1

Immettenze LC 1

Immettenze di rete passive

Divido per II*

Fissato per ogni ramo un verso per le i si definiscono i vettori

ramo di tensionivmassa) a (rispetto nodo di tensionie

ramo di correnti i

k

n

k

ℜ∈

ℜ∈ℜ∈

i j

iij+ -vij=ei-ej

i1(t)

Immettenze LC 2

k k k* * * * * *

1 1 i i 1 1 i i 1 i ii 2 i 2 i 2

* k*1 1

i i2*i 2

k*

i i2i 2

v i v i 0 -v i v i v j v i

Per definizione di impedenza, nel dominio di sV (s) V (s) J (s) 1Z(s) Z(s) VI J(s) J(s) J (s) J(s)

1Z(s) VI J(s)

= = =

=

=

+ = = =

= = =

=

∑ ∑ ∑

∑

∑

ReteRLCMv1(t)

i1(t)

j

k*

i ii 1

Per il teorema di Tellegen v i 0=

=∑

2

Immettenze LC 3

*

Definizione

Una funzione F(s) è una funzione reale positiva se

F(s) è una funzione razionale reale (rapporto di polinomi a coefficienti reali)

0se se 0F(s)e ≥ℜ≥ℜ

K

Mk1 Mk2

Immettenze LC 4

Teorema di Brune o di realizzabilità RLC

Se F(s) è un’immettenza RLC(M) allora F(s) è una funzione reale positiva.Se F(s) è una funzione reale positiva allora esistono immettenze RLC(M) tali che

Z(s)=F(s) e Y(s)=F(s)Cioè F(s) si dice ‘realizzabile RLC(M)’

j

M

1jkjkkk

kkkk IMsIsLI

sC1IRV ∑

=

+++=

Sostituendo Vk nell’espressione di Z(s)

)IIMsIIsLIIsC

1II(RI(s)

1Z(s) *k

kj

M

1jkj

*kkk

*kk

k

*kkk2 ∑ ∑

=

+++=

Dimostrazione (solo condizione necessaria)Per il generico ramo * si ha

3

Immettenze LC 5

*k

kj

M

1jkj0

k

2

kk k

0

2

kk

k0

2

kk0

IIM(s)M

,IC1(s) V,IL(s)T ,IR(s)F

:Posto

∑∑

∑ ∑∑

=

=

===

ed escludendo per semplicità la presenza di mutue, si ha

(s)]Vs1(s)sT(s)[F

J(s)1Z(s) 0002 ++=

da cui si conclude che1) Z(s) è una funzione razionale a coefficienti reali

2)

(s)]Vωσ

σ(s)σT(s)[FJ(s)

1Z(s)Re 022002 +++= da cui

positivi. termini i tutti essendo 0,Z(s)Re0σ ≥⇒≥c.v.d

ha si jωs posto, V,T ,F Poiché 000 +=ℜ∈ + σ

Immettenze LC 6

La III condizione esprime il fatto che il denominatore di Z(s) è un polinomio di Hurwitz

4

Immettenze LC 7

V1=2Vv5

+

-

I5=1A

Ω6Ω2

Ω4

i2

i1 i3

+

-

v3

i4

v4

+

i1=2A v5

+

-

I5

Ω9

Ω3

Ω5

i2

v1

i3

+

-

v3

i4V4=2i3

++

-

-+ v2-

Esercizio 1

Verificare il teorema di Tellegen per le reti in figura

Traccia•Determinare i vettori ia e ib delle correnti di ramo, ed i vettori va e vb delle

tensioni di ramo.•Verificare che

0;i v0;i v0;i v0;iv bTba

Tba

Tab

Ta ====

Immettenze LC 8

Esercizio 2

Data la funzione razionale

1ss1F(s)

2 ++=

accertare che sia reale positiva

Esercizio 3

Data la funzione razionale

1s32sF(s)

++=

accertare che sia reale positiva

5

Immettenze LC 9

Determinare Z(s) e accertare

che sia reale positivaZ(s)

Ω1

F1

1H

4H1HΩ2

2H

Esercizio 4

Immettenze LC 10

Sintesi di circuitiSintesi di circuitiSintesi di circuitiSintesi di circuitiImmettenzeImmettenzeImmettenzeImmettenze LCLCLCLC

IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneCondizioni di realizzabilitCondizioni di realizzabilitCondizioni di realizzabilitCondizioni di realizzabilitààààProprietProprietProprietProprietààààSintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di FosterFosterFosterFoster IIIISintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di FosterFosterFosterFoster IIIIIIIISintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di CauerCauerCauerCauer IIIISintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di CauerCauerCauerCauer IIIIIIII

6

Immettenze LC 11

Immettenze LC

(s)]Vs

(s)T[sV(s)

(s)Y(s)]Vs

(s)[sTJ(s)

(s)Z LCLC 0*0*

20021111 +=+=

Se s0 è uno zero di ZLC, ZLC(s0)=0, ovvero

0 =+= )](sVs

)(sT[sJ(s)

)(sZ LC 000

0002011

0,01

00

00200000

202 ≤−=⇒=+>

)(sT)(sVs)](sV)(sT[s

J(s) 0 allora

positivi. reali di rapporto quantoin ,0 Infatti00

00 ≥)(sT)(sV

Essendo

Gli zeri di ZLC sono PURAMENTE IMMAGINARI

Immettenze LC 12

Si potrà avere infatti:

)induttanze sono ci(non 0 se

capacità) sono ci(non 0 se 0

000

0

00

000

=∞=

±=

==

)(sTsTVjs

)(sVs

Anche gli zeri di YLC sono puramente immaginari (la dim. èanaloga).

Inoltre, essendo ZLC (s)=1/YLC(s), si ha che zeri E POLI diZLC (s) e YLC(s) sono puramente immaginari.

Inoltre, i poli sono semplici ed hanno residuo reale e positivo (dalle condizioni equivalenti a Brune)

7

Immettenze LC 13

ZLC(jωωωω) è una FUNZIONE DISPARI

Infatti:

Anche YLC(jω) è una funzione dispari (la dim. è analoga).

Ciò significa che ZLC e YLC sono rapporti tra un polinomio pari ed uno dispari, ad esempio

1

11

002

002

])(jV)(jT[)J(j

j

)](jVj

)(jT[j)J(j

)(jZ LC

ωωωω

ω

ωω

ωωω

ω

−=

=+=

.......

331

44220

+++++=

sbsbsasaa(s)Z LC ...

....4

42

20

331

+++++=sbsbb

sasa(s)Z LC

Questo, a sua volta implica che

Immettenze LC 14

s=0: o uno zero o un polo di ZLC o YLCCioè “0” E’ UNA FREQUENZA CRITICA

s=∞: o uno zero o un polo di ZLC o YLCCioè “∞” E’ UNA FREQUENZA CRITICA

Una frequenza critica di F(s) è una frequenza s per la quale F(s) si annulla o va all’ infinito (è uno zero o un polo di F(s)).

Poiché ZLC è composta di poli e zeri immaginari semplici, compresi uno in 0 ed uno all’ ∞

∑

++

−++= ∞ i

i

i

i

iLC js

KjsK

sKsK(s)Z

ωω

*0

Ove i Ki sono i RESIDUI

Ki=Ki*

8

Immettenze LC 15

REATTANZA FUNZIONE )(

)( cui Da

2con ,

220

220

*0

ℜ∈

=

−+−=

=+

++=

=

++

−++=

∑

∑

∑

∞

∞

∞

ω

ωωω

ωω

ωω

ω

ωω

X

jXKKj)(jZ

Ks

ssKsK

jsK

jsK

sKsK(s)Z

ii

iLC

iiii

i

ii

i

i

iLC

K

KK

Poiché i poli sono semplici

(s)ZjsK LCijsi i)(lim ωω −= →

Essendo i residui reali

Immettenze LC 16

9

Immettenze LC 17

ωωωωz3 ωωωωp2 ωωωωz2 ωωωωp1 ωωωωz1

ωωωωz1<ωωωωp1<ωωωωz2 <ωωωωp2<ωωωωz3 <ωωωωp3……≤0

Immettenze LC 18

)/( mn ba

10

Immettenze LC 19

Immettenze LC 20

11

Immettenze LC 21

Esempio

4)s(ss(sZ(s)

1 Foster di sintesi la mediante Z(s) Realizzare

2

22

+++= )9)(1

Z(s) è una funzione reattanza che che soddisfa le proprietà diun’immettenza LC:I suoi poli e zeri sono immaginari semplici:

0 21 3 ∞I residui sono positivi:

1s

Z(s)limK

415Z(s)

s4slim2K

49Z(s)s limK

s

2

4s2

0s0

2

==

=+=

=⋅=

→∞∞

−→

→

Immettenze LC 22

s4s

15s/4s

9/4 Z(s) :parziali frazioni in espansioneL'2

++

+=

Il circuito equivalenteZ(s)

H1

F 4/15

F 4/9 H 15/16

12

Immettenze LC 23

Immettenze LC 24

Nelle sintesi di Foster il numero di componenti utilizzato è il minimo necessario

Sono perciò dette CANONICHE

13

Immettenze LC 25

Esempio

)9s)(1(s 4)s(sY(s)

2Foster di sintesi la mediante Y(s) Realizzare

22

2

+++=

Y(s) è una funzione reattanza che che soddisfa le proprietà diun’immettenza LC:I suoi poli e zeri sono immaginari semplici:

0 21 3 ∞I residui sono positivi:

85Y(s)

s9slim2K

83Y(s)

s1slim2K

2

9s3

2

1s1

2

2

=+=

=+=

−→

−→

Immettenze LC 26

9s5s/8

1s3s/8Y(s) :parziali frazioniin espansioneL'

22 ++

+=

Il circuito equivalente

Y(s)H /38

F 3/8

H /58

F 5/72

14

Immettenze LC 27

Immettenze LC 28

15

Immettenze LC 29

Immettenze LC 30

16

Immettenze LC 31

Immettenze LC 32

17

Immettenze LC 33

Immettenze LC 34

18

Immettenze LC 35

Immettenze LC 36

19

Immettenze LC 37

Immettenze LC 38

EsempioSintetizzare l’impedenza

L’impedenza è realizzabile LC, quindi

2ss910ssZ(s)

3

24

+++=

(s)Zs(s)ZsKZ(s) 11 +=+= ∞

H 1

1Z

∞+

+=−+

++== all' zero 2ss98ss

2ss910sss-Z(s)(s)Z

3

2

3

24

1 ;

∞+

+== all' polo 98s 2ss

(s)Z(s)Y

2

3

11 ;1

∞+

=== ∞ all' zero 9)8(8s

s8s-(s)YsK'-(s)Y(s)Y

2112 ;7

∞+== all' polo 7s

9)8(8s(s)Y

(s)Z2

22 ;1

2Y

H1

1/8F

∞=−+=−= ∞ all' zero ;7s72s

764

7s 9)8(8ssK(s)Z(s)Z

2

23

3Z1/8F

7/72F

H1

1/8F

H 64/7

H 64/7

20

Immettenze LC 39

Immettenze LC 40

Con la divisione lunga

21

Immettenze LC 41

Immettenze LC 42

22

Immettenze LC 43

Immettenze LC 44

L’algoritmo consiste ancora nello scrivere affiancati a partire da

sinistra il denominatore ed il numeratore dell’immettenza in

oggetto.Questa volta però si determina il rapporto tra i

termini di grado minimo, prendendo sempre come

denominatore il termine più a sinistra.

23

Immettenze LC 45

EsempioSintetizzare l’impedenza

L’impedenza è realizzabile LC, quindi

2ss910ssZ(s)

3

24

+++=

(s)Z2s9(s)Z

sK

Z(s) 110 +=+=

2/9F

1Z

0 in zero ; 2s

s 11/2)s2s9-

2ss9s 10s

2s9-Z(s)(s)Z

2

3

3

24

1 ++=

+++== (

0 in polo ;11/2)ss

2s(s)Z1(s)Y

3

2

11 (+

+==

0 in zero 11s(2s

14s11s

4-s 11/2)s

2s11s

4-(s)Ys

K'-(s)Y(s)Y

2

2

3

2

112 ;)11(

0

+=

++===

0 in polo ;14s

11)11s(2s(s)Y1(s)Z

2

2

22

+==

2Y

2/9F

11/4H

;7

11s14s121

14s 11)11s(2s

sK(s)Z(s)Z

2

20

23

=

=−+=−=

3Z2/9F

F 14/121

H7112/9F

F 14/121

Immettenze LC 46

Con la divisione lunga

24

Immettenze LC 47

Anche nelle sintesi di Cauer il numero di componenti utilizzato è il minimo necessario (sono anche esse CANONICHE)

Immettenze LC 48

Esercizio 1

Z(s)sωs2K

che Dimostrare semplici. fratti in scomporre e litàrealizzabi-LC la verificare

3s4ss321s17s3sZ(s)

funzione la Data

2i

2

ωsi

35

246

2i

+=

+++++=

−→lim

TracciaVerificare la LC-realizzabilità usando la II condizione

25

Immettenze LC 49

9)1)(s(s4)s(sZ(s)

1 Foster di sintesi la mediante Z(s) impedenza di rete una Realizzare

22

2

+++=

Esercizio 2

Esercizio 3

4)s(s 9)1)(s(sY(s)

2 Foster di sintesi la mediante Y(s)ammettenza di rete una Realizzare

2

22

+++=

Immettenze LC 50

4)2)(ss(s5)3)(s1)(s(sZ(s)

1 Cauer di sintesi la mediante Z(s) impedenza di rete una Realizzare

22

222

+++++=

Esercizio 4

Esercizio 5

4)2)(ss(s5)3)(s1)(s(sZ(s)

2 Cauer di sintesi la mediante Z(s) impedenza di rete una Realizzare

22

222

+++++=

26

Immettenze LC 51

Sintetizzare una rete di ammettenza Y(s)

Esercizio 6

Soluzione5)2)(s2s(s

3)1)(s(sY(s)22

22

++++=