguente set-point di
riferimento 𝑇𝑑𝑒𝑠° , espresso in gradi centigradi, per la temperatura dell’acqua miscelata. Tale
segnale è generato dalla serie dei blocchi “Riferimento” e “Filtro del RIferimento” a sinistra nello schema a blocchi complessivo riportato a pagina 23.
Figura 20. Il set-point 𝐓𝐝𝐞𝐬°
Nella Figura 21 sono riportati i grafici della temperatura T° nel punto di misura e il grafico della
pressione di comando pregpsi
della servovalvola nel caso di assenza di ritardo, =0. L’uscita mostra
un transitorio aperiodico, mentre la pressione di comando presenza un debole comportamento
oscillatorio.
Figura 21. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando 𝐩𝐫𝐞𝐠
𝐩𝐬𝐢 della
servovalvola (destra) quando =0.
Si noti come sia presente un errore a regime sulla temperatura T° nel punto di misura (il sistema di
controllo è infatti di tipo 0). Si noti anche come la pressione di comando si porta a un primo valore
27 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – pisano@diee.unica.it
di regime di poco superiore a 5 psi e successivamente, a fronte dell’incremento della temperatura
richiesta, si porta ad un nuovo valore di regime di poco inferiore a 8 psi per incrementare la
portata di acqua calda. La Figura 22 mostra i medesimi grafici ma con un ritardo =0.5, che è un
valore inferiore al ritardo critico.
Figura 22. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando pregpsi
della servovalvola (destra) nel caso di ritardo =0.5
Ora anche l’uscita ha un transitorio oscillatorio, e le oscillazioni della pressione di comando sono di
ampiezza più elevata rispetto alla curva in Figura 21, chiaro sintomo del fatto che il margine di fase
è diminuito (lo smorzamento del modo dominante diminuisce al decrescere del margine di fase).
Come ultimo test il valore del ritardo è stato posto pari ad 1, un valore superiore al ritardo critico
che infatti, come si evince dalla figura 23, destabilizza il sistema a ciclo chiuso.
Figura 23. Grafico della temperatura T° nel punto di misura nel caso di ritardo =1
Abbreviazioni
FdT Funzione di trasferimento
TdL Trasformata di Laplace
I/O Ingresso-Uscita
SISO Single-Input-Single-Output