Estatica Para Arturo

7/30/2019 Estatica Para Arturo

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Introduccin

Universidad Tecnolgica MetropolitanaDepartamento de MecnicaMecnica General

Profesor: Alejandro Fuentes A


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Mecnica

La mecnica es la ciencia que estudia el movimiento de los cue

consecuencia de las fuerzas que actan sobre l


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La esttica es la parte de la mecnica que estudia el equilibriosobre un cuerpo en reposo, o con velocidad constate en un mrectilneo.


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Conceptos o dimensiones bsicas

Al estudiar la mecnica es necesario establecer ciertas abstracciones o dimensionaquellas manifestaciones interesante en los cuerpos:

Espacio: es una regin estudiada en todas direcciones. La posicin en el espacioun sistema de referencia por medicin lineal o angular.

Tiempo: es una medida ordenada de la sucesin de eventos como diluvios, crotacin de la tierra o fraccin de la rotacin de la tierra.

Materia: es la substancia que ocupa un espacio.

.

Masa: medida cuantitativa de la inercia.

Cuerpo: materia envuelta en una superficie cerrada.

Cuerpo rgido: cuerpo que presenta deformacin ante el efecto de fuerzas

Fuerza: accin de un cuerpo sobre otro que tiende a mover al cuerpo en la direcci

Partcula: cuerpo de dimensin despreciable. En algn caso, un cuerpo de tamacomo una partcula o punto material.

Longitud: descripcin cuantitativa del tamao.


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Sistemas de unidades


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Leyes de movimiento de Newton

Primera ley:

En ausencia de fuerzas aplicadas en uncuerpo originalmente en reposo o

movindose con velocidad constate enlnea recta, este cuerpo permanecer enreposo o seguir movindose convelocidad constante.


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Leyes de movimiento de Newton

Segunda Ley:Si una partcula esta sujeta a la accin de una fuerza, estapartcula estar acelerada. Esta aceleracin serproporcional a la magnitud de la fuerza e inversamenteproporcional a la masa de la partcula.

F: m * a

Tercera ley:

Para toda accin de una fuerztiene una reaccin igual y opue

que genere la accin de la fuer


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Qu es un vector y para qu sirven?

Un vector es una cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido.

Por ejemplo, una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, sera decir 6 km norte.

A

A + B + C = R

Suma de Vectores


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A - B = R

Resta de Vectores

Sea los vectores: A = axi + ayj + azk y B = bxi + byj

Otra forma de resolucin

Su suma se establece como: A + B = (ax + bx)i + (ay + by

La diferencia de ambos esta dada por: A B = (ax - bx)i + (ay - by)


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Las letras i, j y k reciben el nombre de vectores unitariosdedireccin, pues son vectores cuya mdulo vale uno, pero que

poseen direccin y sentido.

El vector unitario de un vector cualquierapuede obtenerse a travs de la siguien

UAB = AB

AB


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Producto Cruz

A x B = A B sin()

A

C

A x B =

Si se conocen las componentes de los vectores


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A B

Producto Punto

.Producto punto o productoescalar de dos vectores A yB, se define:

zyx

kAjAiAA =r

rrr

Si se conocen las componentes de

Aplicacin del producto punto

U V = cos .

|U| |B|

OA

ngulo entre vectores Proyec

zyyxx

zyx

BABABABA

kBjBiBB

=

=rr

rrrrlos vectores


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A = ax i + ay j + az k

Z

Representacin de vectores tridimensional de vectores

Consiste en expresar a un vector por trescomponentes ortogonales, definidos con sus unitarios

A = ax 2 + ay 2 + az 2

La magnitud del vector A se calcula como:

x

z

y

X

Expresndolo ahora en funcin de sus ngulos directores(ngulo comprendido entre el vecto

A = (cos x)i + (cos y)j + (cos z) k

cos x = ax

|A|

cos y = ay

|A|

cos z

A partir de lo anterior se definen los cosenos directores


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Z

ax

az

Si se conoce la magnitud del vector A, y dos puntos quedefinen la lnea del accin del vector, se tiene a partir de laaplicacin de vectores unitarios

A = A UA

A = A ax i + ay j + az k

ax 2 + ay 2 + az 2

X

Si unimos cosenos directores y vectores unitarios

A = (cos x)i + (cos y)j + (cos z) k A = A ax

a

(cos x) =ax

ax 2 + ay 2 + az 2

(cos y) =ay

ax 2 + ay 2 + az 2

(cos; ;


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X

Z

Si se conoce los ngulos de latitud y longitud(abatimiento de ngulos), se tiene:

A = ax i + ay j + az k

ax = A cos cos

az = A sen


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Ejemplo de aplicacin

Encontrar la magnitud y direccin de la resultante entre las dos fuerzas, sabiendo q

[ ]NkjiPjsenisenP

9,50130046,134

()30600()1530cos600(

++=

++=

r

r

[ ]NkjiQ

jseniQ

804,10411,25794,287

)40400()20cos40cos400(

+=

+=

r

r

[ ]NkjiQPR 1,39711,55748,153 ++=+=rrr

[ ]NQPR 15,701=+=rrr

4,7715,701

48,153cos === x

R

Rxx

4,3715,701

11,557cos === y

R

Ryy

5,5515,701

10,397cos === z

R

Rzz


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Determine las componentes x, y, z, de la fuerza de 200 lb, y sus respectivDeterminar adems el ngulo comprendido entre las dos fuerzas acotadas en la fig

[ ]lbkjiF

seniF

1996,7310098,156

30200()25cos30cos200(

200

200

+=

+=

r

r

3,38200

98,156cos == xx

5,111200

1996.73cos =

= zz

[ ]lbkjiF

isensenF

13,4967,394985,134

2cos420()7020420(

420

420

++=

+=

r

r

cos200420200420 = FFFFrrrr

200420

)1996,7310098,156()13,4967,394985,134(cos

200420

200420

+++=

=

kjikji

FF

FFrr

rr


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Fuerza, Momento y Sistema Equivalente

Universidad Tecnolgica MetropolitanaEscuela de MecnicaMecnica General



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Definicin de Fuerza

Es la accin de un cuerpo sobre otro, que tiende a modificar las condiciones de movimiento se c

F = Fx i + F

Las propiedades necesarias para distinguir las fuerzas, unas de otras son las siguientes: inteposicin de un punto de su recta de accin.


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Definicin de Fuerza

W

T T


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Momento de una fuerza

Cuando un cuerpo est bajo la accin de una fuerza , la cual tiende hacer rotar frente al efecto de momento (torque)

Mo = r x F

El momento de una fuerza representa la tendencia de girar que tiene un cuerpo grfuerza. El momento de una fuerza respecto a un punto cualquiera de una recvectorial cruz entre el radio vector, trazado desde el punto hasta un punto cualquiede la fuerza, y la fuerza.


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Momento de una fuerza

Denme una palanca y moveral mundo (Arqumedes)


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Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuna distancia perpendicular d.

Como la fuerza resultante es cero, el nico efecto de un par es producir una rotacin o tendeespecfica.

Mpar = F * d

Momento Par

Visto en tres dimensiones


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EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE FUERZAS

Una fuerza F se puede reemplazar por un sistema equivalente que realiza el mismoLa fuerza F que pasa por el punto A, se puede sustituir por una fuerza F que passte est formado por las fuerzas F yF, cuyo momento es igual al producto F d.


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RESULTANTE DE SISTEMA DE FUERZAS

Encontrar la resultante de un sistema de fuerza es reducir el sistema a su mnimaproduzca el mismo efecto sobre el cuerpo donde est aplicado.

Resultante de un Sistema de fuerzas colineales

La resultante de un sistema de fuerzas colineales es una fuerza nica que tiene que las componentes.

El mdulo de la resultante ser igual a la suma algebraica de los mdulos de las co

Fx

= F1x

+ F2x

+ ....

Fy = F1y + F2y + .... +

F1F2

F3Fn


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F1

F2

F3 Fn

Sistemas de fuerzas concurrentes

F=F+....+F+F=R n21r

rrr

r

F=F+....+F+F=R xnx2x1xx

F=F+....+F+F=R yny2y1yy

F=F+....+F+F=R znz2z1zz

222 = zyx

La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes ser una fuerza R nica, que pasa por e


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Resultante de sistemas de fuerzas Coplanares

F1

F2

F3 Fn

F1F2

R

Rx = F1x + F2x + ... + Fnx = FxRy = F1y + F2y + ... + Fny = Fy

+R=R2x

Se puede resolver la fuerza result

Desde el punto de vista analtico se tiene:

Pero se desconoce un punto por dondepasa la recta de accin de la fuerzaresultante R.

Para determinar el punto por dondepasa la recta de accin de la resultanteR, se puede determinar analticamente,

aplicando calculo de los momentossobre el cuerpo por accin de lasfuerzas aplicadas, el cual deber serequivalente al momento que genera lafuerza resultante R.

F1

F2

F3

r3

r2

rn


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Resultante de sistemas de fuerzas paralelas

F1

F2

y

++= jFjFR21

.......r

La fuerza resultante R, est dada pverticales que actan sobre la placa.

Sean la fuerza F1, F2 y F3 fuerzas en la vertical que actan sobre una placa contenida en sistema equivalente.

x1

F3

x

z

R

x2xR

x3

z3z1

zRz2

( ) Rz FxFxRxM += 211

( ) Rx FzFzRzM += 2211

Adems para el momento que gencumplir:


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Ejercicio de aplicacin

400 N

x

y

Fy

Fy

Determinar la fuerza resultante R de las fuerzas y el par indicadas, que actan sobre el siguien

200 N500 N

9000 N cm

45 cm 90 cm

20

120 cm

Fx

Fx

A

[ ] [

[ ]cmNM

senM

A

A

++++

26081

cos500()20cos609045()20470(9000)120200()45400(

Determinando la posicin de la resultante

371N

470 NA

d

[ ]

[ ]cmd

d

cmNMA

3,70

37126081

26081

=

=


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Equilibrio de un Cuerpo Rgido




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Equilibrio de un cuerpo rgido

Cuando un cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas, tal que el torque o mnulo, esto es, que la resultante de todas las fuerzas y el momento resultantecuerpo est en equilibrio. Esto fsicamente, significa que el cuerpo, a menos q

uniforme rectilneo, no se trasladar ni podr rotar bajo la accin de ese sistema

Ecuaciones de equilibrio


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Apoyos y reacciones

Las reacciones son los apoyos que permiten al cuerpo disipar las fuerzasPermitiendo mantener su condicin esttica, en el caso de los estudios del curso


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Tipos de apoyos


34/234

Tipos de apoyos


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Diagrama de cuerpo libre (DCL)

Corresponde a una representacin grfico de un cuerpo, donde se identifican las cexternas que actan sobre un cuerpo o sistema, y sus respectivas reacciones


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Ejemplo de aplicacinDeterminar las reacciones en el apoyo C, y la tensin del cable del siguiente compo(Despreciar efecto de roce en la polea)

2)(30()602)(30cos(

0

+

=

aTsensenaT

Mc

3

2PT =

Fx 0=

DCL

T

T

Cy

Cx

CxP

Cx ,0030cos3

2==

060cos32

32

0

=

+

+

=

PPPCy

Fy


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Ejemplo de aplicacinSabiendo que las tensiones de las cables AB y BC son 777N y 990N respectivmomento con respecto a O que los cables ejercen sobre el rbol.

BBO

FroMr

r

r

=

0,9m

A

7,2m

1 2m

5,1m

8,4m

X

Yrr

F

++

+=

2222,74,89,0

2,74,89,0777

kjiTBAr TB

r

,

AC

Z

ZX

Y

TBC

TBA

B

[ ] [ jikjiFB 84051050458863 ++=r

6241428447

04,80

=

kji

oMr

[ ]mKNkjioM += 75,3024,5r

kjiFB 6241428447 +=r


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Introduccin




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Una armadura es una estructura que consiste en un sistema de elementos uniformo articulados, que se construyen para soportar cargas fijas o mviles.

DCL

Estructura

Descomposicin de c


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Armaduras Clsicas

Las armaduras son estructuras utilizadas en techumbres (cerchas), puentes, torconformadas por perfiles comerciales, generalmente metlicos, unidos en los exarmaduras clsicas, que llevan los nombres de sus autores.

Fink Pratt (inglesa)

Howe (norteamericana) Alemana

Polonceau Belga

Warren


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Realizacin prctica de las uniones


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Idealizaciones de las armaduras:

Barras cortas unidas por nudos.

Las armaduras estn cargadas solamente en los nudos, pero como n

cada barra estar sometida solamente a la accin de 2 fuerzas, que pasan po

Como cada barra est en equilibrio, estas fuerzas deben ser colinea

llevar la direccin de las barras, y debe ser de igual magnitud, direccin y dist

Se supone que todos los elementos pueden estar sometidos a dos tip

compresin

El peso de las barras se suponen despreciables

Las fuerzas exteriores se aplican en los nudos

Los elementos estn conectados por pasadores liso, los cuales

momentos

Se estudiaran 2 mtodos par

problemas de armaduras:1. Mtodo de los nudo2. Mtodo de las secc


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Mtodo de los Nudos o Nodos

Si una estructura est en equilibrio, entonces cada uno de las barras y uniones queestn. El mtodo de los nudos utiliza el principio de equilibrio que poseen los pasadtambin denominados nudos.

500NB

Procedimiento de anlisis

Paso 1. Determinacin de las reacciones

DCL

B500N

A

C

2 m

m

Ax

CyAy

[ ]NCy

CyMA

500

225000

=

=

=

x

FX

=

=

500

0


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FAB

Paso 2. Aplicar equilibrio en los nodos

Nodo B

[ ]NFF

Fx

BCBC 1,70745cos500

0

==

=

500N

FBC F

Fy

AB 50

0

=

=

(C)

Ax

FAB

FAC

Nodo A

Ay

[ ]NFFAx

Fx

ACAC 500

0

==

=

(T) FAyF

Fy

AB

0

=

=


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FAB

Paso 3. Analizar las fuerzas ejercidas en cada barra

500N

FBC

FAB FBC

Compresin

Traccin

Ay

FAB

FAB

Ax FAC

FBC

FAC FAC

FBC

FAC

Traccin


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Mtodo de las Secciones

Este mtodo utiliza el principio de seccionar un cuerpo rgido, aplicando las ecuaccada uno de las secciones generadas, sumatoria de fuerzas y momentos.

P

A B D G

P P

Estructura

C

P

A B

C

P

D

E

G

P

EsFBEFBE

FBD FBD

FCE FCE


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Determinar la fuerza que se ejerce en la barra GI, e indicar su solicitacin.

1KN

A

8 m, 3

1KN

1KN

1KN

1KN

5KN5KN 5KN

B

E KIG

L

J

H

F

D

C

LyAx

6 tramos de 5 m cada uno

Calculando las reacciones

Ay

Ly

MA

=+++++++

=

30)155()105()55()251()201()151()101()51(

0

AyLy

Fy

+=+++++++

=

)5()5()5()1()1()1()1()1(

0


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1KN

A

1KN

1KN

5KN5KN 5KN

B

E G

F

D

C

Se procede a efectuar corte de la estructura en el sector donde se encuentren la o las barra

Ay=12,5

1KN

GII

J

H

GH

FH

GI

GH

FH

Aplicando sumatoria de momento en H, para el corte izquierdo de la estructura, se tiene:

5,710)8

3

2()51(

0

=+

=

GI

MH

[ ]KNGI 13,13= (T)


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UniversidadTecnolgicaMetropolitanaDepartamentodeMecnicaMecnicaGeneral

Vigas,fuerzacortanteymomentoflector

Profesor: Alejandro Fuentes Alborno


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Vigas

largo del mismo se conoce como una viga. En la mayora de los casos, las cargas son pe

de la viga y solo ocasionaran corte y flexin sobre esta. Cuando las cargas no forman un

viga, tambin producir fuerzas axiales en ella..

Estado inicial de la viga sin carga

Viga posterior a aplicar la carga


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Fuerza cortante y momento flector interno

Si consideramos una viga ante la accin de cargas perpendiculares a ellas, se tiene qu

ma er a e cua es compues o a v ga, es ar some o a e ec o e uerza ver ca y mom

flectarla.

P

La viga como un todo es u

secciona una segmento d

considerarse como un cuerpoA B

P

Se procede a calcular las re

ecuaciones de la esttica,

Ay By

M PMAl cortar la viga, cad

debe permanecer en surgen reacciones

fuerzas, las cuales tie

AyV ByV

la viga respectivamen


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M

Si consideramos que el corte de la viga fue rea

AyV

x

distancia X, se tiene para su condicin de equilibrio

Aplicando F=0 Aplicando Mcorte=0

0

0

=

=

VAy

Fy

AyV = 0

0

=+

=

MxAy

M

xAyM =

A partir de lo anterior, se ha podido definir a partir del clculo de la fuerza que tiende a c

el momento que se genera que la viga se flecte (M).

VM M

V

Efecto de corte en la viga Efecto de flexin en la viga


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Determinacin del diagrama de fuerza cortante y momento flector

Si se analiza el corte anterior efectuado en la viga, se aprecia que el largo del corte se de

una s anc a . prec an o a expres n e momen o , se aprec a c aramen e qu

momento depende del largo del corte de la viga. Por lo tanto se deber de definir una fun

como para M, en funcin de la posicin en la viga donde se desee analizar la fuerza coflector.

P

Anlisis de vigas, caso 1

A B

0,5 L 0,5 L

Calculando las reaccionesP

ByAy

BAy

Fy

+

=

LPLBy

M

05,0

0

=

=Ax

, , y =PBy 5,0=

Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, se deben establecer criterio

de car a, or lo ue se efectuaran dos corte se n los si uientes intervalos.

Tramo I:

Tramo II:

Lx 5,00


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M

Lx 5,00


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Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector

A B

0,5 L 0,5 L

P

V(x) Por lo tanto, el momento

0,25PL

-Pmagnitud de 0,25 PL.

M(x)

X= LX=0,5 LX=0


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q (fuerza/longitud)


AB

LPara efectuar el DCL, la carga distribuida se rep

puntual equivalente, donde su magnitud corresp

qL

,

Calculando las reaccionesBy

0,5 L 0,5 LAyFy =0MA

=

=

qAy =

2

,

qLBy =

Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, para una carga uniforme

deben efectuar cortes antes, dentro y despus de la carga distribuida. Por lo tanto para la viga mostrada

corte con validez:


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M

Lx 0Tramo I:

0

0

=

=

qxVAy

Fy

qxAyV = 2)0(

q

qLV

=

=qx

AyV

0=M

2

2x

x0

2=++

xqxMxAy

2

xqxxAyM =

P


-P

V(x)

Evaluando el momento flecto

cortante se hace cero.:

LLqL

=

222)2

(x =

Por lo tanto el momento mximo

8

q

X= LX=0,5 LX=0

x

8)2

(

qLM L

x=

=


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q (fuerza/longitud)


A BPara efectuar el DCL, la car a distribuida se re

puntual equivalente, donde su magnitud corresp

por la distribucin de carga, situando su centro g

2

qL

Calculando las reaccionesBy

AyFy =

2

0

LqL

MA

=L2L

qAy =

3

32

qLBy =

Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, para una carga uniforme

deben efectuar cortes antes, dentro y despus de la carga distribuida. Por lo tanto para la viga mostrada

corte con validez:


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M

Lx 0Tramo I:

2

xqq

qDeterminando la pendiente de la fu

Ay V

3

x

x

q

L

q=

L

qxq =

x

L

0

=

xq

Fy

xqxV

= )0(qL

V =2 2

3)(

qLLV =

0

0

=

++

=xxq

MxA

M

xxqxxAyM

= 0)0( =M

32 0)( =LM


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qL

V(x)

Evaluando el momento flecto

cortante se hace cero.:

6

3

qL

026=

=

x

L

qxqLV

X= LX=0

M(x)

LX 577,0=

qL

Por lo tanto el momento mximo ubic

,Lx ,

6)577,0(

=

2

max

0641,0 qLM =


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Sea M 1, un momento exterior o mM1

AB

0,5 L 0,5 L

M1

Calculando las reacciones

By

0,5 L 0,5 LAyFy

MA 0

=

=

Ay =L

MBy

1=

Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, para un mometno puntua

cortes antes y despus de dicho momento. Por lo tanto para la viga mostrada se efectuar dos corte con

Tramo I: Lx 5,00


62/234

M

Lx 5,00


63/234


V(x) Por lo tanto el momento mximo

L

M1

L

M1

1M2

1max

MM =

M(x)

1M

2

X= LX=0,5 LX=0

2


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Centroide y momento de inercia




65/234

El Centro de Masa, o Centroide, de una lmina plana puede visualizarse como donde si se concentrase la masa de todo el cuerpo, esta se equilibrara.

El centroide de una figura geomtrica es el centro de simetra. Para cualquierirregular de dos dimensiones, el centroide es el punto donde un soporte simpleobjeto

Es importante saber determinar el centroide de reas, por ejemplo, en un edissmicas laterales, debe conocerse el centro de gravedad de cada placa pues concentrar la aceleracin de su masa. En la seccin de una viga sometidadetermina el eje neutro de la misma, el cual separa las zonas de traccin y de co

Centroide o Centro de Masa


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Centroides de Superficies

El centro de gravedad G de una placa delgada, homognea, de grosor t uniforA, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dVen funcin de un elemento infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma s

As pues, en el caso de una placa delgada se tiene:

=A

dAxA

x1

=A

dAyA

y1

=

z


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Ejemplo de aplicacinDeterminar los ejes centroidales del rea limitada por la curva y=x

y=x

y

x

y

x

yx ;

1 m

=

==

AAA

x

dxy

dxyx

dA

dAx

X

1

0

1

0

1

0

mx

x

dxx

dxx

X 75,0

3

4

1

0

3

4

2

1

0

3

==

=

dx

1 m

yddA= xx=2

yy=

=

==

AA

dxy

dxyy

dA

dAy

Y

1

0

1

0

1

02

mx

x

dxx

dxx

Y

A

3,0

3

102

1

0

3

5

2

1

0

4

==

=


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Clculo de centroide para secciones compuestas

Si la seccin a resolver su centroide est compuesta por secciones conocidas, tacuadrados, crculo. La ubicacin de sus ejes centroidales puede ser resuelta a pade sus figuras conocidas.

En donde la ubicacin de los ejes centroidales est definido por:

i

n

i

ii

n

i

A

Ax

X

=

=

=

1

1

i

n

i

ii

n

i

A

Ay

Y

=

=

=

1

1


69/234

Tabla con ejemplo depropiedades de

secciones conocidas


70/234


Para el rea plana mostrada determinar la ucentroidales

Para iniciar el clculo, se procede a subdividir e identificar las reas conocidas.ubicacin de los ejes centroidales, se recurre a la tablas de propiedades de secc


71/234

A

Ax

X

i

n

i

ii

n

i

)40(2

60

2

12060

)12080(

4(602

6040

2

1206060)12080(

22

2

1

1

+

+

+

+

=

=

=

=

Calculando centroide horizontal

Ay

Yn

ii

n

i

6012060

(46,1052

6020

2

1206040)12080(

2

2

2

1

+

+

=

=

=

Calculando centroide vertical

i

i 221

=

Ubicacin del centroide de la seccin analizada


72/234

Momento de Inercia

El momento de inercia es una propiedad geomtrica de una superficie o readistancia de un rea con respecto a un eje dado. Se define como la suma de loslas reas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a una ej

unidades de longitud a la cuarta.

Dada la definicin de momento de inercia para superficies se expresa de la siguie

= dAyIx2

= dAxIy2

A

y

X

Y

dAx

Se define adems el momento de

r

= dArIp2

+== dAyxdArIp

222

)(

yxp III +=


73/234

Ejercicio de aplicacin

Determinar el momento de inercia de un rectngulo de bases b y altura h segpor su base.

= dAyIq2

b

hdy

y

q

p

3

3

0

2 ybdybyI

h

q ==

Calculando el momento de inercia con respecto a su eje centroidal horizontal

b

h/2dy y

q

p

h/2

= dAyIq2

3

/32/

2/

2 ybdybyI

h

h

h

h

q ==


74/234

Clculo de momento de inercia para secciones compuestas

De la misma forma en que se calcul el centroide de una figura compuesta, esmomento de inercia que genera una sumatoria de secciones conocidas, a partir propiedades.

Para la siguiente figura se cumple que el momento de inercia de la seccin total s

321 xxxx IIII ++=


75/234

Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner

Como se defini anteriormente los momentos de inercia se calculan con respectteorema de Steiner es posible trasladar, el valor del momento de inercia concentroidal a otro eje situado paralelo a este.

h

x

Sea el momento de inercia del rectngrespecto a su eje centroidal horizontal.

12

3hb

Ix

=h/2

bq

El teorema de Steiner establece que sefecto del momento de inercia conparalelo, se tiene:

dAII xq +=

h/2

Resolvie

23

2)(

12

+

=

hhb

hbIq

3

3hb

Iq

=


76/234


Determinar el momento de inercia con respque pasa por el centro de la perforacin.

Subdividiendo las reas conocidas

Y

4321 IIIIIYY ++=

Y


77/234

43

1000.520.1112080

12

1mmI =

=

( )23

2 000.320.460402

12060

1206036

1

mmI =

+

=

44

3 800.086.5608

mmI =

=

4 ..4

mm=

=

)600.009.2()000.086.5()000.320.4()000.520.11( ++=YYI

4200.917.18 mmIYY =


78/234

2.39. Determine: a) el valor de requerido si la resultante de las tres fuerzas que se

muestran es vertical y b) la magnitud correspondiente de la resultante.

140 Cos 140 Sen

) )

-160 Cos 160 Sen


79/234

A B C

Q

D

35

P

Px

Py= 960 N

=106.8 =90.5

)=15.2 )=58

- =-122 =103.4

2.26. El elemento BD ejerce sobre el miembro ABC una fuerza P dirigida a lo

largo de la lnea BD. Si P tiene una componente vertical de 960 N, determine:a) La magnitud de la fuerza

b) Su componente horizontal

a)

b)


80/234

2.31 Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 2.24.

Calculemos los ngulos

Ahora, hallamos las componentes de cada una de las fuerzas.

FUERZA (N) Componente Componente

El vector Fuerza Resultante es:

La magnitud y la direccin de la resultante sern:


81/234

2.30 El alambre BD ejerce sobre el poste telefnicoACuna fuerza P dirigida a lo largo de

BD. Si se sabe que P tiene una componente de 200N perpendicular al poste AC,

determine: a) La magnitud de la fuerza P, y b) Su componente a lo largo de la lneaAC.

A

B 35

FR Py

C 90 55 D

200N

282N

(189.9)(200N)

PFuerzaladeMagnitudlaParab)

9.198

35

200NSen55

55

200

35

PycomponentelaPara)

22

22

FR

FR

FyFxFR

NFy

SenFy

Fy

Sen

N

Sen

a


82/234

2.23) Determine las componentes X y Y de cada una de las fuerzas mostradas

Fuerza Fx Fy

212 lb 212 Cos 58.11= 112 lb

212 Sen 58.11=180 lb

204 lb - 204 Cos 61.93

= -96 lb

204 Sen 61.93

= 180 lb

400 lb - 400 Sen 53.13

= -320 lb

- 400 Cos 53.13

= -240 lb

Ejercicio 2.19 Los elementos estructurales A y B estn remachados al apoyo

mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos estn en compresin y

que la fuerza en el elemento A es de 30 KN y en el elemento B es de 20 KN,

Determine por trigonometra la magnitud y la direccin de la resultante de las

fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.


83/234

= 90 (45+35)

= 10

= == FR= =

Para el gancho del problema 2.11. Determine por trigonometra la magnitud y la direccin de la

resultante de las dos fuerzas aplicadas en al gancho, conociendo que P = 10lb y = 40.


84/234

El alambre BD ejerce sobre el poste telefnico AC una fuerza P dirigida a lo largo de BD. Si p tiene

una fuerza componente de 450N a lo largo de la lnea AC. Determine:

La magnitud de la fuerza P.Su componente en una direccin perpendicular AC.

A

Py

B 450N 35 P

35

C D Px

2.41- El aguiln AB esta sostenido en la posicin mostrada por tres cables .si la tensin en

los cables ACy AD son respectivamente de 4Kn y 5.2 kn, determine a) la tensin en el cable

AE si la resultante de las tensiones ejercidas en el punto A del aguiln debe estar dirigida

a lo largo de AB y b) La magnitud correspondiente de la resultante.


85/234

Tensin en el cable AE; = = =7.29KN

Fuerza ACx=-4 kN fuerza ADx = 5.2kn(cos 30)=-4.503 kn

Fuerza ACy=0 fuerza ADy =5.2kn(sen 30)=-2.6kn

Fuerza resultante en X

FRx=-8.503 Kn

FRy=-2.6 Kn

FR1= =8.89 n=kn

FRx = = ,=17

Fry

= = = 9.03Kn

2.22 Determine las componentes X y Y de cada una de las fuerzas mostradas.

uerza Componente X f(x) Componente f(y)


86/234

DETERMINE LAS FUERZAS RESULTANTE

=

Para la viga del problema determine: a) la tensin requerida en el cable BC si la

resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B es vertical y, b) la magnitud correspondiente

de la resultante.


87/234

84 in

C

80 in

B

A 5 4 5 13

3 12 156 lb

100 lb

X

Y

lb


88/234

2.37Si la tensin en el cable BC es de 145lb, determine la resultante de las

fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB

=

1- 2-

13

12

4

5

2156lb

100lb

145lb

.48

B

84In

80In

A


89/234

1-

2-

Las fuerzas resultantes ejercidas sobre el punto B:

2.35-Si se sabe que =35, determine la resultante de las tres

fuerzas mostradas en figura siguiente.

FR = F1 + F2 + F3

Fuerza Componente Fx (N) Componente Fy (N) Fx Fy

F1 F1X = 300 N Cos 20 F1Y = 300 N Sen 20 281.90 N 102.60 N


90/234

F2 F2X = 400 N Cos 55 F2Y = 400 N Sen 55 229.43 N 327.66 N

F3 F3X = 600 N Cos 55 F3Y = -600 N Cos 55 491.49 N -344.14 N

1. Resultante de la F en X 2. Resultante de la F en Y Notacin vectorial

FRx = F1X + F2X + F3X FRy = F1Y + F2Y + F3Y F1 = 281.90 i + 102.60 jFRx = 1,002.82 N FRy = 86.12 N F2 = 229.43 i + 327.66 j

= F3 = 491.49 i 344.14 j

= 1006.51 N

Dos cuerdas se encuentran a tensin. Si sus magnitudes son TAB= 120 lb y TAD = 40 lb.

Determine la componente.


91/234

Ejercicio 2.36: Si se sabe que =65, determine la resultante de las tres fuerzas mostradas.

F1x = 600 N (cos 5) = 597.7168 N (+) F2x = 300 N (cos 20) = 281.9077 N (+)

F1y = 600 N (sen 5) = 52.2934 N (-) F2 y = 300 N (sen 20)= 102. 606 N (+)

F3x = 400 N (sen 5) = 34.8622 N (+)

F3y = 400 N (cos 5) = 398.4778 N (+)

FRx = F1x + F2x + F3x = 597.7168 + 281.9077 + 34.8622 = 914.4867 N

FRy = F1y + F2y + F3y = - 52.2934 + 102.606 + 398.4778 = 448.7904 N

FR =


92/234


93/234

PROBLEMAS DE MECNICA GENERAL


94/234

ESTTICA

1.10.-


95/234



96/234

ESTTICA


97/234



98/234

ESTTICA


99/234



100/234

ESTTICA


101/234



102/234

ESTTICA


103/234



104/234

ESTTICA


105/234



106/234

ESTTICA


107/234



108/234

ESTTICA


109/234



110/234

ESTTICA


111/234



112/234

ESTTICA


113/234



114/234

ESTTICA


115/234



116/234

ESTTICA


117/234



118/234

ESTTICA


119/234



120/234

ESTTICA


121/234



122/234

ESTTICA


123/234


124/234

ESTTICA


125/234



126/234

ESTTICA


127/234



128/234

ESTTICA


129/234



130/234

ESTTICA


131/234



132/234


133/234



134/234

ESTTICA


135/234



136/234

ESTTICA


137/234



138/234

ESTTICA


139/234



140/234

ESTTICA


141/234



142/234

ESTTICA


143/234



144/234

ESTTICA


145/234



146/234

ESTTICA


147/234



148/234

ESTTICA


149/234



150/234

ESTTICA


151/234



152/234

ESTTICA


153/234



154/234

ESTTICA


155/234



156/234

ESTTICA


157/234



158/234


159/234



160/234

ESTTICA


161/234



162/234

ESTTICA


163/234



164/234

ESTTICA


165/234



166/234

ESTTICA


167/234



168/234

ESTTICA


169/234



170/234

ESTTICA


171/234



172/234

ESTTICA


173/234



174/234

ESTTICA


175/234


176/234

ESTTICA


177/234



178/234

ESTTICA


179/234



180/234

ESTTICA


181/234



182/234

ESTTICA


183/234



184/234

ESTTICA


185/234



186/234

ESTTICA


187/234



188/234

ESTTICA


189/234



190/234

ESTTICA


191/234



192/234

ESTTICA


193/234



194/234


195/234

3

Fuerzas y momentos

SOLUCIN

La resultante es la suma de las dos fuerzas.

De la ley del coseno se tiene 60cos400300240030022

++=F N2,608=F De la ley del seno se tiene

3,254273,0sen608

30cos

300

sen===

Solucin en componentes.

La resultante es la suma de las componentes de cada una de las fuerzas .

3150550)sen6060cos(300400 jiFjiiF +=++=

3,254723,0550

3150tan ===

Problema 1 Determinar la resultante de las dos fuerzas indicadas en la figura, dando el mdulo y elngulo que forma la horizontal.

F

60

300 N

400 N

400 N

300 N

60

y

O

F

x

400 N

300 N

60


196/234

Problemas de Esttica. J. Martn

SOLUCIN

SOLUCIN

Grfica.Se dibuja a escala la suma de las fuerzas. Midiendo el mdulo de la resultante se obtiene F =49 N ; midiendo el ngulo que forma con la horizontal es obtiene 26

Problema 2 Determinar el valor del mdulo y la direccin de la fuerza F2 que hay que aplicar albloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza vertical de 900 N si

el mdulo de la fuerza F1 es de 500 N.

Problema 3 Determinar la resultante del sistema de fuerzas concurrentes que se indica en la figuraadjunta sabiendo que F1= 150 N , F2 = 200 N , F3 = 80 N y F4 = 180 N.

x

y

F2F1

F3F4

60

30

45

30

F2 = 544,8 N ; = 29,1

F

F1

F2F3

F4

F1

F2 32


197/234

5

Analtica. Se determinan las componentes segn x y segn y de cada una de las fuerzas. A partir deestos valores se obtiene la resultante y el ngulo que forma con el ejex. Las componentes de las fuerzas

son:

F1 = 129.9 i + 75.0j ; F2 = 173.2 i + 100.0j

F3 = 40.0 i 69.2j ; F4 = 127.3 i 127.3j

La resultante es: F = Fi = 44.0 i 21.5 j F = 49.0 N ; = 26

SOLUCIN

5,7;N5,5155.51513 ==+= FjiF

SOLUCIN

Representacin grfica de las fuerzas

De la ley del seno aplicada al tringulo definido por las tres fuerzas se tiene

Problema 4 Determinar la resultante de las fuerzas representadas en la figura adjunta. Dar su mduloy el ngulo que forma con el ejex.

Problema 5 Descomponer una fuerza F de mdulo 2800 N en dos componentes F1 y F2 tales queF1 forme con F un ngulo de 20 y que su diferencia de mdulos F1 F2 sea igual a 1000 N.Determinar sus mdulos y el ngulo que forman.

80 N

x

y260 N

150 N

120 N

70

20

40

50

100 N

F

F1

F2

20


198/234


FF

sen20sen

2

=

Proyectando las fuerzas sobre la horizontal queda

cos20cos 21 FFF +=

La diferencia de mdulos de las dos fuerzas

100021 = FF

Operando con las tres ecuaciones se obtiene

60,8;N7,1069;N7,2069 21 === FF

SOLUCIN


Problema 6 Descomponer una fuerza F en dos componentes F1 y F2 tales que F1 forme con F un

ngulo que sea la mitad del ngulo que forma F2 con F y los mdulos de F1 y de F2 cumplan la

relacin 4 F2 = 3 F1 . Calcular el mdulo de las componentes y los ngulos que forman con F.

F

F2

F1

= 2

3

= 48,2 ; = 96,4 ; F1 = 1,7 F ; F2 = 1,3 F


199/234

7

SOLUCIN


SOLUCINRepresentacin grfica de las fuerzas

)(222

0 kjiF cba

cba

F++

++

=

Problema 7 Descomponer una fuerza F de 20 kN en dos componentes F1 y F2 tales que formenentre s un ngulo de 50 y sus mdulos estn en la relacin 2 : 5. Calcular la magnitud de las

componentes y los ngulos 1 y 2 que forman con F .

Problema 8 En las diagonales de un paraleleppedo rectangular de aristas a,b,c, actan tres fuerzasdel mismo mdulo F0. Calcular la resultante F.

F2 = 15,45 kN ; = 13,8F1 = 6,18 kN ; = 36,2 ;

F

F1

50

a

b

c

O

A

BC

D

E

F1

F2

F3x

y

z


200/234


SOLUCIN

Expresando las fuerzas en componentes y sumando se obtiene la resultante

kjiF ++= 53

SOLUCIN

El vector unitario en la direccin y sentido de la fuerza es ( )kjiu ++=3

3

La fuerza en componentes es F = 10 ( i + j + k )

Problema 9 El cubo representado en la figura adjunta tiene de arista 2 m El origen O y los extremosde las fuerzas F1 y F2 estn en el punto medio de los lados. Los mdulos de las fuerzas son F1 = 1,41kN ; F2 = 2,45 kN ; F3 =3,0 kN. Determinar la resultante F.

Problema 10 Una fuerza de 17,32 k est dirigida a lo largo de la recta que va del punto de

coordenadas (4,2,0) hasta el punto de coordenadas (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta .Los valores de las coordenadas estn dados en metros. Determinar el momento de F respecto delorigen O y los momentos de F respecto de los ejes x, y, z.

x

y

z

(4, 2, 0)

(1, 5, 3)

F

P

y

x

z

O

F1 F

2

F3


201/234

9

El momento de la fuerza respecto del origen est dado por FM 0 = OP , donde el punto P es unpunto cualquiera de la recta soporte de F. Tomando el punto P ( 4 ,2 ,0 ), el momento de la fuerzarespecto del origen es

M0 = 10 ( 2 i 4j + 6 k )

El producto escalar del vector M0 por los vectores de la base i ,j , k proporciona los momentos dela fuerza respecto de los ejes x , y , z . Sus valores son :

mx = 20 my = 40 mz = 60

SOLUCIN

El momentoM1 es el de un par de fuerzas de 40 Kg situadas en el plano horizontal o en un plano paralelo

al horizontal y separadas una distancia de un metro ; el momento M2 es el de un para de fuerzas de 40 Kg

situadas en el plano inclinado o en un plano paralelo al plano inclinado y separadas una distancia de 3m,

tal como se muestra en la figura a). Para facilitar la suma de los momentos de los dos pares, los vectores

que los forman se han tomado con sus direcciones paralelas a la recta de interseccin de los planos.

(a)

Problema 11 En la figura adjunta se representa un par de momento= 40 k-m que acta sobre unplano horizontal y otro par de momento 2 = 120 k-m que acta sobre un plano que forma 60 con

el horizontal. Determinar grficamente el momento resultante M de ambos pares

60

M1M2

1 m

F

3 m

h

F


202/234


El par resultante est formado por las fuerzas F y F separadas una distancia h . Su momento es un

vector M perpendicular al plano definido por F y F, plano que forma con la horizontal un ngulo

, figura b).

(b)

Para calcular la distancia h, brazo del par resultante, aplicando la ley del coseno al tringuloABCse tiene

h = 7 = 2,645 m luego el momento del par resultante es

M = 105,8 k - m

Para calcular el ngulo , aplicando la ley del seno al tringuloABCse tiene que = 79,2

SOLUCIN

Problema 12 Una barra horizontal de 4 m de largo est sometida a una fuerza vertical hacia abajo de12 kg aplicada en su extremo B. Demostrar que es equivalente a una fuerza de 12 kg hacia abajo

aplicada en su extremoA y a un par de sentido horario de 48 kg-m.

M

60

h

A

C

3 m

1 m B

F

BA

2 m

2 F

2 F

F

BA

4 m


203/234

11

Equilibrio del punto

SOLUCIN

Condicin de equilibrio

)47(sen

780

47sen

F

sen

460 2

+

==

8,35= ; N575F2 =

Problema 13 Determinar el valor del mdulo y la direccin de la fuerza F2 de la figura adjunta paraque el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el mdulo de la fuerza F1 es de 460 N .

F1F2

P

47

P

F1

F2

47


204/234


SOLUCIN

Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C

BA

BC T80sen

T

10sen

500== ; TBC = TCB ;

CD

CB T20sen

T

70sen

P==

Operando queda

TBA = 2879 N ; TBC = TCB = 2835 N ; P = 7789 N ; TCD = 8289 N

Problema 14 En el esquema de la figura, el bloque de peso P se mantiene en equilibrio cuando seaplica una fuerza F= 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los

cables y el peso P.

F

P

A

D

BC

10

20

TBC

TBA

10F

TCB

P

TCD

20


205/234

13

SOLUCIN

Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C

BC

BA T30sen

T

60sen

2450== ; TBC = TCB ;

80sen

T

70sen

T

30sen

T CECBCD==

Operando queda

TBA = 1414 N ; TBC = TCB = 2829 N ; TCD = 1505 N ; TCE = 2965 N

Problema 15 Un cuerpo de masa m = 250 kg est unido al sistema de cables indicado en la figura yse mantiene en equilibrio en la posicin indicada. Determinar las tensiones en los cables.

P

A

D

B

C

60

40

E

30

TBC

TBA

60

P

TCE

TCD

30

40

60

TCB


206/234


SOLUCIN

Tensin en el cable 1 F1 = 132 N

Tensin en el cable 2 F2 = 128,8 N

Tensin en el cable 3 F3 = 84,8 N

SOLUCIN

h = 1,5 tg ; 120 sen = 80 h = 1,34 m

Problema 16 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 60 N de peso est unido a tres cables

dos de ellos contenidos en un plano horizontal. Determinar las tensiones en los cables.

Problema 17 En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables estn enequilibrio. Los bloquesA yB pesan 60 N cada uno y el bloque Cpesa 80 N . Determinar el valor de

h

4 m

4 m

3 m 8 m

5 m

A

D

C

B

1

2

3

3 m

A

h

BC


207/234

15

SOLUCIN

a) Cuando la tensinenel cable horizontalseanula, en el punto C concurren tres fuerzas y para que esten equilibrio su suma ha de ser cero.

P + FA + F1 = 0

siendo FAla fuerza que ejerce el cable unido al puntoA en el punto Cy F1el valor de F.

Condicin grfica de equilibrio

Cuando la tensin en el cable AC sea nula en el punto C concurren tres fuerzas y para que est enequilibrio su suma ha de ser cero.

P + FB + F2 = 0

siendo FBla fuerza que ejerce el cable unido al puntoB en el punto Cy F2el valor de F.

Problema 18 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos cables.Determinar: a) el intervalo de valores de la fuerza Fpara que ambos cables estn tensos ; b) el valorde las tensiones en los cables para F = 500 N. Dato : tg = 4 / 3

F

60

A

CB

)60(30

1

+

=

sen

P

sen

F

F1 = 326,2 N

F1

P

FA

60 +

3030


208/234



Para que los dos cables estn tensos, la magnitud de la fuerza aplicada Fha de satisfacer la condicin

326,2 N F 750 N

b) Para el valor F = 500 N, las tensiones en los dos cables son distintas de cero. En el punto C

concurren cuatro fuerzas, luego para que este en equilibrio su resultante a de ser cero.


FB = 184.5 N ; FA = 230.9 N

F2 = 750 N

PF2

FB

sen90sen

PF=

P

FA

FB

F

60


209/234

17

SOLUCIN

Equilibrio en el punto A Equilibrio en el punto B

Aplicando la ley del seno se tiene

1A P

sen

N

cos

T=

=

; 2B P

cos

N

sen

T=

=

Operando queda

= 33,69 ; T = 1630.8 N ; NA = 1087,2 N ; NB = 2446,2 N

Problema 19 Dos cuerpos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N estn unidos medianteun cable y se apoyan sobre una superficie cilndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta.

Determinar la tensin del cable, las normales en los apoyos y el ngulo de equilibrio.

P2

T

NB

P1T

NA

P1

P2

90

A

B

90


210/234


SOLUCIN

824068

500

sen

T

sen

F

sen==

SOLUCIN

l0 = 2,66 m

Problema 20 En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posicin

indicada bajo la accin de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea

B. Determinar el valor de la fuerza.

Problema 21 En el esquema de la figura adjunta, el cable ACest unido por su extremo Ca unmuelle cuya constante de rigidez es k= 50 N/m . Si se aplica en el extremo Cdel cable una fuerza

vertical descendente F0 = 80 N el sistema est en equilibrio cuando el ngulo = 60 . Determinar la

longitud natural lodel muelle

A

3 m

B

F

1 m

18C

2 m

A 60 B

F0

2 m

C

F = 346,6 N

F

PT

50

18


211/234

19

Equilibrio del slido sin rozamiento

SOLUCIN

Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerzaaplicada en el extremo A.

Diagrama del slido libre


Tomando momentos respecto de A NB l P l cos 30 = 0

Operando queda NB = 86,6 N ; NA = 156,7 N ; F = 75 N

Problema 22 Una barra homognea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficieslisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) el valor de la fuerza F para mantener labarra en equilibrio en la posicin indicada ; b) las reacciones en los apoyos.

A

B

6030F

30

F

NA

NB

P

NA +NBsen 30 = P

NBcos 30 = F

Sistema de dos ecuaciones

con tres incgnitas

P

GA

B

6030F

NB

NA


212/234


SOLUCIN

Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerzaaplicada en el extremo A.



Tomando momentos respecto de B NA lcos 30 + P lcos 30 = 0

Operando queda NA = P ; ; F = P sen 60 ; l = cm62=k

F

Problema 23 Una barra homognea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies

lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la accin que le ejerce

un muelle unido a su extremo B de constante k= 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.

A

B

6030

P

G

NA + Fsen 60 +NBsen 30 + = P

Fcos 60 = NBcos 30


con tres incgnitas

P

G

A

B

6030

F

NB

F

NA

NB

P

60

NA


213/234

21

SOLUCIN

Sobre la barra actan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NB y la reaccin en A.

Diagrama del slido libre. La condicin necesaria para que un slido sometido a tres fuerzas este

en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )


Tomando momentos respecto de A NBsen 52l P lcos 22 = 0

Operando quedaN

B = 217 N ; = 54,2 ;R

A = 321,2 N

Problema 24 Una barra homognea de 369 N de peso y longitud l esta articulada en su extremo A yse apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta.

Determinar la reaccin en la articulacin.

30

RA

NB

P

=

+=

BA N

sen

P

sen

R

)(3060


con tres incgnitas

P

G

A

B

60

RA

NB

A

B

6022

22


214/234


SOLUCIN

Sobre la barra actan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NA y la normal en C NC.




Tomando momentos respecto de A NC 2R cos P 2

3 R = 0

Operando queda NC = P

4

3; cos 2 =

4

3cos ; 0438 2 = ; = 23,2

Problema 25 Una barra homognea peso P y longitud l esta en equilibrio en una cavidadsemiesfrica lisa de radio R tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ngulo

de equilibrio si l = 3R.

A

B

C

2

NA

NC

P

=

=

2

CANPN

sen


con tres incgnitas

P

G

A

B

NA

NC

C

R

R

A

C


215/234

23

SOLUCIN

Sobre la barra actan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NC y la reaccin en B dirigidaperpendicularmente a la gua.




Problema 26 Una barra homognea de longitud l y peso P est unida por uno de sus extremos a unpasador que puede deslizar sin rozamiento por una gua vertical. La barra se apoya sobre una

superficie cilndrica lisa de radio R. Si la longitud de la barra es 3R , determinar el ngulo deequilibrio.

A

B

C

1

CB NPN

sen=

=


con tres inc nitas

NB

NCP

R

O

P

G

A

BNB

NC

C


216/234


217/234

25

Equilibrio del slido con rozamiento

Problema 27 Una barra homognea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies tal

como se muestra en la figura adjunta. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa. Determinar :a) el valor de la fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posicin indicada ;

b) el coeficiente de rozamiento mnimo para el equilibrio.

SOLUCINa)

Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza derozamiento enA.



Tomando momentos respecto de A NB l P l cos 30 = 0

Operando queda NB = 86,6 N f = 75 N

A

B

6030

30

f

NA

NB

P

NA +NBsen 30 = P

NBcos 30 = f

Sistema de dos ecuacionescon tres incgnitas

P

G

A

B

6030f

NB

NA


218/234


219/234

27


Tomando momentos respecto de C

30sen2

330

2

130

2

11 TPP +=

Operando queda

N3113

32==

gT

Sustituyendo en la segunda ecuacin de la condicin de equilibrio se tiene

N8.586 == gf

Sean cuales sean las masa m y m1 , si no hay rozamiento, las componentes de los pesos y de la

tensin en la direccin de la barra no se cancelan, luego no puede haber equilibrio.

NC = T sen 30 + ( P+P1) cos 30

f = T cos 30 +( P+P1) sen 30


con tres incgnitas

NC

fP1

P

T

30

30

30


220/234


SOLUCIN

Diagrama del slido libre. Sobre la barra actan 4 fuerzas : los pesos de la barra y el bloque, la

tensin del cable y la resultante RC en el punto de apoyo C, que es la suma de la normal y de la fuerza de

rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene su valor mximo fr = NC


Problema 29 La barra homogneaAB de la figura adjunta, de masa m y longitud l, se mantiene enequilibrio apoyada en el borde Cde un soporte, tal que AC = l/5 y mediante un cable unido a su

extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 4 m. Determinar : el valor mnimo del

coeficiente de rozamiento para que la barra se mantenga en equilibrio en la posicin indicada.

A

B

C38

112

m1

NC = T sen 58 + ( P+P1) cos 38

NC + T cos 58 = ( P+P1) sen 38


con tres incgnitas

A

B

C

58

P1

P

T

NC

frG

38

NC

P1

P

T

38

fr

58

38


221/234

29

Tomando momentos respecto de C

58sen

5

438

10

338

5

1 Tl

Pl

Pl

+=

Operando quedamgT 580=

Sustituyendo en la primera ecuacin de la condicin de equilibrio se tiene

mgNC 434=

Y finalmente de la segunda ecuacin de equilibrio = 0,62

SOLUCIN

Sobre el cilindro actan 3 fuerzas : el peso P del cilindro, la fuerza horizontal F del cable y laresultante RA en el punto de apoyoA , que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. La fuerzade rozamiento tiene su valor mximo fr = NA

Diagrama del slido libre y condicin de equilibrio.

Problema 30 Un cilindro homogneo de peso P y radioR se apoya sobre un plano inclinado rugosoque forma 44 con la horizontal. Se encuentra en condiciones de movimiento inminente bajo la accin

de la fuerza que le ejerce el cable horizontal unida al cilindro en su parte superior. Determinar el valor

del coeficiente de rozamiento .

56

A

B F

R

F

P

RA56 F

PRA fr

NA

56

28

= tan 28 = 0,53


222/234


SOLUCIN

En condiciones de movimiento inminente, la reaccin en la pared forma con la normal un ngulo tal que

tan = = 0,25, es decir = 14 .

Sobre el bloque actan 3 fuerzas : el peso P , la fuerza F y la resultante R en el apoyo, que es lasuma de la normal y de la fuerza de rozamiento. En condiciones de movimiento inminente, la fuerza de

rozamiento tiene su valor mximo fr = N.

Diagrama del slido libre y condicin de movimiento inminente hacia abajo

Condicin de movimiento inminente hacia arriba

Aplicando la ley del seno a ambos tringulos queda

Problema 31 El bloque homogneo de la figura adjunta tiene un peso de 1200 N y est apoyado en

una pared vertical . El coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es = 0,25 . El bloque se

encuentra en equilibrio bajo la accin de la fuerza F tal como se muestra en la figura adjunta.

Determinar el intervalo de valores de F para que el bloque se mantenga en equilibrio.

F

60

P

R F

N1

P

14

F1

30

fr76

N2

F2 P

30

fr14

16

104

F1 = 1676 N F F2 = 4224 N


223/234

31

SOLUCIN

Sobre la barra actan cuatro fuerzas : El peso P, la normal NA, la fuerza de rozamiento fr = NA y lafuerza F aplicada en B.



Tomando momentos respecto de A P l cos = F l sen ()

Operando queda

=tan2tan

1

Problema 32 Una barra homognea de peso P y longitud l se apoya por su extremo A sobre un

suelo horizontal rugoso, coeficiente de rozamiento , y su extremoB est unido a un cable, que pasapor una polea, el cual le ejerce una fuerza F que mantiene la barra en la posicin indicada en situacin

de movimiento inminente. Determinar el valor de en funcin de y .

F

A

B

NA P

NA + F sen = P

Fcos = NA

P

G

A

B

fr

F

NA

fr

F


224/234


SOLUCIN

Clculo del ngulo .

La barra forma con la pared un ngulo de 36 y la tensin del cable forma con la direccin de barra un

ngulo de 58 .

Diagrama del slido libre y condicin de equilibrio. Sobre la barra actan 3 fuerzas, el peso P, la

tensin del cable T y la reaccin R en el apoyo A que es la suma de la fuerza de rozamiento f, dirigidahacia arriba, mas la normal.

Problema 33 Una barra homognea de peso P = 90 N y longitud l se mantiene en equilibrio apoyadapor su extremoA sobre una pared vertical rugosa; su extremoB est unido a un cable fijo a la pared

en el punto C , cuya longitud es 1,57 l que forma con la pared un ngulo de 22 . Determinar: el

ngulo , la tensin del cable y la fuerza de rozamiento.

A

B

C

22

A

B

C

90

22

=

cos

571

22sen

ll

Operando = 54


225/234

33

Tomando momentos respecto deA se obtiene la tensin del cable

T = 31 N

Sustituyendo y operando se tiene el valor del ngulo = 11 . Conocido el ngulo se obtiene el

valor de la reaccin,R = 62 N. La fuerza de rozamiento es su proyeccin vertical

f = 61 N

22

P

T

R

T

22

P

R

)68(cos22sensen ==

PRT

Sistema de 2 ecuaciones

con 3 incgnitas

A

B

G

58

R

P

T

54


226/234


Equilibrio del sistema de slidos

SOLUCIN

Problema 34 Una barra uniforme de peso P y longitud l est articula en su extremoA y se apoya sobreun disco liso de radioR y peso Q, tal como se muestra en la figura adjunta. El disco se apoya sobre unasuperficie horizontal lisa y su centro unido a la articulacin mediante un cable. Determinar la tensin

del cable y la reaccin en la articulacin.

B

A

R

C


227/234


228/234


SOLUCIN

Problema 36 Un cilindro de peso Q y radioR se apoya boca abajo sobre una superficie horizontal tal

como se muestra en la figura adjunta. En su interior hay dos esferas de radio ry peso Pcada una.Determinar el peso del cilindro para que este no vuelque. Todas las superficies se consideran lisas.

r

r


229/234


230/234


SOLUCIN

Problema 38 Una barra uniforme de peso 1176 N y longitud l est articula en su extremoA y formaun ngulo de 30 con la horizontal. Su extremoB se apoya sobre la superficie lisa de un bloque de peso

328 N, situado sobre una superficie inclinada rugosa que forma un ngulo de 58 con la horizontal.

Determinar la reaccin en la articulacin y el coeficiente de rozamiento mnimo para que haya

equilibrio.

A

B

5830


231/234


232/234


SOLUCIN

a) Para la posicin indicada la tabla no est en condiciones de movimiento inminente. En el apoyo en A,adems de la normal acta la fuerza de rozamiento f dirigida hacia la derecha.

Diagrama del slido libre de la tabla Polgono de fuerzas

.

Del polgono de fuerzas se deduce inmediatamente el valor de la fuerza de rozamiento en el suelo

= senCNf (1)

La normal en C forma con la vertical un ngulo que es el mismo que forma la tabla con el suelo; de los

datos se deduce su valor, = 36,87 . De la suma de momentos respecto de A igual a cero se obtiene la

ecuacin

+= cos)( AGPADQACNC

Problema 40 Una persona de peso 720 N sube sobre un tabln homogneo de 284 N de peso tal comose muestra en la figura adjunta. Determinar : a) la fuerza de rozamiento en el suelo cuando la persona

se encuentra parada a 0,6 m del extremo A, si el apoyo en Cse considera liso; b) si el coeficiente de

rozamiento enA y Ces = 0,25 determinar la distancia mxima s a la que puede subir la persona sin

que el tabln deslice.

fP

NA

NC

Q

f

C

0,6 m

NA

P

Q

NCA

G

D

B

2,4 m

A

B

C1,8 m

0,6 m


233/234


234/234


Equilibrio del sistema de slidos

Entramados y armaduras

Estatica Para Arturo

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