Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Alessandro Montanino

7/23/2019 Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Alessandro Montanino

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Università degli Studi di Firenze, Facoltà di Ingegneria

Esercizi svolti di Analisi Matematica II

Alessandro Montanino - alessan.montanino@gmail.com

Seconda versione: MARZO 2012

Nota per il lettore: questi appunti raccolgono le soluzione degli esami scritti di Analisi II, corso

tenuto dalla prof.ssa Mariella Cecchi, per il C.d.L. in Ingegneria Civile, negli a.a. 2009/10,

2010/11 e 2011/12 (e presumibilmente negli anni a venire).

La prof.ssa Cecchi ha inoltre tenuto, nei numerosi anni di insegnamento, per il C.d.L. in

Ingegneria delle Telecomunicazioni, i corsi di: Metodi Matematici, Analisi II e Analisi

Matematica (II modulo) i cui esami scritti sono identici a quelli del C.d.L. Civile.

Per chi volesse! dispongo dei testi di numerosissimi compiti del C"d"L" Telecomunicazioni"

Il documento non possiede alcuna pretesa di completezza, si tratta unicamente di un eccellente

strumento atto ad aiutare lo studente al superamento dell’esame scritto.

Nelle soluzioni di tali esercizi non sono stati riscontrati errori ma, man mano che essi saranno

individuati, sarà aggiornato l’allegato “Errata Corrige”; spero che il lettore, senza dubbio più attento

di me, abbia sempre occhio critico e si accorga di eventuali imperfezioni.

Produrre il presente documento mi è costata immensa fatica e dedizione, mi sento in dovere quindi

di richiedere quanto segue: TALE DOCUMENTO PUO’ ESSERE STAMPATO

UNICAMENTE PER FINI DI STUDIO E NELLA SUA TOTALE COMPLETEZZA:

MOSTRANDO COSI’ I NOMI DI COLORO CHE HANNO COLLABORATO, CON

FATICA E CON IL LORO PREZIOSO TEMPO, ALLA REALIZZAZIONE.

Ringrazio infine a titolo personale:

- LORENZO BUSSOLI (dottore di ricerca in Matematica) per la infinita pazienza nel ricevermi,

nell’aver risposto ad ogni ora del giorno ai miei innumerevoli quesiti sull’Analisi e per avermi

guidato nella corretta applicazione della teoria agli esercizi.

- GIANCARLO GONNELLI (studente) per avermi aiutato nello studio della parte teorica e per la

correzione degli esercizi.

- DARIO SALVINI (studente) per le soluzioni dei flussi divergenza e rotore del 29 / 6 / 2011applicando le definizioni di integrale superficiale di campo vettoriale.

ALESSANDRO MONTANINO - Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Università degli Studi di Firenze

Il presente documento è ottenibile (fino a tempo da determinarsi) unicamente tramite acquisto inviando una mailall’indirizzo di cui sopra. Ciò è dovuto alla ragionevole motivazione che l’autore, visti tempo e fatica spesi, possa

avere un rientro minimo in termini monetari.

ALESSANDRO MONTANINO - Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Università degli Studi di Firenze

Ulteriori importanti note

Esiste anche un’altra versione del documento, in pdf, messa in giro da me per pochissimi studenti

del mio anno dove le premesse e gli errori noti sono scritti di mio pugno, si tratta in ogni caso di

una buona copia sottoposta a diverse, attente, correzioni; consiglio comunque di stampare il

presente documento più aggiornato (e dotato di questi capitoletti introduttivi di modesta utilità).

Errata Corrige

- Nel “capitolo” riguardante le serie numeriche, a volte, sia per verificare la condizione necessaria

alla convergenza che per il criterio del confronto asintotico, viene eseguito erroneamente il limite

della serie (più precisamente il limite della somma della serie, un limite di un limite), in realtà il

limite è unicamente del termine generale.

- Sempre nel “capitolo” delle serie numeriche, a volte, quando viene eseguito il criterio del

confronto asintotico per serie a termini positivi con una serie armonica generalizzata nota come

![1/(n^2)] o ![1/(n^3)], se il limite fa 0 è stato riportato la dicitura “hanno lo stesso

comportamento”.

Il che è errato (ma il risultato giusto), vale a dire, se abbiamo due serie a termini positivi (anche

definitivamente positivi) !an e ! bn, allora se esiste il lim per n-> +" di [(an)/(bn)]=L

appartenente ad R+U{+"} (si legge erre più unione più infinito), se L è uguale a:

0 , allora se inoltre ! bn converge =>!an converge.

0 < L < +" , hanno lo stesso comportamento.

+" , allora se inoltre ! bn diverge => !an diverge.

Riassumendo, nel caso in esame ho erroneamente scritto che, essendo il limite 0, si comportano

allo stesso modo, avrei dovuto scrivere: “Essendo il limite 0 e ! bn convergente, converge anche

!an.”

- Nel “capitolo” delle serie di potenze, a volte quando si sostituisce l’estremo superiore

dell’intervallo di convergenza S al termine x0 di (x-x0)^(n) e si scopre che, per x = supS, la serie

converge, si scrive brutalmente che convergerà assolutamente anche per x = infS (serie a segno

alterno da studiare con Leibniz). Questo fatto è da accertare con un serio studio della teoria, infatti

il criterio di Leibniz si compone di due requisiti, ed è un criterio assai più stretto di quello della

convergenza assoluta; esistono infatti serie convergenti semplicemente per Leibniz ma non

assolutamente. [Aggiornamento]: la prof.ssa Cecchi alla restituzione dei compiti mi ha “chiarito”il dubbio: se per x = supS la serie converge e sostituendo x = infS si nota che il modulo della serie

con l’infS sostituito è uguale alla serie con supS sostituito allora possiamo scrivere che per infS la

serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

- Nell’esercizio dell’ 08/02/2011 A.A.P. riguardante il flusso col teorema della divergenza di quel

solido cilindrico U (simbolo d’unione) tronco di cono, la divergenza è sbagliata, l’esercizio è stato

svolto correttamente ma con la divergenza pari ad un numero reale, in realtà la divergenza

dovrebbe essere lineare rispetto ad y.

Giacché è richiesto il teorema della divergenza, l’integrale esterno è in dy e quello interno è indxdz, bisogna quindi studiare come varia la sezione xz (dapprimo costante e poi variabile con

continuità, bisogna quindi applicare la linearità dell’integrale rispetto al dominio d’integrazione)

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in funzione di y; brutalmente si tratta di applicare le formule di riduzione “per fette” rispetto ad y

anziché z.

- Un errore di calcolo è presente nel “capitolo” degli integrali superficiali: presumibilmente (perché

non mi hanno fornito dettagli a riguardo) in quello dell’08/09/2011.

Lascio al lettore l’obbligo di individuarlo o (forse più semplice ma non utile a fini di studio) di

inviare una mail a colui che appunto mi ha informato: giancarlo.gonnelli@alice.it .

Sentitevi liberi di scrivermi per email in caso di dubbi e/o errori.

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