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Fisica Tecnica G. Grazzini
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Energia
scambiata per
ciclo legata alle
differenze di
pressione ed al
valore della
pressione stessa.
I° Principio
macchina
CICLICA
L = Q12-Q34
12
34
12
1Q
Q
Q
L−==ε
Reversibilità
12
341T
TMAX −=ε
Diagramma Indicatore
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Cicli termodinamici ideali di
riferimento.
Cicli per sistemi chiusi mentre le
macchine reali sono per lo più
sistemi aperti.
Es. motori auto, turbine
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Politropica reversibile
Pvn=P1v1n
Per il ciclo si ha:
PAvAa=PBvB
a ; PBvBb=PCvC
b
PCvCc=PDvD
c ; PDvDd=PAvA
d
da cui moltiplicandole e
dividendole membro a membro si
ha:
1)()()()( =⋅⋅⋅ −−−− daD
bcC
abB
daA vvvv
Se si hanno due trasformazioni eguali gli esponenti sono eguali ad esempio a = c
quindi:
1
)()(
=
⋅
−− ba
B
C
da
D
A
v
v
v
v
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Definito il rapporto di compressione B
D
v
v=ρ
e posto B
C
v
v=σ
)()(
)(
daba
da
B
A
v
v −−
−
=⋅
ρσ
se a = c = k = cp/cv adiabatiche, allora
)(
)(11
BCb
ADd
b
d
TTc
TTc
Q
Q
−−
−=−=ε Ma per gas perfetto Pvγ=P1v1
γ e Pv=RT quindi:
)1( −
=
γ
B
AAB
v
vTT
e
)1( −
=
γ
C
DDC
v
vTT
introducendo ρ e σ
d
db
AB TT −−−−
= γ
γγ
σσρ
)1)(()1(
;
)1( −
=
γ
σρ
DC TT e si ottiene:
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−
−−=
−
−−−d
db
ADb
ADd
TTc
TTc
γγγ
σσρ
ε)1)(()1(
)(1
espressione generale per tutti i cicli con
due adiabatiche.
Carnot isoterme b=d=1, cd = cb ⇒ B
AC
T
T−=
−=
−
11
)1(γ
ρσ
ε
Otto- Beau De Rochas isocore b = d = ∞ ; cd = cb = cv ; vc= vb ⇒ σ = 1
)1(
)1(1
11 −
−
−=
−= γ
γ
ρρσ
εO
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Joule - Brayton isobare b = d = 0 ; cd = cb = cp ⇒
)1(
1
−
−=
γ
ρσ
ε J
Definendo
γγ
σρ
ρ
=
==
B
A
A
BP
v
v
P
P
Si ottiene:
γγρε
/)1(
11
−−=
P
J
In generale ε cresce al crescere di ρ.
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CICLI RIGENERATIVI
)(
)(111
3
1
DCp
ABp
r
rc
TTc
TTc
Q
Q
−
−−=
++
−=−=ε
considerando le relazioni
precedenti ed un gas perfetto è
possibile mostrare come il
rendimento di un ciclo Joule
rigenerato sia esprimibile come:
γγγ
ρρ
ρε /)1(
/1
11−−=−= P
C
Ap
JrT
T
Stirling ed Ericson rigenerati
ideali hanno lo stesso ε di Carnot
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23
1243 )(
hh
hhhh
Q
LL
ca
PT
−−−−
=−
=εse LP <<LT allora h2≈h1 e
23
43
hh
hh
Q
L
ca
T
−−
==ε
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Esistenza del massimo per il lavoro
Consideriamo un sistema chiuso in condizioni stazionarie che scambi le quantità
di calore Qh e Qc con solo due sorgenti alle temperature Th e Tc. Lo scambio
avvenga attraverso due isoterme alle temperature Tsh e Tsc, con
Th > Tsh > Tsc > Tc.
In base al primo principio della
termodinamica, in un sistema chiuso che
percorre un ciclo, il calore ceduto dalla
sorgente calda Qh dovrà essere maggiore di
quello Qc ceduto alla fredda perché il lavoro
sia positivo. Lm=Qh-Qc
Considerando il lavoro in funzione di Qh, si
Sorgente calda T
h
Sorgente
fredda Tc
Sistema chiuso
Tsh
Tsc
Lm
B c
B h T > T > T > T
Scambi termici isotermi
h sh sc c
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presentano due casi con lavoro nullo:
a) Qh = 0 che implica Qc = 0 ; b) Qh = Q'c
Il lavoro essendo nullo a questi estremi e maggiore di zero nell’intervallo tra loro,
dovrà esistere almeno un massimo per 0 < Qh < Q'c. Si noti come agli estremi si
abbiano particolari valori del rendimento; considerando Q come una funzione
delle differenze di temperatura si ha:
( )csccc
shhhh
TTBQ
TTBQ
−=
−=
La condizione Qh = 0 fornisce Th=Tsh, Tc = Tcs.
Quindi per un motore reversibile si può scrivere il rendimento come
ε = 1 - Qc/Qh = 1 - Tc/Th
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Vale a dire il rendimento è quello classico di Carnot per lavoro sviluppato nullo.
D'altra parte la condizione Qh = Q'c dà per l’efficienza
ε = 1 - Q'c/Qh = 0
Una legge generale di scambio termico Supponiamo che sia utilizzabile una legge generale di scambio termico per la
temperatura più alta ed una di tipo convettivo per cedere calore a bassa
temperatura
Sfruttando la reversibilità interna del motore, il
secondo principio della termodinamica permette di
scrivere che:
( )csccc
sh
m
h
m
hmh
TTBQ
TTBQ
−=
−=
1
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=
sc
c
sh
h
T
Q
T
Q
ed usando le relazioni di scambio termico si ottiene per il
rendimento:
−
−
−==
−m
h
shm
m
h
h
sh
h
c
h
mm
T
TT
T
T
T
T
q
L1/1
1
βε
e per il lavoro l’espressione:
m
m
h
shm
hhmmT
TTBL ε
−= 1
con βm
hm
c
B
B=
1
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Nel caso in cui m=1 è possibile derivare rispetto a
T
T
sh
h
e si ricava l'espressione
del lavoro massimo
( )L B TT
Tc h
c
h
max /1 1 1
2
11 1= −
+β β½
per ( )T
T
T
T
sh
h
c
h
= +
+β β1 11
½
/
ed il rendimento corrispondente al lavoro massimo per m=1 sarà pari a:
½
1 1
−=
h
cL
T
Tε
, [Curzon e Ahlborn, 1975].
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Cicli inversi
Frigorifero
COP= Q2/L >1
Macchina ideale
|||| 12
2
12
2
TT
T
QCOPC −
=−
=
Pompa di calore
COPHP= Q1/L= (L+Q2)/L =1+COP
5
P
h
4 2
1
V C
24
5 1
s
T
1
2
3
4
5
Q 1
Q 2
L
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Irreversibilità dovute a scambio termico
Thi
Tho
Tci
Tco
Tfci
Tfco
Tfc
Tfh
Tfhi
Tfho
T
S
Tho Thi
Tfho Tfhi
Wh
Qh
Tfco Tfci
Tci Tco
Qc
Wc
Wf
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Macchine tritermiche
COP = Qe/(Qg+ Lp)
cioè
COP = Qe/Qg =
= (Qe/L) (L/Qg) <1
e se la macchina è
reversibile
COPC = [Te/(Tc- Te)]
[(Tg- Tc)/Tg]
Figura A - Schema di ciclo frigorifero ad eiezione
Figura 2- Rappresentazione schematica di eiettore supersonico
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Schema di ciclo ad
assorbimento monostadio
Anche in questo caso si ha la
sostituzione dell'energia
meccanica necessaria al
funzionamento del compressore,
con energia termica a
temperatura non elevata; il
compressore viene sostituito dal
gruppo assorbitore-pompa-
generatore
Il vapore sviluppatosi
nell'evaporatore col calore della
sorgente fredda viene assorbito da una soluzione formata dal refrigerante e da un
adeguato solvente. Dato che il vapore in equilibrio col proprio liquido ha una
pressione molto maggiore di quella che caratterizza l'equilibrio con la soluzione alla
stessa temperatura, diventa possibile anche l'assorbimento di vapore proveniente da
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un evaporatore a temperatura più bassa di quella di funzionamento dell'assorbitore.
L'assorbimento arricchisce di refrigerante la soluzione che viene inviata al
generatore, che si trova a pressione più elevata dell'assorbitore. La pressione più alta
comporta che anche la temperatura di equilibrio tra vapore e liquido sia più elevata;
fornendo energia termica alla soluzione il vapore si separa nuovamente e può
ripetere il ciclo frigorifero andando al condensatore, alla valvola di laminazione 2-3
e di nuovo all'evaporatore ed all'assorbitore. Nello stesso tempo la soluzione che ha
liberato il refrigerante torna all'assorbitore passando per una valvola di laminazione
che permette di mantenere la differenza di pressione tra assorbitore e generatore. La
soluzione, 9, che va alla laminazione riscalda in controcorrente quella che va al
generatore realizzando così un recupero di energia, ma soprattutto contribuendo a
mantenere la differenza di temperatura tra i due apparati.
Il fabbisogno di energia meccanica della pompa è modesto rispetto all'energia
termica richiesta (1-2%).
COP esprimibile come per eiettore.
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Cicli frigoriferi ad aria
Vengono utilizzati negli
impianti di climatizzazione dei
velivoli potendo utilizzare aria
compressa spillata direttamente
dai compressori dei motori; in
questo caso si utilizza un ciclo
Joule inverso, ciclo a gas
composto da due isobare e due
adiabatiche ove l'isobara di
chiusura si realizza
nell'ambiente esterno.
E' interessante notare come,
comportandosi l'aria quasi
come un gas perfetto, in questo
caso sia necessario l'uso di una
turbina di espansione, poiché la semplice laminazione sarebbe praticamente
isoterma.
1
2
3
4
T H
T C
240
260
280
300
320
340
360
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
s [kJ/(kg K)]
T [K]
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T4
T3T2
T1
TH
TC
C TM M TC
TH
T1=Tc
T2 T3
T4
M TC
TC
T1
T2 T3=TH
T4
low pressure
high pressure
I cicli Joule inversi ad aria sono nuovamente studiati anche per applicazioni
frigorifere vere e proprie, data la sicurezza presentata dal fluido e le notevoli
conoscenze ed esperienze oggi maturate nel campo dei compressori assiali e delle
turbine.
E’ possibile ridurre il rapporto di compressione fino ad ottenere un grafico in cui
la temperatura fredda risulterebbe superiore a quella calda, cosa ovviamente
inutile. Se tuttavia si scambia calore all’interno del ciclo tra l’isobara inferiore
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(1-4’) e la superiore (2’-3) si riesce ad ottenere la sottrazione di calore da TH
cedendolo a TC, sia pure
con un ridotto effetto
frigorifero (4-4’); la
riduzione del rapporto di
compressione può
tuttavia permettere di
raggiungere buoni COP
Anche per i frigoriferi il
rendimento di secondo
principio è dato da
CCOP
COP=η
1
2
3
4
TH
TC
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
s [kJ/(kg K)]
T [K]
2’
4’