I VETTORI

Se ti chiedo:

“Che età hai?”

con quanti numeri rispondi?(NUMERI, bada, non “cifre”)

E se ti chiedo:

“Che temperaturac’è nell’aula?”

con quanti numeri rispondi?

In tutti i casiè sufficiente

1 numero

In tutti i casiè sufficiente

1 numeroHo Ho 1414 anni anni

In tutti i casiè sufficiente

1 numeroHo Ho 1414 anni anni

Ci sono Ci sono 2222 gradi gradi

E se ti ordino:

“Spostati di 5 metri”

tu che cosa fai?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

5 metri

SBAGLIATO!

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

5 metri

SBAGLIATO!

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Evidentemente un solo numero non è sufficiente per darti tutte le informazioni che voglio!

Proviamo così:

55° 82°40°

55° 82°40°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse X

X

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse X

X82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

X

vai qui?82°

5 metri

X

vai qui?82°

5 metri

SBAGLIATO!

X82°

5 metri

Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono sufficienti a darti l’informazione giusta.

X82°

5 metri

Proviamo con una terza informazione

55° 82°40°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse X

X

55° 82°40°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

82°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

82°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

82°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

82°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

82°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

82°

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X

X

X

Bravo!Proprio lì, dovevi andare!

X

Bravo!Proprio lì, dovevi andare!

Occorrono quindi almeno 3 informazioniper comunicare in modo corretto

una grandezza come lo spostamento.

Occorrono quindi almeno 3 informazioniper comunicare in modo corretto

una grandezza come lo spostamento.

Più una quarta informazione,per dirti da dove devi partire.

I matematici hanno inventato uno strumentoproprio adatto a questo scopo:

il VETTORE

I matematici hanno inventato uno strumentoproprio adatto a questo scopo:

il VETTORE

Esso ha una intensità

(corrisponde alla sua lunghezza)

Esso ha una intensità

Esso ha una intensitàuna direzione

Esso ha una intensitàuna direzione

(corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)

Esso ha una intensitàuna direzione

un verso

Esso ha una intensitàuna direzione

un verso

(corrisponde all’orientamento della freccia)

Esso ha una intensitàuna direzione

un versoed un punto di applicazione

Esso ha una intensitàuna direzione

un versoed un punto di applicazione

(corrisponde all’origine della freccia)

I VETTORI SI SOMMANO

Se ti dico:spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da Apoi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa fai?

X+A

Y +

Se ti dico:spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da Apoi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa fai?

X+A

Y +

2 metri B

Se ti dico:spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da Apoi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa fai?

X+A

Y +

2 metri B

C

3 metri

Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C

X+A

Y +

2 metri B

C

3 metri

Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C

come se fossi andato direttamente da A a C

X+A

Y +

2 metri B

C

3 metri

Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C

come se fossi andato direttamente da A a C

X+A

Y +

2 metri B

C

3 metri

Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C

come se fossi andato direttamente da A a C

X+A

Y +

B

C

S

S1

S2

In altre parole possiamo dire che il vettore S è la somma dei vettori S1 ed S2 .

S = S1 + S2

E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?

X+A

Y +

E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?

X+A

Y +B

3 metri

E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?

X+A

Y +B

3 metri

2 metri

C

E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?

X+A

Y +B

3 metri

2 metri

C

E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?

X+A

Y +B

3 metri

2 metri

C Questo è lo stesso risultatodell’operazione precedente!

quindi:

S1 + S2 = S2 + S1

che è la proprietà commutativarispetto alla somma.

X+A

Y +

X+A

Y +

X+A

Y + C

X+A

Y + C

X+A

Y + C

X+A

Y + C

X+A

Y + C

Questo procedimento va sotto il nome diREGOLA DEL PARALLELOGRAMMAin quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi vettori

Vediamo un esempio

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”

3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”

3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma

S

Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”

3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma

S

Il vettore S così ottenuto è la somma dei vettori V e P

Si può procedere anche in un altro modo

V

P

V

P

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

Si può procedere anche in un altro modo

VP

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

Si può procedere anche in un altro modo

VP

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Si può procedere anche in un altro modo

VP

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

S

Si può procedere anche in un altro modo

Si può procedere anche in un altro modoCome si vede il risultato è identico alprecedente

VP

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

S

Si può procedere anche in un altro modoCome si vede il risultato è identico alprecedente

VP

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

S

V

P

S

Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti

VP

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

S

Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti

Come si procede

1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena

2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimoS

I VETTORI SI SOTTRAGGONO

Basta considerare che:

Basta considerare che:+V

Basta considerare che:+V

-V

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:

S = A - B

AB

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:

S = A + ( - B)

AB

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:

S = A + ( - B)

A- B

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:

S = A + ( - B)

A

- B

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:

S = A + ( - B)

A

- B

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:

S = A + ( - B)

A

- B

S

I VETTORI SI SCOMPONGONO

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

50

+

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

50

+QUANTE SOLUZIONI CI SONO?

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

50

+

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

50

+

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

30 20

50

+

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

12 38

50

+

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

100 -50

50

+

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

0 50

50

+CI SONO INFINITE SOLUZIONI

PROBLEMA 1

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

PROBLEMA 2

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

E CHE UNO DEI DUE SIA 40

50

+

50

+40 10

PROBLEMA 2

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

E CHE UNO DEI DUE SIA 40

50

+40 101 SOLA SOLUZIONE!

PROBLEMA 2

SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

E CHE UNO DEI DUE SIA 40

PROBLEMA 3

SCOMPORRE UN VETTOREIN DUE VETTORI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA

a

a

a

a

aANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI

PROBLEMA 4

SCOMPORRE UN VETTOREIN DUE VETTORI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA

E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE

a

[1]

[2]

a

[1]

[2]

IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE

a

[1]

[2]

IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE

VEDIAMO COME SI PROCEDE

a

[1]

[2]

a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”del vettore a

a

[1]

[2]

a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”del vettore a

a

[1]

[2]

b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”del vettore a

a

[1]

[2]

b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”del vettore a

a

[1]

[2]

In questo modo si costruisce un parallelogrammai cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2]

e la cui diagonale è a

a

[1]

[2]

In questo modo si costruisce un parallelogrammai cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2]

e la cui diagonale è a

a

[1]

[2]

Per cui questi sono i vettori componenti

a

[1]

[2]

Per cui questi sono i vettori componenti

a2

a1

ESERCIZIO

NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM

VERSO NORD

A

NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM

VERSO NORD

30 Km

A

B

UN SUO AMICO, PARTENDO

SEMPRE DA A, SI MUOVE PRIMA IN

DIREZIONE NORD-EST,

POI ,ESSENDOSI ACCORTO DI

AVER SBAGLIATO STRADA,

IN DIREZIONE NORD-OVEST

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

B

QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B, QUANTA STRADA HA PERCORSO

L’AMICO?

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

B

SOLUZIONE

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

30 Km

A

NE

N

O

S

E

NENO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

N

O

S

E

NENO

NE

NO

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

l

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

Poiché è 90°, e è 45°,

questa è la metà di un quadrato

l

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

Poiché è 90°, e è 45°,

questa è la metà di un quadrato

Per il teorema di Pitagora:

l2 + l2 = 302l

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

Poiché è 90°, e è 45°,

questa è la metà di un quadrato

Per il teorema di Pitagora:

l2 + l2 = 302

2l2 = 900

l

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

Poiché è 90°, e è 45°,

questa è la metà di un quadrato

Per il teorema di Pitagora:

l2 + l2 = 302

2l2 = 900

l2 = 450

l

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

Poiché è 90°, e è 45°,

questa è la metà di un quadrato

Per il teorema di Pitagora:

l2 + l2 = 302

2l2 = 900

l2 = 450

l ~ 21,21 Km

l

30 Km

A

NO

N

O

S

E

NENO

NE

Poiché è 90°, e è 45°,

questa è la metà di un quadrato

Per il teorema di Pitagora:

l2 + l2 = 302

2l2 = 900

l2 = 450

l ~ 21,21 Km

l

L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km

fine