Enciclopedia Matematica - VOLUME 2 - Calcolo Combinatorio, Serie, Coniche

ENCICLOPEDIA MATEMATICA

di Corrado Brogi

http://spazioweb.libero.it/corradobrogi

Prefazione

A mio modesto (anzi modestissimo) parere questa enciclopedia in sette volumi è uno dei

lavori più chiari e completi sulla matematica presenti in Rete. L’Enciclopedia può essere utilizzata

sia come riferimento per richiamare concetti noti, sia come fonte di studio introduttiva su pressoché

tutti gli argomenti di matematica di comune interesse. Ho raccolto in sette documenti PDF tutto il

contenuto del sito Web dell’autore (sperando di non aver contravvenuto alle sue volontà) in modo

da rendere il materiale facilmente consultabile ed eventualmente stampabile.

Buona lettura.

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Corrado Brogi

Volume II

Calcolo Combinatorio, le Serie, le Coniche. INDICE del volume II Le medie 1 Media aritmetica semplice 1 Media aritmetica ponderata 1 Media geometrica 3 Media geometrica ponderata 3 Media armonica 5 Media armonica associata a frequenze 6 Moda e mediana 7 Scarto medio quadratico 9 Cenni sui minimi quadrati 13 Calcolo combinatorio 14 Permutazioni 14 Disposizioni 18 Combinazioni 20 Coefficienti binomiali 22 Binomio di Newton 23 Polinomio di Leibniz 24 Coefficienti delle equazioni di grado ""n"" 25 Combinazioni con ripetizione 27 Calcolo delle probabilità 29 Il gioco del lotto 32 Il totocalcio 35 La speranza matematica 36 Probabilità totali 37 Probabilità composte 38 Probabilità delle cause 39 Formula di Bayes 41 Le variabili casuali o stocastiche 45 Successioni numeriche 53 Funzioni e successioni 67 Frazioni continue 71 Regola delle frazioni successive 78 La convergenza delle successioni 80 Il numero e 86 Le serie 89 La serie della progressione geometrica 90 La serie armonica 94 Le ridotte e il resto della serie 99

Criterio generale di convergenza delle serie 100 Serie assolutamente convergenti 101 Serie a segni alternati 104 Serie di Mengoli 106 Serie delle constante di Eulero-Mascheroni 110 Serie di potenze di numeri naturali 115 Criteri di convergenza 119 Criterio del rapporto 119 Criterio di radice 119 Criterio di Kummer 120 Criterio di Raabe 120 La Zeta di Rienmann 121 Prodotti infiniti 122 Le serie doppie 124 Proprietà delle serie 125 Operazioni aritmetiche fra serie 129 Prodotto di due serie 130 Serie a termini complessi 131 Continuità e discontinuità di funzioni 133 Discontinuità 135 Postulato della continuità di R.Dedekind 137 Serie a termini variabili 139 Serie di potenze 141 Il cerchio di convergenza 143 Criteri per determinare il raggio di convergenza 144 Derivazione della serie di potenze 145 Sviluppo accorciato di Taylor 146 Serie esponenziale 149 Serie del seno circolare 150 Serie del coseno circolare 150 Serie esponenziale ad esponente immaginario 151 Serie esponenziale ad esponente immaginario negativo 151 Serie esponenziale ad esponente negativo 152 Serie del coseno iperbolico 152 Serie del seno iperbolico 152 Serie esponenziale 153 Serie logaritmica 153 Serie binomiale 157 Calcolo delle variabili ennesime 159 Serie di arcsen(x) 161 Serie di arccos(x) 162 Serie di Arctg(x) o serie ciclometria 162 Il calcolo di pigreco 167 Le lunule di Ippocrate 173 Cenni di storia della serie 174 Integrazione per serie 175

Il problema del pendolo 176 Sviluppo in serie degli integrali ellittici di prima specie 179 Sviluppo in serie degli integrali ellittici di seconda specie 181 Tabella degli integrali ellittici 182 I numeri immaginari complessi 187 Operazioni sui numeri complessi 187 Potenza di un numero complesso 189 Formula di Moivre 190 Radici ennesime dell’unità 190 I sistemi di riferimento 192 Terne destrogire e terne sinistrogire 200 La direzione 201 La geometria analitica (del piano) 206 Coordinate polari 210 Traslazione di assi 211 Rotazione di assi 212 Equazione della retta tangente ad una curva piana 213 Equazione della tangente e della normale ad una curva 214 Equazione delle rette tangenti al cerchio 215 Rette tangenti al cerchio non al centro 217 Calcolo delle aree con integrali doppi 220 Rettificazione di curve piane 221 Rettificazione della circonferenza 222 Rettificazione della catenaria 223 La curvatura ed il raggio di curvatura delle curve piane 224 Calcolo del raggio di curvatura 225 I centri di curvatura del piano 229 LE CONICHE 231 L’ellisse (del giardiniere) 235 Equazione dell’ellisse al centro 236 L’ellisse come proiezione di un cerchio 238 Costruzioni grafiche dell’ellisse 239 II costruzione grafica 240 Equazione dell’ellisse in coordinate polari 241 I diametri coniugati dell’ellisse 242 Dati due diametri coniugati disegnare i diametri principali 248 L’ellisse e il teorema delle secanti 250 I raggi di curvatura dell’ellisse 261 Costruzione grafica utilizzando i raggi di curvatura 263 I centri di curvatura dell’ellisse (l’evoluta) 269 I luoghi dei centri di curvatura dell’ellisse e la curva Asteroide 271 L’ellisse come sezione di un cilindro con un piano 273 Relazione fra l’ellisse e la sinusoide 274 Applicazione alle volte a crociera e padiglione 276 Confronti fra la vota a crociera e la volta a padiglione 278 L’ellisse come intersezione di un piano con un cono 281

L’equazione dell’ellisse ad assi traslati 284 L’equazione dell’ellisse ad assi rotati 285 L’equazione dell’ellisse ad assi rotati e traslati 288 L’area dell’ellisse 289 La rettificazione dell’ellisse e gli integrali ellittici 290 Le coordinate parametriche dell’ellisse 292 Gli integrali ellittici 293 L’ellisse nella matematica applicata 295 L’ellisografo 295 Equazione delle rette tangenti all’ellisse 296 L’equazione della normale all’ellisse 299 Le proprietà focali dell’ellisse 301 La parabola 304 Costruzione grafica della parabola 305 Equazione della parabola ad assi traslati 306 Equazione della parabola ad assi rotati 306 Equazione della parabola ad assi rotati e traslati 307 Le rette tangenti alla parabola 308 Costruzione grafica della parabola per tangenti 309 Tangenti alla parabola da un punto esterno 312 La normale alla parabola 315 Altro metodo per costruire la parabola per punti 323 La parabola come traiettoria in campo gravitazionale 324 L’efflusso di fluidi a livello costante 326 Il concetto di modulo nella parabola 327 Il modulo grafico unitario di una curva qualsiasi 328 L’area della parabola 330 La rettificazione della parabola 331 I raggi di curvatura della parabola 333 I centri di curvatura della parabola (l’evoluta) 334 Grafico dell’evoluta della parabola 335 Proprietà focali della parabola 336 La podaria 336 La parabola come sezione di un piano con un cono 338 La parabola in coordinate polari 339 Una costruzione grafica per coordinate polari 339 L’Iperbole 340 Gli asintoti dell’iperbole 342 L’equazione dell’iperbole in coordinate polari 343 Le derivate dell’iperbole 344 Equazioni delle tangenti all’iperbole 345 L’equazione della normale all’iperbole 348 L’iperbole tracciata con segno continuo 349 I raggi di curvatura dell’iperbole 350 I Centri di curvatura dell'iperbole 351 Evoluta dell’iperbole 352

L’iperbole come intersezione di un piano con un cono 353 L’equazione dell’iperbole ad assi traslati 357 L’equazione dell’iperbole equilatera ad assi traslati 357 Equazione dell’iperbole ad assi ruotati 358 Equazione dell’iperbole equilatera ad assi ruotati 358 Equazione dell’iperbole ad assi ruotati e traslati 359 Equazione dell’iperbole equilatera ad assi ruotati e traslati 360 L’iperbole equilatera 360 Costruzione grafica dell’iperbole equilatera 361 La derivata dell’iperbole equilatera 362 L’iperbole equilatera riferita agli asintoti 363 L’area dell’iperbole 364 I diametri coniugati dell’Iperbole 366 I teoremi di Apollonio Pergeo 369 Dati due diametri coniugati di due iperboli coniugate 370 I circoli direttori dell’iperbole e dell’ellisse 371 La podaria dell’iperbole (e dell’ellisse) 372 Proprietà focali dell’iperbole 373 LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA 377 Relazioni di trigonometria iperbolica 378 Relazioni fra le funzioni circolari e le iperboliche 385 La Gudermanniana 389 Le coordinate parametriche dell’iperbole 392 Le coordinate polari e parametriche delle parabola avvalendosi delle funzioni iperboliche 392 Problema inverso delle coniche 393 Le equazioni canoniche e gli assi di riferimento 395 Avvertenza 397 la individuazione delle coniche 401 Il caso ellittico 403 Ellisse al centro 404 Ellisse ad assi traslati in x 405 Ellisse ad assi traslati in y 406 Ellisse ad assi traslati in x e in y 407 Ellisse ad assi solo ruotati 408 Ellisse ad assi ruotati e traslati 410 Esempio numerico 412 Caso Iperbolico 414 Iperbole al centro 416 Iperbole ad assi traslati in x 417 Iperbole ad assi traslati in y 420 Iperbole ad assi traslati in x e in y 423 Iperbole ad assi solo ruotati 425 Osservazioni sulla rotazione degli assi 428 Iperbole ad assi ruotati e traslati 430 Esempio numerico 433

La parabola 436 L’equazione canonica della parabola 437 Caso parabolico 438 Parabola ad assi solo traslati in x 439 Parabola ad assi solo traslati in y 439 Parabola ad assi traslati in x e in y 440 Parabola ad assi solo ruotati 441 Parabola ad assi ruotati e traslati 444 Calcolo dei determinanti della parabola 445 Il determinante e i minori della parabola 449 La sequenza delle operazioni da compiere (parabola) 450 Il determinante e i minori dell’ellisse 451 La sequenza delle operazioni da compiere (ellisse) 452 Il determinante e i minori dell’iperbole 453 La sequenza delle operazioni da compiere (iperbole) 454 Conica per 5 punti 455 Esempio numerico 456 Risoluzione grafica della conica per 5 punti 460 Sequenza dei cubi 463

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