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7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Introduccin
Universidad Tecnolgica MetropolitanaDepartamento de MecnicaMecnica General
Profesor: Alejandro Fuentes A
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Mecnica
La mecnica es la ciencia que estudia el movimiento de los cue
consecuencia de las fuerzas que actan sobre l
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La esttica es la parte de la mecnica que estudia el equilibriosobre un cuerpo en reposo, o con velocidad constate en un mrectilneo.
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Conceptos o dimensiones bsicas
Al estudiar la mecnica es necesario establecer ciertas abstracciones o dimensionaquellas manifestaciones interesante en los cuerpos:
Espacio: es una regin estudiada en todas direcciones. La posicin en el espacioun sistema de referencia por medicin lineal o angular.
Tiempo: es una medida ordenada de la sucesin de eventos como diluvios, crotacin de la tierra o fraccin de la rotacin de la tierra.
Materia: es la substancia que ocupa un espacio.
.
Masa: medida cuantitativa de la inercia.
Cuerpo: materia envuelta en una superficie cerrada.
Cuerpo rgido: cuerpo que presenta deformacin ante el efecto de fuerzas
Fuerza: accin de un cuerpo sobre otro que tiende a mover al cuerpo en la direcci
Partcula: cuerpo de dimensin despreciable. En algn caso, un cuerpo de tamacomo una partcula o punto material.
Longitud: descripcin cuantitativa del tamao.
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Sistemas de unidades
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Leyes de movimiento de Newton
Primera ley:
En ausencia de fuerzas aplicadas en uncuerpo originalmente en reposo o
movindose con velocidad constate enlnea recta, este cuerpo permanecer enreposo o seguir movindose convelocidad constante.
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Leyes de movimiento de Newton
Segunda Ley:Si una partcula esta sujeta a la accin de una fuerza, estapartcula estar acelerada. Esta aceleracin serproporcional a la magnitud de la fuerza e inversamenteproporcional a la masa de la partcula.
F: m * a
Tercera ley:
Para toda accin de una fuerztiene una reaccin igual y opue
que genere la accin de la fuer
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Qu es un vector y para qu sirven?
Un vector es una cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido.
Por ejemplo, una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, sera decir 6 km norte.
A
A + B + C = R
Suma de Vectores
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A - B = R
Resta de Vectores
Sea los vectores: A = axi + ayj + azk y B = bxi + byj
Otra forma de resolucin
Su suma se establece como: A + B = (ax + bx)i + (ay + by
La diferencia de ambos esta dada por: A B = (ax - bx)i + (ay - by)
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Las letras i, j y k reciben el nombre de vectores unitariosdedireccin, pues son vectores cuya mdulo vale uno, pero que
poseen direccin y sentido.
El vector unitario de un vector cualquierapuede obtenerse a travs de la siguien
UAB = AB
AB
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Producto Cruz
A x B = A B sin()
A
C
A x B =
Si se conocen las componentes de los vectores
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A B
Producto Punto
.Producto punto o productoescalar de dos vectores A yB, se define:
zyx
kAjAiAA =r
rrr
Si se conocen las componentes de
Aplicacin del producto punto
U V = cos .
|U| |B|
OA
ngulo entre vectores Proyec
zyyxx
zyx
BABABABA
kBjBiBB
=
=rr
rrrrlos vectores
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A = ax i + ay j + az k
Z
Representacin de vectores tridimensional de vectores
Consiste en expresar a un vector por trescomponentes ortogonales, definidos con sus unitarios
A = ax 2 + ay 2 + az 2
La magnitud del vector A se calcula como:
x
z
y
X
Expresndolo ahora en funcin de sus ngulos directores(ngulo comprendido entre el vecto
A = (cos x)i + (cos y)j + (cos z) k
cos x = ax
|A|
cos y = ay
|A|
cos z
A partir de lo anterior se definen los cosenos directores
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Z
ax
az
Si se conoce la magnitud del vector A, y dos puntos quedefinen la lnea del accin del vector, se tiene a partir de laaplicacin de vectores unitarios
A = A UA
A = A ax i + ay j + az k
ax 2 + ay 2 + az 2
X
Si unimos cosenos directores y vectores unitarios
A = (cos x)i + (cos y)j + (cos z) k A = A ax
a
(cos x) =ax
ax 2 + ay 2 + az 2
(cos y) =ay
ax 2 + ay 2 + az 2
(cos; ;
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X
Z
Si se conoce los ngulos de latitud y longitud(abatimiento de ngulos), se tiene:
A = ax i + ay j + az k
ax = A cos cos
az = A sen
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Ejemplo de aplicacin
Encontrar la magnitud y direccin de la resultante entre las dos fuerzas, sabiendo q
[ ]NkjiPjsenisenP
9,50130046,134
()30600()1530cos600(
++=
++=
r
r
[ ]NkjiQ
jseniQ
804,10411,25794,287
)40400()20cos40cos400(
+=
+=
r
r
[ ]NkjiQPR 1,39711,55748,153 ++=+=rrr
[ ]NQPR 15,701=+=rrr
4,7715,701
48,153cos === x
R
Rxx
4,3715,701
11,557cos === y
R
Ryy
5,5515,701
10,397cos === z
R
Rzz
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Ejemplo de aplicacin
Determine las componentes x, y, z, de la fuerza de 200 lb, y sus respectivDeterminar adems el ngulo comprendido entre las dos fuerzas acotadas en la fig
[ ]lbkjiF
seniF
1996,7310098,156
30200()25cos30cos200(
200
200
+=
+=
r
r
3,38200
98,156cos == xx
5,111200
1996.73cos =
= zz
[ ]lbkjiF
isensenF
13,4967,394985,134
2cos420()7020420(
420
420
++=
+=
r
r
cos200420200420 = FFFFrrrr
200420
)1996,7310098,156()13,4967,394985,134(cos
200420
200420
+++=
=
kjikji
FF
FFrr
rr
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Fuerza, Momento y Sistema Equivalente
Universidad Tecnolgica MetropolitanaEscuela de MecnicaMecnica General
Profesor: Alejandro Fuentes A
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Definicin de Fuerza
Es la accin de un cuerpo sobre otro, que tiende a modificar las condiciones de movimiento se c
F = Fx i + F
Las propiedades necesarias para distinguir las fuerzas, unas de otras son las siguientes: inteposicin de un punto de su recta de accin.
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Definicin de Fuerza
W
T T
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Momento de una fuerza
Cuando un cuerpo est bajo la accin de una fuerza , la cual tiende hacer rotar frente al efecto de momento (torque)
Mo = r x F
El momento de una fuerza representa la tendencia de girar que tiene un cuerpo grfuerza. El momento de una fuerza respecto a un punto cualquiera de una recvectorial cruz entre el radio vector, trazado desde el punto hasta un punto cualquiede la fuerza, y la fuerza.
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Momento de una fuerza
Denme una palanca y moveral mundo (Arqumedes)
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Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuna distancia perpendicular d.
Como la fuerza resultante es cero, el nico efecto de un par es producir una rotacin o tendeespecfica.
Mpar = F * d
Momento Par
Visto en tres dimensiones
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EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE FUERZAS
Una fuerza F se puede reemplazar por un sistema equivalente que realiza el mismoLa fuerza F que pasa por el punto A, se puede sustituir por una fuerza F que passte est formado por las fuerzas F yF, cuyo momento es igual al producto F d.
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RESULTANTE DE SISTEMA DE FUERZAS
Encontrar la resultante de un sistema de fuerza es reducir el sistema a su mnimaproduzca el mismo efecto sobre el cuerpo donde est aplicado.
Resultante de un Sistema de fuerzas colineales
La resultante de un sistema de fuerzas colineales es una fuerza nica que tiene que las componentes.
El mdulo de la resultante ser igual a la suma algebraica de los mdulos de las co
Fx
= F1x
+ F2x
+ ....
Fy = F1y + F2y + .... +
F1F2
F3Fn
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F1
F2
F3 Fn
Sistemas de fuerzas concurrentes
F=F+....+F+F=R n21r
rrr
r
F=F+....+F+F=R xnx2x1xx
F=F+....+F+F=R yny2y1yy
F=F+....+F+F=R znz2z1zz
222 = zyx
La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes ser una fuerza R nica, que pasa por e
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Resultante de sistemas de fuerzas Coplanares
F1
F2
F3 Fn
F1F2
R
Rx = F1x + F2x + ... + Fnx = FxRy = F1y + F2y + ... + Fny = Fy
+R=R2x
Se puede resolver la fuerza result
Desde el punto de vista analtico se tiene:
Pero se desconoce un punto por dondepasa la recta de accin de la fuerzaresultante R.
Para determinar el punto por dondepasa la recta de accin de la resultanteR, se puede determinar analticamente,
aplicando calculo de los momentossobre el cuerpo por accin de lasfuerzas aplicadas, el cual deber serequivalente al momento que genera lafuerza resultante R.
F1
F2
F3
r3
r2
rn
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Resultante de sistemas de fuerzas paralelas
F1
F2
y
++= jFjFR21
.......r
La fuerza resultante R, est dada pverticales que actan sobre la placa.
Sean la fuerza F1, F2 y F3 fuerzas en la vertical que actan sobre una placa contenida en sistema equivalente.
x1
F3
x
z
R
x2xR
x3
z3z1
zRz2
( ) Rz FxFxRxM += 211
( ) Rx FzFzRzM += 2211
Adems para el momento que gencumplir:
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Ejercicio de aplicacin
400 N
x
y
Fy
Fy
Determinar la fuerza resultante R de las fuerzas y el par indicadas, que actan sobre el siguien
200 N500 N
9000 N cm
45 cm 90 cm
20
120 cm
Fx
Fx
A
[ ] [
[ ]cmNM
senM
A
A
++++
26081
cos500()20cos609045()20470(9000)120200()45400(
Determinando la posicin de la resultante
371N
470 NA
d
[ ]
[ ]cmd
d
cmNMA
3,70
37126081
26081
=
=
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Equilibrio de un Cuerpo Rgido
Universidad Tecnolgica MetropolitanaDepartamento de MecnicaMecnica General
Profesor: Alejandro Fuentes A
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Equilibrio de un cuerpo rgido
Cuando un cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas, tal que el torque o mnulo, esto es, que la resultante de todas las fuerzas y el momento resultantecuerpo est en equilibrio. Esto fsicamente, significa que el cuerpo, a menos q
uniforme rectilneo, no se trasladar ni podr rotar bajo la accin de ese sistema
Ecuaciones de equilibrio
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Apoyos y reacciones
Las reacciones son los apoyos que permiten al cuerpo disipar las fuerzasPermitiendo mantener su condicin esttica, en el caso de los estudios del curso
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Tipos de apoyos
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Tipos de apoyos
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Diagrama de cuerpo libre (DCL)
Corresponde a una representacin grfico de un cuerpo, donde se identifican las cexternas que actan sobre un cuerpo o sistema, y sus respectivas reacciones
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Ejemplo de aplicacinDeterminar las reacciones en el apoyo C, y la tensin del cable del siguiente compo(Despreciar efecto de roce en la polea)
2)(30()602)(30cos(
0
+
=
aTsensenaT
Mc
3
2PT =
Fx 0=
DCL
T
T
Cy
Cx
CxP
Cx ,0030cos3
2==
060cos32
32
0
=
+
+
=
PPPCy
Fy
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Ejemplo de aplicacinSabiendo que las tensiones de las cables AB y BC son 777N y 990N respectivmomento con respecto a O que los cables ejercen sobre el rbol.
BBO
FroMr
r
r
=
0,9m
A
7,2m
1 2m
5,1m
8,4m
X
Yrr
F
++
+=
2222,74,89,0
2,74,89,0777
kjiTBAr TB
r
,
AC
Z
ZX
Y
TBC
TBA
B
[ ] [ jikjiFB 84051050458863 ++=r
6241428447
04,80
=
kji
oMr
[ ]mKNkjioM += 75,3024,5r
kjiFB 6241428447 +=r
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Introduccin
Universidad Tecnolgica MetropolitanaDepartamento de MecnicaMecnica General
Profesor: Alejandro Fuentes A
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Una armadura es una estructura que consiste en un sistema de elementos uniformo articulados, que se construyen para soportar cargas fijas o mviles.
DCL
Estructura
Descomposicin de c
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Armaduras Clsicas
Las armaduras son estructuras utilizadas en techumbres (cerchas), puentes, torconformadas por perfiles comerciales, generalmente metlicos, unidos en los exarmaduras clsicas, que llevan los nombres de sus autores.
Fink Pratt (inglesa)
Howe (norteamericana) Alemana
Polonceau Belga
Warren
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Realizacin prctica de las uniones
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Idealizaciones de las armaduras:
Barras cortas unidas por nudos.
Las armaduras estn cargadas solamente en los nudos, pero como n
cada barra estar sometida solamente a la accin de 2 fuerzas, que pasan po
Como cada barra est en equilibrio, estas fuerzas deben ser colinea
llevar la direccin de las barras, y debe ser de igual magnitud, direccin y dist
Se supone que todos los elementos pueden estar sometidos a dos tip
compresin
El peso de las barras se suponen despreciables
Las fuerzas exteriores se aplican en los nudos
Los elementos estn conectados por pasadores liso, los cuales
momentos
Se estudiaran 2 mtodos par
problemas de armaduras:1. Mtodo de los nudo2. Mtodo de las secc
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Mtodo de los Nudos o Nodos
Si una estructura est en equilibrio, entonces cada uno de las barras y uniones queestn. El mtodo de los nudos utiliza el principio de equilibrio que poseen los pasadtambin denominados nudos.
500NB
Procedimiento de anlisis
Paso 1. Determinacin de las reacciones
DCL
B500N
A
C
2 m
m
Ax
CyAy
[ ]NCy
CyMA
500
225000
=
=
=
x
FX
=
=
500
0
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FAB
Paso 2. Aplicar equilibrio en los nodos
Nodo B
[ ]NFF
Fx
BCBC 1,70745cos500
0
==
=
500N
FBC F
Fy
AB 50
0
=
=
(C)
Ax
FAB
FAC
Nodo A
Ay
[ ]NFFAx
Fx
ACAC 500
0
==
=
(T) FAyF
Fy
AB
0
=
=
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FAB
Paso 3. Analizar las fuerzas ejercidas en cada barra
500N
FBC
FAB FBC
Compresin
Traccin
Ay
FAB
FAB
Ax FAC
FBC
FAC FAC
FBC
FAC
Traccin
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Mtodo de las Secciones
Este mtodo utiliza el principio de seccionar un cuerpo rgido, aplicando las ecuaccada uno de las secciones generadas, sumatoria de fuerzas y momentos.
P
A B D G
P P
Estructura
C
P
A B
C
P
D
E
G
P
EsFBEFBE
FBD FBD
FCE FCE
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Ejemplo de aplicacin
Determinar la fuerza que se ejerce en la barra GI, e indicar su solicitacin.
1KN
A
8 m, 3
1KN
1KN
1KN
1KN
5KN5KN 5KN
B
E KIG
L
J
H
F
D
C
LyAx
6 tramos de 5 m cada uno
Calculando las reacciones
Ay
Ly
MA
=+++++++
=
30)155()105()55()251()201()151()101()51(
0
AyLy
Fy
+=+++++++
=
)5()5()5()1()1()1()1()1(
0
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1KN
A
1KN
1KN
5KN5KN 5KN
B
E G
F
D
C
Se procede a efectuar corte de la estructura en el sector donde se encuentren la o las barra
Ay=12,5
1KN
GII
J
H
GH
FH
GI
GH
FH
Aplicando sumatoria de momento en H, para el corte izquierdo de la estructura, se tiene:
5,710)8
3
2()51(
0
=+
=
GI
MH
[ ]KNGI 13,13= (T)
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UniversidadTecnolgicaMetropolitanaDepartamentodeMecnicaMecnicaGeneral
Vigas,fuerzacortanteymomentoflector
Profesor: Alejandro Fuentes Alborno
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Vigas
largo del mismo se conoce como una viga. En la mayora de los casos, las cargas son pe
de la viga y solo ocasionaran corte y flexin sobre esta. Cuando las cargas no forman un
viga, tambin producir fuerzas axiales en ella..
Estado inicial de la viga sin carga
Viga posterior a aplicar la carga
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Fuerza cortante y momento flector interno
Si consideramos una viga ante la accin de cargas perpendiculares a ellas, se tiene qu
ma er a e cua es compues o a v ga, es ar some o a e ec o e uerza ver ca y mom
flectarla.
P
La viga como un todo es u
secciona una segmento d
considerarse como un cuerpoA B
P
Se procede a calcular las re
ecuaciones de la esttica,
Ay By
M PMAl cortar la viga, cad
debe permanecer en surgen reacciones
fuerzas, las cuales tie
AyV ByV
la viga respectivamen
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M
Si consideramos que el corte de la viga fue rea
AyV
x
distancia X, se tiene para su condicin de equilibrio
Aplicando F=0 Aplicando Mcorte=0
0
0
=
=
VAy
Fy
AyV = 0
0
=+
=
MxAy
M
xAyM =
A partir de lo anterior, se ha podido definir a partir del clculo de la fuerza que tiende a c
el momento que se genera que la viga se flecte (M).
VM M
V
Efecto de corte en la viga Efecto de flexin en la viga
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Determinacin del diagrama de fuerza cortante y momento flector
Si se analiza el corte anterior efectuado en la viga, se aprecia que el largo del corte se de
una s anc a . prec an o a expres n e momen o , se aprec a c aramen e qu
momento depende del largo del corte de la viga. Por lo tanto se deber de definir una fun
como para M, en funcin de la posicin en la viga donde se desee analizar la fuerza coflector.
P
Anlisis de vigas, caso 1
A B
0,5 L 0,5 L
Calculando las reaccionesP
ByAy
BAy
Fy
+
=
LPLBy
M
05,0
0
=
=Ax
, , y =PBy 5,0=
Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, se deben establecer criterio
de car a, or lo ue se efectuaran dos corte se n los si uientes intervalos.
Tramo I:
Tramo II:
Lx 5,00
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M
Lx 5,00
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Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector
A B
0,5 L 0,5 L
P
V(x) Por lo tanto, el momento
0,25PL
-Pmagnitud de 0,25 PL.
M(x)
X= LX=0,5 LX=0
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q (fuerza/longitud)
Anlisis de vigas, caso 2
AB
LPara efectuar el DCL, la carga distribuida se rep
puntual equivalente, donde su magnitud corresp
qL
,
Calculando las reaccionesBy
0,5 L 0,5 LAyFy =0MA
=
=
qAy =
2
,
qLBy =
Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, para una carga uniforme
deben efectuar cortes antes, dentro y despus de la carga distribuida. Por lo tanto para la viga mostrada
corte con validez:
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M
Lx 0Tramo I:
0
0
=
=
qxVAy
Fy
qxAyV = 2)0(
q
qLV
=
=qx
AyV
0=M
2
2x
x0
2=++
xqxMxAy
2
xqxxAyM =
P
Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector
-P
V(x)
Evaluando el momento flecto
cortante se hace cero.:
LLqL
=
222)2
(x =
Por lo tanto el momento mximo
8
q
X= LX=0,5 LX=0
x
8)2
(
qLM L
x=
=
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q (fuerza/longitud)
Anlisis de vigas, caso 3
A BPara efectuar el DCL, la car a distribuida se re
puntual equivalente, donde su magnitud corresp
por la distribucin de carga, situando su centro g
2
qL
Calculando las reaccionesBy
AyFy =
2
0
LqL
MA
=L2L
qAy =
3
32
qLBy =
Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, para una carga uniforme
deben efectuar cortes antes, dentro y despus de la carga distribuida. Por lo tanto para la viga mostrada
corte con validez:
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M
Lx 0Tramo I:
2
xqq
qDeterminando la pendiente de la fu
Ay V
3
x
x
q
L
q=
L
qxq =
x
L
0
=
xq
Fy
xqxV
= )0(qL
V =2 2
3)(
qLLV =
0
0
=
++
=xxq
MxA
M
xxqxxAyM
= 0)0( =M
32 0)( =LM
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Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector
qL
V(x)
Evaluando el momento flecto
cortante se hace cero.:
6
3
qL
026=
=
x
L
qxqLV
X= LX=0
M(x)
LX 577,0=
qL
Por lo tanto el momento mximo ubic
,Lx ,
6)577,0(
=
2
max
0641,0 qLM =
7/30/2019 Estatica Para Arturo
61/234
Anlisis de vigas, caso 4
Sea M 1, un momento exterior o mM1
AB
0,5 L 0,5 L
M1
Calculando las reacciones
By
0,5 L 0,5 LAyFy
MA 0
=
=
Ay =L
MBy
1=
Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, para un mometno puntua
cortes antes y despus de dicho momento. Por lo tanto para la viga mostrada se efectuar dos corte con
Tramo I: Lx 5,00
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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M
Lx 5,00
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Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector
V(x) Por lo tanto el momento mximo
L
M1
L
M1
1M2
1max
MM =
M(x)
1M
2
X= LX=0,5 LX=0
2
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Centroide y momento de inercia
Universidad Tecnolgica MetropolitanaDepartamento de MecnicaMecnica General
Profesor: Alejandro Fuentes A
7/30/2019 Estatica Para Arturo
65/234
El Centro de Masa, o Centroide, de una lmina plana puede visualizarse como donde si se concentrase la masa de todo el cuerpo, esta se equilibrara.
El centroide de una figura geomtrica es el centro de simetra. Para cualquierirregular de dos dimensiones, el centroide es el punto donde un soporte simpleobjeto
Es importante saber determinar el centroide de reas, por ejemplo, en un edissmicas laterales, debe conocerse el centro de gravedad de cada placa pues concentrar la aceleracin de su masa. En la seccin de una viga sometidadetermina el eje neutro de la misma, el cual separa las zonas de traccin y de co
Centroide o Centro de Masa
7/30/2019 Estatica Para Arturo
66/234
Centroides de Superficies
El centro de gravedad G de una placa delgada, homognea, de grosor t uniforA, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dVen funcin de un elemento infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma s
As pues, en el caso de una placa delgada se tiene:
=A
dAxA
x1
=A
dAyA
y1
=
z
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Ejemplo de aplicacinDeterminar los ejes centroidales del rea limitada por la curva y=x
y=x
y
x
y
x
yx ;
1 m
=
==
AAA
x
dxy
dxyx
dA
dAx
X
1
0
1
0
1
0
mx
x
dxx
dxx
X 75,0
3
4
1
0
3
4
2
1
0
3
==
=
dx
1 m
yddA= xx=2
yy=
=
==
AA
dxy
dxyy
dA
dAy
Y
1
0
1
0
1
02
mx
x
dxx
dxx
Y
A
3,0
3
102
1
0
3
5
2
1
0
4
==
=
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Clculo de centroide para secciones compuestas
Si la seccin a resolver su centroide est compuesta por secciones conocidas, tacuadrados, crculo. La ubicacin de sus ejes centroidales puede ser resuelta a pade sus figuras conocidas.
En donde la ubicacin de los ejes centroidales est definido por:
i
n
i
ii
n
i
A
Ax
X
=
=
=
1
1
i
n
i
ii
n
i
A
Ay
Y
=
=
=
1
1
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Tabla con ejemplo depropiedades de
secciones conocidas
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Ejemplo de aplicacin
Para el rea plana mostrada determinar la ucentroidales
Para iniciar el clculo, se procede a subdividir e identificar las reas conocidas.ubicacin de los ejes centroidales, se recurre a la tablas de propiedades de secc
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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A
Ax
X
i
n
i
ii
n
i
)40(2
60
2
12060
)12080(
4(602
6040
2
1206060)12080(
22
2
1
1
+
+
+
+
=
=
=
=
Calculando centroide horizontal
Ay
Yn
ii
n
i
6012060
(46,1052
6020
2
1206040)12080(
2
2
2
1
+
+
=
=
=
Calculando centroide vertical
i
i 221
=
Ubicacin del centroide de la seccin analizada
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Momento de Inercia
El momento de inercia es una propiedad geomtrica de una superficie o readistancia de un rea con respecto a un eje dado. Se define como la suma de loslas reas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a una ej
unidades de longitud a la cuarta.
Dada la definicin de momento de inercia para superficies se expresa de la siguie
= dAyIx2
= dAxIy2
A
y
X
Y
dAx
Se define adems el momento de
r
= dArIp2
+== dAyxdArIp
222
)(
yxp III +=
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Ejercicio de aplicacin
Determinar el momento de inercia de un rectngulo de bases b y altura h segpor su base.
= dAyIq2
b
hdy
y
q
p
3
3
0
2 ybdybyI
h
q ==
Calculando el momento de inercia con respecto a su eje centroidal horizontal
b
h/2dy y
q
p
h/2
= dAyIq2
3
/32/
2/
2 ybdybyI
h
h
h
h
q ==
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Clculo de momento de inercia para secciones compuestas
De la misma forma en que se calcul el centroide de una figura compuesta, esmomento de inercia que genera una sumatoria de secciones conocidas, a partir propiedades.
Para la siguiente figura se cumple que el momento de inercia de la seccin total s
321 xxxx IIII ++=
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner
Como se defini anteriormente los momentos de inercia se calculan con respectteorema de Steiner es posible trasladar, el valor del momento de inercia concentroidal a otro eje situado paralelo a este.
h
x
Sea el momento de inercia del rectngrespecto a su eje centroidal horizontal.
12
3hb
Ix
=h/2
bq
El teorema de Steiner establece que sefecto del momento de inercia conparalelo, se tiene:
dAII xq +=
h/2
Resolvie
23
2)(
12
+
=
hhb
hbIq
3
3hb
Iq
=
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Ejemplo de aplicacin
Determinar el momento de inercia con respque pasa por el centro de la perforacin.
Subdividiendo las reas conocidas
Y
4321 IIIIIYY ++=
Y
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43
1000.520.1112080
12
1mmI =
=
( )23
2 000.320.460402
12060
1206036
1
mmI =
+
=
44
3 800.086.5608
mmI =
=
4 ..4
mm=
=
)600.009.2()000.086.5()000.320.4()000.520.11( ++=YYI
4200.917.18 mmIYY =
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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2.39. Determine: a) el valor de requerido si la resultante de las tres fuerzas que se
muestran es vertical y b) la magnitud correspondiente de la resultante.
140 Cos 140 Sen
) )
-160 Cos 160 Sen
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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A B C
Q
D
35
P
Px
Py= 960 N
=106.8 =90.5
)=15.2 )=58
- =-122 =103.4
2.26. El elemento BD ejerce sobre el miembro ABC una fuerza P dirigida a lo
largo de la lnea BD. Si P tiene una componente vertical de 960 N, determine:a) La magnitud de la fuerza
b) Su componente horizontal
a)
b)
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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2.31 Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 2.24.
Calculemos los ngulos
Ahora, hallamos las componentes de cada una de las fuerzas.
FUERZA (N) Componente Componente
El vector Fuerza Resultante es:
La magnitud y la direccin de la resultante sern:
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2.30 El alambre BD ejerce sobre el poste telefnicoACuna fuerza P dirigida a lo largo de
BD. Si se sabe que P tiene una componente de 200N perpendicular al poste AC,
determine: a) La magnitud de la fuerza P, y b) Su componente a lo largo de la lneaAC.
A
B 35
FR Py
C 90 55 D
200N
282N
(189.9)(200N)
PFuerzaladeMagnitudlaParab)
9.198
35
200NSen55
55
200
35
PycomponentelaPara)
22
22
FR
FR
FyFxFR
NFy
SenFy
Fy
Sen
N
Sen
a
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2.23) Determine las componentes X y Y de cada una de las fuerzas mostradas
Fuerza Fx Fy
212 lb 212 Cos 58.11= 112 lb
212 Sen 58.11=180 lb
204 lb - 204 Cos 61.93
= -96 lb
204 Sen 61.93
= 180 lb
400 lb - 400 Sen 53.13
= -320 lb
- 400 Cos 53.13
= -240 lb
Ejercicio 2.19 Los elementos estructurales A y B estn remachados al apoyo
mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos estn en compresin y
que la fuerza en el elemento A es de 30 KN y en el elemento B es de 20 KN,
Determine por trigonometra la magnitud y la direccin de la resultante de las
fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.
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= 90 (45+35)
= 10
= == FR= =
Para el gancho del problema 2.11. Determine por trigonometra la magnitud y la direccin de la
resultante de las dos fuerzas aplicadas en al gancho, conociendo que P = 10lb y = 40.
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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El alambre BD ejerce sobre el poste telefnico AC una fuerza P dirigida a lo largo de BD. Si p tiene
una fuerza componente de 450N a lo largo de la lnea AC. Determine:
La magnitud de la fuerza P.Su componente en una direccin perpendicular AC.
A
Py
B 450N 35 P
35
C D Px
2.41- El aguiln AB esta sostenido en la posicin mostrada por tres cables .si la tensin en
los cables ACy AD son respectivamente de 4Kn y 5.2 kn, determine a) la tensin en el cable
AE si la resultante de las tensiones ejercidas en el punto A del aguiln debe estar dirigida
a lo largo de AB y b) La magnitud correspondiente de la resultante.
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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Tensin en el cable AE; = = =7.29KN
Fuerza ACx=-4 kN fuerza ADx = 5.2kn(cos 30)=-4.503 kn
Fuerza ACy=0 fuerza ADy =5.2kn(sen 30)=-2.6kn
Fuerza resultante en X
FRx=-8.503 Kn
FRy=-2.6 Kn
FR1= =8.89 n=kn
FRx = = ,=17
Fry
= = = 9.03Kn
2.22 Determine las componentes X y Y de cada una de las fuerzas mostradas.
uerza Componente X f(x) Componente f(y)
7/30/2019 Estatica Para Arturo
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DETERMINE LAS FUERZAS RESULTANTE
=
Para la viga del problema determine: a) la tensin requerida en el cable BC si la
resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B es vertical y, b) la magnitud correspondiente
de la resultante.
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84 in
C
80 in
B
A 5 4 5 13
3 12 156 lb
100 lb
X
Y
lb
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88/234
2.37Si la tensin en el cable BC es de 145lb, determine la resultante de las
fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB
=
1- 2-
13
12
4
5
2156lb
100lb
145lb
.48
B
84In
80In
A
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1-
2-
Las fuerzas resultantes ejercidas sobre el punto B:
2.35-Si se sabe que =35, determine la resultante de las tres
fuerzas mostradas en figura siguiente.
FR = F1 + F2 + F3
Fuerza Componente Fx (N) Componente Fy (N) Fx Fy
F1 F1X = 300 N Cos 20 F1Y = 300 N Sen 20 281.90 N 102.60 N
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F2 F2X = 400 N Cos 55 F2Y = 400 N Sen 55 229.43 N 327.66 N
F3 F3X = 600 N Cos 55 F3Y = -600 N Cos 55 491.49 N -344.14 N
1. Resultante de la F en X 2. Resultante de la F en Y Notacin vectorial
FRx = F1X + F2X + F3X FRy = F1Y + F2Y + F3Y F1 = 281.90 i + 102.60 jFRx = 1,002.82 N FRy = 86.12 N F2 = 229.43 i + 327.66 j
= F3 = 491.49 i 344.14 j
= 1006.51 N
Dos cuerdas se encuentran a tensin. Si sus magnitudes son TAB= 120 lb y TAD = 40 lb.
Determine la componente.
7/30/2019 Estatica Para Arturo
91/234
Ejercicio 2.36: Si se sabe que =65, determine la resultante de las tres fuerzas mostradas.
F1x = 600 N (cos 5) = 597.7168 N (+) F2x = 300 N (cos 20) = 281.9077 N (+)
F1y = 600 N (sen 5) = 52.2934 N (-) F2 y = 300 N (sen 20)= 102. 606 N (+)
F3x = 400 N (sen 5) = 34.8622 N (+)
F3y = 400 N (cos 5) = 398.4778 N (+)
FRx = F1x + F2x + F3x = 597.7168 + 281.9077 + 34.8622 = 914.4867 N
FRy = F1y + F2y + F3y = - 52.2934 + 102.606 + 398.4778 = 448.7904 N
FR =
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92/234
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93/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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94/234
ESTTICA
1.10.-
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95/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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96/234
ESTTICA
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97/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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98/234
ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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104/234
ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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106/234
ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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108/234
ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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ESTTICA
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PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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ESTTICA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
179/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
7/30/2019 Estatica Para Arturo
180/234
ESTTICA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
181/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
7/30/2019 Estatica Para Arturo
182/234
ESTTICA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
183/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
7/30/2019 Estatica Para Arturo
184/234
ESTTICA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
185/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
7/30/2019 Estatica Para Arturo
186/234
ESTTICA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
187/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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188/234
ESTTICA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
189/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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190/234
ESTTICA
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191/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
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192/234
ESTTICA
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193/234
PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL
7/30/2019 Estatica Para Arturo
194/234
7/30/2019 Estatica Para Arturo
195/234
3
Fuerzas y momentos
SOLUCIN
La resultante es la suma de las dos fuerzas.
De la ley del coseno se tiene 60cos400300240030022
++=F N2,608=F De la ley del seno se tiene
3,254273,0sen608
30cos
300
sen===
Solucin en componentes.
La resultante es la suma de las componentes de cada una de las fuerzas .
3150550)sen6060cos(300400 jiFjiiF +=++=
3,254723,0550
3150tan ===
Problema 1 Determinar la resultante de las dos fuerzas indicadas en la figura, dando el mdulo y elngulo que forma la horizontal.
F
60
300 N
400 N
400 N
300 N
60
y
O
F
x
400 N
300 N
60
7/30/2019 Estatica Para Arturo
196/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
SOLUCIN
Grfica.Se dibuja a escala la suma de las fuerzas. Midiendo el mdulo de la resultante se obtiene F =49 N ; midiendo el ngulo que forma con la horizontal es obtiene 26
Problema 2 Determinar el valor del mdulo y la direccin de la fuerza F2 que hay que aplicar albloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza vertical de 900 N si
el mdulo de la fuerza F1 es de 500 N.
Problema 3 Determinar la resultante del sistema de fuerzas concurrentes que se indica en la figuraadjunta sabiendo que F1= 150 N , F2 = 200 N , F3 = 80 N y F4 = 180 N.
x
y
F2F1
F3F4
60
30
45
30
F2 = 544,8 N ; = 29,1
F
F1
F2F3
F4
F1
F2 32
7/30/2019 Estatica Para Arturo
197/234
5
Analtica. Se determinan las componentes segn x y segn y de cada una de las fuerzas. A partir deestos valores se obtiene la resultante y el ngulo que forma con el ejex. Las componentes de las fuerzas
son:
F1 = 129.9 i + 75.0j ; F2 = 173.2 i + 100.0j
F3 = 40.0 i 69.2j ; F4 = 127.3 i 127.3j
La resultante es: F = Fi = 44.0 i 21.5 j F = 49.0 N ; = 26
SOLUCIN
5,7;N5,5155.51513 ==+= FjiF
SOLUCIN
Representacin grfica de las fuerzas
De la ley del seno aplicada al tringulo definido por las tres fuerzas se tiene
Problema 4 Determinar la resultante de las fuerzas representadas en la figura adjunta. Dar su mduloy el ngulo que forma con el ejex.
Problema 5 Descomponer una fuerza F de mdulo 2800 N en dos componentes F1 y F2 tales queF1 forme con F un ngulo de 20 y que su diferencia de mdulos F1 F2 sea igual a 1000 N.Determinar sus mdulos y el ngulo que forman.
80 N
x
y260 N
150 N
120 N
70
20
40
50
100 N
F
F1
F2
20
7/30/2019 Estatica Para Arturo
198/234
Problemas de Esttica. J. Martn
FF
sen20sen
2
=
Proyectando las fuerzas sobre la horizontal queda
cos20cos 21 FFF +=
La diferencia de mdulos de las dos fuerzas
100021 = FF
Operando con las tres ecuaciones se obtiene
60,8;N7,1069;N7,2069 21 === FF
SOLUCIN
Representacin grfica de las fuerzas
Problema 6 Descomponer una fuerza F en dos componentes F1 y F2 tales que F1 forme con F un
ngulo que sea la mitad del ngulo que forma F2 con F y los mdulos de F1 y de F2 cumplan la
relacin 4 F2 = 3 F1 . Calcular el mdulo de las componentes y los ngulos que forman con F.
F
F2
F1
= 2
3
= 48,2 ; = 96,4 ; F1 = 1,7 F ; F2 = 1,3 F
7/30/2019 Estatica Para Arturo
199/234
7
SOLUCIN
Representacin grfica de las fuerzas
SOLUCINRepresentacin grfica de las fuerzas
)(222
0 kjiF cba
cba
F++
++
=
Problema 7 Descomponer una fuerza F de 20 kN en dos componentes F1 y F2 tales que formenentre s un ngulo de 50 y sus mdulos estn en la relacin 2 : 5. Calcular la magnitud de las
componentes y los ngulos 1 y 2 que forman con F .
Problema 8 En las diagonales de un paraleleppedo rectangular de aristas a,b,c, actan tres fuerzasdel mismo mdulo F0. Calcular la resultante F.
F2 = 15,45 kN ; = 13,8F1 = 6,18 kN ; = 36,2 ;
F
F1
50
a
b
c
O
A
BC
D
E
F1
F2
F3x
y
z
7/30/2019 Estatica Para Arturo
200/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Expresando las fuerzas en componentes y sumando se obtiene la resultante
kjiF ++= 53
SOLUCIN
El vector unitario en la direccin y sentido de la fuerza es ( )kjiu ++=3
3
La fuerza en componentes es F = 10 ( i + j + k )
Problema 9 El cubo representado en la figura adjunta tiene de arista 2 m El origen O y los extremosde las fuerzas F1 y F2 estn en el punto medio de los lados. Los mdulos de las fuerzas son F1 = 1,41kN ; F2 = 2,45 kN ; F3 =3,0 kN. Determinar la resultante F.
Problema 10 Una fuerza de 17,32 k est dirigida a lo largo de la recta que va del punto de
coordenadas (4,2,0) hasta el punto de coordenadas (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta .Los valores de las coordenadas estn dados en metros. Determinar el momento de F respecto delorigen O y los momentos de F respecto de los ejes x, y, z.
x
y
z
(4, 2, 0)
(1, 5, 3)
F
P
y
x
z
O
F1 F
2
F3
7/30/2019 Estatica Para Arturo
201/234
9
El momento de la fuerza respecto del origen est dado por FM 0 = OP , donde el punto P es unpunto cualquiera de la recta soporte de F. Tomando el punto P ( 4 ,2 ,0 ), el momento de la fuerzarespecto del origen es
M0 = 10 ( 2 i 4j + 6 k )
El producto escalar del vector M0 por los vectores de la base i ,j , k proporciona los momentos dela fuerza respecto de los ejes x , y , z . Sus valores son :
mx = 20 my = 40 mz = 60
SOLUCIN
El momentoM1 es el de un par de fuerzas de 40 Kg situadas en el plano horizontal o en un plano paralelo
al horizontal y separadas una distancia de un metro ; el momento M2 es el de un para de fuerzas de 40 Kg
situadas en el plano inclinado o en un plano paralelo al plano inclinado y separadas una distancia de 3m,
tal como se muestra en la figura a). Para facilitar la suma de los momentos de los dos pares, los vectores
que los forman se han tomado con sus direcciones paralelas a la recta de interseccin de los planos.
(a)
Problema 11 En la figura adjunta se representa un par de momento= 40 k-m que acta sobre unplano horizontal y otro par de momento 2 = 120 k-m que acta sobre un plano que forma 60 con
el horizontal. Determinar grficamente el momento resultante M de ambos pares
60
M1M2
1 m
F
3 m
h
F
7/30/2019 Estatica Para Arturo
202/234
Problemas de Esttica. J. Martn
El par resultante est formado por las fuerzas F y F separadas una distancia h . Su momento es un
vector M perpendicular al plano definido por F y F, plano que forma con la horizontal un ngulo
, figura b).
(b)
Para calcular la distancia h, brazo del par resultante, aplicando la ley del coseno al tringuloABCse tiene
h = 7 = 2,645 m luego el momento del par resultante es
M = 105,8 k - m
Para calcular el ngulo , aplicando la ley del seno al tringuloABCse tiene que = 79,2
SOLUCIN
Problema 12 Una barra horizontal de 4 m de largo est sometida a una fuerza vertical hacia abajo de12 kg aplicada en su extremo B. Demostrar que es equivalente a una fuerza de 12 kg hacia abajo
aplicada en su extremoA y a un par de sentido horario de 48 kg-m.
M
60
h
A
C
3 m
1 m B
F
BA
2 m
2 F
2 F
F
BA
4 m
7/30/2019 Estatica Para Arturo
203/234
11
Equilibrio del punto
SOLUCIN
Condicin de equilibrio
)47(sen
780
47sen
F
sen
460 2
+
==
8,35= ; N575F2 =
Problema 13 Determinar el valor del mdulo y la direccin de la fuerza F2 de la figura adjunta paraque el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el mdulo de la fuerza F1 es de 460 N .
F1F2
P
47
P
F1
F2
47
7/30/2019 Estatica Para Arturo
204/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C
BA
BC T80sen
T
10sen
500== ; TBC = TCB ;
CD
CB T20sen
T
70sen
P==
Operando queda
TBA = 2879 N ; TBC = TCB = 2835 N ; P = 7789 N ; TCD = 8289 N
Problema 14 En el esquema de la figura, el bloque de peso P se mantiene en equilibrio cuando seaplica una fuerza F= 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los
cables y el peso P.
F
P
A
D
BC
10
20
TBC
TBA
10F
TCB
P
TCD
20
7/30/2019 Estatica Para Arturo
205/234
13
SOLUCIN
Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C
BC
BA T30sen
T
60sen
2450== ; TBC = TCB ;
80sen
T
70sen
T
30sen
T CECBCD==
Operando queda
TBA = 1414 N ; TBC = TCB = 2829 N ; TCD = 1505 N ; TCE = 2965 N
Problema 15 Un cuerpo de masa m = 250 kg est unido al sistema de cables indicado en la figura yse mantiene en equilibrio en la posicin indicada. Determinar las tensiones en los cables.
P
A
D
B
C
60
40
E
30
TBC
TBA
60
P
TCE
TCD
30
40
60
TCB
7/30/2019 Estatica Para Arturo
206/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Tensin en el cable 1 F1 = 132 N
Tensin en el cable 2 F2 = 128,8 N
Tensin en el cable 3 F3 = 84,8 N
SOLUCIN
h = 1,5 tg ; 120 sen = 80 h = 1,34 m
Problema 16 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 60 N de peso est unido a tres cables
dos de ellos contenidos en un plano horizontal. Determinar las tensiones en los cables.
Problema 17 En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables estn enequilibrio. Los bloquesA yB pesan 60 N cada uno y el bloque Cpesa 80 N . Determinar el valor de
h
4 m
4 m
3 m 8 m
5 m
A
D
C
B
1
2
3
3 m
A
h
BC
7/30/2019 Estatica Para Arturo
207/234
15
SOLUCIN
a) Cuando la tensinenel cable horizontalseanula, en el punto C concurren tres fuerzas y para que esten equilibrio su suma ha de ser cero.
P + FA + F1 = 0
siendo FAla fuerza que ejerce el cable unido al puntoA en el punto Cy F1el valor de F.
Condicin grfica de equilibrio
Cuando la tensin en el cable AC sea nula en el punto C concurren tres fuerzas y para que est enequilibrio su suma ha de ser cero.
P + FB + F2 = 0
siendo FBla fuerza que ejerce el cable unido al puntoB en el punto Cy F2el valor de F.
Problema 18 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos cables.Determinar: a) el intervalo de valores de la fuerza Fpara que ambos cables estn tensos ; b) el valorde las tensiones en los cables para F = 500 N. Dato : tg = 4 / 3
F
60
A
CB
)60(30
1
+
=
sen
P
sen
F
F1 = 326,2 N
F1
P
FA
60 +
3030
7/30/2019 Estatica Para Arturo
208/234
Problemas de Esttica. J. Martn
Condicin grfica de equilibrio
Para que los dos cables estn tensos, la magnitud de la fuerza aplicada Fha de satisfacer la condicin
326,2 N F 750 N
b) Para el valor F = 500 N, las tensiones en los dos cables son distintas de cero. En el punto C
concurren cuatro fuerzas, luego para que este en equilibrio su resultante a de ser cero.
Condicin grfica de equilibrio
FB = 184.5 N ; FA = 230.9 N
F2 = 750 N
PF2
FB
sen90sen
PF=
P
FA
FB
F
60
7/30/2019 Estatica Para Arturo
209/234
17
SOLUCIN
Equilibrio en el punto A Equilibrio en el punto B
Aplicando la ley del seno se tiene
1A P
sen
N
cos
T=
=
; 2B P
cos
N
sen
T=
=
Operando queda
= 33,69 ; T = 1630.8 N ; NA = 1087,2 N ; NB = 2446,2 N
Problema 19 Dos cuerpos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N estn unidos medianteun cable y se apoyan sobre una superficie cilndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta.
Determinar la tensin del cable, las normales en los apoyos y el ngulo de equilibrio.
P2
T
NB
P1T
NA
P1
P2
90
A
B
90
7/30/2019 Estatica Para Arturo
210/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
824068
500
sen
T
sen
F
sen==
SOLUCIN
l0 = 2,66 m
Problema 20 En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posicin
indicada bajo la accin de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea
B. Determinar el valor de la fuerza.
Problema 21 En el esquema de la figura adjunta, el cable ACest unido por su extremo Ca unmuelle cuya constante de rigidez es k= 50 N/m . Si se aplica en el extremo Cdel cable una fuerza
vertical descendente F0 = 80 N el sistema est en equilibrio cuando el ngulo = 60 . Determinar la
longitud natural lodel muelle
A
3 m
B
F
1 m
18C
2 m
A 60 B
F0
2 m
C
F = 346,6 N
F
PT
50
18
7/30/2019 Estatica Para Arturo
211/234
19
Equilibrio del slido sin rozamiento
SOLUCIN
Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerzaaplicada en el extremo A.
Diagrama del slido libre
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NB l P l cos 30 = 0
Operando queda NB = 86,6 N ; NA = 156,7 N ; F = 75 N
Problema 22 Una barra homognea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficieslisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) el valor de la fuerza F para mantener labarra en equilibrio en la posicin indicada ; b) las reacciones en los apoyos.
A
B
6030F
30
F
NA
NB
P
NA +NBsen 30 = P
NBcos 30 = F
Sistema de dos ecuaciones
con tres incgnitas
P
GA
B
6030F
NB
NA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
212/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerzaaplicada en el extremo A.
Diagrama del slido libre
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de B NA lcos 30 + P lcos 30 = 0
Operando queda NA = P ; ; F = P sen 60 ; l = cm62=k
F
Problema 23 Una barra homognea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies
lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la accin que le ejerce
un muelle unido a su extremo B de constante k= 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.
A
B
6030
P
G
NA + Fsen 60 +NBsen 30 + = P
Fcos 60 = NBcos 30
Sistema de dos ecuaciones
con tres incgnitas
P
G
A
B
6030
F
NB
F
NA
NB
P
60
NA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
213/234
21
SOLUCIN
Sobre la barra actan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NB y la reaccin en A.
Diagrama del slido libre. La condicin necesaria para que un slido sometido a tres fuerzas este
en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NBsen 52l P lcos 22 = 0
Operando quedaN
B = 217 N ; = 54,2 ;R
A = 321,2 N
Problema 24 Una barra homognea de 369 N de peso y longitud l esta articulada en su extremo A yse apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta.
Determinar la reaccin en la articulacin.
30
RA
NB
P
=
+=
BA N
sen
P
sen
R
)(3060
Sistema de dos ecuaciones
con tres incgnitas
P
G
A
B
60
RA
NB
A
B
6022
22
7/30/2019 Estatica Para Arturo
214/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Sobre la barra actan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NA y la normal en C NC.
Diagrama del slido libre. La condicin necesaria para que un slido sometido a tres fuerzas este
en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NC 2R cos P 2
3 R = 0
Operando queda NC = P
4
3; cos 2 =
4
3cos ; 0438 2 = ; = 23,2
Problema 25 Una barra homognea peso P y longitud l esta en equilibrio en una cavidadsemiesfrica lisa de radio R tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ngulo
de equilibrio si l = 3R.
A
B
C
2
NA
NC
P
=
=
2
CANPN
sen
Sistema de dos ecuaciones
con tres incgnitas
P
G
A
B
NA
NC
C
R
R
A
C
7/30/2019 Estatica Para Arturo
215/234
23
SOLUCIN
Sobre la barra actan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NC y la reaccin en B dirigidaperpendicularmente a la gua.
Diagrama del slido libre. La condicin necesaria para que un slido sometido a tres fuerzas este
en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )
Condicin de equilibrio
Problema 26 Una barra homognea de longitud l y peso P est unida por uno de sus extremos a unpasador que puede deslizar sin rozamiento por una gua vertical. La barra se apoya sobre una
superficie cilndrica lisa de radio R. Si la longitud de la barra es 3R , determinar el ngulo deequilibrio.
A
B
C
1
CB NPN
sen=
=
Sistema de dos ecuaciones
con tres inc nitas
NB
NCP
R
O
P
G
A
BNB
NC
C
7/30/2019 Estatica Para Arturo
216/234
7/30/2019 Estatica Para Arturo
217/234
25
Equilibrio del slido con rozamiento
Problema 27 Una barra homognea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies tal
como se muestra en la figura adjunta. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa. Determinar :a) el valor de la fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posicin indicada ;
b) el coeficiente de rozamiento mnimo para el equilibrio.
SOLUCINa)
Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza derozamiento enA.
Diagrama del slido libre
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NB l P l cos 30 = 0
Operando queda NB = 86,6 N f = 75 N
A
B
6030
30
f
NA
NB
P
NA +NBsen 30 = P
NBcos 30 = f
Sistema de dos ecuacionescon tres incgnitas
P
G
A
B
6030f
NB
NA
7/30/2019 Estatica Para Arturo
218/234
7/30/2019 Estatica Para Arturo
219/234
27
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de C
30sen2
330
2
130
2
11 TPP +=
Operando queda
N3113
32==
gT
Sustituyendo en la segunda ecuacin de la condicin de equilibrio se tiene
N8.586 == gf
Sean cuales sean las masa m y m1 , si no hay rozamiento, las componentes de los pesos y de la
tensin en la direccin de la barra no se cancelan, luego no puede haber equilibrio.
NC = T sen 30 + ( P+P1) cos 30
f = T cos 30 +( P+P1) sen 30
Sistema de dos ecuaciones
con tres incgnitas
NC
fP1
P
T
30
30
30
7/30/2019 Estatica Para Arturo
220/234
Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Diagrama del slido libre. Sobre la barra actan 4 fuerzas : los pesos de la barra y el bloque, la
tensin del cable y la resultante RC en el punto de apoyo C, que es la suma de la normal y de la fuerza de
rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene su valor mximo fr = NC
Condicin de equilibrio
Problema 29 La barra homogneaAB de la figura adjunta, de masa m y longitud l, se mantiene enequilibrio apoyada en el borde Cde un soporte, tal que AC = l/5 y mediante un cable unido a su
extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 4 m. Determinar : el valor mnimo del
coeficiente de rozamiento para que la barra se mantenga en equilibrio en la posicin indicada.
A
B
C38
112
m1
NC = T sen 58 + ( P+P1) cos 38
NC + T cos 58 = ( P+P1) sen 38
Sistema de dos ecuaciones
con tres incgnitas
A
B
C
58
P1
P
T
NC
frG
38
NC
P1
P
T
38
fr
58
38
7/30/2019 Estatica Para Arturo
221/234
29
Tomando momentos respecto de C
58sen
5
438
10
338
5
1 Tl
Pl
Pl
+=
Operando quedamgT 580=
Sustituyendo en la primera ecuacin de la condicin de equilibrio se tiene
mgNC 434=
Y finalmente de la segunda ecuacin de equilibrio = 0,62
SOLUCIN
Sobre el cilindro actan 3 fuerzas : el peso P del cilindro, la fuerza horizontal F del cable y laresultante RA en el punto de apoyoA , que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. La fuerzade rozamiento tiene su valor mximo fr = NA
Diagrama del slido libre y condicin de equilibrio.
Problema 30 Un cilindro homogneo de peso P y radioR se apoya sobre un plano inclinado rugosoque forma 44 con la horizontal. Se encuentra en condiciones de movimiento inminente bajo la accin
de la fuerza que le ejerce el cable horizontal unida al cilindro en su parte superior. Determinar el valor
del coeficiente de rozamiento .
56
A
B F
R
F
P
RA56 F
PRA fr
NA
56
28
= tan 28 = 0,53
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Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
En condiciones de movimiento inminente, la reaccin en la pared forma con la normal un ngulo tal que
tan = = 0,25, es decir = 14 .
Sobre el bloque actan 3 fuerzas : el peso P , la fuerza F y la resultante R en el apoyo, que es lasuma de la normal y de la fuerza de rozamiento. En condiciones de movimiento inminente, la fuerza de
rozamiento tiene su valor mximo fr = N.
Diagrama del slido libre y condicin de movimiento inminente hacia abajo
Condicin de movimiento inminente hacia arriba
Aplicando la ley del seno a ambos tringulos queda
Problema 31 El bloque homogneo de la figura adjunta tiene un peso de 1200 N y est apoyado en
una pared vertical . El coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es = 0,25 . El bloque se
encuentra en equilibrio bajo la accin de la fuerza F tal como se muestra en la figura adjunta.
Determinar el intervalo de valores de F para que el bloque se mantenga en equilibrio.
F
60
P
R F
N1
P
14
F1
30
fr76
N2
F2 P
30
fr14
16
104
F1 = 1676 N F F2 = 4224 N
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31
SOLUCIN
Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, la normal NA, la fuerza de rozamiento fr = NA y lafuerza F aplicada en B.
Diagrama del slido libre
Condicin de equilibrio
Tomando momentos respecto de A P l cos = F l sen ()
Operando queda
=tan2tan
1
Problema 32 Una barra homognea de peso P y longitud l se apoya por su extremo A sobre un
suelo horizontal rugoso, coeficiente de rozamiento , y su extremoB est unido a un cable, que pasapor una polea, el cual le ejerce una fuerza F que mantiene la barra en la posicin indicada en situacin
de movimiento inminente. Determinar el valor de en funcin de y .
F
A
B
NA P
NA + F sen = P
Fcos = NA
P
G
A
B
fr
F
NA
fr
F
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Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Clculo del ngulo .
La barra forma con la pared un ngulo de 36 y la tensin del cable forma con la direccin de barra un
ngulo de 58 .
Diagrama del slido libre y condicin de equilibrio. Sobre la barra actan 3 fuerzas, el peso P, la
tensin del cable T y la reaccin R en el apoyo A que es la suma de la fuerza de rozamiento f, dirigidahacia arriba, mas la normal.
Problema 33 Una barra homognea de peso P = 90 N y longitud l se mantiene en equilibrio apoyadapor su extremoA sobre una pared vertical rugosa; su extremoB est unido a un cable fijo a la pared
en el punto C , cuya longitud es 1,57 l que forma con la pared un ngulo de 22 . Determinar: el
ngulo , la tensin del cable y la fuerza de rozamiento.
A
B
C
22
A
B
C
90
22
=
cos
571
22sen
ll
Operando = 54
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33
Tomando momentos respecto deA se obtiene la tensin del cable
T = 31 N
Sustituyendo y operando se tiene el valor del ngulo = 11 . Conocido el ngulo se obtiene el
valor de la reaccin,R = 62 N. La fuerza de rozamiento es su proyeccin vertical
f = 61 N
22
P
T
R
T
22
P
R
)68(cos22sensen ==
PRT
Sistema de 2 ecuaciones
con 3 incgnitas
A
B
G
58
R
P
T
54
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Problemas de Esttica. J. Martn
Equilibrio del sistema de slidos
SOLUCIN
Problema 34 Una barra uniforme de peso P y longitud l est articula en su extremoA y se apoya sobreun disco liso de radioR y peso Q, tal como se muestra en la figura adjunta. El disco se apoya sobre unasuperficie horizontal lisa y su centro unido a la articulacin mediante un cable. Determinar la tensin
del cable y la reaccin en la articulacin.
B
A
R
C
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Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Problema 36 Un cilindro de peso Q y radioR se apoya boca abajo sobre una superficie horizontal tal
como se muestra en la figura adjunta. En su interior hay dos esferas de radio ry peso Pcada una.Determinar el peso del cilindro para que este no vuelque. Todas las superficies se consideran lisas.
r
r
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Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
Problema 38 Una barra uniforme de peso 1176 N y longitud l est articula en su extremoA y formaun ngulo de 30 con la horizontal. Su extremoB se apoya sobre la superficie lisa de un bloque de peso
328 N, situado sobre una superficie inclinada rugosa que forma un ngulo de 58 con la horizontal.
Determinar la reaccin en la articulacin y el coeficiente de rozamiento mnimo para que haya
equilibrio.
A
B
5830
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Problemas de Esttica. J. Martn
SOLUCIN
a) Para la posicin indicada la tabla no est en condiciones de movimiento inminente. En el apoyo en A,adems de la normal acta la fuerza de rozamiento f dirigida hacia la derecha.
Diagrama del slido libre de la tabla Polgono de fuerzas
.
Del polgono de fuerzas se deduce inmediatamente el valor de la fuerza de rozamiento en el suelo
= senCNf (1)
La normal en C forma con la vertical un ngulo que es el mismo que forma la tabla con el suelo; de los
datos se deduce su valor, = 36,87 . De la suma de momentos respecto de A igual a cero se obtiene la
ecuacin
+= cos)( AGPADQACNC
Problema 40 Una persona de peso 720 N sube sobre un tabln homogneo de 284 N de peso tal comose muestra en la figura adjunta. Determinar : a) la fuerza de rozamiento en el suelo cuando la persona
se encuentra parada a 0,6 m del extremo A, si el apoyo en Cse considera liso; b) si el coeficiente de
rozamiento enA y Ces = 0,25 determinar la distancia mxima s a la que puede subir la persona sin
que el tabln deslice.
fP
NA
NC
Q
f
C
0,6 m
NA
P
Q
NCA
G
D
B
2,4 m
A
B
C1,8 m
0,6 m
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Problemas de Esttica. J. Martn
Equilibrio del sistema de slidos
Entramados y armaduras