Post on 30-Oct-2019
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Gli elementi circuitali sono
elementi “dinamici”: condensatori e induttori;
elementi “adinamici”: generatori indipendenti, resistori e doppi bipoli lineari.
Il modello circuitale
Le variabili circuitali sono Condensatori
vc=[vC1,…vCnc]T ic=[iC1,…iCnc]
T q=[q1,…qnc]T
Induttori
iL=[inc+1,…inc+nL]T vL=[vnc+1,…vnc+nL]T F=[Fnc+1,…,Fnc+nL]T
Elementi adinamici
iA=[i1,…inA]T vA=[v1,…vnA]T
Le equazioni circuitali 1. Equazioni di Kirchhoff LKT, LKC
2. Equazioni caratteristiche EC
Elementi adinamici
•Generatori indipendenti vg =e (t) o ig =j (t)
•Resistori hR(vR,iR;t)=0
•Doppi bipoli lineari HvD +KiD =0
Elementi dinamici:
•Induttori hL(iL,F;t)=0 vL =dF/dt
•Condensatori hC(vC,q;t)=0 iC =dq/dt
3. le condizioni iniziali per le tensioni/cariche dei condensatori e le
correnti/flussi degli induttori.
Il sistema di equazioni circuitali è un sistema misto, costituito da equazioni
algebriche e equazioni differenziali a derivate ordinarie
L
C
AALLCC
dt
d
dt
dq
t
v
i
0ΦqivivivF
F
);,,,,,,,,( 2l equazioni: LKT+LKC+ EC
nL equazioni
nC equazioni
Per un grafo con l lati
Condizioni iniziali
00
00
)(
)(
ΦΦ
tt
tt
q e F (vc e iL) sono le grandezze di stato del circuito
Le equazioni di stato
0ΦqivivivF );,,,,,,,,( tAALLCC
tfdt
d
tfdt
d
dt
d
dt
d
L
C
L
C
,,
,,
ΦqΦ
Φqq
vΦ
iq
Esprimo ic e vL, grandezze coniugate, in funzione delle variabili di stato
F
F
tqf
tqf
LL
CC
,,
,,
v
i
Condizioni iniziali
00
00
)(
)(
ΦΦ
tt
tt
Condizione necessaria per l’esistenza e l’unicità della soluzione del
problema di Cauchy è che le funzioni fC (q,F;t) e fL(q,f;t) siano:
i. definite per ogni valore di q e f;
ii. a un solo valore.
In tal caso si dice che le equazioni di stato sono in forma normale.
Quali sono le condizioni sufficienti?
Il problema di Cauchy
tfdt
d
tfdt
d
L
C
,
,
Φq,Φ
Φq,q
00
00
)(
)(
ΦΦ
tt
tt
Esempio
LKC
LKV
EC
EC
0ΦqivivivF );,,,,,,,,( tAALLCC
22
11
vdt
dΦ
idt
dq
Esprimo i1 e v2 in funzione delle variabili di stato passando al CIRUITO RESISTIVO ASSOCIATO.
Circuito resistivo associato
In generale, preso un circuito dinamico con induttori e condensatori, il circuito in cui
ai condensatori sostituiamo i generatori di tensione ed agli induttori quelli di corrente
viene detto circuito resistivo associato a quello di partenza. Tale concetto è
importantissimo dal punto di vista pratico per scrivere le equazioni, e dal punto di
vista teorico perché le proprietà della soluzione, una volta formulate le equazioni di
stato, verranno a dipendere dalla funzione fC e fL, ovvero dalla sola parte a-dinamica
del circuito.
Le equazioni di stato in forma normale esistono se e solo
se il circuito “resistivo associato” ammette una e una
sola soluzione per ogni valore di q e F.
Calcolo di i1=
i1 =−i2 +i4 =−i2+(e−v1 )/R=
=-F2/L-q1/(RC)+e/R
La funzione f1(q1,F2;t) è
univocamente definita per ogni valore di q1 e F2.
R
te
L
Φ
RC
qitΦqf
)();,,( 21
1211
Calcolo di v2= );,,( 211 tΦqf );,,( 212 tΦqf
La funzione f2(q1,F2;t) è
univocamente definita per
ogni valore di q1 e F2?
v2 =v1 -v3=q1/C-v3, i3=i2=F2/L
h(v3,i3)=0 v3=r(i3)
L
Φr
C
qvtΦqf 21
2212 );,,(
Circuito resistivo associato
Nei casi (a) e (b) la funzione f2(q1,F2;t) è univocamente definita per ogni
valore di q1 e F2
Nel caso (c) la funzione f2(q1,F2;t) è univocamente definita ma non per ogni
valore di F2
Nel caso (d) la funzione f2(q1,F2;t) è definita per ogni valore di q1 e F2 ma non
univocamente
Nei casi (c) e (d) il modello circuitale non è ben posto.
L
Φr
C
qvtΦqf 21
2212 );,,(v3=r(i3)= r(F2/L)
È un’approssimazione della curva definita per ogni i3
(c)
(d)
-1
iD= i3
v3= vD+E E=-1
Diodo tunnel Inventato nel 1957 da Leo Esaki nei laboratori Sony, in questo diodo il drogaggio dei due semiconduttori p-n è tanto forte da farlo degenerare in due conduttori separati da una barriera di potenziale estremamente alta e stretta. In queste condizioni alcuni elettroni però riescono ugualmente a passare, attraverso il fenomeno quantistico dell'effetto tunnel, quando il dispositivo è polarizzato con una tensione diretta ma ancora insufficiente a portare il diodo in regime di conduzione classica: aumentando la tensione, la corrente "tunnel" diminuisce fino ad un minimo, oltre il quale subentra il meccanismo di conduzione termica del diodo normale e la corrente riprende a salire. Questo tratto di caratteristica a pendenza negativa permette al diodo di trasferire energia ai segnali che lo attraversano: tipici impieghi dei diodi tunnel sono nel campo delle microonde da 30 MHz a 300 GHz in circuiti a bassa potenza come oscillatori locali e PLL a microonde. La velocità di commutazione e dei fronti di salita e discesa nelle tensioni inferiori ai 50 mV è tuttora irraggiungibile con tecnologie di commutazione a transistor. L'uso civile più diffuso del componente è nella strumentazione di misura ed in particolare nello stadio trigger degli oscilloscopi professionali e nei generatori d'impulso, dove ne sono stati utilizzati milioni di esemplari.
Il modello è incongruente dal punto di vista fisico, per un difetto di modellazione, ovvero per aver trascurato qualcosa che, evidentemente, non può essere trascurato. In effetti i problemi nascono nel considerare il circuito fisico del diodo (e corrispondentemente il modello) come adinamico. Un modo naturale per introdurre la dinamica è quello di considerare l’inevitabile capacità parassita associata alla giunzione del diodo.
C
Il circuito resistivo associato del nuovo modello avrà ora una ed una sola soluzione per ogni valore delle grandezze di stato.
p
pi
dt
dq
vdt
dΦ
idt
dq
22
11
1 1 21 1 2 1
21 2 2
2 12 1 2 2 1
1
, ,
, ,
, ,
p
p p
p p p D Dp
p
p pp
dq q ef q q i
dt RC L R
dq qf q q i i i g
dt L C
qdΦ qf q q v v v E E
dt C C
21221211 ,,,,,,,, fff pppp qqfqqfqqfLe funzioni
sono ora univocamente definite per ogni valore delle variabili di stato
univocamente
definita
Esistenza e unicità della soluzione
nn
L
Cnn tt
tt
1
0
0
0 :;;,
;,; xf
Φqf
Φqfxf
Φ
qx
Φ
qx
00 )(; xxxfx
tttdt
d
La soluzione di questo problema è unica ed esiste per ogni t > t0? In generale, la risposta è no.
Resistore passivo
Resistore attivo
i(t=t0)=I0
i=-iR
20
0
2/1
0
00
33
2con
1
2)()(
)(
)(
aI
LtT
tTa
LIsegnoti
Iti
iL
aif
dt
di
aivvdt
diL
Problema di Cauchy
f è ad un sol valore, definita per qualunque i
La soluzione esiste solo per Ttt 0
La soluzione diverge, ovvero va all’infinito, in un tempo finito. Quale requisito non soddisfa il circuito? Come evitare la divergenza in un tempo finito?
Esistenza della soluzione
vIvip 0
Il resistore è DEBOLMENTE ATTIVO, ovvero la potenza fornita non è limitata ma può crescere al più linearmente con la tensione o con la corrente.
iVvip 0
L’energia assorbita dal condensatore è
2
0 0
1 2
2
2;
W Cv v WC
RDA p I v p I WC
vIvip 0
C
I
dt
vd
CIdt
vCdCI
dt
WdCI
dt
dW
W
WCIdt
dWp
0
000
0
/22/2
/22
/21
/2
Se la corrente è limitata nel II e IV quadrante la tensione non diverge in un intervallo di tempo finito. Eventualmente può divergere per t∞.
Unicità della soluzione
v(t=t0)=V0
00
3/1
3/1
3/1
)(
1)(
Vtv
vCa
vfdt
dv
a
vii
dt
dvC
Supponiamo che V0=0.
Una soluzione è banale:
.0)(0 tvdt
dv
Ma esiste una seconda soluzione
2/32/12/30 2/3)(
CaKttKtv
Le soluzioni esistono ma sono due!!! Quali requisiti non soddisfa il circuito? Come ottenere un’unica soluzione?
passivo
passivo
Condizione di Lipschitz
La funzione f(x,t): Rn+1Rn è (globalmente) lipschitziana rispetto alla variabile x nel
dominio di definizione D C Rn+1 se esiste una costante k tale che
per ogni
, ,t t k f x'' f x' x' x''
.),''( e),'( DtDt xx
Se esiste un intorno di un punto in cui la funzione risulta Lipschitziana, si dice localmente lipschitziana. La condizione di Lipschitzianità (locale) è una condizione intermedia tra la derivabilità e la continuità. Esistono funzioni continue ma non lipshitziane, lipschitziane ma non derivabili. Una f che diverge al finito non è mai lipschitziana. Se f è derivabile in x0 è lipschitziana in x0 (loc.). Se f è lipschitziana in x0 (loc.) è continua in x0 Se le derivate parziali sono ovunque finite in D, f è lipschitziana in D. Se f è lineare a tratti in D in D, f è lipschitziana in D. Le funzioni “smooth” sono sempre localmente Lipschitziane.
j
i
xf
Una f è lipschitziana se IN OGNI PUNTO può essere racchiusa in un cono con le direttrici a pendenza finita.
Unicità
Unicità
00 )(; xxxfx
tttdt
d
i. Si assuma che la soluzione esista per ogni e sia
ii. La funzione sia continua in x0 e lipschitziana rispetto alla variabile x in ogni dominio .
Allora la soluzione è unica per Nell’esempio la f non è lipschitziana in v=0.
0tt ;)( dt x
NNt 1:;xf ;)(|),( dttV xx
.0tt
Tangente verticale in v=0
Il teorema garantisce l’unicità nel futuro (t>t0) della soluzione se la soluzione è limitata all’interno della regione di Lipshitzianità di f (unicità al finito). In termini circuitali: le caratteristiche dei resistori equivalenti sono “smooth” e l’energia è limitata.
Si assuma che i. il circuito resistivo associato abbia una e una sola soluzione per ogni valore di q e f CN
ii. le curve caratteristiche degli elementi circuitali siano smooth iii. gli elementi circuitali sono debolmente attivi.
Allora, esiste per ogni una e una sola soluzione del sistema
0tt
00
00
)(
)(
ΦΦ
tt
tt
tqfdt
d
tqfdt
d
L
C
,,
,,
f
f
Φ
q
27
Analisi qualitativa di sistemi dinamici
Equazioni Differenziali t continuo
Mappe iterate (o equazioni alle differenze) t discreto
•Ordinarie: solo una variabile indipendente, ex. t •Oscillatore armonico Circuito RLC serie
•Alle derivate parziali: più di una variabile indipendente Equazione del calore
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
2
2
dx
ud
dt
du
02
2
LC
i
dt
di
L
R
dt
id
28
Forma generale
),....,(
.
.
),....,(
),....,(
1
122
111
nnn
n
n
xxfx
xxfx
xxfx
x1,…xn tensioni o correnti, concentrazioni in un reattore chimico, popolazioni di diverse specie in un ecosistema, posizioni e velocità di pianeti, etc.
f1,…fn dipendono dal problema
29
1
2 1
x x
x x
Esempio
L’oscillatore smorzato 0
2
2
kxdt
dxb
dt
xdm
può essere riscritto nella forma del sistema dinamico, ponendo
122
21
xm
kx
m
bx
xx
122122 0 x
m
kx
m
bxkxbxxm
Il sistema è LINEARE: le xi a II membro compaiono solo alla prima potenza.
Altrimenti il sistema è NON LINEARE
m
30
Esempio Il pendolo
x angolo dalla verticale
g accelerazione di gravità
L lunghezza del pendolo 0)( xsen
L
gx
12
21
senxL
gx
xx
Il sistema equivalente
La non linearità rende difficile la risoluzione analitica (funzioni ellittiche).
Sistema NON LINEARE
12
21
posto ,1Per
xL
gx
xx
x sen(x)x
Sistema LINEARIZZATO (facile ma approssimato) Perdo alcune soluzioni….
x
L
31
In ogni caso la soluzione x1(t), x2(t) è un punto che si muove lungo una curva (traiettoria), nello spazio di coordinate (x1, x2) (spazio delle fasi).
E’ necessaria una così drastica approssimazione? Dopotutto il moto del pendolo è semplice: Bassa energia oscilla avanti e indietro Alta energia fa un giro completo I metodi geometrici consentono di estrarre questa informazione direttamente dal sistema.
x2(t)
x1(t) (x1(0), x2(0))
(x1(t), x2(t))
x1(t) posizione
x2(t) velocità
32
Sistemi non autonomi
Oscillatore armonico forzato
Posto x3 = t
Sistema AUTONOMO tridimensionale
Un sistema di ordine n dipendente dal tempo è un caso speciale di sistema (n+1) dimensionale.
In effetti il sistema è davvero tridimensionale: occorrono 3 numeri, x, dx/dt e t per integrare le equazioni.
costFkxxbxm
1
cos1
3
3212
21
x
xFbxkxm
x
xx
m
33
La maggiore parte dei sistemi non lineari non può essere risolta analiticamente. Perché è più difficile risolvere analiticamente sistemi non lineari rispetto a quelli lineari? I sistemi lineari possono essere spezzati in più parti. Ogni parte può essere risolta separatamente e poi le parti possono essere ricombinate insieme (sovrapposizione degli effetti)
Ma la natura è caratterizzata da interazioni non lineari ed il principio di sovrapposizione fallisce. Esempio: se ascolti due belle canzoni contemporaneamente, non ottieni piacere doppio.
34
Stabilità di sistemi lineari
x(t)
Limitato per ogni x(0) sistema STABILE Illimitato per qualche x(0) sistema INSTABILE
Sistema stabile
x(t)0 per ogni x(0) ASINTOTICAMENTE STABILE
x(t)0 per qualche x(0) SEMPLICEMENTE STABILE
36
x* è un punto fisso attrattore se tutte le traiettorie che partono vicino a x* finiscono in x* per Se x* attrae tutte le traiettorie, è detto globalmente attrattore
Definizioni legate alla stabilità: intuitivamente
tt
x* è un punto fisso stabile secondo Lyapunov se tutte le traiettorie
che partono vicino a x* rimangono vicine a x* per t. Un punto fisso x* stabile ma non attrattore è detto neutralmente stabile Un punto fisso x* stabile attrattore è detto stabile o asintoticamente stabile. Un punto fisso x* non stabile e non attrattore è detto instabile
37
R
C
V0
t = 0
Sistemi monodimensionali
Flussi su una linea Biforcazioni
38
Esempio
Un approccio geometrico
sen x x
Soluzione analitica
ctg x x
ctg x xt
| ctg x x|C x) x(
C ctg x| x | - dxx t sen x
dxdt
csc
cscln
cscln0
csclncsc
00
000
Sappiamo rispondere a queste domande?
1. Posto x0 = p/4 descrivere il comportamento di x(t)
2. Descrivere x(t) per t per qualunque x0
Formula esatta ma non trasparente. Infatti:
Interpretare un’eq.ne differenziale come un campo vettoriale
39
Analisi grafica t tempo x posizione di una particella; dx/dt velocità Interpretiamo l’eqne diff. come un CAMPO VETTORIALE sulla linea
Punti fissi stabili: attrattori o pozzi Punti fissi instabili: repulsori o sorgenti
x
x
flusso e'c' non 0x
sinistra a flusso
destra a flusso
0
0
x
x
sen x x
40
La figura consente di capire facilmente le soluzioni dell’equazione differenziale.
La particella si muove verso destra sempre più veloce fino a x=p/2; allora inizia a rallentare e raggiunge il punto fisso stabile x = p.
p/4
p x
t
Posto x0 = p/4, descrivere il comportamento di x(t)
41
0
p
p
2p
2p
t
Descrivere x(t) per t per qualunque x0
costante. rimane allora 0 Se
stabile. fisso punto
vicino più al fino sinistra verso
muove si particella la 0, Se
stabile. fisso punto
vicino più al fino destra verso
muove si particella la , Se
x) (xx
) (xx
) (xx
0
0
00
x
Conosciamo l’andamento qualitativo della soluzione per qualunque condizione iniziale. Manca l’informazione quantitativa, Ad esempio, l’istante di tempo in cui la velocità è massima.
42
Punti fissi e stabilità
f(x)
x
x0
TRAIETTORIA
f(x)
x(t)
t
x(t) è la traiettoria e rappresenta la soluzione dell’equazione differenziale di punto iniziale x0
Il campo vettoriale rappresenta tutte le traiettorie del sistema
CAMPO VETTORIALE
Punto fisso stabile soluzione di equilibrio stabile (piccoli disturbi non allontanano il sistema dall’equilibrio)
Punto fisso instabile soluzione di equilibrio instabile (piccoli disturbi crescono nel tempo)
x RITRATTO DELLE FASI
)(xfx
43
00 ;
0 00
0
0
)Q( V C
Q
dt
dQR
C
Q – RiV)(vc
Esempio
R
C
V0
t = 0
f(Q)
dQ/dt
Q Q*
Q* PUNTO FISSO GLOBALMENTE STABILE
Q
t
V0 C
Approccio geometrico
enteanaliticam
risolta
essere potrebbe
C VQ*
RC
Q*-
R
V f(Q*)
dt
dQ*
RC
Q-
R
V f(Q)
dt
dQ
0
0
0
0
:fisso punto del Ricerca
i
44
PUNTO FISSO LOCALMENTE STABILE
piccoli disturbi non allontanano il sistema dall’equilibrio, ma grandi disturbi non si smorzano.
PUNTO FISSO GLOBALMENTE STABILE
piccoli e grandi disturbi non allontanano il sistema dall’equilibrio. Il sistema evolve nel punto fisso da qualunque condizione iniziale.
Biforcazione “nodo sella”
51
Biforcazioni
52
La dinamica del campo vettoriale sulla linea è molto limitata. Le soluzioni convergono in un punto di equilibrio o a . Ma la struttura qualitativa del flusso cambia al variare dei parametri. I punti fissi possono essere creati o distrutti e la loro stabilità può cambiare
biforcazioni
53
Biforcazione nodo - sella
E’ il meccanismo base con cui i punti fissi sono creati e distrutti. L’esempio tipico:
2xrx
x
x
r <0
2 punti fissi
x
x
r = 0
I 2 punti fissi si fondono in 1 punto fisso semistabile
x
x
r > 0
Non ci sono punti fissi
In r=0 si ha una biforcazione poiché i campi vettoriali per r>0 e r<0 sono qualitativamente diversi
54
Convenzione grafica
Il modo più comune per descrivere una biforcazione è invertire gli assi (r,x).
x
r
stabile instabile
instabile
stabile
x
r
Diagramma di biforcazione
r>0
r=0
r<0
55
Il nome nodo – sella non ha molto senso per campi vettoriali sulla linea. Deriva da una biforcazione analoga in sistemi di dimensione maggiore, in cui alcuni punti fissi (selle) e nodi possono collidere ed annullarsi.
r > 0
r = 0
x
2xrx
x
r < 0
Il campo vettoriale non ha punti fissi per r < 0. Compare un punto in r = 0 che si splitta in 2 per r > 0. Da qui il termine biforcazione (split in 2 rami). E’ detta anche fold, turning point, blue sky bifurcation.
Esempio
56
Forme normali La dinamica di tutte le biforcazioni nodo – sella vicino alla biforcazione, è del tipo
22 , xrxxrx o
Perché sia possibile una biforcazione nodo – sella in r = rc, devono esistere 2 radici vicine di f(x) f(x) deve avere una zona di ‘tipo’ parabolico, come nelle 2 forme normali.
x
x
r = rc
r < rc
f(x)
(forme normali).
r > rc
57
Esempio
Sistema Generatore-Linea-Carico
Qs potenza reattiva fornita dal generatore
QL potenza reattiva assorbita dal carico
Eo EiV ZL
X I
QL crescente
PL
Il sistema risponde all’aumento di domanda di potenza reattiva con un aumento di potenza all'utenza a scapito di una riduzione di tensione relativa alla stessa utenza. In questi casi il sistema riesce a fornire la maggiorazione di potenza richiesta dall'utenza senza problemi. Ad una eventuale richiesta di potenza ulteriore del carico, il sistema risponde diminuendo ancora la tensione finché collassa.
59
Biforcazione Pitchfork supercritica (Forcone, forward)
E’ tipica di sistemi fisici con simmetria.
Biforcazione Pitchfork supercritica
3xrxx forma normale
L’eqne della forma normale è invariante sotto il cambiamento di variabili x -x (equivale alla simmetria ).
r < 0
x*=0 stabile
x
x
x
x
r > 0
x*=0 instabile
x
x
r r
r = 0
x*=0 debolmente stabile
60
instabile
x
r
Diagramma di biforcazione
stabile
stabile
stabile
forcone (pitchfork)
E’ una biforcazione soft: i punti fissi non zero nascono con piccola ampiezza
61
Biforcazione transcritica
2xrxx forma normale
x
x
r <0
2 punti fissi x* = r instabile x* = 0 stabile
x
x
r = 0
I 2 punti fissi si fondono x* = r =0
punto fisso semistabile
x
x
r > 0
2 punti fissi x* = r stabile x* = 0 instabile
r r
C’è stato uno scambio di stabilità tra i due punti fissi
62
instabile
stabile r
Diagramma di biforcazione
instabile
stabile
x
63
Biforcazione Pitchfork subcritica (inverted o backward)
3xrxx
Se il termine cubico fosse destabilizzante (dello stesso segno di x):
instabile
x
r
Diagramma di biforcazione
instabile
instabile
stabile
instabile )(
instabile )(
instabile) stabile, (
fissi Punti
0
0
000
rr
rr
rr
‘Sotto’ la biforcazione (r<0) compaiono 2 punti fissi (da cui il nome subcritica)
E’ una biforcazione hard: il sistema salta da zero a grandi ampiezze
64
Analisi di stabilità lineare
Finora abbiamo visto metodi grafici per determinare la stabilità di punti fissi. Spesso occorre avere una misura quantitativa della stabilità come il tasso di decadimento verso un punto fisso stabile. Questo tipo di informazione può essere ottenuta linearizzando il sistema intorno al punto fisso.
65
x* punto fisso; h = x(t) - x* piccola perturbazione dh /dt = d(x - x*)/dt = dx/dt = f(x) = f(x* + h) Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno di x* f(x* + h ) = f(x*) + h f ’(x*)+O(h 2) = h f ’(x* )+O(h 2) h f ’(x* )
dh /dt = h f ’(x*) linearizzazione intorno a x*
f ’(x*) > 0 h cresce esponenzialmente f ’(x*) < 0 h decresce esponenzialmente f ’(x*) = 0 ????????? O( h 2) non è trascurabile!!!! Occorre un’analisi di stabilità non lineare
indica se la perturbazione si amplifica o si smorza
66
La pendenza f ’(x*) nel punto fisso determina la sua stabilità. f ’(x*) > 0 punto fisso instabile f ’(x*) < 0 punto fisso stabile L’ampiezza f
’(x*) ci indica quanto un punto fisso è stabile/instabile. 1 / |f ’(x*)| è un tasso temporale caratteristico; indica il tempo necessario affinché x(t) vari significativamente nel vicinato di x*.
67
Esempio
dx/dt = -x3
x* = 0
f’(x*) = 0
dx/dt = 0
x*i= qualunque
f’(x*i) = 0
i=- ,….,+
dx/dt = x2
x* = 0
f’(x*) = 0
dx/dt = x3
x* = 0
f’(x*) = 0
x
dx/dt
x
dx/dt
x
dx/dt
x
dx/dt
stabile instabile semistabile
f’(x*) = 0
linea di punti fissi
68
Impossibilità di oscillazioni
Un sistema del I ordine può convergere in un punto fisso divergere a ±
f(x)
dx/dt
x
La traiettoria può crescere/decrescere monotonicamente può rimanere costante non può cambiare verso
NON ESISTONO SOLUZIONI PERIODICHE nel flusso su una linea
)(xfx
69
Sistemi bidimensionali Sistemi lineari Sistemi non lineari Cicli limite
Il comportamento del circuito può essere studiato analiticamente attraverso il modello linearizzato
76
I sistemi monodimensionali hanno traiettorie che si muovono monotonicamente o rimangono costanti. I sistemi di ordine più elevato presentano un comportamento dinamico più complesso. I più semplici sono i sistemi lineari bidimensionali:
dycxy
byaxx
.
.
Axx.
y
x
dc
baxA
Il sistema è lineare:
22
11
Axx
Axx
.
.
2211333xxxAxx
.
cc
Il punto x*= 0 è un punto fisso per qualunque scelta di A
77
Esempio 1
a
a-
10
0AAxx
.
yy
axx
.
.
Equazioni disaccoppiate caso semplice t
at
eyy
exx
0
0
y decresce esponenzialmente per qualunque valore di a
x decresce esponenzialmente per a < 0
Gli assi x e y giocano un ruolo particolare: una traiettoria che parte su uno di essi vi rimane per sempre e mostra semplice decadimento/crescita esponenziale.
78
1. a < -1
x decade più rapidamente di y le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (y) x*=0 è un nodo stabile
2. a = -1
x*=0 è un nodo simmetrico o stella
3. -1< a < 0 y decade più rapidamente di x le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (x) x*=0 è un nodo stabile
t
at
eyy
exx
0
0
79
4. a = 0
x(t)=x0 linea di punti fissi lungo l’asse x
Le traiettorie si avvicinano all’origine lungo linee verticali
5. a > 0
x*= 0 diventa instabile e le traiettorie si muovono verso l’infinito, a meno che la traiettoria non parta sull’asse y
x*=0 è un punto sella
L’asse y è la varietà stabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che x(t)x*
per t
L’asse x è la varietà instabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che
x(t)x* per t -.
80
nodo stabile
sella
linea di punti fissi stabili
nodo simmetrico o stella instabile
81
Stabilità di sistemi lineari
x(t)
Limitato per ogni x(0) sistema STABILE Illimitato per qualche x(0) sistema INSTABILE
Sistema stabile
x(t)0 per ogni x(0) ASINTOTICAMENTE STABILE
x(t)0 per qualche x(0) SEMPLICEMENTE STABILE
82
Autovalori ed autovettori
Cerchiamo particolari traiettorie rettilinee della forma
vxtet )( Moto esponenziale lungo la linea individuata dal vettore v
Sostituendo in ,Axx.
AvvAvv tt ee
La traiettoria esiste se v è un autovettore di A con autovalore
vxtet )( è detta autosoluzione La soluzione
83
x
Ax
x
Ax
x è un autovettore con <0 x non è un autovettore
In generale, l’azione della matrice A su x produce una rotazione per cui x e Ax non sono allineati Se x è un autovettore l’azione di A si traduce in un allungamento/accorciamento del vettore ed eventualmente in un cambio di verso.
84
Richiamo Gli autovalori di una matrice A sono dati dall’equazione caratteristica
0)det( IA
Per una matrice 2*2
dc
baA
l’equazione caratteristica diventa
2
4
)det(
0det
2
2,1
Allora
;)traccia( con
0 2
bcaddaA
dc
ba
A
Il sistema è asintoticamente stabile se Re(i)<0 per ogni i
85
Sottospazi invarianti
ΧΧ, A
An
xx
se sotto invariante è osottospazi Un
. in stanno di itrasformat i ovvero, x
Teorema Il sottospazio descritto da un autovettore è un sottospazio invariante. Dim. Infatti Ax=x
Allora la traiettoria che parte da uno stato x(0) che è un autovettore rimane nel sottospazio descritto dall’autovettore
x2
x1
x0 x1 x2
x1
x0 x1
10 10
x0 è un autovettore associato a 1
86
Nodo: Autovalori reali e concordi in segno
Sella: Autovalori reali e discordi in segno
Centro: Autovalori immaginari puri
Fuoco: Autovalori complessi coniugati
87
21
021021
vvx
xvvxvv
ttecect
cc
21
21
2121
)(
,
forma la avrà generale soluzione La
tiindipenden elinearment e
E’ una soluzione generale perché •è una combinazione lineare di (auto) soluzioni e quindi è una soluzione.
•soddisfa le condizioni iniziali
quindi per il teorema di esistenza ed unicità è la sola soluzione.
AUTOVALORI DISTINTI
Ritratto delle fasi
88
y
x
Per disegnare le traiettorie nello spazio delle fasi è però sufficiente conoscere gli autovalori
leesponenzia odecadiment con oneautosoluzi
leesponenzia crescita con oneautosoluzi
λ
λ
3
2
2
1
L’origine è un punto sella La linea individuata da v1 è la varietà instabile, quella individuata da
v2 è la varietà stabile.
v2
(più ripida)
v1 ;32 21 ; λ λ
4
1
1
1
2
1
2
2
1
v
v
v
v
v
v1
89
y
x
Cosa accade se 1 < 2 <0
2 Direzione lenta
1 Direzione veloce
•Entrambe le autosoluzioni decadono esponenzialmente •Il punto fisso è un nodo stabile •Le traiettorie convergono verso il punto fisso tipicamente lungo la direzione dell’autovettore col più piccolo || (2 •Invertendo le frecce otteniamo il ritratto delle fasi per un nodo instabile
90
Cosa accade se Il punto fisso è un centro o una spirale (fuoco)
C21
,
(oscillatore armonico smorzato)
(oscillatore armonico)
2
21
2
2
2,1
42
1
2;04
2
4
τΔ ω;τ
αjωαλ,
Punto fisso circondato da una famiglia di orbite chiuse
91
)(
)cos(
tsene
te
t
t
instabile ocospirale/fu
stabile ocospirale/fufisso Punto
0 se crescenti
0 se smorzate niOscillazio
Oscillazioni modulate da un esponenziale
0
0
Oscillazioni di ampiezza fissa Punto fisso: centro Soluzioni periodiche di periodo 2p/
92
21
AUTOVALORI COINCIDENTI
g2121g21xvvvvAAxvvx
212121)(;)( cccccct
g
Esistono 2 autovettori indipendenti: Consideriamo un vettore arbitrario xg
Ovvero xg (ogni vettore) è un autovettore con autovalore . Poiché la moltiplicazione per A moltiplica qualunque vettore per , A deve essere del tipo
0
0A
0
originel' attraverso
rette lineet
oet
xx )(
nodo stella
00 xxx.
A
Ogni punto è un punto fisso
93
autodirezione
Esiste un solo autovettore Il punto fisso è un nodo degenerato
nodo degenerato: nodo proveniente dalla deformazione di un nodo ordinario con 2 autovettori (autodirezioni) indipendenti in cui tutte la traiettorie sono parallele alla direzione lenta come
one.autodirezi
unicaall' parallele diventano
ie traiettorle tuttePer t
lenta veloce
.t
0
bA
94
Classificazione dei punti fissi
<0 autovalori reali con segni opposti punto sella
2
42
2,1
stabile teneutralmen (centro) fisso punto0)( 0
instabile fisso punto0)( 0
stabile fisso punto0)( 0
centri) o (spirali coniugati complessi
(nodi) segno stesso lo con realiautovalori
1,2
1,2
1,2
2
2
04
040
04 2
=0 un autovalore nullo intera linea di punti fissi o intero piano (se A=0)
Nodi instabili
Spirali instabili
Spirali stabili
Nodi stabili Punti fissi non isolati Stelle, nodi
degenerati
centri
95
Sistemi non lineari
96
La forma generale è
),(
),(
2122
.
2111
.
xxfx
xxfx
)(xfx
.
2
1
2
1
)(
)()(
x
x
f
fx
x
xxf
x è un punto nel piano delle fasi e il vettore velocità in quel punto. Durante l’evoluzione del sistema la soluzione x rappresenta la traiettoria nel piano delle fasi.
.
x
.
x)(tx
Ogni punto può essere un punto iniziale Le traiettorie riempiono l’intero piano delle fasi
Tipicamente non è possibile trovare a soluzione analitica ci occuperemo di comportamento qualitativo delle soluzioni.
Il piano delle fasi
97
Caratteristiche principali
I punti fissi come A, B, C; f(x*)=0
Le orbite chiuse come D
Le traiettorie vicino ai punti fissi ed alle orbite chiuse
La stabilità (D) e l’instabilità (A, B, C) dei punti fissi e delle orbite chiuse
Trovare il ritratto delle fasi direttamente dalle proprietà di f(x)
98
Molteplicità degli equilibri
0 2 1
Infinità numerabile Infinità non numerabile
NON in un sistema lineare
99
N.B. Nei sistemi non lineari, la stabilità è una proprietà dell’equilibrio, non del sistema: lo stesso sistema può possedere equilibri stabili e instabili.
100
Conseguenze (negli spazi bidimensionali )
Ogni traiettoria che parte dentro un’orbita chiusa vi è intrappolata per sempre.
Se all’interno vi sono punti fissi può convergere verso di loro. Se non vi sono punti fissi deve convergere verso l’orbita (vedremo Teorema di Bendixon-Poincaré).
100
Esistenza, unicità e conseguenze topologiche
Traiettorie diverse non si intersecano mai
2 soluzioni che partono dallo stesso punto viola l’unicità
101
Punti fissi e linearizzazione
Obiettivo: approssimare l’evoluzione del sistema vicino ad un punto fisso col corrispondente sistema lineare.
),(
),(
yxgy
yxfx
;
0
0 fisso; punto un è
),(
),(),(
**
**
**
yxg
yxfyx
Dato il disturbo che allontana dal punto fisso vediamo se cresce o si smorza
),,(
),,(),(
),(
22
)*,*()*,*(
22
)*,*()*,*(
**
**
uvvuOy
fv
x
fu
uvvuOy
fv
x
fuyxf
vyuxfxu
yxyx
yxyx
y-y* v y x-x* , u x
102
)( fisso punto nel Jacobiana matrice
quadratici termini
),,(
),,(
)*,*(
)*,*(
22
)*,*()*,*(
22
)*,*()*,*(
**
yx
yx
yxyx
yxyx
,yx
y
g
x
g
y
f
x
f
J
v
u
y
g
x
g
y
f
x
f
v
u
uvvuOy
gv
x
guv
uvvuOy
fv
x
fuu
(analogo di f’(x*))
103
)(
tolinearizza sistema
quadratici terminii oTrascurand
)*,*(
xxx*
.
J
v
u
y
g
x
g
y
f
x
f
v
u
yx
Il sistema linearizzato rispecchia qualitativamente il comportamento del sistema non lineare vicino a (x*,y*)?
104
Se il punto fisso per il sistema linearizzato è
una sella, un nodo o una spirale,
allora il punto fisso è realmente una sella, un nodo o una spirale per il sistema non lineare
Se il punto fisso per il sistema linearizzato è
un centro, un nodo degenere, una stella o punto fisso non isolato
i piccoli termini trascurati possono alterarne il comportamento
Ex. il sistema linearizzato predice un centro mentre si tratta di una spirale
105
? ?
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
autovalori di J
xxx* )(
.
J
)(.
xx f
106
Esempio 1
)()()(
fissi Punti 010100
0020
1
000
2
3
3
,- , ,
y yy
x
x xxx
yy
xxx
.
.
.
.
;
;
20
02)0,1(
20
01)0,0(
20
031 2
..
..
J
Jx
y
y
x
y
y
x
x
x
J
nodo stabile
punti sella
I punti fissi del sistema non lineare sono stati predetti correttamente (poiché si tratta di nodo stabile e sella).
107
Anche stelle e nodi degeneri possono essere alterati dalla non linearità, ma la loro stabilità non cambia. Se siamo interessati alla stabilità e non alla geometria della traiettoria, possiamo classificare i punti fissi in Casi robusti Repulsori (sorgenti) Re(1,2)>0 Attrattori (pozzi) Re(1,2)<0 Selle 1<0 2>0 Casi marginali Centri Re(1,2)=0 Punti fissi di ordine 1=0 superiore e non isolati
108
Il ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è ‘strutturalmente stabile’.
Strutturalmente stabile la sua topologia non è cambiata da una perturbazione arbitrariamente piccola del campo vettoriale.
Il ritratto delle fasi di un punto sella è strutturalmente stabile, ma quello di un centro no: una piccola perturbazione trasforma un centro in una spirale.
Stabilità strutturale
109
Criterio di Lyapunov (1892) Una funzione di Lyapunov è una funzione energia che decresce lungo le traiettorie. Dato il sistema
in fisso punto un con ,*.
xf(x)x
1. continuamente differenziabile, a valori reali
).
0
,0)(.2
*
***
***
x
x0xx
x0xxx
verso scendono'' etraiettori le
in negativa definita ( e di intorno un in 3.
); in positiva definita ( e di intorno un in .
V)(VV
V)V(V.
allora x* è asintoticamente stabile: per qualunque condizione iniziale, x(t) x* per t. In particolare, il sistema non ha orbite chiuse.
cioè , Lyapunov di funzione una esiste se V(x)
110
x(t)
x*
x2
x1
x* 1 2
curve di livello di V
3
Condizioni 1 e 2 le linee di livello V=cost sono chiuse e ordinate vicino a x*
Condizione 3 le traiettorie attraversano le linee di livello trasversalmente dall’esterno verso l’interno. Il sistema tende al minimo di V x*
111
Lyapunov di funzione una è
per :ha Si
Posto
.
22
42
42
322
3.
.
4
0000
82,4
2282
24222
4
yxV
),((x,y) V, V
.yx(x,y)Va
.aya)xy(x-
)yxay(y)xx(yayxxVayxV(x,y)
yxy
yxx
.
...
Non c’è un modo sistematico per costruire una funzione di Lyapunov. Occasionalmente funzionano le somme di quadrati.
112
Esempio – Oscillatore di Duffing
stabile menteasintotica Re(
0 det(J) - tr(J)
ZIONELINEARIZZA
1,2
0)
0
0
00
0,,)(
.
2
.
1
12
.
2
3
1
2
1
.
1
J
xx
xx
xxxx
x
Bipolo Non lineare
x2 x1
113
0 in negativa tasemidefini
ellitiche livello di lineequadratica
0 in positiva definita
LYAPUNOV DI FUNZIONE
x
x
)xβ(x
γxxγ
)xxβxα(xα
V
xγ
xα
V(x)
.
2
1
22
1
122
3
1
2
11
2
2
2
1
1
22
12
2
1
2
1
2
1
.
V
x1
1/ -1/
x2
x1
0.
V
114
Linearizzazionesolo informazioni locali per piccole perturbazioni dall’equilibrio Lyapunov informazioni sull’intero bacino di attrazione
115
Cicli limite
Un ciclo limite è una traiettoria chiusa isolata. Isolata le traiettorie vicine non sono chiuse; esse spiralano verso il ciclo limite o lontano da esso. Ciclo limite stabile o attrattore tutte le traiettorie vicine tendono verso il ciclo limite. Ciò significa che se il sistema è leggermente disturbato dall’oscillazione standard, torna poi nel ciclo limite. Altrimenti ciclo limite instabile o semi-stabile. I cicli limite stabili modellano sistemi con oscillazioni autosostenute, (oscillanti anche in assenza di sollecitazione periodica esterna). Ex., battito cardiaco, ritmi quotidiani di temaperatura corporea o livelli ormonali,
pericolose vibrazioni autosostenute nei ponti o nelle ali degli aerei,etc.
116
Ciclo limite stabile Ciclo limite instabile Ciclo limite semi stabile
117
Un ciclo limite è un fenomeno non lineare. Un sistema lineare può avere orbite chiuse ma non isolate.
cx(t)
x(t)
Se x è una soluzione periodica, lo è anche cx(t).
x è circondata da una famiglia di orbite chiuse. .
Quindi l’ampiezza dell’oscillazione lineare dipende interamente dalle condizioni iniziali; ogni leggero disturbo persisterà per sempre. Invece in un ciclo limite le oscillazioni sono determinate dalla struttura del sistema stesso.
118
x(t)
Il ciclo limite non è un cerchio
b=1
dx/dt