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Lezione MD:Calcolo Combinatorio

Raggruppamenti

Nelle prossime lezioni ci occuperemo delle basi del calcolo combinatorio.

Per semplicita partiremo da un esercizio e poi analizzeremo il caso

generale con la definizione e la formula da utilizzare per ogni tipologia di

esercizi:

Esercizio 1

Chiara ha a disposizione due gonne, una blu e una nera e quattro

camicette, una celeste, una rosa, una verde e una fucsia. Vorremo sapere

in quanti modi diversi puo vestirsi abbinando una gonna ad una camicia?

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Raggruppamenti: Chiara, le gonne e le camicie.

Il modo piu semplice per risolvere l’esercizio e quella di elencare tutte le

combinazioni possibili, e per comodita schematizzammo in questo modo:

1. le gonne possono essere scelte nell’insieme G = {B,N},

2. le camicie possono essere scelte nell’insieme C = {C ,R,V ,F}.

Per vestirsi, Chiara, scegliera una delle due gonne e poi scegliera una

camicia, quindi le combinazioni possibili, saranno una coppia (gonna,

camicia).

Procedendo con ordine abbiamo le seguenti coppie:

(B,C ), (B,R), (B,V ), (B,F ), con la gonna BLU e

(N,C ), (N,R), (N,V ), (N,F ), con la gonna NERA.

In totale sono otto possibili combinazioni.

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Raggruppamenti: Caso generale.

In generale il numero di raggruppamenti possibili, scegliendo un elemento

dall’insieme G e un elemento dall’insieme C risulta essere uguale alla

cardinalita del prodotto cartesiano G × C , infatti #G × C = #G ×#C

quindi nel nostro caso 2× 4 = 8.

Piu in generale, per determinare quante possibilita si possono formare

assegnando un primo posto ad un elemento dell’insieme A (#A = n), il

secondo posto ad un elemento dell’insieme B (#B = m), il terzo posto

ad un elemento dell’insieme C (#C = p), etc. . . bastera calcolare il

numero #A× B × C × · · · = n ×m × p × . . .

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ESERCIZIO 1.1.1

In una scuola di pasticceria, sono iscritte 12 donne e 7 uomini. Quante

sono le possibili coppie che si possono formare se vogliamo che le coppie

siano formate sempre da un uomo ed una donna?

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Disposizioni semplici

Esercizio 2

Francesco possiede 5 foto che ha scattato durante le vacanze di Natale

e vorrebbe appenderle sulla parete della sua stanza. Purtroppo pero,

nella parete scelta ci stanno solo 3 foto. In quanti modi diversi puo

appendere le tre foto?(Chiaramente non ci sono foto ripetute ed e

importante anche l’ordine con cui le foto vengono appese.)

Per capire in quanti modi si puo compiere questa scelta pensiamo al

problema come a tre rettangoli vuoti sul muro che devono essere riempiti.

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Disposizioni semplici: Francesco e le foto.

Iniziamo con ordine, per riempire il primo rettangolo, possiamo scegliere

una delle 5 foto, e quindi abbiamo (per la prima scelta) 5 possibilita.

Ora passiamo al secondo rettangolo. Per riempirlo possiamo ora scegliere

una delle 4 foto rimaste, quindi abbiamo 4 possibilita (per la seconda

scelta).

Infine per il terzo rettangolo vuoto, ci sono rimaste 3 foto tra cui scegliere

Quindi in conclusione, le scelte effettuabili per ricoprire 3 posti sulla

parete sono 5 per il primo spazio, 4 per il secondo e 3 per il terzo, e

quindi in totale 5× 4× 3 = 60.

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Disposizioni semplici: Caso generale

In generale, si possono disporre n oggetti in k posti, in modo che sia

importante l ’ordine con cui si scelgono gli oggetti e non ci siano

ripetizioni, in n × (n − 1)× (n − 2)× . . . (n − k + 1) modi diversi.

Un raggruppamento di questo tipo e detto Disposizione semplice e si

indica con Dn,k :

Definizione (Disposizioni semplici)

Le disposizione semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con

k ≤ n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che

differiscono per almeno un elemento o per l’ordine con cui sono

sistemati:

Dn,k = n × (n − 1)× (n − 2)× . . . (n − k + 1)

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Osservazione

Si noti che gli elementi dei raggruppamenti appartengono ad insiemi

diversi, mentre nelle disposizioni, appartengono tutti allo stesso insieme.

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ESERCIZIO 1.2.1

All’universita e stato organizzato un torneo di scacchi con 15

partecipanti. Quante sono le possibili classifiche dei primi 5?

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Disposizioni con ripetizione

Esercizio 3

Le targhe italiane sono formate da due lettere iniziali, tre numeri e

due lettere finali. Supponendo di poter usare tutte le 21 lettere

dell’alfabeto italiano quante sono le possibili combinazioni con cui

iniziano le targhe? (Chiaramente sono ammesse anche ripetizioni, es.

AA ∗ ∗ ∗ ∗∗.)

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Disposizioni con ripetizione: le iniziali delle targhe.

Per capire quante stringhe di 2 lettere si possono formare con le 21

lettere procediamo come con le disposizioni semplici.

Pensiamo quindi di dover riempire una stringa con 2 posti, (2 rettangoli

vuoti).

Procediamo con ordine, per il primo rettangolo ho 21 scelte possibili,

quindi 21 possibilita e con il secondo spazio ho altre 21 possibilita, (sono

ammesse targhe AA) per un totale di 21× 21 = 212.

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Disposizioni con ripetizione: Caso generale

In generale, se dobbiamo sistemare n oggetti in k posti, in modo che sia

importante l’ordine con cui si scelgono gli oggetti e sono ammesse le

ripetizioni, il numero delle scelte effettuabili sono n × n × n × · · · × n per

k volte, ovvero nk .

Una disposizione di questo tipo e detta Disposizione con ripetizione e

si indica con D ′n,k :

Definizione (Disposizioni con ripetizione)

Le disposizione con ripetizione di n elementi distinti in gruppi di k

sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n dati, che differiscono

per almeno un elemento o per l’ordine con cui sono sistemati:

D ′n,k = nk

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ESERCIZIO 1.3.1

Vogliamo colorare 5 sedie con 7 colori. In quanti modi diversi possiamo

farlo se lo stesso colore puo essere usato per colorare piu sedie?

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Permutazioni semplici

Esercizio 4

Si calcoli quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di senso

compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C I A O.

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Permutazioni semplici: gli anagrammi di C I A O.

Per rispondere a questa domanda, possiamo procedere come abbiamo

fatto sino ad ora e contare le possibilita di scelta passo passo.

Il fatto che si tratti di anagrammi, ci dice implicitamente che non sono

ammesse ripetizioni, per cui dobbiamo sistemare le nostre 4 lettere in 4

rettangoli senza ripetizioni di lettere.

Per occupare il primo spazio abbiamo 4 scelte possibili, per il secondo

spazio avremo 3 possibilita (non possiamo usare la stessa lettera scelta

per il primo spazio, qualunque lettera sia), per il terzo spazio avremmo 2

possibilita e per il quarto spazio, avremo 1 scelta obbligata, perche

dovremmo usare necessariamente l’unica lettera non ancora utilizzata,

per un totale di 4× 3× 2× 1 = 24 possibilita.

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Permutazioni semplici: Caso generale

OsservazioneSi osservi che si tratta di una disposizione semplice di n oggetti in gruppidi n, ovvero Dn,n, ma quando il numero degli oggetti in ogni gruppocorrisponde al numero di oggetti totali, ci troviamo piu correttamente aparlare di permutazioni e non di disposizioni perche quello che distingueun gruppo da un altro e solamente l’ordine con cui prendiamo gli noggetti.

Definizione (Fattoriale)Dato un numero intero positivo n si chiama fattoriale di n, e si denotacon n! il numero

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) . . . 2 · 1.

Per definizione si impone che 0! = 1.

Esempio 1Il fattoriale di 5 e il numero 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120, il fattoriale di 4 e4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

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Permutazioni semplici: Caso generale

Definizione (Permutazioni semplici)

Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi

costituiti da tutti gli n elementi che differiscono solamente per l’ordine

con cui sono sistemati:

Pn = n!

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ESERCIZIO 1.4.1

In una gara partecipano 8 concorrenti. In quanti modi puo presentarsi la

classifica finale?

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Permutazioni con ripetizione

Esercizio 5

Si calcoli quanti sono i possibili anagrammi (anche privi di senso

compiuto) che si possono formare con le lettere della parola C A S A.

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Permutazioni con ripetizione: gli anagrammi di C A S A.

Anche in questo caso, poiche siamo considerando anagrammi, si tratta di

capire come sistemare le quatto lettere della parola C A S A in gruppi di

4 lettere, ma quando scegliamo la lettera A, che compare due volte, non

siamo in grado di capire quale delle due A stiamo usando perche sono

indistinguibili.

Se le A fossero distinguibili (diciamo A1 e A2) le permutazioni (semplici)

sarebbero 4! e quindi un totale di 24 anagrammi.

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Permutazioni con ripetizione: gli anagrammi di C A S A.

Nel nostro caso pero, poiche le lettere A sono indistinguibili si avra, ad

esempio, che i due anagrammi C A2 S A1 e C A1 S A2 sono la stessa

permutazione e cosı anche per A1 S A2 C e A2 S A1 C, etc... Osservando

che la prima si ottiene dalle seconda permutando le A, si puo concludere

che gli anagrammi uguali sono in numero pari alle permutazioni tra le

lettere indistinguibili. Dovremmo quindi dividere il numero di tutte le

permutazioni per il numero di permutazioni delle lettere indistinguibili.

Nel nostro caso quindi gli anagrammi, tutti diversi, sono 4!2! = 24

2 = 12.

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Permutazioni con ripetizione: Caso generale

In generale, se dobbiamo contare in quanti modi si possono ordinare n

oggetti in gruppi da n, dove k di questi sono indistinguibili, dobbiamo

contare tutte le permutazioni di n oggetti e dividere per le permutazioni

dei k oggetti indistinguibili.

Definizione (Permutazioni con ripetizione)

Le permutazioni con ripetizione di n elementi non necessariamente

distinti in gruppi di n con k di questi ripetuti che differiscono solo per

l’ordine con cui sono sistemati:

P(k)n =

n!

k!

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Permutazioni con ripetizione: Caso generale

Osservazione

Nel caso in cui gli elementi indistinguibili fossero di piu tipi, ad

esempio gli anagrammi della parola T R A T T O R E, dove le lettere

ripetute sono sia la T (ripetuta 3 volte), sia la R (ripetuta 2) volte, si

dividera sia per 3! (permutazioni della T) sia per 2! (permutazioni

della R). In conclusione gli anagrammi della parola T R A T T O R E

sono P(3,2)8 = 8!

3!2! = 8·7·6·5·4·3·23·2·2 = 3360

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ESERCIZIO 1.5.3

Una moneta viene lanciata otto volte. In quanti modi si puo presentare

una successione che contiene 6 teste e 2 croci?

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Combinazioni semplici

Sino ad ora ci siamo occupati sempre di contare gruppi di oggetti in cui

contava l’ordine con cui venivano sistemati, (nelle permutazioni i gruppi

si differenziavano solo per l’ordine), ora ci occuperemo di contare gruppi

in cui l’ordine non ha importanza.

Esercizio 6

Una classe di 10 studenti deve scegliere un gruppo di 3 studenti come

rappresentanza della classe alle Olimpiadi di Matematica. In quanti

modi diversi si puo scegliere questo gruppo di rappresentanza?

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Combinazioni semplici: rappresentanza di studenti.

La prima osservazione da fare, e che chiaramente non ha importanza

l’ordine con cui si scelgono i rappresentanti, ed e chiaro anche che ogni

ragazzo puo essere scelto una sola volta come componente della

rappresentanza (non sono ammesse ripetizioni.)

Iniziamo a contare in quanti modi possiamo scegliere i 3 studenti.

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Per visualizzare la scelta, pensiamo di dover occupare 3 sedie vuote.

Per occupare la prima sedia, abbiamo in tutto 10 possibilita. Scelto il

primo studente, per occupare la seconda sedia, abbiamo 9 possibilita ed

infine per la terza sedia ci sono rimaste 8 possibilita di scelta. In totale le

possibilita sono 10 · 9 · 8, ma non stiamo tenendo conto del fatto che se

ad esempio ho scelto Marco per la prima sedia, Luca per la seconda e

Irene per la terza, la rappresentanza e la stessa di scegliere prima Irene

poi Marco e poi Luca, o prima Luca poi Irene e per ultimo Marco.

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Quello che dobbiamo fare, (poiche non ci interessa l’ordine) e dividere

per le permutazioni dei 3 elementi scelti (che sono esattamente 3!).

Quindi i modi di scegliere 3 studenti in un gruppo di 10 senza tener conto

dell’ordine, sono 10·9·83! .

Si osservi che tale numero puo essere scritto anche come

10 · 9 · 83!

=10 · 9 · 8

3!

7!

7!=

10!

7!3!.

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Combinazioni semplici: Caso generale

In generale, se dobbiamo scegliere k oggetti in un insieme di n oggetti, in

modo che non sia importante l’ordine con cui si scelgono gli oggetti e

non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte sono n!(n−k)!k! .

Un raggruppamento di questo tipo e detto Combinazione semplice e si

indica con Cn,k .

Definizione ( Combinazioni semplici)

Le combinazioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con


differiscono per almeno un elemento e per i quali non conta l’ordine

con cui sono sistemati:

Cn,k =n!

(n − k)!k!29 / 60


Coefficiente Binomiale

Un altro modo di rappresentare le combinazioni semplici e attraverso il

Definizione (Coefficiente Binomiale)

Dati due numeri interi positivo n e k (con k ≤ n) si chiama

coefficiente binomiale o combinazione di n elementi a gruppi di k, e si

denota con(nk

)il numero (

n

k

)=

n!

(n − k)!k!.

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I numeri(nk

)sono proprio i coefficienti dello sviluppo di un binomio.

Consideriamo, ad esempio, il binomio (a + b) e le sue potenze:

(a + b)0 = 1,

(a + b)1 = a + b,

(a + b)2 = a2 + 2ab + b3,

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab2 + b4,

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5,

(a + b)6 = . . . . . .

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Per esempio,

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5,

Si osservi che i coefficienti ordinati sono 1, 5, 10, 10, 5, 1, i quali

corrispondono esattamente ai coefficienti binomiali(50

),(51

),(52

),(53

),(54

),(55

), infatti(

50

)= 1,

(51

)= 5,

(52

)= 10,

(53

)= 10,

(54

)= 5,

(55

)= 1.

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Piu in generale, lo sviluppo di un binomio alla potenza n e dato da :

(a+ b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk

= an +(n1

)an−1b1 +

(n2

)an−2b2 + · · ·+

( n

n − 2

)a2bn−2 +

( n

n − 1

)a1bn−1 + bn.

(1)

Nella quale,(n0

)=

(nn

)= 1.

Ad esempio, se si vuole calcolare la potenza (a + b)7, utilizzando la

formula (1) si avra

(a+ b)7 =a7 +(71

)a6b1 +

(72

)a5b2 +

(73

)a4b3 +

(74

)a3b4 +

(75

)a2b5 +

(76

)a1b6 + b7

=a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

Si osservi che alcuni coefficienti binomiali sono uguali, questo non e un

caso.

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Infatti, si puo dimostrare, che vale la seguente(n

k

)=

(n

n − k

)Per convincersi di questo fatto, si pensi al fatto che, se abbiano n oggetti

e vogliamo sapere quanti gruppi di k oggetti si possono fare, per ogni

gruppo, restano n − k oggetti e quindi potremmo equivalentemente

contare quanti gruppi di n − k oggetti si possono fare.

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Combinazioni semplici: Ricapitolazione

In generale, se dobbiamo scegliere k oggetti in un insieme di n oggetti, in

modo che non sia importante l’ordine con cui si scelgono gli oggetti e

non ci sono ripetizioni di oggetti, il numero delle scelte sono n!(n−k)!k! .

Un raggruppamento di questo tipo e detto Combinazione semplice e si

indica con Cn,k .

Definizione ( Combinazioni semplici)

Le combinazioni semplici di n elementi distinti in gruppi di k (con


differiscono per almeno un elemento e per i quali non e importante

l’ordine con cui sono sistemati:

Cn,k =

(n

k

)35 / 60


Combinazioni con ripetizione

Esercizio 7

Supponiamo di lanciare una moneta per 4 volte consecutive, e

segnano su un foglio una T se la moneta e atterrata sulla faccia con la

testa oppure C se la moneta e caduta con la faccia che rappresenta la

croce. Quante sono le possibili stringe di 4 lettere che rappresentano i

4 lanci, a prescindere dall’ordine con cui si sono presentate le facce?

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Combinazioni con ripetizione: Testa o Croce?.

Per trovare quante sono le possibili combinazioni, possiamo iniziare a

contare le possibilita lancio per lancio.

Con il primo lancio, abbiamo 2 possibili risultati:

T C.

Passiamo al secondo lancio, (ricordando che non ci interessa l’ordine)

possiamo ottenere i 3 seguenti risultati:

TT TC CC.

Nel terzo lancio, le possibilita diventano 4 e sono:

TTT TTC TCC CCC

ed infine, sempre per lo stesso principio, con il 4 lancio abbiamo un totale

di 5 risultati possibili:

TTTT TTTC TTCC TCCC CCCC.

Quindi, con il calcolo esplicito, sappiamo che le combinazioni possibili

che si possono ottenere con 2 elementi (T o C) in gruppi di 4, dove sono

ammesse ripetizioni e non ci interessa l’ordine sono esattamente 5.

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Combinazioni con ripetizione: Caso generale

In generale, il calcolo esplicito puo essere particolarmente laborioso. Un

raggruppamento di questo tipo e detto Combinazione con ripetizione e

si indica con C ′n,k .

Definizione (Combinazioni con ripetizione)

Le combinazioni con ripetizioni di n elementi distinti in gruppi di k

(con k ≤ n oppure k ≥ n oppure k = n) sono tutti i gruppi di k

elementi che si possono formare nel quale ogni elemento puo essere

ripetuto al massimo k volte, non ci interessa l’ordine con cui si

ripetono ed ogni elemento e ripetuto un numero diverso di volte.

C ′n,k =

(n + k − 1

k

)38 / 60


Combinazioni con ripetizione: Caso generale

Riprendendo l’esercizio precedente, se vogliamo fare gruppi di 4 oggetti

(lancio la moneta 4 volte) ogni elemento potra comparire al massimo 4

volte e dovro porre k = 4. Gli oggetti tra cui scelgo sono 2, poiche posso

scegliere solamente T oppure C avro che n = 2.

Utilizzando la formula si avra che i raggruppamenti di 2 oggetti a gruppi

di 4 che si possono ottenere sono

C ′2,4 =

(2 + 4− 1

4

)=

(5

4

)=

5!

1!4!= 5,

esattamente come avevamo trovato con il calcolo esplicito.

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Esercizio 1.2.2

Quante sigle di 5 elementi si possono formare in modo che i primi tre

posti siano occupati da 3 diverse lettere dell’alfabeto italiano (considerate

21 lettere) e gli ultimi due da due cifre diverse.

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Esercizio 1.2.3

Quanti sono i numeri di tre cifre tutte diverse tra loro, che si possono

formare con le 10 cifre decimali?(Attenzione!!! i numeri non possono

iniziare per zero, perche i numeri di tre cifre con lo zero inizialie sono in

realta numeri di due cifre.)

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Esercizio 1.2.4

Quanti sono i numeri con 4 cifre tutti diversi?

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Esercizio 1.2.5

In quanti modi diversi possono sedersi 8 persone in 5 posti?

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Esercizio 1.2.6

Quanti numeri pari di tre cifre, tutte diverse, si possono scrivere

utilizzando le cifre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?

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Esercizio 1.2.7

In quanti modi si possono scegliere 3 persone per fare un presidente, un

vice-presidente e un segretario, in un gruppo di 10 persone, se una stessa

persona non puo ricoprire piu ruoli?

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Esercizio 1.3.2

Quanti numeri di tre cifre, non necessariamente distinte, si possono

formare con gli elementi dell’insieme {3, 5, 6, 7, 8}?

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Esercizio 1.3.4

Calcola quante possibili targhe di 7 elementi si possono formare se le

prime due posizioni devono essere occupate da due lettere dell’alfabeto

inglese (anche ripetute), il terzo, quarto e quinto posto deve essere

occupato da una delle 10 cifre (anche ripetuti) e gli ultimi due posti dalle

lettere dell’alfabeto inglese anche ripetute. (Ricorda che le lettere

dell’alfabeto inglese sono 26)

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Esercizio 1.4.2

In quanti modi diversi si possono mettere in fila tre bambini e quattro

bambine? E in quanti modo si possono sistemare se le bambine vogliono

stare tutte vicine e devono sistemarsi per prime?

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Esercizio 1.4.3

Quanti anagrammi, anche privi di senso, si possono formare con le lettere

della parola S T U F A? e con le lettere della parola M A R E?

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Esercizio 1.4.4

Ad un congresso, 9 professori devono sedersi intorno a un tavolo rotondo.

In quanti modi possono prendere posto? Se le stesse persone attendono

in fila davanti all’ingresso della sala, in quanti modi si possono disporre?

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Esercizio 1.5.1

Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola D A R I

A? e con le lettere della parola D O T T O R E S S A? e con le lettere

della parola R A M A R R O?

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Esercizio 1.5.2

Quanti anagrammi si possono formare con le lettere della parola S A M A

N T A?

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Una moneta viene lanciata otto volte. In quanti modi si puo presentare

una successione che contiene 5 teste e 3 croci?

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Esercizio 1.5.4

Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola C I O

C C O L A T A? Quanti finiscono per A T A? Quanti iniziano con una

consonante?

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Esercizio 1.6.1

Un’urna contiene 9 palline numerate di cui 6 rosse e 3 bianche. Si

estraggono contemporaneamente 5 palline. Calcoliamo:

I quanti gruppi diversi di cinque palline si possono avere;

I quanti di cinque palline tutte rosse;

I quanti di quattro rosse e una bianca;

I quanti di tre rosse e due bianche;

I quanti di due rosse e tre bianche.

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Esercizio 1.6.3

Ho due camion e un’automobile e devo formare una squadra di tre autisti

che guidino ciascuno uno degli automezzi. Posso scegliere fra 10 persone,

di cui 6 hanno la patente B e 4 hanno la patente C. Chi ha la patente C

puo guidare sia i camion che le automobili; chi ha la patente B puo

guidare le automobili, ma non puo guidare camion. Quante squadre

diverse posso formare?

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Esercizio 1.6.4

Un gruppo di 10 professori devono scegliere 3 di loro per formare un

direttivo, costituito da un presidente, un vice-presidente e un segretario.

Devono inoltre, scegliere tra i restanti una commissione di tre membri. In

quanti modi diversi possono essere fatte queste scelte?

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Esercizio 1.6.5

Devo preparare 8 vaschette di gelato, con gusti tutti diversi tra loro: tra

essi, stracciatella e pistacchio. In quanti modi diversi posso servire gelati

con tre gusti differenti, se non voglio mettere insieme stracciatella e

pistacchio nella stessa vaschetta?

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Esercizio 1.7.1

Una pasticceria produce 5 tipologie di pasticcini, a, b, c , d , e. In quanti

modi diversi si puo confezionare un vassoio con 8 di queste paste? (Qual

e il numero massimo di ripetizioni per ogni tipo di pasticcino?)

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Esercizio 1.7.2

Lanciando contemporaneamente quattro dadi uguali, quante sono le

combinazioni con cui si possono presentare le sei facce?(Qual e il numero

massimo di ripetizioni per ogni faccia del dado?)

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