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Fondamenti e didattica della matematica -Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienzedella Formazione - Università Milano Bicocca -
a.a. 2007-2008
10 ottobre 2007
Marina Bertolini (marina.bertolini@mat.unimi.it)
Dipartimento di Matematica F.Enriques
Università degli Studi di Milano
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Trasformazioni geometriche
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Quadrati
Definizione – Chiamiamo quadrato un poligono con 4
lati uguali e 4 angoli retti.
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Quadrati
Quando diamo la definizione di quadrato in realtà nondefiniamo una figura, ma tante figure.
Infatti quello che ci interessa è identificare la classe dellefigure che rispondono alla nostra definizione.La parola classe è presa in prestito dal capitolo delleRelazioni di equivalenza.
Il concetto di classe ci permette di considerare “uguali”(in altre parole equivalenti) tutte le figure che ad esempiorispondono ad una definizione o piu’ in generalesoddisfano certe proprieta’ geometriche.
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Trasformazioni del piano
Queste considerazioni vengono formalizzate nel contestodella geometria delle trasformazioni.
Definizione – Una trasformazione del piano è unacorrispondenza biunivoca tra i punti del piano.
In altre parole una trasformazione del piano f associaad ogni punto P uno e un solo punto f (P) (che possiamoindicare con P′)e viceversaogni punto P′ del piano è il corrispondente di uno e unsolo punto P.
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Corrispondenze biunivoche
Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi è unalegge che permette di associare ad ogni elemento delprimo insieme uno e un solo elemento del secondoinsieme e viceversa ogni elemento del secondo insiemeproviene da uno e un solo elemento del primo insieme.
Assegnare una corrispondenza biunivoca significaassegnare la regola con cui associare gli elementi.
Nelle trasformazioni geometriche, gli insiemi dellacorrispondenza sono il piano e gli elementi sono i puntidel piano.
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Esempi
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Riflessione rispetto ad una retta r
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Riflessione rispetto ad una retta r
Fissata una retta r, la riflessione corrispondente è quellatrasformazione che manda ogni punto del piano P in quelpunto P′ che appartiene alla perpendicolare da P a r etale che la distanza di P dalla retta r sia uguale alladistanza di P′ da r
r
P
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Riflessione rispetto ad una retta r
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Esempi
Se nel piano cartesiano associamo ad ogni punto la suaproiezione sull’asse delle ascisse, otteniamo unatrasformazione?
No, infatti la corrispondenza data in questo caso non èbiunivoca. Tutti i punti delle rette perpendicolari all’assedelle ascisse hanno lo stesso punto comecorrispondente.
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Rotazione di angolo α attorno al
punto O
Fissato un punto O del piano e un angolo α la rotazionecorrispondente è quella trasformazione che manda ognipunto del piano P nel punto P′ individuato dal fatto che ladistanza di O da P è uguale alla distanza di O da P′ eche l’angolo POP′ sia uguale all’angolo α
OP
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Rotazione di angolo α
attorno al punto O
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Rotazione di angolo α
attorno al punto O
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Traslazione di vettore v
Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente èquella trasformazione che manda ogni punto del piano P
nel punto P′ individuato dal fatto che il vettore→PP′ abbia
la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso versodi v.
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Traslazione di vettore v
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Isometrie del piano
Una isometria è una trasformazione f del piano chelascia invariate le distanze.
In altre parole, f è una isometria se comunque siprendano due punti P e Q del piano, allora la distanza traP e Q è uguale alla distanza tra i punti corrispondenti,P′ = f (P) e Q′ = f (Q).
Come sono fatte le isometrie del piano?
Come sono due figure piane isometriche (cioè duefigure ottenute l’una dall’altra con una isometria)?
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Proprietà delle isometrie
La definizione di isometria permette di dedurne alcuneproprietà geometriche:
Le isometrie conservano gli angoli (ovvero:comunque si fissino tre punti A, B e C del piano,l’angolo da questi individuato è uguale all’angoloindividuato dai loro corrispondenti A′, B′ e C′)
se tre punti A, B e C sono allineati, allora i tre punticorrispondenti A′, B′ e C′ sono allineati
l’immagine di ogni segmento è un segmento,l’immagine di ogni retta è una retta
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Gli esempi visti
Le riflessioni, le rotazioni e le traslazioni sono isometrie.Si può infatti dimostrare che, qualunque sia la scelta deipunti P e Q, si ha che la distanza tra P e Q è uguale alladistanza tra P′ e Q′, dove P′ e Q′ sono i punti ottenuti daP e Q con una rotazione o traslazione o riflessione.
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Composizione di isometrie
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Composizione di traformazioni
Date due trasformazioni, che chiamiamo f e g,applicando prima la f e poi la g (cioè facendone lacomposizione ) otteniamo una nuova trasformazione.
Ricordiamo che una isometria (del piano) è unatrasformazione (del piano) che lascia invariate ledistanze.
Si può dimostrare che la composizione di due isometrie èancora una isometria.
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Composizione di traslazioni
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Composizione di riflessioni
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Composizione di riflessioni
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Composizione di isometrie
Ricapitoliamo quanto visto
La composizione di due traslazioni è ancora unatraslazione (corrispondente alla somma di vettori)
Quando faccio la composizione di due traslazioninon importa in quale ordine considero le duetraslazioni
La composizione di due riflessioni può essere unatraslazione o una rotazione (a seconda che le retterispetto a cui rifletto siano parallele o incidenti)
Quando faccio la composizione di due riflessioniottengo risultati diversi a seconda di qualeriflessione opera per prima
Che cosa succede se compongo due rotazioni?Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 25/33
Nuove isometrie?
Fino ad ora abbiamo visto che sono isometrie:
le traslazioni
le riflessioni
le rotazioni
?????
La composizione di isometrie potrebbe permettermi ditrovare nuovi tipi di isometrie da aggiungere a questalista.
Che cosa succede se compongo una traslazione e unariflessione?
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Glissoriflessioni
Componendo una traslazione con una riflessionescopriamo una nuova famiglia di isometrie: leglissoriflessioni
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Isometrie del piano
Si può dimostrare che con le glissoriflessioni abbiamocompletato la lista delle isometrie del piano
traslazioni
riflessioni
rotazioni
glissoriflessioni
In altre parole, ogni isometria del piano è di uno dei tipi inelenco.(Nota: si tratta di un teorema di teoria dei gruppi.)
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Isometrie del piano
Vi sono isometrie che conservano l’orientamento eisometrie che non conservano l’orientamento
rotazioni e traslazioni conservano l’orientamento
riflessioni e glissoriflessioni non conservanol’orientamento
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Geometria delle isometrie
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Geometria delle isometrie
Due figure sono “equivalenti” se esiste una isometria ditutto il piano che manda la prima figura nella seconda.
Dalle proprieta’ viste, si ha che due poligoni isometricihanno per esempio:
la stessa area
lo stesso “perimetro”
lati e angoli uguali
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Isometrie e aree
Rivedendo gli esercizi sulle aree scopriamo che di fattoabbiamo utilizzato la geometria delle isometrie
I triangolini si corrispondono tramite una traslazione.
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Isometrie e aree
I trapezi si corrispondono tramite una rotazione.
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