Il ruolo dei linguaggi in matematica: parlare, scrivere, inventare notazioni

Pier Luigi Ferrari Università degli Studi del Piemonte Orientale

‘Amedeo Avogadro’Sede di Alessandria

Linguaggi per comunicare

Linguaggi per rappresentare il sapere matematico

Linguaggi per fare calcoli

Funzioni dei linguaggi in matematica

Chiamare la figura di sinistra ‘rettangolo’ è funzionale all’organizzazione del sapere matematico.

Ma per comunicare fra persone è meglio usare ‘quadrato’.

Conflitti fra le funzioni

I, II, III, V, X, L, C, D, M

1, 2, 3, 5, 10, 50, 100, 500, 1000

Rappresentazione uniforme, procedimenti di calcolo

32519

2925325

6175

Concetti Rappresentazioni

3

III2+1

tre

2,99

[ ]

Analogia e convenzione

3

tre

Oggetti alla rinfusa

Legame analogico col numero ‘tre’

Rappresentazioni semiotiche

Forte componente convenzionale

Il numero ‘tre’

Obiettivi per l’educazione linguistica

Saper passare dall’uno all’altro

Utilizzare diversi sistemi semiotici

Testi verbali

Figure

Espressioni simboliche

Costruire la capacità di costruire testi adeguati e controllarli in quanto prodottiTecnologia

Non solo noti

Contesti reali di comunicazione

Oltre gli usi colloquiali

Vincoli sulle modalità

Obiettivi condivisi

Caratteristiche delle attività

Testi come prodotti

controllabili

Rilettura

Discussione Correzione

Trasformazione

Problema (Radford, 2000)

O O O O O O

O O O O O O O O O O

Trovare una formula per calcolare il numero delle palline di ogni figura.

Quante palline ci sono nelle figure fino alla ventesima?

“Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari”

Espressioni

che il contesto rende non ambigue

che aprono la strada a generalizzazioni

Qualche estratto (II elementare, Alessandria)

“Nelle figure cinque, quattro, tre, due i pallini della base sono uguali alla figura”

Ins.: “Alla figura o al numero indicato nella figura?”

“Eee … al numero indicato nella figura”

“Perché in alto ce n’è sempre una in meno”

Ins.: “In meno rispetto a che cosa?”

“Rispetto alla base”

Costruzione della formula

Numero della base per due meno uno = numero delle palline

n.base per due meno uno = n. delle palline

(n.base 2) – uno = n.palline

(n.base 2) – 1 = n.OO(n.— 2) – 1 = n.OO

Un anno dopo: stessa classe in III

ProblemaNella libreria della classe III B c’erano 58 libri. La maestra ne ha comprati altri 26. durante la notte scorsa dei ladri sono entrati nella scuola e hanno rubato 19 libri. Quanti libri sono rimasti nella libreria?

Verbalizzazioni

(libri precedenti + libri nuovi) – libri rubati = libri rimasti

(l.p. + l.n.) – l.r. = l.r. ‘libri rubati’ e ‘libri rimasti’ hanno le

stesse iniziali(l.p. + l.n.) – l.ru. = l.ri.

Per qualcuno non basta: ‘rimasto’ – ‘rimorchio’

Idea: legenda come sui libri

( + ) – O =

libri precedenti

libri nuovi

O libri rubati

libri rimasti

Legenda:

Scrittura di una civiltà extraterrestre?

(a + b) – c = d

a libri precedenti

b libri nuovi

c libri rubati

d libri rimasti

Legenda:

lettere dell’alfabeto

Modo uniforme per rappresentare la quantità sconosciuta

Tot (“tot bambini”, “ho speso un tot”)

x (“Mister x”, “ora x”)

(a + b) – c = x

a libri precedenti

b libri nuovi

c libri rubati

d libri rimasti

Legenda:

Consapevolezza delle funzioni della descrizione del procedimento risolutivo

Le funzioni non sono imposte dall’esterno ma sono condivise

Le descrizioni verbali sono preferite ai calcoli numerici

Esigenza di brevità

Idea di legenda:

un pezzo di linguaggio configurato in base ai loro scopi

Elevata fruibilità sociale

alunni padroni di registri linguistici evoluti

all’inizio ‘libri rubati’ significato naturale

‘l.r.’ legame con tale significato

legenda come costrutto culturale

dall’uso naturale delle parole a quello convenzionale dei simboli

polisemia di ‘l.r.’ ‘l.ru.’ e ‘l.ri’

Ricerca di una soluzione uniforme

perdita del riferimento al significato naturale delle lettere

simboli come ‘’, ‘O’, ‘’ non possono portare significati naturali

necessaria una legenda

lettere (a, b, …) più fruibili dei simboli, e ormai prive di significato naturale

definizione esplicita : dalle lettere-abbreviazioni alle lettere-simboli

Formula risolutiva

Situazione problematica

Soluzione numerica

Legenda

Quello che conta non è la conformità ai linguaggi usuali della matematica

Ma l’aver configurato un pezzo di linguaggio in relazione a scopi

espliciti, significativi e condivisi.

Frutto di migliaia di anni di elaborazione da parte di varie culture