Fisica - Appunti di Fisica 5

FisicaAppunti di Fisica 5

Michele prof. Perini

IISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico

A.S. 2021-2022

Michele prof. Perini Fisica 1 / 127

1 Induzione magneticaLegge di Faraday-Neumann-LenzInduttanzaCircuiti RLEnergia del campo BDensità di energiaTrasformatori

2 Leggi di MaxwellPrima legge di MaxwellSeconda legge di MaxwellTerza legge di MaxwellQuarta legge di MaxwellLeggi dell’elettromagnetismoLeggi di Maxwell in assenza di cariche

Onde elettromagnetiche

3 Cinematica relativisticaAssiomi relatività ristrettaOrologio luceIntervallo spazio-tempoGalileo vs EinsteinDiagrammi spazio-tempoDilatazione dei tempiContrazione delle lunghezzeTrasformazioni di LorentzVelocità relativeEffetto DopplerEsempi

MuoniParadosso dei gemelli

Composizione delle velocità con metodo del fattore di rapiditàEffetto Doppler

4 Dinamica relativisticaEnermotoModulo enermotoEnergiaEnergia cinetica classica e relativisticaEnergia e quantità di motoEsempi

Quantità di moto dei fotoniUrto tra particelle identiche

Massa relativistica

5 Atomi e QuantiThomsonMillikan

Corpo neroQuantità di moto dei fotoniEffetto fotoelettricoEffetto ComptonParticelle e ondeCenni di Meccanica Quantistica

6 Fisica e matematicaDerivate

CinematicaMRUAMoto circolare uniformeAlternatore

Equazioni differenzialiOmogenee del primo ordineNon omogenee del primo ordineDel secondo ordine

Oscillatore armonicoPendoloCircuiti RCCircuiti RLCircuiti LC

IntegraliPotenza in circuiti a tensione alternataLavoro in trasformazioni isotermeLegge di Stefan-Boltzmann dalla curva di Wien

Cenni ai sistemi caotici

Induzione magnetica Legge diFaraday-Neumann-Lenz

∆V =−dΦB

d tSperimentalmente si verifica che una variazione diflusso di campo magnetico attraverso una spiraprovoca l’induzione di una corrente (conconseguente differenza di potenziale associata) nellaspira che è tanto maggiore quanto più rapidamentevaria il flusso di B . La corrente indotta tende adopporsi alla variazione di flusso del campomagnetico.

Induzione magnetica Induttanza

Definizione diinduttanza:

V = Ld I

Nel caso di un solenoide con N spire di sezione S elunghezza l si ha:

∆V =−dΦB

d t=−d (N BS)

d t=−N S

d(µI N

=−µN 2

d t→ L =µN 2

V = Ld I

∆V =−dΦB

d t=−d (N BS)

d t=−N S

d(µI N

=−µN 2

d t→ L =µN 2

V = Ld I

∆V =−dΦB

d t=−d (N BS)

d t=−N S

d(µI N

=−µN 2

d t→ L =µN 2

V = Ld I

d tNel caso di un solenoide con N spire di sezione S elunghezza l si ha:

∆V =−dΦB

d t=−d (N BS)

d t=−N S

d(µI N

=−µN 2

d t→ L =µN 2

Induzione magnetica Circuiti RL

Circuito RL, con I (0) = 0

L I (t ) = E

(1−e− tR

I (t ) = E

(1−e− tR

L I (t ) = E

(1−e− tR

Circuito RL, con I (0)

LI (t ) = I (0)e− tR

I (t ) = I (0)e− tRL

LI (t ) = I (0)e− tR

Induzione magnetica Energia del campo B

Energia immagazzinata in un solenoide

U =∫ I

0V d q =

d td q =

0LI d I = 1

Induzione magnetica Densità di energia

Densità di energia in un solenoide ideale disezione S e lunghezza l , con B =µN

12LI 2

2µB 2

L’espressione u= 12µB 2 è valida in generale.

Induzione magnetica Trasformatori

I due solenoidi checostituiscono iltrasformatore hannoentrambi le spire disezione S e hanno incomune lo stesso campomagnetico B

∆V1 ∆V2

B1 = B2 = B

d t= dB2

−N2SN1dB1

d t=−N1SN2

d tN2∆V1 = N1∆V2

N1= ∆V2

∆V1 ∆V2

B1 = B2 = B

d t= dB2

−N2SN1dB1

d t=−N1SN2

d tN2∆V1 = N1∆V2

N1= ∆V2

∆V1 ∆V2

B1 = B2 = B

d t= dB2

−N2SN1dB1

d t=−N1SN2

d tN2∆V1 = N1∆V2

N1= ∆V2

Leggi di Maxwell Prima legge di Maxwell

ΦE =∑

La prima legge di Maxwell è il teorema di Gauss peril campo elettrico. La legge afferma che il flussodel campo elettrico attraverso unasuperficie chiusa è dato dalla somma dellecariche interne alla superficie diviso lacostante dielettrica. Questa legge è l’equivalentematematico del campo elettrico generato da unacarica elettrica puntiforme così come previsto dallalegge di Coulomb.

Leggi di Maxwell Seconda legge di Maxwell

ΦB = 0

La seconda legge di Maxwell è il teorema di Gaussper il campo magnetico. La legge afferma che ilflusso del campo magnetico attraverso unasuperficie chiusa è 0. Questa equazione si ottienedal fatto che le linee di campo del campo magneticosono linee chiuse che non si intersecano tra loro. Lalegge è la traduzione matematica del fatto che nonesistono le cariche magnetiche.

Leggi di Maxwell Terza legge di Maxwell

CE =−dΦB

d tLa terza legge di Maxwell è la generalizzazionematematica della legge di Faraday-Neumann-Lenz(la circuitazione del campo elettrico corrisponde alladifferenza di potenziale). La legge afferma che lacircuitazione del campo elettrico lungo unalinea chiusa è pari all’opposto della variazionedel flusso di campo magnetico nel tempoattraverso una superficie aperta il cui bordo èla linea chiusa lungo la quale si calcolacircuitazione.

Leggi di Maxwell Quarta legge di Maxwell

CB =µ∑i

Ii +µεdΦE

La quarta legge di Maxwell è il completamento del teorema diAmpere (al quale si aggiunge un addendo necessario allaconservazione della carica elettrica). La legge afferma che lacircuitazione del campo magnetico lungo unalinea chiusa dipende dalla somma delle correnticoncatenate e dalla variazione del flusso del campoelettrico nel tempo attraverso una superficie aperta ilcui bordo è la linea chiusa lungo la quale si calcolacircuitazione. Il termine εdΦE

d t è detto corrente dispostamento.

Giustificazione dell’espressione della correntedi spostamento (1)

Consideriamo in filo rettilineo percorso da unacorrente costante I , il filo è interrotto in un trattoda un condensatore circolare (in modo che il sistemafisico sia invariante per rotazioni attorno al filo).

· ~B(r )r

Giustificazione dell’espressione della correntedi spostamento (2)

Su bordo tra condensatore (di sezione S e distanzatra le piastre h) e filo il campo magnetico e la suacircuitazione possono essere considerati comeeffetto della corrente o della variazione del campoelettrico interno al condensatore. In formule:

CB =µI =µdQ

d t=µC dV

d t=µSε

=µεd(SE)

d t=µεdΦE

d tMichele prof. Perini Fisica 19 / 127

Leggi di Maxwell Leggi dell’elettromagnetismo

In sintesi le cinque leggi che governano tutti ifenomeni elettromagnetici sono:

ΦE =∑

ΦB = 0

CE =−dΦB

CB =µ∑i

Ii +µεdΦE

~F = q~E +q~v ×~BMichele prof. Perini Fisica 20 / 127

Leggi di Maxwell Leggi di Maxwell in assenza dicariche

In assenza di cariche elettriche le leggi di Maxwelldiventano:

ΦE = 0

ΦB = 0

CE =−dΦB

CB =µεdΦE

Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:

~E ⊥ ~B

la velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p

la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cBdensità di energia istantanea:u = 1

2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1

densità di energia media: u = 12εE 2

max = 12µB 2

~E ⊥ ~Bla velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p

2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1

max = 12µB 2

la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~c

E = cBdensità di energia istantanea:u = 1

2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1

max = 12µB 2

la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cB

densità di energia istantanea:u = 1

2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1

max = 12µB 2

2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1

max = 12µB 2

2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1

max = 12µB 2

maxMichele prof. Perini Fisica 22 / 127

Cinematica relativistica Assiomi relatività ristretta

Assioma 1: Invarianza delle leggi fisicheLe leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti isistemi di riferimento inerziali.

Assioma 2: Costanza della velocità della luceLa velocità della luce nel vuoto (c), è la stessa intutti i sistemi di riferimento inerziali ed èindipendente dal moto della sorgente odell’osservatore.

Cinematica relativistica Assiomi relatività ristretta

Assioma 1: Invarianza delle leggi fisicheLe leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti isistemi di riferimento inerziali.

Assioma 2: Costanza della velocità della luceLa velocità della luce nel vuoto (c), è la stessa intutti i sistemi di riferimento inerziali ed èindipendente dal moto della sorgente odell’osservatore.

Cinematica relativistica Orologio luceDue osservatori O e O′ rilevano all’istante t = t ′ = 0l’emissione di un raggio laser lungo la direzionedell’asse y :

osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costante

osservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′

quindi per indipendenza delle diverse direzioniy = y ′

osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costante

l’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′

osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laser

l’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′

osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitore

O e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′

osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′

Cinematica relativistica Orologio luce

evento A visto da O

evento A visto da O′

∆y c∆tevento B visto da O

∆x ′

∆y ′ c∆t ′evento B visto da O′

)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2

(∆y ′)2 = c2

(∆t ′

)2 − (∆x ′)2

evento A visto da O

∆x ′

)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2

(∆y ′)2 = c2

(∆t ′

)2 − (∆x ′)2

evento A visto da O

∆x ′

)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2

(∆y ′)2 = c2

(∆t ′

)2 − (∆x ′)2

Cinematica relativistica Intervallo spazio-tempo

Intervallo spazio-tempo e sua conservazione∆y =∆y ′ →

→ (∆y

)2 = (∆y ′)2 →

→ c2 (∆t )2 − (∆x)2 = c2 (∆t ′

)2 − (∆x ′)2

Intervallo spazio-tempo tra gli eventi A e Bmisurato da O:

(∆s)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2

Intervallo spazio-tempo tra gli eventi A e Bmisurato da O′:(

∆s ′)2 = c2 (

∆t ′)2 − (

∆x ′)2

Cinematica relativistica Galileo vs EinsteinDue diversi osservatori O e O′ misurano spazio etempo in sistemi di riferimento rispettivamente x − te x ′− t ′.

Secondo la fisicaclassica:{∆x =∆x ′

∆t =∆t ′

spazio e tempo vengonomisurati separatamente econ le stesse variazioni datutti gli osservatori.

Secondo la fisicarelativistica:

(∆s)2 = (∆s ′

c2 (∆t )2−(∆x)2 = c2 (∆t ′

)2−(∆x ′)2

diversi osservatorimisurano la stessavelocità della luce e glistessi intervallispazio-tempo.

∆t =∆t ′

(∆s)2 = (∆s ′

c2 (∆t )2−(∆x)2 = c2 (∆t ′

)2−(∆x ′)2

diversi osservatorimisurano la stessavelocità della luce e glistessi intervallispazio-tempo.

∆t =∆t ′

(∆s)2 = (∆s ′

c2 (∆t )2−(∆x)2 = c2 (∆t ′

)2−(∆x ′)2

diversi osservatorimisurano la stessavelocità della luce e glistessi intervallispazio-tempo.Michele prof. Perini Fisica 27 / 127

Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo

PRESENTEPRESENTE

FUTURO

PASSATO

evento

osservatore

Definizioni delle funzioni iperboliche:

cosh(x) = ex +e−x

sinh(x) = ex −e−x

tanh(x) = sinh(x)

cosh(x)

Alcune proprietà delle funzioni iperboliche:

cosh2(x)− sinh2(x) = 1

tanh(x ± y) = tanh(x)± tanh(y)

1± tanh(x) tanh(y)

B~AB =

)∣∣ ~AB

∣∣2 = c2t 2 −x2{x = ∣∣ ~AB

∣∣sinh(α)t = ∣∣ ~AB

∣∣ cosh(α)c

∣∣ ~AB∣∣sinh(α)∣∣ ~AB∣∣cosh(α)

c= tanh(α)

α è un parametro detto fattore di rapidità

~AB =(

)∣∣ ~AB

∣∣2 = c2t 2 −x2{x = ∣∣ ~AB

∣∣ cosh(α)c

c= tanh(α)

B~AB =

)∣∣ ~AB

∣∣2 = c2t 2 −x2{x = ∣∣ ~AB

∣∣ cosh(α)c

c= tanh(α)

Cinematica relativistica Dilatazione dei tempiConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′

in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo

due eventi A, B come da schema.

c∆t∆s

Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.Michele prof. Perini Fisica 32 / 127

Cinematica relativistica Dilatazione dei tempiPer la conservazione dell’intervallo spazio tempo siha:

(∆s)2 = (∆s ′

c2 (∆t )2 − (∆x)2 = c2 (∆t ′

c2 −(∆x

(∆t ′

c2 − v2 = c2

(∆t ′

∆t = ∆t ′√1− v2

= γ∆t ′

Cinematica relativisticaContrazione delle lunghezze

Consideriamo un sistema di riferimento O e uno O′

un segmento di lunghezza L nel sistema di O. Sial’evento A, il passaggio di O′ sulla prima estremitàdel segmento, sia B , il passaggio di O′ sullaestremità opposta del segmento.

∆x = L

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

∆x = L

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

∆x = L

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

Cinematica relativisticaContrazione delle lunghezzePer la conservazione dell’intervallo spazio tempo si ha:

(∆s)2 = (∆s′

c2 (∆t )2 − (∆x)2 = c2 (∆t ′

La lunghezza L del segmento misurata da O è rappresentatada ∆x mentre possiamo affermare che secondo O′ il segmentosi è spostato di una distanza L′ = v∆t ′, quindi

−L2 = c2

L′ = L

√1− v2

Le misure di L e di L′ non avvengono simultaneamente.Michele prof. Perini Fisica 35 / 127

Cinematica relativistica Trasformazioni di LorentzConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′

in moto relativo con velocità v rispetto a O, x ∥ x ′.Entrambi gli osservatori descrivono un punto P .All’istante 0 (per entrambi gli osservatori) essi sononello stesso punto.

xO x ′O′ P

v t ′Michele prof. Perini Fisica 36 / 127

Cinematica relativistica Trasformazioni di LorentzLa distanza O′P nel sistema di O′ è misuratadirettamente, per O è x − v t , considerato quantovisto sulla contrazione delle lunghezze si puòscrivere:

x ′ = x − v t√1− v2

= γ(x − v t )

La distanza OP nel sistema di O è misuratadirettamente, per O′ è x ′+ v t ′, considerato quantovisto sulla contrazione delle lunghezze si puòscrivere:

x = x ′+ v t ′√1− v2

= γ(x ′+ v t ′)

Cinematica relativistica Trasformazioni di Lorentz

Dalle due relazioni precedenti sostituendo x ′ dallaprima nella seconda otteniamo:

x−v t√1− v2

+ v t ′

√1− v2

→ t ′ = t − vc2 x√

1− v2

= γ(t − v

Le trasformazioni di Lorentz sono:{x ′ = γ(x − v t )t ′ = γ(

t − vc2 x

) ↔{

x = γ(x ′+ v t ′)t = γ(

t ′+ vc2 x ′)

Cinematica relativistica Velocità relative

in moto relativo con velocità v rispetto a O, x ∥ x ′.All’istante 0 (per entrambi gli osservatori) essi sononello stesso punto P .

xO x ′O′ P

v ′P

Cinematica relativistica Velocità relative

Utilizzando le trasformazioni di Lorentz si ottengonole relazioni:

vP = x

t= γ(x ′+ vO′t ′)

γ(t ′+ vO′

c2 x ′) = x ′+ vO′t ′

t ′+ vO′c2 x ′ =

v ′P + vO′

1+ vO′v ′P

v ′P = x ′

t ′= γ(x − vO′t )

γ(t − vO′

c2 x) = x − vO′t

t − vO′c2 x

= vP − vO′

1− vO′vP

Cinematica relativistica Velocità relativeLe trasformazioni di Lorentz delle velocità possonoessere riscritte con le tangenti iperboliche e i fattoridi rapidità:

vP = v ′P + vO′

1+ vO′v ′P

→ vP

v ′P

c + vO′c

1+ vO′c

v ′P

tanh(α) = tanh(α′)+ tanh(β)

1+ tanh(α′) tanh(β)= tanh(α′+β) →

α=α′+βessendo α il fattore di rapidità del punto P visto daO, α′ il fattore di rapidità del punto P visto da O′,β il fattore di rapidità del punto O′ visto da O.

Cinematica relativistica Effetto Doppler

Ricaveremo l’espressione dell’effetto Doppler peronde elettromagnetiche (che si muovono a velocitàdi modulo c) tra una sorgente S e un ricevente Rcon una velocità relativa di modulo v . Lo schemariporta una possibile modellizzazione.

xR Sx ′

In questo caso per il ricevente la velocità delle ondeelettromagnetiche sarà −c, per la sorgente sarà c.Per la modellizzazione scelta in caso diavvicinamento la velocità relativa per sorgente ericevente sarà −v e in caso di allontanamento saràv .

Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:

A, partenza dalla sorgente di un primo segnale

B , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnale

C , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnale

D, arrivo al ricevente del primo segnale

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

Cinematica relativistica Effetto DopplerIl periodo della sorgente è TS (AB), il periodo delricevente è TR (DC). Per la conservazionedell’intervallo spazio-tempo:{

∆s2AB =∆s ′2AB

∆s2DC =∆s ′2DC{

c2∆t 2AB −∆x2

AB = c2T 2S

c2T 2R = c2∆t ′2DC −∆x ′2

DC c2 − v2 = c2(

TS∆tAB

TR∆t ′DC

)2 = c2 − v2→

∆tAB

∆t ′DC

Per concludere è sufficiente ricavare le relazioni traperiodi e intervalli di tempo nei due sistemi diriferimento:

per il ricevente:

A(xA,ctA), B(xB ,ctB ),C (0,cTR), D(0,0),ctB =−xB + cTR ,ctA =−xA.

per la sorgente:

ct ′

A(0,0), B(0,cTS),C (x ′

C ,ct ′C ), D(x ′D ,ct ′D),

ct ′C = x ′C + cTS, ct ′D = x ′

Per concludere è sufficiente ricavare le relazioni traperiodi e intervalli di tempo nei due sistemi diriferimento:per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

A(0,0), B(0,cTS),C (x ′

C ,ct ′C ), D(x ′D ,ct ′D),

ct ′C = x ′C + cTS, ct ′D = x ′

Per concludere è sufficiente ricavare le relazioni traperiodi e intervalli di tempo nei due sistemi diriferimento:per il ricevente:

per la sorgente:

ct ′

A(0,0), B(0,cTS),C (x ′

C ,ct ′C ), D(x ′D ,ct ′D),

ct ′C = x ′C + cTS, ct ′D = x ′

ctB − ctA =−xB +xA + cTR

c∆tAB =−∆xAB + cTR

c =−v + cTR

∆tAB

∆tAB = c

c + vTR

ct ′C − ct ′D = x ′C −x ′

D + cTS

c∆t ′DC =∆x ′DC + cTS

c = v + cTS

∆t ′DC

∆t ′DC = c

c − vTS

c =−v + cTR

∆tAB

∆tAB = c

c + vTR

ct ′C − ct ′D = x ′C −x ′

D + cTS

c = v + cTS

∆t ′DC

∆t ′DC = c

c − vTS

c =−v + cTR

∆tAB

∆tAB = c

c + vTR

ct ′C − ct ′D = x ′C −x ′

D + cTS

c = v + cTS

∆t ′DC

∆t ′DC = c

c − vTS

in conclusione: (TS

∆tAB

∆t ′DC

cc+v TR

c−v TS

(c + v)T 2S = (c − v)T 2

TR =√

c − vTS

Relazioni dell’effetto Doppler per ondeelettromagnetiche:

TR =√

c − vTS

fR =√

c − v

c + vfS

λR =√

c − vλS

)2 −1(TRTS

)2 +1= c

(λRλS

)2 −1(λRλS

)2 +1= c

Cinematica relativistica Esempi

I muoni, modello semplificato (1)

I muoni sono particelle elementari che in laboratoriomostrano avere una vita di 1,5 ·10−6s. I raggicosmici interagendo con alcune particelle presentinell’atmosfera ad una altezza di 15km generanomuoni i quali giungono sulla superficie terrestre epoi decadono. Quanto tempo impiegano i muoni agiungere sulla superficie per un osservatore postosulla superficie terrestre? A quale velocitàviaggiano?

I muoni, modello semplificato (2)Consideriamo gli eventi: P , generazione dei muoni;A, arrivo dei muoni sulla terra.

Per l’osservatore a terra:

c∆t∆s

∆x = 1,5 ·104m

Per un osservatoresolidale con i muoni:

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

∆t ′ = 1,5 ·10−6s

I muoni, modello semplificato (2)Consideriamo gli eventi: P , generazione dei muoni;A, arrivo dei muoni sulla terra.Per l’osservatore a terra:

c∆t∆s

∆x = 1,5 ·104m

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

∆t ′ = 1,5 ·10−6s

I muoni, modello semplificato (2)Consideriamo gli eventi: P , generazione dei muoni;A, arrivo dei muoni sulla terra.Per l’osservatore a terra:

c∆t∆s

∆x = 1,5 ·104m

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

∆t ′ = 1,5 ·10−6sMichele prof. Perini Fisica 50 / 127

I muoni, modello semplificato (3)

Per la conservazione dell’intervallo spazio-tempo siha:

(∆s)2 = (∆s ′

c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2

∆t =√∆t ′2 + ∆x2

c2= 5,005709366 ·10−5s = 33,3∆t ′

v = ∆x

∆t= 2,996578288 ·108 m

s= 0,9996c

“Paradosso” dei gemelli (1)

Di due fratelli gemelli uno fa l’astronauta, l’altro ildocente di fisica. All’età di 30 anni il gemelloastronauta parte per Proxima Centauri (distantedalla 3,97 ·1016m Terra). La missione prevede diviaggiare a velocità costante fino a ProximaCentauri e poi tornare indietro alla medesimavelocità. Il gemello docente di fisica all’età di 70anni si reca in Florida ad accogliere il fratello inritorno dalla missione e lo trova più giovane diquanto egli sia. Che età ha il fratello astronauta alsuo rientro?

“Paradosso” dei gemelli (2)Consideriamo gli eventi: P , partenza dalla Terra del gemello astronauta;A, arrivo su Proxima Centauri; R, ritorno sulla Terra della missione.

Per il gemello a terra:

∆xc∆t1

c∆t2

∆x = 3,97 ·1016m,∆t1 +∆t2 = 1,261 ·109s

Per il gemello astronauta:

ct ′

c∆t ′1

c∆t ′2

∆s ′1

∆s ′2

“Paradosso” dei gemelli (2)Consideriamo gli eventi: P , partenza dalla Terra del gemello astronauta;A, arrivo su Proxima Centauri; R, ritorno sulla Terra della missione.Per il gemello a terra:

∆xc∆t1

c∆t2

∆x = 3,97 ·1016m,∆t1 +∆t2 = 1,261 ·109s

ct ′

c∆t ′1

c∆t ′2

∆s ′1

∆s ′2

“Paradosso” dei gemelli (2)Consideriamo gli eventi: P , partenza dalla Terra del gemello astronauta;A, arrivo su Proxima Centauri; R, ritorno sulla Terra della missione.Per il gemello a terra:

∆xc∆t1

c∆t2

∆x = 3,97 ·1016m,∆t1 +∆t2 = 1,261 ·109s

ct ′

c∆t ′1

c∆t ′2

∆s ′1

∆s ′2

“Paradosso” dei gemelli (3)Essendo v = ∆x

∆t1= ∆x∆t2

→∆t1 =∆t2 = 6,307 ·108s si hache v = 6,295 ·107 m

s = 0,21c. Per la conservazionedegli intervalli spazio-tempo:{

∆s21 =∆s ′21

∆s22 =∆s ′22

c2∆t 21 −∆x2 = c2∆t ′21

c2∆t 22 −∆x2 = c2∆t ′22

→ ∆t ′1 =∆t1

√1− v2

∆t ′2 =∆t2

√1− v2

→∆t ′1 +∆t ′2 = 1,233 ·109s

Il gemello astronauta torna più giovane del fratello insegnantedi 32,5 giorni, ha quindi 70 anni meno 32,5 giorni.

“Paradosso” dei gemelli (4)

La conclusione a cui siamo giunti potrebbe sembrare paradossale ocontraddittoria perché in definitiva entrambi i gemelli partono e arrivanonello stesso punto spazio-temporale, per quale motivo dovrebberogiungervi in modi diversi? I due sistemi di riferimento (quello a Terra equello in volo) dovrebbero essere equivalenti. In realtà una differenza c’è.Il gemello rimasto a Terra ha viaggiato nello spazio-tempo in modouniforme, senza subire accelerazioni particolari. Il gemello sulla nave (purviaggiando a velocità uniforme a tratti) all’arrivo su Proxima Centauri hasubito delle accelerazioni per poter invertire la sua velocità, questo fattogiustifica la differenza tra i due gemelli al loro incontro.

Gara di sgusci (1)

Tre sgusci, uno blu, uno verde e uno rosso stannogareggiando viaggiando in linea retta su un pianetadell’Orlo Esterno. Gli spettatori dalla tribuna sonoavvisati del fatto che lo sguscio blu viaggia ad unavelocità di 0,7c, quello verde corre a 0,8c mentrequello rosso sfreccia a 0,9c. A che velocità simuovono gli sgusci blu e rosso rispetto al verde?

Gara di sgusci (2)

tanhα= 0,7

tanhβ= 0,8

tanhγ= 0,9

Gara di sgusci (2)

tanhα= 0,7

tanhβ= 0,8

tanhγ= 0,9

Gara di sgusci (2)

tanhα= 0,7

tanhβ= 0,8

tanhγ= 0,9

Gara di sgusci (3)

β+δ= γ→ δ= γ−β→vR = c tanh

(tanh−1 0,9− tanh−1 0,8

)= 0,357c

ε=α−β→vB = c tanh

(tanh−1 0,7− tanh−1 0,8

)=−0,227c

Segnali dalla sonda (1)

Una sonda lanciata dalla Terra anni fa invia unsegnale (un’onda elettromagnetica) ogni secondo sulnostro pianeta. I segnali della sonda si registrano sulnostro pianeta ogni 1,002s. A quale velocità staviaggiando la sonda rispetto alla Terra? Sonda eTerra si stanno avvicinando o allontanando?

Segnali dalla sonda (2)

xR Sx ′

)2 −1(TRTS

)2 +1= 1,998 ·10−3c

La velocità è positiva quindi pianeta e sonda sistanno allontanando.

Dinamica relativistica EnermotoConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

c∆t∆s

ct ′

c∆t ′ ∆s ′

Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.Michele prof. Perini Fisica 61 / 127

Dinamica relativistica Enermoto

Ricordiamo quanto precedentemente ricavato dallacinematica relativistica:

Il fattore di Lorentz γ= 1√1− v2

∆t = γ∆t ′

∆s2 =∆s ′2 = c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2

∆t = γ∆t ′

∆s2 =∆s ′2 = c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2

∆t = γ∆t ′

∆s2 =∆s ′2 = c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2

Definizione di enermotoSimilmente a quanto fatto in meccanica classica per laquantità di moto definiamo un vettore relativistico dettoenermoto.Per l’osservatore O l’enermoto è:

~E = m∆~s

∆t ′= m

∆t ′

(∆xc∆t

)= γm

(∆xc∆t

(γmvγmc

)Per l’osservatore O′ l’enermoto è:

~E ′ = m∆~s ′

∆t ′= m

∆t ′

c∆t ′

)Così definito l’enermoto è un vettore parallelo alla linea universo per tuttie due gli osservatori (esattamente come la quantità di moto classica).

Dinamica relativistica Modulo enermoto

modulo dell’enermoto

Il modulo dell’enermoto è lo stesso per l’osservatoreO e O′ (per la conservazione dell’intervallospazio-tempo):

~E 2 = m2 ∆~s2

∆t ′2= m2∆

~s ′2

∆t ′2= ~E ′2

Dalla conservazione del modulo dell’enermoto siottiene l’identità:

~E 2 = ~E ′2 → γ2m2 (c2 − v2)= m2c2

Dinamica relativistica Energia

EnergiaSi accenna il calcolo del lavoro per portare unaparticella di massa m da una velocità zero ad unaqualche velocità v (l’energia cinetica):

L = K =∫ v

m~Ed(~E ′) =

m~E ′d(~E) = γmc2 −mc2

Chiamiamo energia totale, o semplicemente energia:E = γmc2

Chiamiamo energia a riposo la quantità:E0 = mc2

Dinamica relativistica Energia cinetica classica erelativistica

Confronto tra energia cinetica classica erelativistica

Energia cinetica classica:

KC = 1

2mv2 = mc2

Energia cinetica relativistica:

KR = (γ−1

)mc2 =

1√1− ( v

)2−1

KC = 1

2mv2 = mc2

KR = (γ−1

)mc2 =

1√1− ( v

)2−1

KC = 1

2mv2 = mc2

KR = (γ−1

)mc2 =

1√1− ( v

)2−1

Confronto tra energia cinetica classica erelativistica per v → 0

limv→0

KC= lim

1−( vc

)2−1

= limx→0

1−x2−1

)12 x2

= limx→0

x√(1−x2

x= lim

1√(1−x2

Dinamica relativistica Energia e quantità di motoDefiniamo la quantità di moto relativisticacome p = γmv

Ricordiamo che l’energia relativistica valeE = γmc2

L’enermoto per O è allora ~E =(γmvγmc

)l’enermoto per O′ è ~E ′ =

Ricordando che ~E 2 = ~E ′2 si ottiene la relazionerelativistica tra energia e quantità di moto:

c2−p2 = m2c2

Dinamica relativistica Energia e quantità di motoDefiniamo la quantità di moto relativisticacome p = γmvRicordiamo che l’energia relativistica valeE = γmc2

c2−p2 = m2c2

l’enermoto per O′ è ~E ′ =(

c2−p2 = m2c2

)Ricordando che ~E 2 = ~E ′2 si ottiene la relazionerelativistica tra energia e quantità di moto:

c2−p2 = m2c2

Dinamica relativistica Esempi

Particelle di massa nulla

La teoria della relatività assegna una quantità dimoto anche a particelle di massa nulla.Dalla conservazione dell’enermoto per m = 0 siottiene:

c2−p2 = 0 → p = E

Non conservazione della massa (1)

Ipotizziamo che due particelle di massa m osservateda un certo osservatore O, viaggino lungo la stessaretta, in versi opposti con velocità entrambe v inmodulo. Ipotizziamo che le due particelle siscontrino e si uniscano per formare una solaparticella di massa M . Ricaviamo dallaconservazione dell’enermoto la velocità dellaparticella dopo l’urto e la relazione tra m e M .

Modellizziamo la situazione:

Prima dell’urto le dueparticelle per O:

∆s1∆s2

Dopo l’urto la particellaper O:

Modellizziamo la situazione:Prima dell’urto le dueparticelle per O:

∆s1∆s2

Modellizziamo la situazione:Prima dell’urto le dueparticelle per O:

∆s1∆s2

Secondo quanto modellizzato si ha:

1− v2

1√1− v2

, ~E2 =

− 1√

1− v2

1√1− v2

1−V 2

1√1−V 2

Secondo quanto modellizzato si ha:

1− v2

1√1− v2

, ~E2 =

− 1√

1− v2

1√1− v2

1−V 2

1√1−V 2

Complessivamente quindi:

~E1 + ~E2 = 0

2√1− v2

1−V 2

1√1−V 2

Complessivamente quindi:

~E1 + ~E2 = 0

2√1− v2

1−V 2

1√1−V 2

Per l’unico osservatore O l’enermoto si conserva (intoto, non solo in modulo), ciò corrisponde allaconservazione della quantità di moto totale edell’energia totale:

~E1 + ~E2 = ~E 02√

1− v2

1−V 2

1√1−V 2

→ V = 0

M = 2√1− v2

Conclusioni:V = 0 significa che la velocità dell’unicaparticella dopo l’urto è zero (conservazionedella quantità di moto)

M = 2√1− v2

m ≥ 2m (conservazione dell’energia)

l’energia cinetica persa durante l’urto si èconvertita in nuova massa

Conclusioni:V = 0 significa che la velocità dell’unicaparticella dopo l’urto è zero (conservazionedella quantità di moto)M = 2√

1− v2

Conclusioni:V = 0 significa che la velocità dell’unicaparticella dopo l’urto è zero (conservazionedella quantità di moto)M = 2√

1− v2

Dinamica relativistica Massa relativistica

“. . . Le particelle elementari, protoni, neutroni,elettroni, ecc. hanno ciascuna una massa bendefinita. La massa è con la carica elettrica una dellegrandezze fondamentali delle particelle elementari.Esistono particelle, come il fotone, che hanno massanulla. Per queste l’espressione p = γmv non hasenso. [. . . ] Anche i sistemi composti, come i nuclei,gli atomi, le molecole e gli oggetti macroscopicihanno ciascuno una massa. [. . . ] In molti libri sitrova usato il concetto di massa relativistica. Conquesto nome gli autori intendono il prodotto dellamassa m con il fattore relativistico γ.”

Dinamica relativistica Massa relativistica“Con questa definizione la quantità di moto tornaad essere il prodotto della massa (relativistica) perla velocità. Naturalmente adesso la massa(relativistica) diventa funzione della velocità.Questo concetto fu introdotto da Lorentz nel 1899,sei anni prima della creazione della teoria dellarelatività, in un momento in cui la teoria era ancoraconfusa. È un concetto arcaico quindi, che non hautilità alcuna. Rimane tuttavia presente in moltetrattazioni anche contemporanee. Noi non loutilizzeremo mai. Quando parleremo di massaintenderemo la costante m che compare nellap = γmv .”

Alessandro Bettini - Meccanica e Termodinamica, Zanichelli, 2000Michele prof. Perini Fisica 77 / 127

Atomi e Quanti

Un po’ di cronistoria:1896: viene scoperto il fenomeno dellaradioattività, consistente nell’emissione diparticelle e/o radiazione da nuclei atomiciinstabili

1897: Thomson scopre l’elettrone comecostituente dei raggi catodici e Lorentz mette apunto una teoria che descrive il comportamentodell’elettrone in un campo magnetico

Atomi e Quanti

Un po’ di cronistoria:1896: viene scoperto il fenomeno dellaradioattività, consistente nell’emissione diparticelle e/o radiazione da nuclei atomiciinstabili1897: Thomson scopre l’elettrone comecostituente dei raggi catodici e Lorentz mette apunto una teoria che descrive il comportamentodell’elettrone in un campo magnetico

Atomi e Quanti

1905-1907: gli studi teorici di Maxwell,Boltzmann, Bose, Fermi, Einstein e Dirac e lemisure sperimentali sul moto Browniano (motocasuale delle particelle di gas) confermano lastruttura molecolare della materia e conduconoad una precisa determinazione del numero diAvogadro

1910: Millikan determina la carica dell’elettrone1911: Rutherford bombarda diversi materialicon raggi α e ipotizza un modello atomico ditipo planetario

Atomi e Quanti

1905-1907: gli studi teorici di Maxwell,Boltzmann, Bose, Fermi, Einstein e Dirac e lemisure sperimentali sul moto Browniano (motocasuale delle particelle di gas) confermano lastruttura molecolare della materia e conduconoad una precisa determinazione del numero diAvogadro1910: Millikan determina la carica dell’elettrone

1911: Rutherford bombarda diversi materialicon raggi α e ipotizza un modello atomico ditipo planetario

Atomi e Quanti

1905-1907: gli studi teorici di Maxwell,Boltzmann, Bose, Fermi, Einstein e Dirac e lemisure sperimentali sul moto Browniano (motocasuale delle particelle di gas) confermano lastruttura molecolare della materia e conduconoad una precisa determinazione del numero diAvogadro1910: Millikan determina la carica dell’elettrone1911: Rutherford bombarda diversi materialicon raggi α e ipotizza un modello atomico ditipo planetario

Atomi e Quanti Thomson

Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte prima: selettore di velocità

· · ·

Gli elettroni estratti eaccelerati passano attraversoun campo elettro-magneticofino ad ottenere per loro unatraiettoria rettilinea:

FB = FE∣∣q∣∣vB = ∣∣q∣∣E

· · ·

FB = FE∣∣q∣∣vB = ∣∣q∣∣E

· · ·

FB = FE∣∣q∣∣vB = ∣∣q∣∣E

BMichele prof. Perini Fisica 80 / 127

Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte seconda: spettrometro di massa

· · ·

Gli elettroni passano attraversolo stesso campo magneticoprecedente, senza campoelettrico:

FB = mv2

r∣∣q∣∣vB = mv2

r. . .

· · ·

FB = mv2

r. . .

· · ·

FB = mv2

r. . .

∣∣q∣∣vB = mv2

rricordando che nella prima parte dell’esperimentoabbiamo ottenuto v = E

∣∣q∣∣E = mE 2

B 2r→

∣∣q∣∣m

B 2r= 1,76 ·1011 C

Atomi e Quanti Millikan

Esperimento di Millikan (modello semplificato)

Gocce d’olio cariche di massanota m vengono tenute inequilibrio con la forza digravità tramite l’applicazionedi un campo elettrico:

Fg = FE

mg = ∣∣q∣∣E∣∣q∣∣= mg

E= 1,60 ·10−19C

Fg = FE

mg = ∣∣q∣∣E∣∣q∣∣= mg

E= 1,60 ·10−19C

Fg = FE

mg = ∣∣q∣∣E∣∣q∣∣= mg

E= 1,60 ·10−19C

Atomi e Quanti Corpo neroUn corpo nero è un oggetto ideale che assorbe tutta laradiazione elettromagnetica incidente senza rifletterlaall’esterno. Può essere modellizzato come una cavità conpareti interne riflettenti. Il corpo nero assorbe le radiazioni mase aprissimo la cavità le radiazioni intrappolate inizierebberoad irradiarsi presentando le medesime caratteristiche delleradiazioni intrappolate all’interno della cavità.

:::: ::::

::::::::

corpo nero assorbente → ← corpo nero radiante

Atomi e Quanti Corpo nero

Una buona approssimazione sperimentale di uncorpo nero è una sfera metallica incandescente;della sfera è possibile registrare emissionielettromagnetiche in funzione della temperatura.Anche le stelle e le lampadine ad incandescenzasono in buona approssimazione un corpo neroradiante. Ciò di cui ci occuperemo sarà lo studiodello spettro di un corpo nero, cioè lo studio dellecaratteristiche delle radiazioni emesse da un corponero. Il modello della cavità è utilizzato per poterdedurre in modo teorico le leggi che descrivono lecaratteristiche delle radiazioni del corpo nero.

Fenomeni e risultati sperimentali

lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura

legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T

legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4

Previsioni fisica classica

curva di RayleighJeans(y = T x2): derivatadall’ipotesi che le radiazioninella cavità siano ondeelettro-magnetiche comedescritte dalle leggi diMaxwell, in accordo con idati sperimentali per bassefrequenze

curva di Wien (y = x3e−xT ):

in accordo con legge diStefan-Boltzmann e con idati sperimentali alle altefrequenze

Spiegazione di Planck

Curva di Planck (y = x3

exT −1

) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:

le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili

i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità

l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f

exT −1

Atomi e Quanti Quantità di moto dei fotoni

Da quanto ipotizzato per spiegare la radiazione dacorpo nero la radiazione elettromagnetica ha anchecaratteristiche corpuscolari, i corpuscoli legati alleonde elettromagnetiche, i fotoni hanno massa nullae energia dipendente dalla frequenza E = h f .Utilizzano anche quanto previsto dalla teoria dellarelatività per la quantità di moto delle particelle dimassa nulla si ha che la quantità di moto di unfotone vale:

c= h f

Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico

Radiazioni elettromagnetiche cheincidono su una lastra di metalloconsentono estrazione di elettronidalla lastra:

l’estrazione degli elettroniavviene solo se la lastra vienecolpita con radiazioni difrequenza superiore ad unacerta frequenza ( f0)dipendente dal materiale dicui è fatta la lastra

l’estrazione, se avviene, èistantanea

l’estrazione degli elettroni dovrebbe esserepossibile con qualsiasi tipo di radiazione purchésia sufficientemente intenso

l’estrazione degli elettroni è prevista con uncerto ritardo temporale rispetto all’iniziodell’irradiazione della lastra soprattutto perradiazioni a bassa intensitàl’energia cinetica degli elettroni estrattidovrebbe aumentare con l’aumentaredell’intensità della radiazione incidente

l’estrazione degli elettroni dovrebbe esserepossibile con qualsiasi tipo di radiazione purchésia sufficientemente intensol’estrazione degli elettroni è prevista con uncerto ritardo temporale rispetto all’iniziodell’irradiazione della lastra soprattutto perradiazioni a bassa intensità

l’energia cinetica degli elettroni estrattidovrebbe aumentare con l’aumentaredell’intensità della radiazione incidente

l’estrazione degli elettroni dovrebbe esserepossibile con qualsiasi tipo di radiazione purchésia sufficientemente intensol’estrazione degli elettroni è prevista con uncerto ritardo temporale rispetto all’iniziodell’irradiazione della lastra soprattutto perradiazioni a bassa intensitàl’energia cinetica degli elettroni estrattidovrebbe aumentare con l’aumentaredell’intensità della radiazione incidente

Spiegazione di Einstein

L’energia della radiazione incidente (consideratacome fotoni) h f va in parte in energia cineticadell’elettrone estratto (Ke) e in parte in lavoro diestrazione dell’elettrone dal metallo (L). Se tuttal’energia dei fotoni incidenti viene utilizzata perl’espulsione degli elettroni essi vengono espulsi conenergia cinetica massima (Ke M AX ), in questo caso:

Ke M AX = h f −L ≥ 0 → f ≥ L

Atomi e Quanti Effetto Compton

-::::λ

Raggi X di lunghezzad’onda λ interagendo conelettroni liberi vengonodiffusi e la loro lunghezzad’onda varia secondo lalegge sperimentale:

λ′−λ= k (1−cos(α))

con k = 2,43 ·10−12m.

-::::λ

λ′−λ= k (1−cos(α))

con k = 2,43 ·10−12m.

-::::λ

λ′−λ= k (1−cos(α))

con k = 2,43 ·10−12m.

-::::λ -::::

λ′−λ= k (1−cos(α))

con k = 2,43 ·10−12m.

-::::λ -::::

λ′−λ= k (1−cos(α))

con k = 2,43 ·10−12m.

L’interazione tra le onde elettromagnetiche eparticelle come gli elettroni secondo quanto previstodalla fisica classica dovrebbe dar luogo ad unassorbimento delle onde elettromagnetiche e ad unaloro successiva remissione con la medesimafrequenza di assorbimento nel sistema di riferimentoin cui l’elettrone è a riposo. L’onda dovrebbepresentare una lunghezza d’onda di poco diversa nelsistema del laboratorio come previsto dall’effettoDoppler. Queste previsioni non spiegano i risultatisperimentali.

Spiegazione con conservazione enermoto

-::::λ

h fc +mec

~E ′ =

h f ′

c cos(α)+γme v cos(β)h f ′

c sin(α)−γme v sin(β)h f ′

c +γme c

-::::λ

h fc +mec

~E ′ =

h f ′

c +γme c

-::::λ

h fc +mec

~E ′ =

h f ′

c +γme c

Dalla conservazione dell’enermoto si ricavano leequazioni:

c= h f ′

ccos(α)+γme v cos(β) (1)

0 = h f ′

csin(α)−γme v sin(β) (2)

c+mec = h f ′

c+γmec (3)

Dalla equazione 1 (equivalente alla conservazionedella quantità di moto lungo x) si può ricavare:

γme v cos(β) = h

(f − f ′ cos(α)

dalla equazione 2 (equivalente alla conservazionedella quantità di moto lungo y) si può ricavare:

γme v sin(β) = h f ′

csin(α) (5)

Ricordando che cos2(β)+ sin2(β) = 1 dalle equazioni4 e 5 si può ricavare:

γ2v2m2e =

c2( f 2 + f ′2 −2 f f ′ cos(α)) (6)

dalla equazione 3 (equivalente alla conservazionedell’energia) si può ottenere:

γ−1 = h

(f − f ′) (7)

L’equazione 6 si può riscrivere come:

γ2v2 = h2

( f 2 + f ′2 −2 f f ′ cos(α)) (8)

l’equazione 7 può diventare, isolando γ ed elevandoal quadrato:

γ2 = h2

m2e c4

(f − f ′)2 +1+ 2h

(f − f ′) (9)

Utilizzando l’identità γ2v2 = c2(γ2 −1) con leequazioni 8 e 9 si ottiene:

( f 2 + f ′2 −2 f f ′ cos(α)) = h2

m2e c2

(f − f ′)2 + 2h

(f − f ′)

(10)dalla 10 si può ricavare:

f ′ −1

mec2(1−cos(α)) (11)

Ricordando che λ= cf e λ′ = c

f ′ dalla 11 si ottiene larelazione:

λ′−λ= h

mec(1−cos(α)) (12)

L’equazione 12 è in perfetto accordo con i risultatisperimentali. L’effetto Compton con la suaspiegazione mostrano che i fotoni interagiscono conle altre particelle evidenziandone una naturacorpuscolare oltre che ondulatoria (come previstodalla teoria classica delle onde elettro-magnetiche).

Dalla 12 si può ricavare:

λ′ =λ+ h

mec(1−cos(α)) →λ′ ≥λ (13)

L’ultima disequazione mostra che il fotone deflessoha una lunghezza d’onda più elevata rispetto alfotone incidente e ciò è dovuto al fatto che partedell’energia del fotone incidente è stata acquisitadall’elettrone. L’energia del fotone deflesso dunqueè minore rispetto all’energia del fotone incidente.

Atomi e Quanti Particelle e ondeIl comportamento del corpo nero, l’effetto fotoelettrico el’effetto Compton sono spiegabili attribuendo caratteristichecorpuscolari alle onde elettro-magnetiche. Anche le particellepresentano caratteristiche ondulatorie. Se si effettua unesperimento alla Young con un fascio di elettroni si ottieneuna distribuzione degli elettroni che rispecchia le figure diinterferenza ottenute con le onde elettromagnetiche.

sorgente di elettronifenditure schermoMichele prof. Perini Fisica 103 / 127

Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaLa meccanica quantistica è una descrizione probabilistica della realtà perla quale la posizione di una particella nello spazio e nel tempo è descrittada una funzione d’onda Ψ(x, t ) il cui quadrato è la densità di probabilitàdella particella di trovarsi in una data posizione in un certo istante ditempo.

(x, t )

L’area sotto la Ψ2(x, t ) rappresenta la probabilità di trovare la particellain un certo volume spaziale in un certo intervallo di tempo.

Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaDal paradigma descrittivo della realtà dellameccanica quantistica:

si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolare

si ricava lo spin come caratteristica particellaresi dimostra il principio di esclusione di Paulisi dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)

si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolaresi ricava lo spin come caratteristica particellare

si dimostra il principio di esclusione di Paulisi dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)

si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolaresi ricava lo spin come caratteristica particellaresi dimostra il principio di esclusione di Pauli

si dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)

si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolaresi ricava lo spin come caratteristica particellaresi dimostra il principio di esclusione di Paulisi dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)

Atomi e Quanti Cenni di Meccanica Quantistica

si teorizza che l’energia di una particella siacostante su lunghi intervalli di tempo ma chepossa non esserlo per tempi relativamente brevi

si spiega come sia possibile per alcuneparticelle superare barriere energeticheclassicamente non superabili (effetto tunnel).

ATTENZIONE: le incertezze nelle misurequantistiche non dipendono dalle modalità tecnichedi effettuazione della misura e non sono teorizzate apriori ma sono una conseguenza della particolaredescrizione probabilistica della realtà.

Atomi e Quanti Cenni di Meccanica Quantistica

si teorizza che l’energia di una particella siacostante su lunghi intervalli di tempo ma chepossa non esserlo per tempi relativamente brevisi spiega come sia possibile per alcuneparticelle superare barriere energeticheclassicamente non superabili (effetto tunnel).

ATTENZIONE: le incertezze nelle misurequantistiche non dipendono dalle modalità tecnichedi effettuazione della misura e non sono teorizzate apriori ma sono una conseguenza della particolaredescrizione probabilistica della realtà.

Fisica e matematica Derivate

Simboli di derivazione:

f ′(t ) = d f

d t= D( f (t ))

Derivata di una funzione vettoriale:

~f ′(t ) = d~f

d t= D(~f (t )) =

d td fy

d td fz

Cinematica:

~S(t ) = x(t )

y(t )z(t )

~v(t ) = d~S(t )

d x(t )d t

d y(t )d t

d z(t )d t

= x ′(t )

y ′(t )z ′(t )

~a(t ) = d~v(t )

d vx (t )

d td vy (t )

d td vz (t )

= x ′′(t )

y ′′(t )z ′′(t )

Moto rettilineo uniformemente accelerato

x(t ) = 1

2at 2 + v(0)t +x(0)

v(t ) = x ′(t ) = at + v(0)

a(t ) = x ′′(t ) = a

Moto circolare uniforme: velocità tangenzialee accelerazione centripeta (1)

~S(t ) =(

r cos(ωt )r sin(ωt )

)~v(t ) = d~S(t )

( −rωsin(ωt )rωcos(ωt )

)~a(t ) = d~v(t )

( −rω2 cos(ωt )−rω2 sin(ωt )

Moto circolare uniforme: velocità tangenzialee accelerazione centripeta (2)

~S(t )·~v(t ) = 0 →(

r cos(ωt )r sin(ωt )

)·( −rωsin(ωt )

rωcos(ωt )

)= 0 →~S(t ) ⊥~v(t )

~a(t ) =−ω2~S(t ) →~a(t ) ∥~S(t )

v = |~v(t )| =√

(−rωsin(ωt ))2 + (rωcos(ωt ))2 = rω

a = |~a(t )| =√(−rω2 cos(ωt )

)2 + (−rω2 sin(ωt ))2 = rω2 = v2

Alternatore

V =−dΦB

V =−d(SB cos(ωt ))

d t=−SB

d(cos(ωt ))

= SBωsin(ωt )

Fisica e matematica Equazioni differenziali

Equazioni differenziali omogenee del primoordine a coefficienti costanti

y = f (t )

y ′ = k y → d y

d t= k y → (sey 6= 0) d y

y= kd t →∫

∫kd t → ln(

∣∣y∣∣)+C1 = kt +C2 →

ln(∣∣y

∣∣) = kt +C3 →∣∣y

∣∣= ekt+C3 → ∣∣y∣∣= eC3ekt →

y =Cekt

Equazioni differenziali non omogenee delprimo ordine a coefficienti costanti

y = f (t )

y ′ = k y +h → y =Cekt − h

Equazioni differenziali del secondo ordine acoefficienti costanti

y = f (t )

ay ′′+by ′+ c y = 0

se b2 −4ac > 0 → y =C1e−b+

√b2−4ac

2a t +C2e−b−

√b2−4ac

se b2 −4ac = 0 → y = e−b2a t (C1 +C2t )

se b2 −4ac < 0 →y = e

−b2a t

(C1 cos

(p−b2 +4ac

)+C2 sin

(p−b2 +4ac

))Michele prof. Perini Fisica 115 / 127

Oscillatore armonico

Fe = ma →−kx = mx ′′

se x(0) = A e x ′(0) = 0:

x = A cos

v = x ′ =−A

a = x ′′ =−A

Pendolo

F = ma →−mg sin(γ) = mLα→−g sin(γ) = Lγ′′

se γ≈ 0 →−gγ= Lγ′′ e γ′(0) = 0 e γ(0) = A:

γ= A cos

)→ T = 2π

ω= x ′ =−A

)α= x ′′ =−A

)Michele prof. Perini Fisica 117 / 127

Circuiti RC, fase di carica, Q(0) = 0

E − I (t )R − Q(t )

C= 0 → E −Q ′(t )R − Q(t )

Q(t ) = EC(1−e− t

)I (t ) =Q ′(t ) = E

Re− t

Circuiti RC, fase di scarica

−I (t )R − Q(t )

C= 0 →−Q ′(t )R − Q(t )

Q(t ) =Q(0)e− tRC

I (t ) =Q ′(t ) =−Q(0)

RCe− t

Circuiti RL, con generatore di tensionecontinua, I (0) = 0

E − I (t )R −LI ′(t ) = 0

I (t ) = E

(1−e−Rt

Circuiti RL, senza generatore di tensionecontinua

−I (t )R −LI ′(t ) = 0

I (t ) = I (0)e−RtL

Circuiti LC, con Q(0) = 0

−LI ′(t )− Q(t )

C= 0 →−LQ ′′(t )− Q(t )

Q(t ) = I (0)p

LC sin

)I (t ) =Q ′(t ) = I (0)cos

Fisica e matematica Integrali

Potenza media dissipata su una resistenza intensione alternata

V 2(t )

Rd t = 1

V 2max sin2(ωt )

Rd t =

V 2max

0sin2(ωt )d t = V 2

1−cos(2ωt )

2d t =

V 2max

01−cos(2ωt )d t = V 2

[t − sin(2ωt )

= V 2max

[T − sin(4π)

]= V 2

Lavoro in trasformazioni isoterme

L AB =∫ B

ApdV =

= nRT∫ B

V= nRT [ln(V )]B

= nRT ln

Legge di Stefan-Boltzmann dalla curva diWien (a meno di costanti moltiplicative) (1)∫

x3e− xT d x = e− x

T(ax3 +bx2 + cx +d

)x3e− x

T = e− xT

[− a

(3a − b

(2b − c

)x + c − d

− aT = 1

3a − bT = 0

2b − cT = 0

c − dT = 0

a =−Tb =−3T 2

c =−6T 3

d =−6T 4

Legge di Stefan-Boltzmann dalla curva diWien (a meno di costanti moltiplicative) (2)∫

x3e− xT d x = e− x

T(−T x3 −3T 2x2 −6T 3x −6T 4)

Itot =∫ +∞

d fd f =

∫ +∞

0f 3e− f

T d f =

e− fT(−T f 3 −3T 2 f 2 −6T 3 f −6T 4)]+∞

0= 6T 4

Fisica e matematica Cenni ai sistemi caotici

Condizioni iniziali molto simili non garantisconocomportamenti dello stesso tipo anche in sistemi fisici moltosemplici. Qui sono simulati due pendoli doppi con condizioniiniziali vicine.

Fisica - Appunti di Fisica 5

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