Elettricità e

Magnetismo

M. Cobal, Università di Udine

•  Forza  di  Coulomb  •  Principio  di  Sovrapposizione  Lineare  •  Campo  Ele8rico  •  Linee  di  campo  •  Flusso,  teorema  di  Gauss  e  applicazioni  •  Condu8ori  •  Energia  potenziale  ele8rosta=ca  

La forza elettrica •  Fenomeni elettrici/magnetici osservati fin dall’antichità •  Un po’ di storia:

•  In Cina, documenti suggeriscono che il magnetismo fu osservato già nel 2000 AC •  In Grecia, fenomeni elettrici e magnetici (esperimenti con ambra e magnetite) erano già noti nel 700 AC

•  Più recentemente:

•  1785: Charles Coulomb formula la legge dell’inverso del quadrato per le forze elettriche •  1820: Hans Ørsted scopre che l’ago della bussola cambia Direzione quando è posto vicino ad un filo che porta corrente

•  1831: M. Faraday e J. Henry mostrano che se un filo è in moto vicino ad un magnete, si produce una corrente elettrica nel filo •  1870: James Clerk Maxwell usa osservazioni e altri fatti sperimentali

come base per formulare le leggi dell’ elettromagnetismo note come equazioni di Maxwell

•  Unificazione di elettricità e magnetismo –equazioni giuste, ma non

consistenti con il principio di relatività galileiana •  1888: Heinrich Hertz verifica le predizioni delle leggi di Maxwell e

produce onde elettromagnetiche • 1905: Albert Einstein propone la soluzione per l’inconsistenza fra equazioni di Maxwell e relatività galileiana (teoria della relatività)

Legge  di  Coulomb  •  2 tipi di cariche elettriche: positive e negative - negative: tipo posseduto dagli elettroni - positive: tipo posseduto dai protoni

•  Cariche dello stesso segno si respingono

•  Cariche di segno opposto si attraggono

•  Forza diretta lungo la congiungente le due cariche •  Forza proporzionale all’inverso del quadrato della distanza r nel

vuoto.

•  Ovviamente vale la III legge di Newton, per cui F21 = F12

Unità  di  misura  della  carica  Il valore della costante k che appare nell’espressione della forza di Coulomb? dipende dall’unità di misura della carica. Nel SI, la carica si misura in Coulomb, C (q è il simbolo standard usato per indicare la carica). Nel SI k vale: La costante ε0, introdotta per convenienza, vale ε0 = 10−12C2/N/m2 ed è detta costante dielettrica del vuoto. Due cariche di 1 C a distanza di 1 m si attirano quindi con una forza F = 9 x 109 N!  

Quantizzazione della carica •  Molti esperimenti mostrano che la carica elettrica è quantizzata,

cioè esiste solo in pacchetti discreti: q = ±Ne, dove N è un intero, ed è l’unità fondamentale di carica:

e = 1.6 x 10−19 C. Per gli elettroni: q = −e; per i protoni: q = +e.

•  Dato il gran numero di cariche presenti nella materia,

l’uguaglianza delle cariche fondamentali positive e negative deve essere esatta, o altrimenti tutti i corpi avrebbero una carica netta.

•  La carica netta di un sistema isolato è sempre conservata. Per

esempio, se si elettrizza un corpo per sfregamento, non c’è né creazione nè distruzione di carica, ma solo trasferimento di carica (elettroni) dal materiale che si carica positivamente (vetro) a quello che si carica negativamente (seta).  

Campo elettrico La forza elettrica agente su di una carica 2 da parte di una carica 1 è fattorizzabile come prodotto della carica del corpo 2 per una funzione vettoriale che dipende solo dalle caratteristiche della carica 1. Quest’ultima si dice campo e si indica di solito con la lettera E:

E1 è il campo elettrico generato dalla particella 1, che sappiamo pari a: In generale, un campo (vettoriale) associa ad ogni punto dello spazio un vettore. Esempio già noto: campo gravitazionale terrestre, ~g (sulla superficie della Terra). E’ un esempio di campo costante  

Principio di sovrapposizione •  La legge di Coulomb è lineare nella carica. • Per essa vale il principio di sovrapposizione lineare: La forza risultante agente su di una carica è uguale alla somma vettoriale delle forze individuali dovute a tutte le altre cariche

Nel caso in cui non sia possible tenere traccia delle forze individuali (per esempio quando si ha una distribuzione continua di cariche) la forza risultante può essere scritta come somma/integrale vettoriale delle forze esercitate da ogni volumetto infinitesimo di carica

Linee di campo

Linee di forza del campo elettrico

Si usano per rappresentare graficamente un campo •  Linee tangenti in ogni punto al campo (verso dato da una freccetta) •  Escono da cariche positive (entrano in cariche negative). •  Più fitte se campo forte, meno fitte in regioni di campo debole.

Linee di campo II Linee di campo per un campo costante: parallele e con spaziatura costante. Come `e diretto il campo?

Campo generato da due cariche uguali. Vicino ad ogni carica, le linee di forza somigliano a quelle di una singola carica. Attorno al punto C non ci sono linee: perchè?

Linee di campo per due cariche uguali ma di segno opposto (un dipolo): notate come le linee ”escano” dalla carica positiva ed ”entrino” nella carica negativa.

Campo elettrico di un dipolo Il campo elettrico di un dipolo (vedi figura) è un caso semplice (ma non banale) ed importante. Nel punto P, E è diretto lungo:

Ovvero: . Notare la dipendenza dal fattore D = 2qa, noto come momento di dipolo. A grandi distanze, y >> a, si trova:    

Introduciamo un vettore D di modulo D e diretto dalla carica negativa a quella positiva: Qual’è il valore del campo elettrico se il punto P è lungo l’asse x ?

Elettrone in campo costante Supponiamo che un elettrone entri in una zona di campo elettrico costante. Qual è il suo moto?

F = eE è costante in modulo e direzione. Il moto è uniformemente accelerato lungo E , uniforme in direzione perpendicolare a E : La traiettoria è una parabola: Notare la dipendenza da e/me, rapporto fra carica e massa dell’elettrone

Elettrone in campo costante II Sia data ora la situazione in figura. Qual’è il moto dell’elettrone, e quanto vale la sua energia cinetica finale? Supponiamo x(t = 0) = xi = 0. Avremo:

L’elettrone arriva in x = xf al tempo t: con velocità: L’energia cinetica finale sarà: Da notare che eExf `e il lavoro fatto dalle forze elettriche sulla carica.

Campo per distribuzioni di carica Per un sistema di molte cariche puntiformi, il campo elettrico si può calcolare come somma di tutti i contributi delle varie cariche: Se le cariche sono presenti in numero macroscopico, conviene introdurre la densità di carica (ρ): carica per unità di volume, in funzione della posizione. La somma diventa un integrale sul volume:

Dove r è la distanza fra la carica dq e il punto in cui si calcola il campo. Il calcolo del campo elettrico può diventare assai laborioso. Esiste però un altro approccio, spesso più conveniente, basato sul concetto di flusso del campo elettrico.

Flusso del campo elettrico Il Flusso di un campo elettrico (o di qualunque campo) costante E attraverso una superficie A è definito come:

dove Φ è l’angolo fra il campo E e la normale alla superficie. Se il campo elettrico e la normale alla superficie sono allineati, il flusso è semplicemente il prodotto della superficie per il campo elettrico:

Φ = AE. E se la superficie non è un piano? e se il campo elettrico non è costante?

Flusso del campo elettrico

Teorema di Gauss

Teorema di Gauss II

Filo uniformemente carico

Piano infinito uniformemente carico

Condensatore piano

Sfera di densità di carica uniforme

Sfera di densità di carica uniforme

Conduttori

Energia potenziale di due cariche

Energia Potenziale elettrostatica

Esercizio

Esercizio

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Esercizio

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