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Sistemi con ritardo Appunti di Controlli Automatici

Ing. Alessandro Pisano

2 Appunti di Controlli Automatici – Sistemi con ritardo – v. 1.1 Ing. Alessandro Pisano – [email protected]

SOMMARIO

1. Introduzione (3)

2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo (4) 3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo (8)

3.1 Ritardo puro (8)

3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo (13)

4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico (16)

5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua (18) calda acqua fredda


Sistemi con ritardo

1. Introduzione

Nello studio dei sistemi dinamici spesso si assume che la FdT sia una funzione razionale fratta

(cioè, un rapporto di polinomi nella variabile “s” di Laplace). Questa modalità di rappresentazione

è valida solo per sistemi che rispondono istantaneamente alle variazioni della variabile di ingresso.

Una tipica risposta di un sistema senza ritardo è riportata nella figura 1.

Figura 1 - Sistema istantaneo

In molti casi pratici tale ipotesi di “istantaneità” non è verificata e sono presenti ritardi finiti.

Esempio 1.

Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L . In corrispondenza della sezione SIN posta sul

lato sinistro viene immessa una portata q(t) di un certo fluido, che si propaga nella tubazione con

velocità costante V.

Figura 2 - Sezione di tubazione

Se si considerano come variabile di ingresso u(t) la portata q(t) immessa alla sezione di ingresso SIN

e come variabile di uscita y(t) la portata misurata all’istante t nella sezione di uscita SOUT, si ricava

facilmente come l’uscita dipenda dalla portata in ingresso attraverso un legame (statico) che

coinvolge un ritardo temporale

u(t)

y(t)

t0

t0

𝑦(𝑡0+) ≠ 0

u(t)

q(t)

y(t)

q(t-)

SIN SOUT


𝑢(𝑡) = 𝑞(𝑡) (1)

𝑦(𝑡) = 𝑞(𝑡 − ) (2)

=𝐿

𝑉=

[𝑚]

[𝑚/𝑠]= [𝑠]

Il ritardo temporale dipende ovviamente sia dalla lunghezza L della tubazione che dalla velocità

di transito del fluido.

Nella figura 3 analizziamo un possibile segnale di ingresso e la relativa uscita. L’uscita riproduce,

con un ritardo temporale , il medesimo profilo dell’ingresso.

Figura 3 - Possibile andamento dell'ingresso e dell'uscita per il sistema dell'Esempio 1

Il ritardo è il tempo che si deve attendere affinché una variazione dell’ingresso si manifesti in

una corrispondente variazione dell’uscita. Vediamo se è possibile dare una rappresentazione di

un legame dinamico che coinvolga un ritardo per mezzo di una FdT.

2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo

Per caratterizzare in termini di FdT sistemi dinamici con ritardi finiti si impiega il Teorema di traslazione nel tempo, una della proprietà notevoli della Trasformata di Laplace (TdL).

Teorema di traslazione nel dominio del tempo della TdL

Sia X(s) la TdL del segnale x(t):

L(x(t)) = X(s) (3)

La Trasformata di Laplace del segnale ritardato x(t-), dove è un ritardo costante, vale

L(x(t-)) = X(s)𝑒− 𝑠 (4)

Applicando tale teorema al legame I/O dell’Esempio 1 si può determinarne la FdT associata.

Si ha:

q(t)

y(t)

t

t


𝑈(𝑠) = 𝑄(𝑠) (5)

𝑌(𝑠) = 𝑄(𝑠)𝑒− 𝑠 (6)

e pertanto, ricordando come la FdT sia, per definizione, il rapporto tra le TdL dell’uscita e dell’ingresso, si avrà

𝑊(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝑄(𝑠)𝑒−𝑠

𝑄(𝑠)= 𝑒− 𝑠 (7)

La FdT individuata nella (7) è una funzione trascendente, e contiene il termine esponenziale complesso tipico dei sistemi con ritardo.

Più in generale, la FdT di un sistema SISO con ritardo viene espresso nella forma seguente

𝑊(𝑠) =𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)𝑒− 𝑠 (8)

dove B(s) ed A(s) sono polinomi razionali ed il parametro positivo viene detto ritardo del

sistema.

Si noti che la rappresentazione (8), con il termine esponenziale 𝑒− 𝑠 che postmoltiplica la FdT

razionale fratta 𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠) è solo un caso particolare di FdT associate a sistemi con ritardo, caso che

peraltro copre una vasta casistica di interesse applicativo.

Legami ingresso-uscita di carattere più generale rispetto al semplice legame (2) portano a FdT di

forma più complessa.

Ad esempio, il legame dinamico �̇�(𝑡) + 𝑦(𝑡 − 𝛿1) = 𝑞(𝑡 − 𝛿2) , che contiene due diversi valori

del ritardo per l’uscita e per l’ingresso, viene trasformato con Laplace nella forma seguente

(𝑠 + 𝑒−𝛿1𝑠)𝑌(𝑠) = 𝑒−𝛿2𝑠𝑄(𝑠) e conduce, come è facile verificare, alla seguente FdT


𝑈(𝑠)=

𝑒−𝛿2𝑠

𝑠+𝑒−𝛿1𝑠

che non può essere ricondotta nella forma di rappresentazione (8):

Peraltro, come si è detto, la rappresentazione (8) è sufficientemente generale da coprire molti casi

di interesse applicativo e quindi il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi.

Esempio 2 - Laminatoio

Si consideri un impianto di laminazione, schematizzato nella Figura 4 . L’obbiettivo del controllo è

quello di regolare lo spessore di un laminato agendo sulla distanza tra i cilindri del laminatoio. La

distanza verticale h tra i cilindri viene variata per mezzo di un motore elettrico accoppiato ad un

opportuno riduttore.


Figura 4 - Schema di principio di un laminatoio

Con riferimento alla Figura 4 individuiamo gli elementi costituenti il sistema. Il laminato scorre da

destra verso sinistra con velocità costante V. Per motivi pratici, il trasduttore, ottico o a contatto,

che misura lo spessore dovrà essere posizionato ad una certa distanza dai cilindri del laminatoio,

nei pressi dei quali vi sono, ad esempio, vibrazioni che rendono problematica l’inserzione del

sensore.

Il trasduttore di misura rileva dunque lo spessore y del laminato, e ne trasduce il valore in un

segnale elettrico. Tale segnale viene confrontato in un nodo di comparazione con il valore di set-

point, ed il risultante segnale di errore viene elaborato dal blocco regolatore. L’uscita del blocco

regolatore deve pilotare il motore, e a tal fine è necessario interporre un opportuno amplificatore

di potenza in grado di interfacciarsi direttamente con gli avvolgimenti del motore.

Il legame tra l’uscita del sistema, y(t), e l’ingresso h(t) è descritto dalla seguente relazione

𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡 − 𝛿) 𝛿 = 𝑑

𝑉 (9)

Sulla base di quanto detto in precedenza ciò significa che la FdT W(s) tra lo spessore del laminato e

la distanza tra i cilindri è data da

𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠)/𝐻(𝑠) = 𝑒−(𝑑

𝑉)𝑠 (10)

Si può quindi costruire uno schema a blocchi equivalente come quello in Figura 5

•

•

Laminato

Misuratore di

spessore

Amplificatore Riduttore

Set-point

d

V

h

y

Cilindro 1

Cilindro 2

Motore

Regolatore

−

+


Figura 5 – Rappresentazione del laminatoio mediante schema a blocchi

Esempio 3 – Scambiatore di calore

Consideriamo uno scambiatore di calore a fasci tubieri per la produzione di acqua calda.

All’interno dei fasci tubieri viene immessa acqua fredda. I fasci tubieri vengono investiti da vapore

ad alta temperatura che trasferisce energia termica al fluido che scorre al loro interno. All’uscita

dello scambiatore troviamo pertanto acqua calda (oltre che, ovviamente, il vapore condensato). Si

faccia riferimento alla seguente Figura 6.

Figura 6 – Schema di principio di uno scambiatore di calore

La portata del vapore in ingresso viene modulata per mezzo di una servovalvola pneumatica di

regolazione, che è pertanto l’organo attuatore dell’azione di controllo. La servo valvola è asservita

ad un sistema di controllo in retroazione basato sulla misura della temperatura T dell’acqua

Amplificatore Riduttore

Motore

Regolatore 𝑊(𝑠)

−

+ y

h

Set-point

Acqua

calda

Regolatore

− +

Set-point

Condensa

Acqua

fredda

Servovalvola

I / P

Sensore di

temperatura

Convertitore Corrente/Pressione

pneumatica

Vapore ad alta

temperatura

T

p

T


all’uscita dello scambiatore. Il segnale di controllo per la servo valvola viene generato da un

opportuno convertitore corrente/pressione, che converte il segnale elettrico in uscita dal

regolatore (che supponiamo essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA) in un segnale di

pressione “p” che si interfaccia direttamente con il posizionatore della servo valvola (un range

tipico per i segnali di pressione utilizzati nei sistemi di controllo in tecnologia pneumatica è 3÷15

Psi). La grandezza di uscita è pertanto la temperatura T dell’acqua all’uscita dello scambiatore, una

quantità che si desidera regolare ad un valore costante.

Fra il punto in cui viene misurata la temperatura ed il punto in cui si esercita l’azione di controllo vi

è un ritardo finito che dipende sia dalla velocità di transito dell’acqua nei fasci tubieri che dalla

lunghezza e geometria degli stessi. Si ha pertanto un ritardo finito tra l’istante in cui una modifica

della variabile di ingresso (la portata di vapore in ingresso) si manifesta in una modifica della

variabile di uscita (la temperatura T). Aumentando la lunghezza dei fasci tubieri, o riducendo la

velocità di transito dell’acqua all’interno dello scambiatore, tale ritardo aumenta.

Analizziamo qualitativamente le dinamiche principali che concorrono nel fenomeno di scambio

termico controllato che avviene nel sistema seguendo i vali legami di causa-effetto conseguenti ad

una variazione del segnale di controllo “p” della servo valvola.

A fronte di una variazione del segnale di controllo della servo valvola si produce una variazione

della portata del vapore che transita nella servo valvola. Tale variazione avviene secondo la

dinamica propria della servo valvola, e dipende anche dalle condizioni termodinamiche (pressione,

temperatura,..) del vapore a monte e a valle della valvola.

La variazione della portata del vapore induce un transitorio di adeguamento della temperatura

nella regione esterna ai fasci tubieri che viene investita dal vapore ad alta temperatura.

Si ha quindi la dinamica dello scambio termico tra l’esterno e l’interno dei fasci tubieri.

In ultimo, si ha il transito del fluido fino al condotto di uscita in cui viene misurata la temperatura

3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo 3.1 Ritardo puro

Gli esempi precedenti mostrano come la presenza di ritardi finiti nei sistemi di controllo sia un

fenomeno rilevante. Abbiamo anche visto come i ritardi finiti si prestino ad una rappresentazione

nel dominio della Trasformata di Laplace basata su fattori esponenziali del tipo 𝑒−𝛿𝑠, dove

rappresenta il valore del ritardo (espresso in secondi).

Analizziamo le caratteristiche della risposta armonica di una FdT puramente esponenziale

𝐺(𝑠) = 𝑒−𝛿𝑠 (11)

Ricordiamo che una FdT esponenziale del tipo (11) definisce un legame I/O nella forma di un

ritardo temporale puro (v. Fig 7).


Figura 7 - Schema a blocchi di un ritardo puro

La funzione di risposta armonica vale

𝐺(𝑗) = 𝑒−𝑗𝛿 (12)

Dalla identità

𝐺(𝑗) = 𝑀(𝜔)𝑒𝑗𝜑(𝜔) = 𝑒−𝑗𝛿 (13)

si ricavano le espressioni del modulo e della fase della 𝐺(𝑗):

𝑀(𝜔) = 1 𝜑(𝜔) = −𝛿 (14)

La FdT esponenziale (12) ha una funzione di risposta armonica in cui il valore dei moduli è unitario

su tutte le frequenze mentre è presente uno sfasamento in ritardo che cresce linearmente

all’aumentare della frequenza. La pendenza negativa della retta 𝜑(𝜔) è proprio il ritardo .

Le relazioni (13) e (14) ci dicono che, con riferimento alla Figura 7, una sinusoide x(t) di ampiezza

unitaria e pulsazione in ingresso al blocco G(s) da luogo, in uscita, ad una sinusoide della

medesima frequenza, di ampiezza unitaria, sfasata in ritardo rispetto all’ingresso di un angolo .

Ciò è ovvio se si considera il legame ingresso uscita y(t)=x(t-), che implica come la riposta y(t)

all’ingresso x(t)=sin(t) sia y(t)= x(t-)=sin(t-).

I diagrammi di Bode della Funzione di risposta armonica 𝐺(𝑗) sono riportati a seguire

Figura 8 - Diagrammi di risposta armonica del termine esponenziale

𝑒−𝛿𝑠 x(t) y(t)

y(t) = x (t-)

log()

log()

MdB()=20log10(M())

()


Per quanto concerne il diagramma delle fasi si osservi che l’andamento esponenziale decrescente

è dovuto al fatto che l’asse delle ascisse è graduato in termini del log(). Un grafico equivalente,

ma con l’asse delle ascisse graduato sulla frequenza e non sul suo logaritmo, vedrebbe un

diagramma delle fasi con andamento rettilineo decrescente (con pendenza negativa 𝛿 , in accordo

con la seconda delle (14)). E’ utile confrontare i diagrammi delle fasi in corrispondenza di due

diversi valori del ritardo. Si considerino i valori 1 e 2, con 1>2 e si faccia riferimento alla figura

seguente.

Figura 8 - Diagrammi delle fasi per diversi valori del ritardo

Osserviamo come ad una data frequenza il valore del ritardo determini un maggiore o minore

sfasamento in ritardo del corrispondente diagramma degli sfasamenti.

Intuitivamente, gli sfasamenti in ritardo introdotti dai ritardi finiti hanno effetti deleteri sulle

proprietà di stabilità degli schemi a ciclo chiuso (al crescere del ritardo si riduce progressivamente

il margine di stabilità. Eccetto pochi semplici casi “accademici” di scarsa rilevanza pratica, un

ritardo sufficientemente elevato rende certamente negativo il margine di fase inducendo

l’instabilità a ciclo chiuso del sistema).

Investighiamo ora le proprietà di stabilità a ciclo chiuso di sistemi contenenti dei ritardi.

Iniziamo dal caso più semplice di un sistema in retroazione con funzione di trasferimento di ciclo

aperto 𝐹(𝑠) = 𝑘𝑒−𝛿𝑠 . Consideriamo per semplicità un sistema di controllo a retroazione unitaria.

Figura 9 – Sistema a ciclo chiuso

Il legame ingresso-uscita a ciclo aperto è un ritardo puro:

𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝛿)

Il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso è:

𝑦(𝑡) + 𝑘 𝑦(𝑡 − 𝛿) = 𝑘 𝑥(𝑡 − 𝛿) (15)

log()

()

𝛿1 𝛿2 𝛿1 > 𝛿2

𝑒−𝛿𝑠

−

+ k

x(t) y(t) u(t)


Si desidera investigare le proprietà di stabilità del sistema a ciclo chiuso, descritto dalla funzione di

trasferimento


𝑋(𝑠)=

𝑘𝑒−𝛿𝑠

1+𝑘𝑒−𝛿𝑠 (16)

Il polinomio caratteristico 𝑃𝑐𝑎𝑟(𝑠) = 1 + 𝑘𝑒−𝛿𝑠 è una funzione trascendente che ne complica

l’analisi. Utilizziamo il criterio di stabilità di Nyquist, la cui validità copre anche sistemi dinamici

affetti da ritardi finiti.

La funzione di risposta armonica a ciclo aperto è 𝐹(𝑗𝜔) = 𝑘𝑒−𝑗𝛿𝜔.

La figura 10 riporta il diagramma di Nyquist della 𝐹(𝑗𝜔), che “parte”, a frequenza =0, dal punto

di coordinate (k,0) e coincide con la circonferenza centrata nell’origine di raggio k, che viene

percorsa infinite volte (in senso orario per valori crescenti della frequenza). Nell’analisi secondo il

criterio di Nyquist risulta determinante, ai fini della determinazione della stabilità, che il “punto

critico” (-1,j0) non venga “circondato” dal diagramma completo di Nyquist della 𝐹(𝑗𝜔), cioè il

dagramma ottenuto facendo variare 𝜔 tra −∞ e +∞. Si noti come il diagramma completo risulti

sovrapposto al diagramma per frequenze positive in figura 10

La variazione, in aumento o in diminuzione, del guadagno k causa una corrispondente

“espansione” o “contrazione” della curva circolare in figura 10, che induce una traslazione

orizzontale del punto critico verso sinistra o verso destra rispettivamente. Averlo collocato in

Figura 10 alla sinistra del punto (–k,0), intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo,

significa avere implicitamente assunto, nel tracciare il diagramma, che k < 1. In tale condizione il

punto critico non viene “circondato” dal diagramma e pertanto il sistema a ciclo chiuso è stabile.

Se invece k>1 il punto critico si trova alla destra del punto (–k,0), e quindi all’interno della

circonferenza individuata dal diagramma di Nyquist. Pertanto il sistema a ciclo chiuso è instabile

se k>1. Quando k=1 il diagramma passa per il punto critico, e quindi siamo in condizione di limite

di stabilità per il sistema a ciclo chiuso.

Figura 10 – Diagramm di Nyquist per frequenze positive della FdT a ciclo aperto

k -k •

-1+j0 Re(F(j))

Im(F(j))

Punto di partenza (=0)

Punto critico


L’analisi con il criterio di Nyquist ci dice quindi che il sistema a ciclo chiuso è:

- Stabile se k < 1

- instabile se k > 1

- al limite di stabilità se k=1

Le proprietà di stabilità a ciclo chiuso della semplice FdT in esame 𝐹(𝑠) = 𝑘𝑒−𝛿𝑠 dipendono quindi

soltanto dal valore del guadagno d’anello e non dal particolare valore del ritardo. E’ un fatto

inusuale, che come detto non si presenta se non in questo semplice caso e in poche altre situazioni

poco significative,

In genere il valore del ritardo è determinante ai fini della determinazione della stabilità a ciclo

chiuso del sistema

Verifichiamo i risultati ottenuti simulando il sistema in Figura 9 con un ingresso x(t) a gradino

unitario, un valore del ritardo pari a 𝛿 = 0.1𝑠, e, in successione, con tre diversi valori del

guadagno k (rif. File “ritardo_puro.mdl”).

Per k=1 il sistema presenta come atteso una oscillazione permanente. Per k=0.5 l’uscita tende al

valore di regime k/(1+k), calcolabile applicando il teorema del valore finale. Per k = 1.1 l’uscita

diverge. Si vedano i corrispondenti grafici nelle tre figure seguenti. Si verifichi come valori

differenti del ritardo conducano al medesimo comportamento qualitativo di oscillazione

permanente, convergente, o divergente.

Uscita a ciclo chiuso con k=1

Uscita a ciclo chiuso con k=0.5 Uscita a ciclo chiuso con k=1.1


3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo

Ora analizziamo la stabilità a ciclo chiuso di sistemi dinamici più complessi.

Tratteremo in successione i tre casi seguenti

𝐴: 𝐹1(𝑠) =𝑘

1 + 𝜏𝑠𝑒−𝛿𝑠 𝐵: 𝐹2(𝑠) =

𝑘

𝑠𝑒−𝛿𝑠 𝐶: 𝐹3(𝑠) =

𝑘

𝑠(1 + 𝜏𝑠)𝑒−𝛿𝑠

dove è una costante di tempo positiva.

A. 𝐹1(𝑠) =𝑘

1+𝜏𝑠𝑒−𝛿𝑠

Analizziamo preliminarmente le proprietà di stabilita a ciclo chiuso per la Fdt senza il ritardo.

La FdT 𝐹1′(𝑠) =

𝑘

1+𝜏𝑠 ha un diagramma di Nyquist che, limitatamente alle frequenza positive, è

interamente contenuto nel IV° quadrante (v. Figura 11-(a)). Ciò dipende dal fatto che la fase di

𝐹1′(𝑗𝜔) è sempre compresa tra 0 e -90°. Il diagramma parte per =0 dal punto (k,0), e converge

all’origine per → con un andamento simile a quello riportato nella Figura 11-(a).

Quindi, la FdT senza il ritardo da luogo ad un sistema che, a ciclo chiuso, è sempre stabile

qualunque sia il valore di k. Questa è una proprietà facilmente verificabile analizzando luogo delle

radici della 𝐹1′(𝑠) =

𝑘

1+𝜏𝑠 .

Le cose cambiano quando si include la presenza del ritardo .

Un importante risultato preliminare valido in presenza del ritardo può essere dedotto ragionando

sul fatto che qualunque sia il valore del ritardo (che come visto in precedenza non altera il

diagramma dei moduli) il modulo della funzione di risposta armonica 𝐹1 (𝑗𝜔) è sempre inferiore a

k, eccetto che alla frequenza nulla in corrispondenza della quale il modulo assume proprio tale

valore. Si presti attenzione al fatto che stiamo considerando, in questa sede, il valore “naturale”

del modulo, e non il suo valore in dB che si incontra nel diagramma di Bode.

Una banale conseguenza del criterio di stabilità di Nyquist è che se il modulo della FdT a ciclo

aperto è sempre minore di uno a tutte le frequenze allora il sistema a ciclo chiuso è certamente

stabile. In questo caso, difatti, i diagramma completo di Nyquist è interamente contenuto

all’intermo della circonferenza di raggio unitario, e non può quindi circondare in nessun modo il

punto critico.

Sulla base di tale ragionamento si desume che il sistema in esame è sempre stabile se k<1,

qualunque sia il valore del ritardo 𝝉.

Nella figura 11-(b) si riportano due possibili andamenti per i diagrammi di Nyquist della F1(s) =k

1+τse−δs, in corrispondenza di due diversi valori 1 e 2 del ritardo, con 1 < 2 . Il ritardo

“distorce” l’andamento del diagramma di Nyquist.

Nei diagrammi delle FdT con ritardo la fase non è più compresa tra 0 e -90° a causa del progressivo

sfasamento in ritardo, crescente con , introdotto dal ritardo. Anche in presenza di un ritardo


molto piccolo la fase varierà tra 0 e - al variare di da 0 a , e come risultato il diagramma di

Nyquist mostrerà delle rotazioni contrattive verso l’origine, La convergenza verso l’origine è

garantita dal fatto che il valore del modulo tende a zero per tendente a .

Figura 11 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 𝐅𝟏′(𝐬) =

𝐤

𝟏+𝛕𝐬 e con ritardo 𝐅𝟏(𝐬) =

𝐤

𝟏+𝛕𝐬𝐞−𝛅𝐬

In particolare, a causa della presenza del ritardo i diagrammi ora intersecano il semiasse reale

negativo in un punto P la cui ascissa p dipende dal valore del ritardo. Si può affermare che al

crescere del ritardo il punto P si sposta verso sinistra. L’ascissa del punto P è inoltre direttamente

proporzionale, in valore assoluto, al valore del guadagno k. Sfruttiamo tale proprietà per calcolare

il massimo valore consentito per il guadagno k (guadagno critico)

Sia p=p() l’ascissa del punto di intersezione con il semiasse reale negativo in corrispondenza di un

generico valore di quando k=1.

Valori di k superiori alla soglia kcr= kcr()=1/p() destabilizzano il sistema a ciclo chiuso in quando

collocano il punto di intersezione alla sinistra del punto critico.

Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha quindi in definitiva, per un prefissato valore

* del ritardo:

- Sistema stabile se k < kcr(*)

- Sistema instabile se k > kcr(*)

- Sistema al limite di stabilità se k= kcr(*)

essendo kcr(*)=1/p(*) , ove p=p(*) è l’ascissa del punto di intersezione del diagramma di Nyquist

con il semiasse reale negativo quando =* e k=1. In base alle considerazioni precedentemente

sviluppate, il valore kcr sarà sempre maggiore dell’unità

Analizziamo ora cosa succede tenendo costante k ad un valore maggiore di uno (per valori inferiori

ad uno si è già mostrato come il sistema sia sempre stabile indipendentemente dal ritardo) e

facendo variare il ritardo . Al crescere del ritardo il punto di intersezione con il semiasse reale

negativo si sposta progressivamente verso sinistra, tendendo “asintoticamente” verso il punto (-

k,j0), che si trova alla sinistra del punto critico in conseguenza del fatto che si sta considerando il

caso k>1.

k •

k •

(-1,0) (-1,0)

𝛿1 𝛿2

11-(a) 11-(b)

𝛿1< 𝛿2

𝛿 = 0


Pertanto, con k > 1, quando il ritardo eccede una certa soglia cr= cr(k) il punto di intersezione si

sarà spostato alla sinistra del punto critico (-1,j0), destabilizzando quindi il sistema a ciclo chiuso

sulla base del criterio di stabilità di Nyquist.

Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha pertanto,

- Sistema sempre stabile se k 1

- Fissato k > 1:

o Sistema stabile se < cr

o Sistema instabile se > cr

o Sistema al limite di stabilità se = cr

La determinazione analitica del valore di cr sarà affrontata nel prosieguo del documento.

Si faccia riferimento al file “F1.mdl”, che simula il sistema a ciclo chiuso con 𝜏 = 1𝑠. Si può

verificare mediante simulazione come ponendo k=2 si ottiene un cr pari a 1.21s circa. Si riporta a

seguire lo schema Simulink.

𝐵: 𝐹2(𝑠) =𝑘

𝑠𝑒−𝛿𝑠

L’analisi della stabilità a ciclo chiuso della FdT 𝐹2(𝑠) viene condotta in maniera simile al

precedente caso A. La FdT senza ritardo F2′ (s) =

k

s ha un diagramma di Nyquist completo come

quello riportato nella Figura 12-(a), nel quale viene evidenziata anche la “richiusura” all’infinito da

effettuarsi in senso orario. Poiché il diagramma completo in Figura 12-(a) non circonda il punto

critico (-1,j0) si può concludere che il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si

scelga k > 0. L’introduzione del ritardo provoca la comparsa di una rotazione contrattiva verso

l’origine simile a quella visto nell’esempio precedente ( v. Figura 12-(b)).

y(t)

Transport

DelayTransfer Fcn

1

s+1

Gain 3

2

1


Figura 12 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 𝐅𝟐′(𝐬) =

𝐤

𝐬 e con ritardo 𝐅𝟐(𝐬) =

𝐤

𝐬𝐞−𝛅𝐬

La presenza di un punto di intersezione con l’asse reale negativo significa che fissato uno specifico

valore del ritardo *, vi sarà un kcr= kcr(*) tale che valori superiori ad esso destabilizzeranno il

sistema a ciclo chiuso. La determinazione analitica di kcr può essere condotta analogamente a

quanto presentato nel precedente caso A. in funzione della l’ascissa del punto di intersezione del

diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo quando =* e k=1. A differenza dal caso A

precedente, non si può più però affermare con certezza che kcr è maggiore di 1.

Poiché, inoltre, al crescere del ritardo il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si

sposta verso sinistra, vi sarà come prima anche un cr= cr(k). Nel caso in esame un ritardo

sufficientemente elevato sarà sempre destabilizzante, qualunque sia il valore di k (non più, come

nel caso A, solo quando si aveva k>1). La determinazione analitica del valore di cr sarà affrontata

nel prosieguo del documento.

𝐶: 𝐹3(𝑠) =𝑘

𝑠(1 + 𝜏𝑠)𝑒−𝛿𝑠

La Figura 13-(a) riporta il diagramma di Nyquist completo della FdT senza ritardo 𝐹3′(𝑠) =

𝑘

𝑠(1+𝜏𝑠),

La parte “positiva” del diagramma di Nyquist (cioè quella corrispondente a valori della frequenza

compresi tra 0 e infinito) è interamente contenuta nel terzo quadrante, come conseguenza del

fatto che il corrispondente valore di fase varia tra -90° e -180°. Il diagramma mostra come il

relativo sistema a ciclo chiuso sia sempre stabile comunque si scelga k > 0. Infatti non vi è un

punto di intersezione con il semiasse reale negativo che si sposti verso sinistra al crescere di k e il

punto critico (-1,j0) rimane sempre al di fuori della regione di piano individuata dalla richiusura del

diagramma di Nyquist completo.

Nel medesimo diagramma possiamo anche leggere graficamente il valore del margine di fase m

individuando il punto di intersezione A tra il diagramma e la circonferenza di raggio unitario

• • (-1,0) (-1,0)

𝛿1

𝛿2

=0+

=0−

= = =-

12-(a)

12-(b)

𝛿1< 𝛿2

=0+


centrata nell’origine e valutando l’angolo m che la congiungente AO individua con l’asse reale

negativo. L’analisi del diagramma della FdT con il ritardo (Fig. 13-(b)) vede ancora la presenza delle

“rotazioni” nel percorso verso l’origine, e di un punto di intersezione con il semiasse reale negativo

che si sposta verso sinistra all’aumentare del ritardo 𝛿 e/o del guadagno k. Sulla base di

considerazioni analoghe a quelle sviluppate nel precedente esempio B, il sistema a ciclo chiuso con

un ritardo non nullo viene quindi destabilizzato sia da guadagni k troppo elevati, che (qualunque

sia k anche eventualmente <1) da ritardi troppo elevati.

Figura 13 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 𝐹3′

(𝑠) = 𝑘𝑠(1+𝜏𝑠)

e con ritardo 𝐹3(𝑠) =

𝑘

𝑠(1+𝜏𝑠)𝑒−𝛿𝑠

4. Determinazione per via grafica del guadagno critico e del ritardo critico

Vediamo ora una semplice procedura per ricavare per via grafica i valori di kcr e di cr. Sia

𝐹(𝑠) = 𝑘𝐹′(𝑠)𝑒−𝛿𝑠 (17)

Fissato un valore per , vediamo come si determina il guadagno critico kcr. Si tracciano i diagrammi

di Bode della funzione 𝐹′(𝑠)𝑒−𝛿𝑠 (che non dipende dal valore del guadagno) e si deve valutarne il

margine di guadagno MgdB in decibel. Graficamente si deve individuare la pulsazione cr

(“pulsazione critica”) alla quale la fase vale -180° ed il corrispondente valore in dB del modulo,

cambiato di segno, è il margine di guadagno (v. Figura 14)

Una volta determinato il margine di guadagno, il guadagno critico vale

𝑘𝑐𝑟 = 10𝑀𝑔𝑑𝐵 /20 (18)

• • (-1,j0)

(-1,0)

𝛿1

𝛿2

=0+

=0−

= =

13-(a)

13-(b)

𝛿1< 𝛿2

(0,-j)

m

=0+

A

O


Figura 14 – Valutazione grafica del margine di guadagno e del margine di fase

Fissato un valore per k vediamo ora come si determina il ritardo critico cr.

Si deve stavolta determinare il margine di fase della funzione di trasferimento 𝑘𝐹′(𝑠) (tale FdT

non dipende dal valore del ritardo). Graficamente, dopo averne tracciato i diagrammi di Bode si

deve individuare la pulsazione t (“pulsazione di attraversamento”) alla quale il modulo in dB vale

zero e valutare lo sfasamento 𝜑∗ = 𝜑(𝜔𝑡) a tale pulsazione. Il margine di fase è pari a (v.figura 14)

𝑚𝜑 = 180 + 𝜑∗ (19)

Dal margine di fase 𝑚𝜑 della FdT 𝑘𝐹′(𝑠), e dal valore della associata pulsazione di

attraversamento t è possibile risalire facilmente al valore del ritardo critico, che vale

cr= m/t (20)

Giustifichiamo la semplice formula (20). Il ritardo finito non altera il valore dei moduli (quindi non

altera la pulsazione di attraversamento 𝜔𝑡) e introduce uno sfasamento in ritardo variabile con la

frequenza di valore 𝜑(𝜔) = −𝛿 (v. (14)). Alla frequenza di attraversamento t il termine di

ritardo introduce pertanto uno sfasamento pari a −𝜔𝑡𝛿 . La condizione che deve essere

rispettata per il mantenimento della stabilità è che il ritardo di fase introdotto alla frequenza t

non ecceda, in modulo, il margine di fase.

log()

log()

MdB()=20log10(M())

()

−180°

cr

MgdB

t

m


5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua calda acqua fredda

Esempio 4 – Miscelatore acqua calda-acqua fredda

Consideriamo un sistema di miscelazione di acqua calda e acqua fredda che consenta di ottenere acqua miscelata a una certa temperatura di riferimento (set-point). Si faccia riferimento alla Figura 15.

Figura 15 – Schema di principio di un miscelatore acqua calda acqua fredda

Il sistema non è molto dissimile dallo scambiatore del precedente esempio 3.

Descriviamo nel dettaglio tutte le componenti del sistema ricavando anche opportune equazioni di

funzionamento che ci consentano di costruire un modello Simulink e simulare il funzionamento del

miscelatore.

A. Un trasduttore di temperatura, che ipotizziamo avere un range di misura lineare tra 20÷60°C,

e uscita in corrente 4÷20 mA. La dinamica del sensore è trascurabile rispetto agli altri

componenti del sistema di controllo. Il sensore di temperatura fornisce una uscita 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 pari a

4 mA quando la temperatura 𝑇° nel punto di misura è pari a 20°, e fornisce una uscita pari a

Regolatore

− +

[Set-point]

Servovalvola

I / P

Sensore di

temperatura

Convertitore Corrente/Pressione

pneumatica

𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴

Acqua calda

Acqua

miscelata

d

Acqua fredda

𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴

𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖

𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴

𝑇0 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐0


20 mA quando la temperatura 𝑇° nel punto di misura è pari a 60°. Quindi la caratteristica del

sensore nel suo campo di funzionamento lineare può essere cosi rappresentata:

𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 = 4 𝑚𝐴 + 𝐾𝑇(𝑇° − 20°𝐶) 𝐾𝑇 =

(20−4)

(60−20)

𝑚𝐴

°𝐶= 0.4

𝑚𝐴

°𝐶 (21)

Nella equazione precedente 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 è il valore di uscita in mA fornito dal sensore, 𝑇° è la

temperatura dell’acqua nel punto di misura espressa in °C, e KT è il guadagno del sensore di

temperatura.

B. Un circuito elettrico che genera il set-point. Il set-point deve poter essere confrontato con

il segnale di misura 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴 , e deve pertanto essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA che è

il range del segnale di misura prodotto dal sensore di temperatura.

Essendo 𝑇𝑑𝑒𝑠° il valore desiderato in gradi per la temperatura nel punto di misura, il segnale di set-

point, che chiamiamo 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴 , sarà generato in base alla seguente relazione, che riproduce la

caratteristica di misura del sensore di temperatura

𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴 = 4 𝑚𝐴 + 𝐾𝑇(𝑇𝑑𝑒𝑠

° − 20°𝐶) 𝐾𝑇 = 0.4𝑚𝐴

°𝐶 (22)

C. Un regolatore di tipo proporzionale con quadagno KP=5. E’ un dispositivo che deve

produrre in uscita una corrente proporzionale alla differenza tra due correnti in ingresso secondo

la relazione

𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 = 12𝑚𝐴 + 𝐾𝑝(𝑇𝑑𝑒𝑠

𝑚𝐴 − 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑚𝐴) (23)

Il valore del bias nella (23), posto pari a 12 mA, è scelto alla metà del range consentito 4÷20 mA

per il segnale 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 in modo da massimizzare il range di funzionamento lineare del sistema di

controllo per valori positivi e negativi dell’errore 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑚𝐴 − 𝑇𝑚𝑖𝑠

𝑚𝐴 (se 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 superasse il valore di 20

mA o scendesse sotto i 4mA l’attuatore andrebbe difatti in “saturazione”).

D. Un convertitore corrente/pressione che deve convertire il segnale in corrente 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴

prodotto dal regolatore in un segnale di tipo pneumatico che possa direttamente pilotare la

servovalvola pneumatica di regolazione.

Un range operativo comune per le servovalvole pneumatiche è 3÷15 psi. Ricordiamo che

1 psi 0.06 Atm 15 psi 1.02 Atm

Il convertitore I/P “modula” pertanto la pressione in un circuito pneumatico connesso ad una rete

di distribuzione di aria compressa, che deve pertanto essere disponibile. Il convertitore I/P deve

“mappare” il segnale 𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 (che varia nel range 4÷20 mA ) in un segnale in pressione equivalente

nel range 3÷15 psi. Il foglio di specifica del convertitore suggerisce inoltre di tenere conto di una


dinamica del primo ordine con una costante di tempo 𝜏𝐼/𝑃 = 0.7 𝑠. Definiamo pertanto una

variabile ausiliaria 𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 che governa la parte “statica” della conversione I/P (eq. (24)) e

generiamo il segnale di pressione effettivo 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 in uscita dal convertitore I/P filtrando la variabile

ausiliaria 𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 con un filtro passa-basso a guadagno unitario e costante di tempo 𝜏𝐼/𝑃 (eq. (25))

𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖

= 3 𝑝𝑠𝑖 + 𝐾𝐼/𝑃(𝑚𝑟𝑒𝑔𝑚𝐴 − 4 𝑚𝐴) 𝐾𝐼/𝑃 =

(15−3)

(20−4)

𝑝𝑠𝑖

𝑚𝐴= 0.75

𝑝𝑠𝑖

𝑚𝐴 (24)

𝜏𝐼/𝑃 �̇�𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖

+ 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖

= 𝑝1𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 (25)

Le equazioni (24) e (25) si realizzano in termini di schemi a blocchi come riportato in Figura 16

Figura 16 – Schema a blocchi per il convertitore I/P

E. Una servovalvola pneumatica che con un ingresso nel range 3÷15 psi compia l’intera

corsa. Il foglio di specifica della servovalvola ne riporta la costante di tempo 𝜏𝑉 pari a 3 secondi.

Si deve modellare il legame dinamico tra il segnale di pressione in ingresso alla valvola, 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 , e la

temperatura dell’acqua nel punto di misura 𝑇° intesa come variabile di uscita. La costante di

tempo 𝜏𝑉 che modella la risposta dinamica della servovalvola è da considerarsi dominante rispetto

alle costanti di tempo proprie dei transitori termici di miscelazione. Quindi la temperatura

dell’acqua nel punto di miscelazione 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 dipenderà dal segnale di pressione 𝑝𝑟𝑒𝑔

𝑝𝑠𝑖 secondo una

FdT del primo ordine avente come costante di tempo la costante di tempo 𝜏𝑉 della valvola. Per

determinarne il guadagno 𝐾𝑉 si deve fare qualche ipotesi e qualche ragionamento.

Osserviamo preliminarmente che il legame tra 𝑇° e 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 sarà con buona approssimazione un

ritardo puro , proporzionale alla distanza d tra il punti di miscelazione e il punti di misura ed

inversamente proporzionale alla velocità di transito dell’acqua nella tubazione:

𝑇°(𝑡) = 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 (𝑡 − ) (26)

Ora ritorniamo al problema della determinazione del guadagno 𝑲𝑽. Ipotizziamo che la

temperatura della acqua fredda sia di 20°C. Ciò implica che con la valvola completamente chiusa

(𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖 = 3 𝑝𝑠𝑖) il valore di regime per 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐

𝑜 sarà pari a 20°C.

Ciò implica la seguente forma per la relazione tra le variabili in gioco


𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 − 20°𝐶 =

𝐾𝑉

1 + 𝜏𝑉𝑠(𝑝𝑟𝑒𝑔

𝑝𝑠𝑖− 3𝑝𝑠𝑖)

Si noti come la precedente relazione, non completamente rigorosa da un punto di vista

matematico formale, combina la presenza di segnali funzione del tempo e di FdT funzioni della

variabile s di Laplace. Il suo significato è esemplificato dal seguente schema a blocchi

Le equazioni di funzionamento complessive, comprendenti anche il legame (26), sono

implementate mediante lo schema a blocchi riportato nella Figura 17:

Figura 17 – Schema a blocchi per la servovalvola

Ai fini della determinazione del guadagno KV , ipotizziamo che con la valvola tutta aperta (𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖

=

15 𝑝𝑠𝑖) il valore di regime per 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 (e quindi anche per 𝑇𝑜 ) sia pari a 60°C.

Il valore di regime per 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 quando 𝑝𝑟𝑒𝑔

𝑝𝑠𝑖 è pari a 15 𝑝𝑠𝑖 vale 20+KV (15−3). Affinché tale valore

sia pari a 60°C, il guadagno KV deve valere

𝐾𝑉 =60−20

15−3

°𝐶

𝑝𝑠𝑖= 3.33

°𝐶

𝑝𝑠𝑖 (27)

Implementando mediante schemi a blocchi tutte le equazioni ricavate finora si ottiene lo Schema

Simulink riportato nella pagina seguente (file “miscelatore.mdl”). Si riporta il file

“miscelatore_dati.m “ che contiene le assegnazioni per i parametri.

% TRASDUTTORE DI TEMPERATURA

K_T=0.4;

% REGOLATORE PROPORZIONALE

Kp=5;

% CONVERTITORE CORRENTE PRESSIONE

K_IP=0.75;

tau_IP=0.7;

% VALVOLA

K_V=3.33333;

tau_V=3;

%RITARDO

delta=0.5; % il valore del ritardo e’ scelto a caso

𝐾𝑉

1 + 𝜏𝑉𝑠 𝑒−𝛿𝑠

𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜

𝑝𝑟𝑒𝑔𝑝𝑠𝑖

20

+

+

20

+

+

−

3

𝑇𝑜 − 20

𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 − 20

𝑇𝑜

𝐾𝑉

1 + 𝜏𝑉𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑔

𝑝𝑠𝑖 − 3𝑝𝑠𝑖 𝑇𝑚𝑖𝑠𝑐𝑜 − 20°𝐶


T°-

20°C

T_des^m

A

T_m

is^m

A

p_re

g^p

si

T°

p_re

g^p

si

p_1re

g^p

si

m_re

g^m

AT

°_m

isc

T°_

des

T°

T_m

is^m

A

Serv

ovalv

ola

3.3

333

3s+1

Ritard

o f

inito

Riferim

ento

K_IP

Rego

lato

re

Kp

Guadagno

senso

redi te

mpera

tura

K_T

Filt

ro d

el

rife

rim

ento

1

3s+1

Co

nvert

ito

re I/P

1

tau_

IP.s

+1

Co

nvers

ione d

el

rife

rim

ento

4+K

_T*(

u-20)

3

20

43

12

4

20

Schema SIMULINK

Files “miscelatore.mdl”

“miscelatore_dati.m“


Esplicitiamo la funzione di trasferimento a ciclo aperto

𝐹(𝑠) = 𝐹′(𝑠)𝑒−𝑡0𝑠 =𝐾𝑝𝐾𝐼/𝑃𝐾𝑉𝐾𝑇

(1+𝜏𝐼/𝑃𝑠)(1+𝜏𝑉𝑠)𝑒−𝛿𝑠 =

5

(1+0.7𝑠)(1+3𝑠)𝑒−𝛿𝑠 (28)

𝐹′(𝑠) =5

(1+0.7𝑠)(1+3𝑠) (29)

% ANALISI DEL SISTEMA MISCELATORE

% FUNZIONE DI TRASFERIMENTO A CICLO APERTO

% F(s)=F'(s) e^(-delta s)

% NUMERATORE E DENOMINATORE DELLA FdT F'(s)

num_Fprimo=Kp*K_IP*K_V*K_T;

den_Fprimo=conv([tau_V 1],[tau_IP 1]);

Fprimo=tf(num_Fprimo,den_Fprimo);

% CALCOLO DEI MARGINI DI STABILITA’

margin(Fprimo),grid

L’istruzione margin produce il seguente diagramma, in cui vengono anche restituiti i valori della

pulsazione di attraversamento e del margine di fase

Figura 18. Diagrammi di risposta armonica della FdT a ciclo aperto.

𝐏𝐮𝐥𝐬𝐚𝐳𝐢𝐨𝐧𝐞 𝐝𝐢 𝐚𝐭𝐭𝐫𝐚𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝜔𝑡 = 1.22 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitude (dB)

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

-180

-135

-90

-45

0

Phase (deg)

Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 64.7 deg (at 1.22 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


𝐌𝐚𝐫𝐠𝐢𝐧𝐞 𝐝𝐢 𝐟𝐚𝐬𝐞 𝑚𝜑 = 64.7° = 1.129 𝑟𝑎𝑑

Applicando la relazione (20) è possibile determinare il ritardo critico

𝛿𝑐𝑟 =𝜔𝑡

𝑚𝜑 =1.129

1.22= 0.9254 𝑠 (30)

Nella Figura 19 sono riportati i diagrammi di modulo e fase della funzione di risposta armonica

𝐹(𝑗𝜔) per tre diversi valori del ritardo: =0, =1=0.5 s , e =2=1s. Si può notare come in

corrispondenza della pulsazione di attraversamento 𝜔𝑡 la curva nera (=0) e la curva rossa

(=0.5) stiano sopra la retta a -180°, mentre la curva blu (=1) sta al di sotto a indicare come il

sistema a ciclo chiuso sia instabile.

Figura 19 Diagrammi di modulo e fase della FdT 𝐅(𝐬) per diversi valori del ritardo

La sequenza di istruzioni Matlab che genera la Figura 19 è riportata nel seguito:

delta1=0.5;

delta2=1;

W=logspace(-2,1,200);

[MAG,PHASE,W] = BODE(Fprimo,W);

PHASE_rit1=PHASE(:,:)'-W.*((delta1*360)/(2*pi));

PHASE_rit2=PHASE(:,:)'-W.*((delta2*360)/(2*pi));

figure(2)

subplot(2,1,1)

semilogx(W,20*log10(MAG(:,:))),grid,title('Diagramma dei moduli'),

subplot(2,1,2)

semilogx(W,PHASE(:,:),'k',W,PHASE_rit1,'r',W,PHASE_rit2,'b'),

grid,title('Diagramma delle fasi con \delta=0 (curva nera), \delta = 0.5 …

secondi (curva rossa) e \delta= 1 s(curva blu)'),

xlabel('Omega [rad/sec]')

10-2

10-1

100

101

-40

-20

0

20Diagramma dei moduli

10-2

10-1

100

101

-800

-600

-400

-200

0Diagramma delle fasi con =0 (curva nera), =0.5 secondi (curva rossa), e =1 s (curva blu)

Omega [rad/sec]


Il sistema a ciclo chiuso con kp = 5 è stabile per valori del ritardo inferiori al 𝛿𝑐𝑟 calcolato nella

eq. (30), ed instabile per valori di superiori. Nei test è stato impiegato il seguente set-point di

riferimento 𝑇𝑑𝑒𝑠° , espresso in gradi centigradi, per la temperatura dell’acqua miscelata. Tale

segnale è generato dalla serie dei blocchi “Riferimento” e “Filtro del RIferimento” a sinistra nello schema a blocchi complessivo riportato a pagina 23.

Figura 20. Il set-point 𝐓𝐝𝐞𝐬°

Nella Figura 21 sono riportati i grafici della temperatura T° nel punto di misura e il grafico della

pressione di comando pregpsi

della servovalvola nel caso di assenza di ritardo, =0. L’uscita mostra

un transitorio aperiodico, mentre la pressione di comando presenza un debole comportamento

oscillatorio.

Figura 21. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando 𝐩𝐫𝐞𝐠

𝐩𝐬𝐢 della

servovalvola (destra) quando =0.

Si noti come sia presente un errore a regime sulla temperatura T° nel punto di misura (il sistema di

controllo è infatti di tipo 0). Si noti anche come la pressione di comando si porta a un primo valore


di regime di poco superiore a 5 psi e successivamente, a fronte dell’incremento della temperatura

richiesta, si porta ad un nuovo valore di regime di poco inferiore a 8 psi per incrementare la

portata di acqua calda. La Figura 22 mostra i medesimi grafici ma con un ritardo =0.5, che è un

valore inferiore al ritardo critico.

Figura 22. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando pregpsi

della servovalvola (destra) nel caso di ritardo =0.5

Ora anche l’uscita ha un transitorio oscillatorio, e le oscillazioni della pressione di comando sono di

ampiezza più elevata rispetto alla curva in Figura 21, chiaro sintomo del fatto che il margine di fase

è diminuito (lo smorzamento del modo dominante diminuisce al decrescere del margine di fase).

Come ultimo test il valore del ritardo è stato posto pari ad 1, un valore superiore al ritardo critico

che infatti, come si evince dalla figura 23, destabilizza il sistema a ciclo chiuso.

Figura 23. Grafico della temperatura T° nel punto di misura nel caso di ritardo =1

Abbreviazioni

FdT Funzione di trasferimento

TdL Trasformata di Laplace

I/O Ingresso-Uscita

SISO Single-Input-Single-Output

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