Incontro III

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Cremona

E se il rombo fosse incernierato alla guida in

modo diverso …

Rimini, 6 Aprile 2011

Produzione di ipotesi prima di avere manipolato la macchina e

aver visto cosa faCosa potrebbe fare questa macchina?

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Analogie e differenze nella struttura con il pantografo per la

simmetria assiale

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Esplorazione del pantografo

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Come è fatta la macchina

Cosa fa la macchina

Perché lo fa

Stiramento

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I triangoli FQG e MPN sono simili:

QH:PH=QF:PM

QH:PH=(QB+BM):PM

QB=l PM=d

QH:PH=(2l-d):d

K=(2l-d)/d

Equazioni:

x'=-kxy'=y

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Zone di piano messe in corrispondenza dalla trasformazione geometrica

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Genesi spaziale

Nel modello fisico, le lastre rettangolari p (trasparente) e p’ rappresentano due piani incidenti lungo la retta u. Le figure tracciate su p’ si possono considerare come ombre solari di quelle giacenti su p. I raggi del sole (materializzati nel modello con fili tesi e supposti paralleli) determinano, in generale, una corrispondenza biunivoca (prospettività con centro improprio) tra p e p’: ad ogni punto P di p corrisponde in p’ la sua ombra P’.

Genesi spaziale

Il modello permette di ruotare p attorno alla retta u.Si può osservare che:- durante la rotazione i raggi (i fili tesi) rimangono paralleli;- quando p è sovrapposto a p’, i raggi (i fili) che congiungono due punti corrispondenti qualsiasi sono perpendicolari ad u. Se p e p’ sono sovrapposti, la corrispondenza esistente fra i loro punti P e P’ diventa una trasformazione geometrica nota come stiramento (particolare omologia affine).

Genesi spaziale

Idee di percorsi didattici

• Indicazioni metodologiche• Alcune linee guida e materiali di

lavoro• Idee di percorsi

Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Indicazioni metodologiche

1. Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso.

2. Lavoro a piccoli gruppi.3. Verbalizzazione scritta (più o meno

strutturata)4. Discussioni di bilancio con produzione di

testi collettivi condivisi

Quanto tempo?

Almeno 3 ore per introdurre la prima macchina (esplorazione e successiva discussione) e poi, a seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi?

Aspetti legati• Alla geometria: analisi delle proprietà delle

figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)…

• All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure…

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Quali possibili obiettivi?

Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui:

• vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione

• siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Per questo, durante le attività laboratoriali

Si vuole dare spazio a:• Attività di esplorazione• Manipolazioni ed osservazioni di oggetti

fisici• Verbalizzazione (orale e scritta)• Discussioni collettive

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Qual è la matematica in gioco?

Possibili percorsi di sperimentazione

1. I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento

2. Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo!

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

• Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso)

• Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina)

• Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

Percorso 1: simmetria assiale e stiramento

Come è fatta la macchina?

Cosa fa?

Perché lo fa?

Produzione di testi descrittivi e argomentativi

Discussioni matematiche

Indicazioni metodologiche

1. Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti)2. Strumenti: pantografi e fogli bianchi3. Richiesta di verbalizzazione scritta (più o

meno strutturata) dell’attività con la macchina

4. Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Linee guida per le attività degli studenti

1. Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?)

2. Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?)

3. Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?)

4. Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

Cosa succederebbe se…

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

E ora un altro pantografo!

Come è fatta la macchina?Cosa fa?

Perché lo fa?

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Pantografo di Scheiner

zone di piano messe in corrispondenza:

punti interni al cerchio c1 (per P) e punti interni al cerchio c2 (per Q)

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Omotetia

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Occorre dimostrare:

• OBP simile a OAQ

• O, Q e P allineati

'

'

x kx

y ky

Nel piano cartesiano:

Percorso 2:Pantografo di Scheiner:

Esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo…

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Pantografo di Scheiner(1631)

Scuola secondaria di primo e secondo gradoscuole professionali

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Attività a piccoli gruppi su consegne aperte o guidati da schede:

• esplorazione della macchina con l’obiettivo di ricostruirla e di modificarla ;

• individuazione ed analisi delle caratteristiche della trasformazione svolta dalla macchina.

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Pantografo di Scheiner: Dimostriamo: perché svolge una omotetia?

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Esempi di dimostrazioni

Partendo da triangoli simili…Partendo da triangoli congruenti…

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Da una sperimentazione in classe

Alcuni protocolli dei ragazzi

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Cosa succederebbe se…?

Volessimo un altro rapporto?

11 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

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E se le aste non formassero triangoli isosceli, ma scaleni?

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Un esempio di attività che utilizza delle simulazioni delle

macchineR. Garuti

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Grazie!

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