1

Gli elementi circuitali sono

elementi “dinamici”: condensatori e induttori;

elementi “adinamici”: generatori indipendenti, resistori e doppi bipoli lineari.

Il modello circuitale

Le variabili circuitali sono Condensatori

vc=[vC1,…vCnc]T ic=[iC1,…iCnc]

T q=[q1,…qnc]T

Induttori

iL=[inc+1,…inc+nL]T vL=[vnc+1,…vnc+nL]T F=[Fnc+1,…,Fnc+nL]T

Elementi adinamici

iA=[i1,…inA]T vA=[v1,…vnA]T

Le equazioni circuitali 1. Equazioni di Kirchhoff LKT, LKC

2. Equazioni caratteristiche EC

Elementi adinamici

•Generatori indipendenti vg =e (t) o ig =j (t)

•Resistori hR(vR,iR;t)=0

•Doppi bipoli lineari HvD +KiD =0

Elementi dinamici:

•Induttori hL(iL,F;t)=0 vL =dF/dt

•Condensatori hC(vC,q;t)=0 iC =dq/dt

3. le condizioni iniziali per le tensioni/cariche dei condensatori e le

correnti/flussi degli induttori.

Il sistema di equazioni circuitali è un sistema misto, costituito da equazioni

algebriche e equazioni differenziali a derivate ordinarie

L

C

AALLCC

dt

d

dt

dq

t

v

i

0ΦqivivivF

F

);,,,,,,,,( 2l equazioni: LKT+LKC+ EC

nL equazioni

nC equazioni

Per un grafo con l lati

Condizioni iniziali

00

00

)(

)(

ΦΦ

Qq

tt

tt

q e F (vc e iL) sono le grandezze di stato del circuito

Le equazioni di stato

0ΦqivivivF );,,,,,,,,( tAALLCC

tfdt

d

tfdt

d

dt

d

dt

d

L

C

L

C

,,

,,

ΦqΦ

Φqq

vΦ

iq

Esprimo ic e vL, grandezze coniugate, in funzione delle variabili di stato

F

F

tqf

tqf

LL

CC

,,

,,

v

i

Condizioni iniziali

00

00

)(

)(

ΦΦ

Qq

tt

tt

Condizione necessaria per l’esistenza e l’unicità della soluzione del

problema di Cauchy è che le funzioni fC (q,F;t) e fL(q,f;t) siano:

i. definite per ogni valore di q e f;

ii. a un solo valore.

In tal caso si dice che le equazioni di stato sono in forma normale.

Quali sono le condizioni sufficienti?

Il problema di Cauchy

tfdt

d

tfdt

d

L

C

,

,

Φq,Φ

Φq,q

00

00

)(

)(

ΦΦ

Qq

tt

tt

Esempio

LKC

LKV

EC

EC

0ΦqivivivF );,,,,,,,,( tAALLCC

22

11

vdt

dΦ

idt

dq

Esprimo i1 e v2 in funzione delle variabili di stato passando al CIRUITO RESISTIVO ASSOCIATO.

Circuito resistivo associato

In generale, preso un circuito dinamico con induttori e condensatori, il circuito in cui

ai condensatori sostituiamo i generatori di tensione ed agli induttori quelli di corrente

viene detto circuito resistivo associato a quello di partenza. Tale concetto è

importantissimo dal punto di vista pratico per scrivere le equazioni, e dal punto di

vista teorico perché le proprietà della soluzione, una volta formulate le equazioni di

stato, verranno a dipendere dalla funzione fC e fL, ovvero dalla sola parte a-dinamica

del circuito.

Le equazioni di stato in forma normale esistono se e solo

se il circuito “resistivo associato” ammette una e una

sola soluzione per ogni valore di q e F.

Calcolo di i1=

i1 =−i2 +i4 =−i2+(e−v1 )/R=

=-F2/L-q1/(RC)+e/R

La funzione f1(q1,F2;t) è

univocamente definita per ogni valore di q1 e F2.

R

te

L

Φ

RC

qitΦqf

)();,,( 21

1211

Calcolo di v2= );,,( 211 tΦqf );,,( 212 tΦqf

La funzione f2(q1,F2;t) è

univocamente definita per

ogni valore di q1 e F2?

v2 =v1 -v3=q1/C-v3, i3=i2=F2/L

h(v3,i3)=0 v3=r(i3)

L

Φr

C

qvtΦqf 21

2212 );,,(

Circuito resistivo associato

Nei casi (a) e (b) la funzione f2(q1,F2;t) è univocamente definita per ogni

valore di q1 e F2

Nel caso (c) la funzione f2(q1,F2;t) è univocamente definita ma non per ogni

valore di F2

Nel caso (d) la funzione f2(q1,F2;t) è definita per ogni valore di q1 e F2 ma non

univocamente

Nei casi (c) e (d) il modello circuitale non è ben posto.

L

Φr

C

qvtΦqf 21

2212 );,,(v3=r(i3)= r(F2/L)

È un’approssimazione della curva definita per ogni i3

(c)

(d)

-1

iD= i3

v3= vD+E E=-1

Diodo tunnel Inventato nel 1957 da Leo Esaki nei laboratori Sony, in questo diodo il drogaggio dei due semiconduttori p-n è tanto forte da farlo degenerare in due conduttori separati da una barriera di potenziale estremamente alta e stretta. In queste condizioni alcuni elettroni però riescono ugualmente a passare, attraverso il fenomeno quantistico dell'effetto tunnel, quando il dispositivo è polarizzato con una tensione diretta ma ancora insufficiente a portare il diodo in regime di conduzione classica: aumentando la tensione, la corrente "tunnel" diminuisce fino ad un minimo, oltre il quale subentra il meccanismo di conduzione termica del diodo normale e la corrente riprende a salire. Questo tratto di caratteristica a pendenza negativa permette al diodo di trasferire energia ai segnali che lo attraversano: tipici impieghi dei diodi tunnel sono nel campo delle microonde da 30 MHz a 300 GHz in circuiti a bassa potenza come oscillatori locali e PLL a microonde. La velocità di commutazione e dei fronti di salita e discesa nelle tensioni inferiori ai 50 mV è tuttora irraggiungibile con tecnologie di commutazione a transistor. L'uso civile più diffuso del componente è nella strumentazione di misura ed in particolare nello stadio trigger degli oscilloscopi professionali e nei generatori d'impulso, dove ne sono stati utilizzati milioni di esemplari.

Il modello è incongruente dal punto di vista fisico, per un difetto di modellazione, ovvero per aver trascurato qualcosa che, evidentemente, non può essere trascurato. In effetti i problemi nascono nel considerare il circuito fisico del diodo (e corrispondentemente il modello) come adinamico. Un modo naturale per introdurre la dinamica è quello di considerare l’inevitabile capacità parassita associata alla giunzione del diodo.

C

Il circuito resistivo associato del nuovo modello avrà ora una ed una sola soluzione per ogni valore delle grandezze di stato.

p

pi

dt

dq

vdt

dΦ

idt

dq

22

11

1 1 21 1 2 1

21 2 2

2 12 1 2 2 1

1

, ,

, ,

, ,

p

p p

p p p D Dp

p

p pp

dq q ef q q i

dt RC L R

dq qf q q i i i g

dt L C

qdΦ qf q q v v v E E

dt C C

21221211 ,,,,,,,, fff pppp qqfqqfqqfLe funzioni

sono ora univocamente definite per ogni valore delle variabili di stato

univocamente

definita

Esistenza e unicità della soluzione

nn

L

Cnn tt

tt

1

0

0

0 :;;,

;,; xf

Φqf

Φqfxf

Φ

qx

Φ

qx

00 )(; xxxfx

tttdt

d

La soluzione di questo problema è unica ed esiste per ogni t > t0? In generale, la risposta è no.

Resistore passivo

Resistore attivo

i(t=t0)=I0

i=-iR

20

0

2/1

0

00

33

2con

1

2)()(

)(

)(

aI

LtT

tTa

LIsegnoti

Iti

iL

aif

dt

di

aivvdt

diL

Problema di Cauchy

f è ad un sol valore, definita per qualunque i

La soluzione esiste solo per Ttt 0

La soluzione diverge, ovvero va all’infinito, in un tempo finito. Quale requisito non soddisfa il circuito? Come evitare la divergenza in un tempo finito?

Esistenza della soluzione

vIvip 0

Il resistore è DEBOLMENTE ATTIVO, ovvero la potenza fornita non è limitata ma può crescere al più linearmente con la tensione o con la corrente.

iVvip 0

L’energia assorbita dal condensatore è

2

0 0

1 2

2

2;

W Cv v WC

RDA p I v p I WC

vIvip 0

C

I

dt

vd

CIdt

vCdCI

dt

WdCI

dt

dW

W

WCIdt

dWp

0

000

0

/22/2

/22

/21

/2

Se la corrente è limitata nel II e IV quadrante la tensione non diverge in un intervallo di tempo finito. Eventualmente può divergere per t∞.

Unicità della soluzione

v(t=t0)=V0

00

3/1

3/1

3/1

)(

1)(

Vtv

vCa

vfdt

dv

a

vii

dt

dvC

Supponiamo che V0=0.

Una soluzione è banale:

.0)(0 tvdt

dv

Ma esiste una seconda soluzione

2/32/12/30 2/3)(

CaKttKtv

Le soluzioni esistono ma sono due!!! Quali requisiti non soddisfa il circuito? Come ottenere un’unica soluzione?

passivo

passivo

Condizione di Lipschitz

La funzione f(x,t): Rn+1Rn è (globalmente) lipschitziana rispetto alla variabile x nel

dominio di definizione D C Rn+1 se esiste una costante k tale che

per ogni

, ,t t k f x'' f x' x' x''

.),''( e),'( DtDt xx

Se esiste un intorno di un punto in cui la funzione risulta Lipschitziana, si dice localmente lipschitziana. La condizione di Lipschitzianità (locale) è una condizione intermedia tra la derivabilità e la continuità. Esistono funzioni continue ma non lipshitziane, lipschitziane ma non derivabili. Una f che diverge al finito non è mai lipschitziana. Se f è derivabile in x0 è lipschitziana in x0 (loc.). Se f è lipschitziana in x0 (loc.) è continua in x0 Se le derivate parziali sono ovunque finite in D, f è lipschitziana in D. Se f è lineare a tratti in D in D, f è lipschitziana in D. Le funzioni “smooth” sono sempre localmente Lipschitziane.

j

i

xf

Una f è lipschitziana se IN OGNI PUNTO può essere racchiusa in un cono con le direttrici a pendenza finita.

Unicità

Unicità

00 )(; xxxfx

tttdt

d

i. Si assuma che la soluzione esista per ogni e sia

ii. La funzione sia continua in x0 e lipschitziana rispetto alla variabile x in ogni dominio .

Allora la soluzione è unica per Nell’esempio la f non è lipschitziana in v=0.

0tt ;)( dt x

NNt 1:;xf ;)(|),( dttV xx

.0tt

Tangente verticale in v=0

Il teorema garantisce l’unicità nel futuro (t>t0) della soluzione se la soluzione è limitata all’interno della regione di Lipshitzianità di f (unicità al finito). In termini circuitali: le caratteristiche dei resistori equivalenti sono “smooth” e l’energia è limitata.

Si assuma che i. il circuito resistivo associato abbia una e una sola soluzione per ogni valore di q e f CN

ii. le curve caratteristiche degli elementi circuitali siano smooth iii. gli elementi circuitali sono debolmente attivi.

Allora, esiste per ogni una e una sola soluzione del sistema

0tt

00

00

)(

)(

ΦΦ

Qq

tt

tt

tqfdt

d

tqfdt

d

L

C

,,

,,

f

f

Φ

q

27

Analisi qualitativa di sistemi dinamici

Equazioni Differenziali t continuo

Mappe iterate (o equazioni alle differenze) t discreto

•Ordinarie: solo una variabile indipendente, ex. t •Oscillatore armonico Circuito RLC serie

•Alle derivate parziali: più di una variabile indipendente Equazione del calore

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

2

2

dx

ud

dt

du

02

2

LC

i

dt

di

L

R

dt

id

28

Forma generale

),....,(

.

.

),....,(

),....,(

1

122

111

nnn

n

n

xxfx

xxfx

xxfx

x1,…xn tensioni o correnti, concentrazioni in un reattore chimico, popolazioni di diverse specie in un ecosistema, posizioni e velocità di pianeti, etc.

f1,…fn dipendono dal problema

29

1

2 1

x x

x x

Esempio

L’oscillatore smorzato 0

2

2

kxdt

dxb

dt

xdm

può essere riscritto nella forma del sistema dinamico, ponendo

122

21

xm

kx

m

bx

xx

122122 0 x

m

kx

m

bxkxbxxm

Il sistema è LINEARE: le xi a II membro compaiono solo alla prima potenza.

Altrimenti il sistema è NON LINEARE

m

30

Esempio Il pendolo

x angolo dalla verticale

g accelerazione di gravità

L lunghezza del pendolo 0)( xsen

L

gx

12

21

senxL

gx

xx

Il sistema equivalente

La non linearità rende difficile la risoluzione analitica (funzioni ellittiche).

Sistema NON LINEARE

12

21

posto ,1Per

xL

gx

xx

x sen(x)x

Sistema LINEARIZZATO (facile ma approssimato) Perdo alcune soluzioni….

x

L

31

In ogni caso la soluzione x1(t), x2(t) è un punto che si muove lungo una curva (traiettoria), nello spazio di coordinate (x1, x2) (spazio delle fasi).

E’ necessaria una così drastica approssimazione? Dopotutto il moto del pendolo è semplice: Bassa energia oscilla avanti e indietro Alta energia fa un giro completo I metodi geometrici consentono di estrarre questa informazione direttamente dal sistema.

x2(t)

x1(t) (x1(0), x2(0))

(x1(t), x2(t))

x1(t) posizione

x2(t) velocità

32

Sistemi non autonomi

Oscillatore armonico forzato

Posto x3 = t

Sistema AUTONOMO tridimensionale

Un sistema di ordine n dipendente dal tempo è un caso speciale di sistema (n+1) dimensionale.

In effetti il sistema è davvero tridimensionale: occorrono 3 numeri, x, dx/dt e t per integrare le equazioni.

costFkxxbxm

1

cos1

3

3212

21

x

xFbxkxm

x

xx

m

33

La maggiore parte dei sistemi non lineari non può essere risolta analiticamente. Perché è più difficile risolvere analiticamente sistemi non lineari rispetto a quelli lineari? I sistemi lineari possono essere spezzati in più parti. Ogni parte può essere risolta separatamente e poi le parti possono essere ricombinate insieme (sovrapposizione degli effetti)

Ma la natura è caratterizzata da interazioni non lineari ed il principio di sovrapposizione fallisce. Esempio: se ascolti due belle canzoni contemporaneamente, non ottieni piacere doppio.

34

Stabilità di sistemi lineari

x(t)

Limitato per ogni x(0) sistema STABILE Illimitato per qualche x(0) sistema INSTABILE

Sistema stabile

x(t)0 per ogni x(0) ASINTOTICAMENTE STABILE

x(t)0 per qualche x(0) SEMPLICEMENTE STABILE

36

x* è un punto fisso attrattore se tutte le traiettorie che partono vicino a x* finiscono in x* per Se x* attrae tutte le traiettorie, è detto globalmente attrattore

Definizioni legate alla stabilità: intuitivamente

tt

x* è un punto fisso stabile secondo Lyapunov se tutte le traiettorie

che partono vicino a x* rimangono vicine a x* per t. Un punto fisso x* stabile ma non attrattore è detto neutralmente stabile Un punto fisso x* stabile attrattore è detto stabile o asintoticamente stabile. Un punto fisso x* non stabile e non attrattore è detto instabile

37

R

C

V0

t = 0

Sistemi monodimensionali

Flussi su una linea Biforcazioni

38

Esempio

Un approccio geometrico

sen x x

Soluzione analitica

ctg x x

ctg x xt

| ctg x x|C x) x(

C ctg x| x | - dxx t sen x

dxdt

csc

cscln

cscln0

csclncsc

00

000

Sappiamo rispondere a queste domande?

1. Posto x0 = p/4 descrivere il comportamento di x(t)

2. Descrivere x(t) per t per qualunque x0

Formula esatta ma non trasparente. Infatti:

Interpretare un’eq.ne differenziale come un campo vettoriale

39

Analisi grafica t tempo x posizione di una particella; dx/dt velocità Interpretiamo l’eqne diff. come un CAMPO VETTORIALE sulla linea

Punti fissi stabili: attrattori o pozzi Punti fissi instabili: repulsori o sorgenti

x

x

flusso e'c' non 0x

sinistra a flusso

destra a flusso

0

0

x

x

sen x x

40

La figura consente di capire facilmente le soluzioni dell’equazione differenziale.

La particella si muove verso destra sempre più veloce fino a x=p/2; allora inizia a rallentare e raggiunge il punto fisso stabile x = p.

p/4

p x

t

Posto x0 = p/4, descrivere il comportamento di x(t)

41

0

p

p

2p

2p

t

Descrivere x(t) per t per qualunque x0

costante. rimane allora 0 Se

stabile. fisso punto

vicino più al fino sinistra verso

muove si particella la 0, Se

stabile. fisso punto

vicino più al fino destra verso

muove si particella la , Se

x) (xx

) (xx

) (xx

0

0

00

x

Conosciamo l’andamento qualitativo della soluzione per qualunque condizione iniziale. Manca l’informazione quantitativa, Ad esempio, l’istante di tempo in cui la velocità è massima.

42

Punti fissi e stabilità

f(x)

x

x0

TRAIETTORIA

f(x)

x(t)

t

x(t) è la traiettoria e rappresenta la soluzione dell’equazione differenziale di punto iniziale x0

Il campo vettoriale rappresenta tutte le traiettorie del sistema

CAMPO VETTORIALE

Punto fisso stabile soluzione di equilibrio stabile (piccoli disturbi non allontanano il sistema dall’equilibrio)

Punto fisso instabile soluzione di equilibrio instabile (piccoli disturbi crescono nel tempo)

x RITRATTO DELLE FASI

)(xfx

43

00 ;

0 00

0

0

)Q( V C

Q

dt

dQR

C

Q – RiV)(vc

Esempio

R

C

V0

t = 0

f(Q)

dQ/dt

Q Q*

Q* PUNTO FISSO GLOBALMENTE STABILE

Q

t

V0 C

Approccio geometrico

enteanaliticam

risolta

essere potrebbe

C VQ*

RC

Q*-

R

V f(Q*)

dt

dQ*

RC

Q-

R

V f(Q)

dt

dQ

0

0

0

0

:fisso punto del Ricerca

i

44

PUNTO FISSO LOCALMENTE STABILE

piccoli disturbi non allontanano il sistema dall’equilibrio, ma grandi disturbi non si smorzano.

PUNTO FISSO GLOBALMENTE STABILE

piccoli e grandi disturbi non allontanano il sistema dall’equilibrio. Il sistema evolve nel punto fisso da qualunque condizione iniziale.

Biforcazione “nodo sella”

51

Biforcazioni

52

La dinamica del campo vettoriale sulla linea è molto limitata. Le soluzioni convergono in un punto di equilibrio o a . Ma la struttura qualitativa del flusso cambia al variare dei parametri. I punti fissi possono essere creati o distrutti e la loro stabilità può cambiare

biforcazioni

53

Biforcazione nodo - sella

E’ il meccanismo base con cui i punti fissi sono creati e distrutti. L’esempio tipico:

2xrx

x

x

r <0

2 punti fissi

x

x

r = 0

I 2 punti fissi si fondono in 1 punto fisso semistabile

x

x

r > 0

Non ci sono punti fissi

In r=0 si ha una biforcazione poiché i campi vettoriali per r>0 e r<0 sono qualitativamente diversi

54

Convenzione grafica

Il modo più comune per descrivere una biforcazione è invertire gli assi (r,x).

x

r

stabile instabile

instabile

stabile

x

r

Diagramma di biforcazione

r>0

r=0

r<0

55

Il nome nodo – sella non ha molto senso per campi vettoriali sulla linea. Deriva da una biforcazione analoga in sistemi di dimensione maggiore, in cui alcuni punti fissi (selle) e nodi possono collidere ed annullarsi.

r > 0

r = 0

x

2xrx

x

r < 0

Il campo vettoriale non ha punti fissi per r < 0. Compare un punto in r = 0 che si splitta in 2 per r > 0. Da qui il termine biforcazione (split in 2 rami). E’ detta anche fold, turning point, blue sky bifurcation.

Esempio

56

Forme normali La dinamica di tutte le biforcazioni nodo – sella vicino alla biforcazione, è del tipo

22 , xrxxrx o

Perché sia possibile una biforcazione nodo – sella in r = rc, devono esistere 2 radici vicine di f(x) f(x) deve avere una zona di ‘tipo’ parabolico, come nelle 2 forme normali.

x

x

r = rc

r < rc

f(x)

(forme normali).

r > rc

57

Esempio

Sistema Generatore-Linea-Carico

Qs potenza reattiva fornita dal generatore

QL potenza reattiva assorbita dal carico

Eo EiV ZL

X I

QL crescente

PL

Il sistema risponde all’aumento di domanda di potenza reattiva con un aumento di potenza all'utenza a scapito di una riduzione di tensione relativa alla stessa utenza. In questi casi il sistema riesce a fornire la maggiorazione di potenza richiesta dall'utenza senza problemi. Ad una eventuale richiesta di potenza ulteriore del carico, il sistema risponde diminuendo ancora la tensione finché collassa.

59

Biforcazione Pitchfork supercritica (Forcone, forward)

E’ tipica di sistemi fisici con simmetria.

Biforcazione Pitchfork supercritica

3xrxx forma normale

L’eqne della forma normale è invariante sotto il cambiamento di variabili x -x (equivale alla simmetria ).

r < 0

x*=0 stabile

x

x

x

x

r > 0

x*=0 instabile

x

x

r r

r = 0

x*=0 debolmente stabile

60

instabile

x

r

Diagramma di biforcazione

stabile

stabile

stabile

forcone (pitchfork)

E’ una biforcazione soft: i punti fissi non zero nascono con piccola ampiezza

61

Biforcazione transcritica

2xrxx forma normale

x

x

r <0

2 punti fissi x* = r instabile x* = 0 stabile

x

x

r = 0

I 2 punti fissi si fondono x* = r =0

punto fisso semistabile

x

x

r > 0

2 punti fissi x* = r stabile x* = 0 instabile

r r

C’è stato uno scambio di stabilità tra i due punti fissi

62

instabile

stabile r

Diagramma di biforcazione

instabile

stabile

x

63

Biforcazione Pitchfork subcritica (inverted o backward)

3xrxx

Se il termine cubico fosse destabilizzante (dello stesso segno di x):

instabile

x

r

Diagramma di biforcazione

instabile

instabile

stabile

instabile )(

instabile )(

instabile) stabile, (

fissi Punti

0

0

000

rr

rr

rr

‘Sotto’ la biforcazione (r<0) compaiono 2 punti fissi (da cui il nome subcritica)

E’ una biforcazione hard: il sistema salta da zero a grandi ampiezze

64

Analisi di stabilità lineare

Finora abbiamo visto metodi grafici per determinare la stabilità di punti fissi. Spesso occorre avere una misura quantitativa della stabilità come il tasso di decadimento verso un punto fisso stabile. Questo tipo di informazione può essere ottenuta linearizzando il sistema intorno al punto fisso.

65

x* punto fisso; h = x(t) - x* piccola perturbazione dh /dt = d(x - x*)/dt = dx/dt = f(x) = f(x* + h) Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno di x* f(x* + h ) = f(x*) + h f ’(x*)+O(h 2) = h f ’(x* )+O(h 2) h f ’(x* )

dh /dt = h f ’(x*) linearizzazione intorno a x*

f ’(x*) > 0 h cresce esponenzialmente f ’(x*) < 0 h decresce esponenzialmente f ’(x*) = 0 ????????? O( h 2) non è trascurabile!!!! Occorre un’analisi di stabilità non lineare

indica se la perturbazione si amplifica o si smorza

66

La pendenza f ’(x*) nel punto fisso determina la sua stabilità. f ’(x*) > 0 punto fisso instabile f ’(x*) < 0 punto fisso stabile L’ampiezza f

’(x*) ci indica quanto un punto fisso è stabile/instabile. 1 / |f ’(x*)| è un tasso temporale caratteristico; indica il tempo necessario affinché x(t) vari significativamente nel vicinato di x*.

67

Esempio

dx/dt = -x3

x* = 0

f’(x*) = 0

dx/dt = 0

x*i= qualunque

f’(x*i) = 0

i=- ,….,+

dx/dt = x2

x* = 0

f’(x*) = 0

dx/dt = x3

x* = 0

f’(x*) = 0

x

dx/dt

x

dx/dt

x

dx/dt

x

dx/dt

stabile instabile semistabile

f’(x*) = 0

linea di punti fissi

68

Impossibilità di oscillazioni

Un sistema del I ordine può convergere in un punto fisso divergere a ±

f(x)

dx/dt

x

La traiettoria può crescere/decrescere monotonicamente può rimanere costante non può cambiare verso

NON ESISTONO SOLUZIONI PERIODICHE nel flusso su una linea

)(xfx

69

Sistemi bidimensionali Sistemi lineari Sistemi non lineari Cicli limite

Il comportamento del circuito può essere studiato analiticamente attraverso il modello linearizzato

76

I sistemi monodimensionali hanno traiettorie che si muovono monotonicamente o rimangono costanti. I sistemi di ordine più elevato presentano un comportamento dinamico più complesso. I più semplici sono i sistemi lineari bidimensionali:

dycxy

byaxx

.

.

Axx.

y

x

dc

baxA

Il sistema è lineare:

22

11

Axx

Axx

.

.

2211333xxxAxx

.

cc

Il punto x*= 0 è un punto fisso per qualunque scelta di A

77

Esempio 1

a

a-

10

0AAxx

.

yy

axx

.

.

Equazioni disaccoppiate caso semplice t

at

eyy

exx

0

0

y decresce esponenzialmente per qualunque valore di a

x decresce esponenzialmente per a < 0

Gli assi x e y giocano un ruolo particolare: una traiettoria che parte su uno di essi vi rimane per sempre e mostra semplice decadimento/crescita esponenziale.

78

1. a < -1

x decade più rapidamente di y le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (y) x*=0 è un nodo stabile

2. a = -1

x*=0 è un nodo simmetrico o stella

3. -1< a < 0 y decade più rapidamente di x le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (x) x*=0 è un nodo stabile

t

at

eyy

exx

0

0

79

4. a = 0

x(t)=x0 linea di punti fissi lungo l’asse x

Le traiettorie si avvicinano all’origine lungo linee verticali

5. a > 0

x*= 0 diventa instabile e le traiettorie si muovono verso l’infinito, a meno che la traiettoria non parta sull’asse y

x*=0 è un punto sella

L’asse y è la varietà stabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che x(t)x*

per t

L’asse x è la varietà instabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che

x(t)x* per t -.

80

nodo stabile

sella

linea di punti fissi stabili

nodo simmetrico o stella instabile

81

Stabilità di sistemi lineari

x(t)

Limitato per ogni x(0) sistema STABILE Illimitato per qualche x(0) sistema INSTABILE

Sistema stabile

x(t)0 per ogni x(0) ASINTOTICAMENTE STABILE

x(t)0 per qualche x(0) SEMPLICEMENTE STABILE

82

Autovalori ed autovettori

Cerchiamo particolari traiettorie rettilinee della forma

vxtet )( Moto esponenziale lungo la linea individuata dal vettore v

Sostituendo in ,Axx.

AvvAvv tt ee

La traiettoria esiste se v è un autovettore di A con autovalore

vxtet )( è detta autosoluzione La soluzione

83

x

Ax

x

Ax

x è un autovettore con <0 x non è un autovettore

In generale, l’azione della matrice A su x produce una rotazione per cui x e Ax non sono allineati Se x è un autovettore l’azione di A si traduce in un allungamento/accorciamento del vettore ed eventualmente in un cambio di verso.

84

Richiamo Gli autovalori di una matrice A sono dati dall’equazione caratteristica

0)det( IA

Per una matrice 2*2

dc

baA

l’equazione caratteristica diventa

2

4

)det(

0det

2

2,1

Allora

;)traccia( con

0 2

bcaddaA

dc

ba

A

Il sistema è asintoticamente stabile se Re(i)<0 per ogni i

85

Sottospazi invarianti

ΧΧ, A

An

xx

se sotto invariante è osottospazi Un

. in stanno di itrasformat i ovvero, x

Teorema Il sottospazio descritto da un autovettore è un sottospazio invariante. Dim. Infatti Ax=x

Allora la traiettoria che parte da uno stato x(0) che è un autovettore rimane nel sottospazio descritto dall’autovettore

x2

x1

x0 x1 x2

x1

x0 x1

10 10

x0 è un autovettore associato a 1

86

Nodo: Autovalori reali e concordi in segno

Sella: Autovalori reali e discordi in segno

Centro: Autovalori immaginari puri

Fuoco: Autovalori complessi coniugati

87

21

021021

vvx

xvvxvv

ttecect

cc

21

21

2121

)(

,

forma la avrà generale soluzione La

tiindipenden elinearment e

E’ una soluzione generale perché •è una combinazione lineare di (auto) soluzioni e quindi è una soluzione.

•soddisfa le condizioni iniziali

quindi per il teorema di esistenza ed unicità è la sola soluzione.

AUTOVALORI DISTINTI

Ritratto delle fasi

88

y

x

Per disegnare le traiettorie nello spazio delle fasi è però sufficiente conoscere gli autovalori

leesponenzia odecadiment con oneautosoluzi

leesponenzia crescita con oneautosoluzi

λ

λ

3

2

2

1

L’origine è un punto sella La linea individuata da v1 è la varietà instabile, quella individuata da

v2 è la varietà stabile.

v2

(più ripida)

v1 ;32 21 ; λ λ

4

1

1

1

2

1

2

2

1

v

v

v

v

v

v1

89

y

x

Cosa accade se 1 < 2 <0

2 Direzione lenta

1 Direzione veloce

•Entrambe le autosoluzioni decadono esponenzialmente •Il punto fisso è un nodo stabile •Le traiettorie convergono verso il punto fisso tipicamente lungo la direzione dell’autovettore col più piccolo || (2 •Invertendo le frecce otteniamo il ritratto delle fasi per un nodo instabile

90

Cosa accade se Il punto fisso è un centro o una spirale (fuoco)

C21

,

(oscillatore armonico smorzato)

(oscillatore armonico)

2

21

2

2

2,1

42

1

2;04

2

4

τΔ ω;τ

αjωαλ,

Punto fisso circondato da una famiglia di orbite chiuse

91

)(

)cos(

tsene

te

t

t

instabile ocospirale/fu

stabile ocospirale/fufisso Punto

0 se crescenti

0 se smorzate niOscillazio

Oscillazioni modulate da un esponenziale

0

0

Oscillazioni di ampiezza fissa Punto fisso: centro Soluzioni periodiche di periodo 2p/

92

21

AUTOVALORI COINCIDENTI

g2121g21xvvvvAAxvvx

212121)(;)( cccccct

g

Esistono 2 autovettori indipendenti: Consideriamo un vettore arbitrario xg

Ovvero xg (ogni vettore) è un autovettore con autovalore . Poiché la moltiplicazione per A moltiplica qualunque vettore per , A deve essere del tipo

0

0A

0

originel' attraverso

rette lineet

oet

xx )(

nodo stella

00 xxx.

A

Ogni punto è un punto fisso

93

autodirezione

Esiste un solo autovettore Il punto fisso è un nodo degenerato

nodo degenerato: nodo proveniente dalla deformazione di un nodo ordinario con 2 autovettori (autodirezioni) indipendenti in cui tutte la traiettorie sono parallele alla direzione lenta come

one.autodirezi

unicaall' parallele diventano

ie traiettorle tuttePer t

lenta veloce

.t

0

bA

94

Classificazione dei punti fissi

<0 autovalori reali con segni opposti punto sella

2

42

2,1

stabile teneutralmen (centro) fisso punto0)( 0

instabile fisso punto0)( 0

stabile fisso punto0)( 0

centri) o (spirali coniugati complessi

(nodi) segno stesso lo con realiautovalori

1,2

1,2

1,2

2

2

04

040

04 2

=0 un autovalore nullo intera linea di punti fissi o intero piano (se A=0)

Nodi instabili

Spirali instabili

Spirali stabili

Nodi stabili Punti fissi non isolati Stelle, nodi

degenerati

centri

95

Sistemi non lineari

96

La forma generale è

),(

),(

2122

.

2111

.

xxfx

xxfx

)(xfx

.

2

1

2

1

)(

)()(

x

x

f

fx

x

xxf

x è un punto nel piano delle fasi e il vettore velocità in quel punto. Durante l’evoluzione del sistema la soluzione x rappresenta la traiettoria nel piano delle fasi.

.

x

.

x)(tx

Ogni punto può essere un punto iniziale Le traiettorie riempiono l’intero piano delle fasi

Tipicamente non è possibile trovare a soluzione analitica ci occuperemo di comportamento qualitativo delle soluzioni.

Il piano delle fasi

97

Caratteristiche principali

I punti fissi come A, B, C; f(x*)=0

Le orbite chiuse come D

Le traiettorie vicino ai punti fissi ed alle orbite chiuse

La stabilità (D) e l’instabilità (A, B, C) dei punti fissi e delle orbite chiuse

Trovare il ritratto delle fasi direttamente dalle proprietà di f(x)

98

Molteplicità degli equilibri

0 2 1

Infinità numerabile Infinità non numerabile

NON in un sistema lineare

99

N.B. Nei sistemi non lineari, la stabilità è una proprietà dell’equilibrio, non del sistema: lo stesso sistema può possedere equilibri stabili e instabili.

100

Conseguenze (negli spazi bidimensionali )

Ogni traiettoria che parte dentro un’orbita chiusa vi è intrappolata per sempre.

Se all’interno vi sono punti fissi può convergere verso di loro. Se non vi sono punti fissi deve convergere verso l’orbita (vedremo Teorema di Bendixon-Poincaré).

100

Esistenza, unicità e conseguenze topologiche

Traiettorie diverse non si intersecano mai

2 soluzioni che partono dallo stesso punto viola l’unicità

101

Punti fissi e linearizzazione

Obiettivo: approssimare l’evoluzione del sistema vicino ad un punto fisso col corrispondente sistema lineare.

),(

),(

yxgy

yxfx

;

0

0 fisso; punto un è

),(

),(),(

**

**

**

yxg

yxfyx

Dato il disturbo che allontana dal punto fisso vediamo se cresce o si smorza

),,(

),,(),(

),(

22

)*,*()*,*(

22

)*,*()*,*(

**

**

uvvuOy

fv

x

fu

uvvuOy

fv

x

fuyxf

vyuxfxu

yxyx

yxyx

y-y* v y x-x* , u x

102

)( fisso punto nel Jacobiana matrice

quadratici termini

),,(

),,(

)*,*(

)*,*(

22

)*,*()*,*(

22

)*,*()*,*(

**

yx

yx

yxyx

yxyx

,yx

y

g

x

g

y

f

x

f

J

v

u

y

g

x

g

y

f

x

f

v

u

uvvuOy

gv

x

guv

uvvuOy

fv

x

fuu

(analogo di f’(x*))

103

)(

tolinearizza sistema

quadratici terminii oTrascurand

)*,*(

xxx*

.

J

v

u

y

g

x

g

y

f

x

f

v

u

yx

Il sistema linearizzato rispecchia qualitativamente il comportamento del sistema non lineare vicino a (x*,y*)?

104

Se il punto fisso per il sistema linearizzato è

una sella, un nodo o una spirale,

allora il punto fisso è realmente una sella, un nodo o una spirale per il sistema non lineare

Se il punto fisso per il sistema linearizzato è

un centro, un nodo degenere, una stella o punto fisso non isolato

i piccoli termini trascurati possono alterarne il comportamento

Ex. il sistema linearizzato predice un centro mentre si tratta di una spirale

105

? ?

Im

Re

Im

Re

Im

Re

Im

Re

Im

Re

autovalori di J

xxx* )(

.

J

)(.

xx f

106

Esempio 1

)()()(

fissi Punti 010100

0020

1

000

2

3

3

,- , ,

y yy

x

x xxx

yy

xxx

.

.

.

.

;

;

20

02)0,1(

20

01)0,0(

20

031 2

..

..

J

Jx

y

y

x

y

y

x

x

x

J

nodo stabile

punti sella

I punti fissi del sistema non lineare sono stati predetti correttamente (poiché si tratta di nodo stabile e sella).

107

Anche stelle e nodi degeneri possono essere alterati dalla non linearità, ma la loro stabilità non cambia. Se siamo interessati alla stabilità e non alla geometria della traiettoria, possiamo classificare i punti fissi in Casi robusti Repulsori (sorgenti) Re(1,2)>0 Attrattori (pozzi) Re(1,2)<0 Selle 1<0 2>0 Casi marginali Centri Re(1,2)=0 Punti fissi di ordine 1=0 superiore e non isolati

108

Il ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è ‘strutturalmente stabile’.

Strutturalmente stabile la sua topologia non è cambiata da una perturbazione arbitrariamente piccola del campo vettoriale.

Il ritratto delle fasi di un punto sella è strutturalmente stabile, ma quello di un centro no: una piccola perturbazione trasforma un centro in una spirale.

Stabilità strutturale

109

Criterio di Lyapunov (1892) Una funzione di Lyapunov è una funzione energia che decresce lungo le traiettorie. Dato il sistema

in fisso punto un con ,*.

xf(x)x

1. continuamente differenziabile, a valori reali

).

0

,0)(.2

*

***

***

x

x0xx

x0xxx

verso scendono'' etraiettori le

in negativa definita ( e di intorno un in 3.

); in positiva definita ( e di intorno un in .

V)(VV

V)V(V.

allora x* è asintoticamente stabile: per qualunque condizione iniziale, x(t) x* per t. In particolare, il sistema non ha orbite chiuse.

cioè , Lyapunov di funzione una esiste se V(x)

110

x(t)

x*

x2

x1

x* 1 2

curve di livello di V

3

Condizioni 1 e 2 le linee di livello V=cost sono chiuse e ordinate vicino a x*

Condizione 3 le traiettorie attraversano le linee di livello trasversalmente dall’esterno verso l’interno. Il sistema tende al minimo di V x*

111

Lyapunov di funzione una è

per :ha Si

Posto

.

22

42

42

322

3.

.

4

0000

82,4

2282

24222

4

yxV

),((x,y) V, V

.yx(x,y)Va

.aya)xy(x-

)yxay(y)xx(yayxxVayxV(x,y)

yxy

yxx

.

...

Non c’è un modo sistematico per costruire una funzione di Lyapunov. Occasionalmente funzionano le somme di quadrati.

112

Esempio – Oscillatore di Duffing

stabile menteasintotica Re(

0 det(J) - tr(J)

ZIONELINEARIZZA

1,2

0)

0

0

00

0,,)(

.

2

.

1

12

.

2

3

1

2

1

.

1

J

xx

xx

xxxx

x

Bipolo Non lineare

x2 x1

113

0 in negativa tasemidefini

ellitiche livello di lineequadratica

0 in positiva definita

LYAPUNOV DI FUNZIONE

x

x

)xβ(x

γxxγ

)xxβxα(xα

V

xγ

xα

V(x)

.

2

1

22

1

122

3

1

2

11

2

2

2

1

1

22

12

2

1

2

1

2

1

.

V

x1

1/ -1/

x2

x1

0.

V

114

Linearizzazionesolo informazioni locali per piccole perturbazioni dall’equilibrio Lyapunov informazioni sull’intero bacino di attrazione

115

Cicli limite

Un ciclo limite è una traiettoria chiusa isolata. Isolata le traiettorie vicine non sono chiuse; esse spiralano verso il ciclo limite o lontano da esso. Ciclo limite stabile o attrattore tutte le traiettorie vicine tendono verso il ciclo limite. Ciò significa che se il sistema è leggermente disturbato dall’oscillazione standard, torna poi nel ciclo limite. Altrimenti ciclo limite instabile o semi-stabile. I cicli limite stabili modellano sistemi con oscillazioni autosostenute, (oscillanti anche in assenza di sollecitazione periodica esterna). Ex., battito cardiaco, ritmi quotidiani di temaperatura corporea o livelli ormonali,

pericolose vibrazioni autosostenute nei ponti o nelle ali degli aerei,etc.

116

Ciclo limite stabile Ciclo limite instabile Ciclo limite semi stabile

117

Un ciclo limite è un fenomeno non lineare. Un sistema lineare può avere orbite chiuse ma non isolate.

cx(t)

x(t)

Se x è una soluzione periodica, lo è anche cx(t).

x è circondata da una famiglia di orbite chiuse. .

Quindi l’ampiezza dell’oscillazione lineare dipende interamente dalle condizioni iniziali; ogni leggero disturbo persisterà per sempre. Invece in un ciclo limite le oscillazioni sono determinate dalla struttura del sistema stesso.

118

x(t)

Il ciclo limite non è un cerchio

b=1

dx/dt