Elementi di Logica, I

Le forme del ragionamento deduttivo

Corso di Logica e Filosofia della scienza, a.a. 2012-2013

Forme della razionalità (induzione/deduzione,...)Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, ...)Dimostrazione (fondamenti della matematica)

Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica)

LOGICA

Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento deduttivo, nel quale un ruolo centrale è svolto da nozioni come

inferenza conseguenza

deduzione....

“Il punto di partenza della logica formale è la nozione tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è un susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone siano legate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che se rispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamento corretto, o argomento valido.

G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13

Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).

Esempi: l’espressione

“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”

è un enunciato, mentre le espressioni

“C’è nessuno in casa?”“Vietato fumare!”

non sono enunciati.

Distinzione enunciato/proposizione

Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è vera o falsaProposizione = contenuto o senso di un enunciato

«Paolo mangia la mela»«La mela è mangiata da Paolo»

2 enunciati, 1 proposizione

Data una simile definizione, esistono alcuni ‘tipi generali’ di domande alle quali la logica si incarica di rispondere:

• Cosa significa che un enunciato ‘implica‘ un enunciato B?

• Ammettendo di sapere che effettivamente l’enunciato A ‘implica’ l’enunciato B, come possiamo giustificare una simile implicazione?

Le analisi della logica a questo livello di generalità risultano, entro certi limiti, indipendenti dal significato degli enunciati coinvolti, cioè valgono in virtù della sola “forma logica” degli enunciati stessi e delle relazioni che li collegano.

Nel caso di una generica implicazione A B,

la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.

Alle origini della logica: Aristotele, Stoici, Leibniz, Boole, Frege

Concezione rappresentazionale del pensiero a partire dalla filosofia moderna (Cartesio, Locke): il pensiero e la conoscenza consistono in una adeguata manipolazione e trattamento di rappresentazioni.W.G. Leibniz: importanza centrale della logica come strumento di chiarificazione del pensiero rappresentazionale

“se si lodano gli uomini che hanno determinato il numero di corpi regolari, che non ha utilità alcuna, se non in quanto è piacevole a contemplarsi, quanto sarà più meritorio ridurre a leggi matematiche il ragionamento umano, che è ciò che di più eccellente e di più utile possediamo.”

W.G. Leibniz

Logica come ‘calcolo del pensiero’

“Se dovessero sorgere controversie, le discussioni tra due filosofi non sarebbero più necessarie di quanto lo siano quelle tra due contabili. Basterebbe infatti che essi prendessero in mano le loro penne, si mettessero ai loro tavoli, e si dicessero a vicenda: calcoliamo.”

W.G. Leibniz

Punti fondamentali

• Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di dimostrazione.

• Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di algoritmo, una procedura inferenziale ‘meccanica’ che prescinde dalla comprensione del significato dei termini coinvolti.

“Progetto del seguente trattato è quello di indagare le leggi fondamentali di quelle operazioni della mente tramite le quali viene effettuato il ragionamento [...] Tali studi destano anche interesse di altro tipo, derivato dalla luce che essi fanno sulle facoltà intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui il linguaggio e i numeri servono come strumenti per i processi del ragionamento.”

G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero, sulle quali sono fondate le teorie matematiche della logica e della probabilità (1854)

• Riprodurre le operazioni logiche mediante operazioni algebriche: progetto di ‘algebrizzazione’ della logica (definizione della struttura nota come algebra di Boole)

• Le operazioni introdotte in tale algebra - che rappresentano astrattamente operazioni logiche come la congiunzione (‘E’) o la disgiunzione non esclusiva (‘O’) - rappresentano il modello formale delle porte logiche di un circuito elettronico di un moderno calcolatore.

Gottlob Frege, Ideografia (1879): prima formulazione di una logica dei predicati e della nozione logica di sistema formale (o teoria formalizzata).

Individuazione di condizioni che qualunque successione di simboli logici deve soddisfare per risultare una dimostrazione.

Definizione rigorosa della nozione di dimostrazione.

“L’ideografia deve dunque servire anzitutto a esaminare nel modo più sicuro la connessione di una catena deduttiva e a mettere in evidenza ogni ipotesi che voglia inavvertitamente insinuarvisi, affinché, successivamente, si possa indagare sulla sua origine. [...]

“Eliminando qualsiasi lacuna dal concatenamento dei ragionamenti, si riesce a porre in luce ogni assioma, ogni presupposto, ogni ipotesi (o in qual altro modo la si voglia chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così si raggiunge una base sicura dalla quale valutare la natura conoscitiva delle leggi dimostrate.”

G. Frege

LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE) Elementi di base e prime definizioni informali

Argomento (o argomentazione) Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo insieme di enunciati (detti premesse) sono offerte come base per giustificare la correttezza di un altro enunciato (detto conclusione).

Esempi:Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

Giulio non era alla festa, quindi non può essere stato lui a rubarti la bicicletta.

Mondo possibile: una situazione o stato di cose alternativo a quello attuale ma logicamente concepibile (che avrebbe cioè potuto verificarsi senza determinare contraddizioni logiche).

Verità logica

Un enunciato èlogicamente vero quando è vero in tutti i mondi possibili,logicamente falso quando è falso in tutti i mondi possibili,logicamente contingente quando non è né logicamente vero né logicamente falso.

Conseguenza logica

Un enunciato A è conseguenza logica di un insieme S di enunciati (o S implica logicamente A) quando A è vera in tutti i mondi possibili nei quali sono veri tutti gli elementi di S.

Correttezza di un argomento

Un argomento è corretto se non esiste alcun mondo possibile nel quale le premesse sono vere e la conclusione è falsa (o, equivalentemente, se la conclusione è conseguenza logica delle premesse).

Attenzione! Un argomento può essere corretto anche se una o più premesse non sono vere.

Applicazione agli esempi visti prima

L’argomentoTutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

è corretto (perché le premesse implicano logicamente la conclusione) e le sue premesse sono vere.

L’argomentoTutti gli ippogrifi volanoIn Australia esistono gli ippogrifiquindiIn Australia c’è almeno un animale che vola

è corretto perché le premesse implicano logicamente la conclusione, ma almeno una premessa è falsa.

Attenzione!

Una successione di enunciati può essere un argomento, anche se non è immediato riconoscerla come tale. Esempio:

C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e solo 5 dosi di morfina.

Argomento deduttivoPremesse

------------------> necessarioConclusione

Argomento induttivoPremesse

-------------------> non necessarioConclusione

Proposizioni composte e valori di verità

Nella logica proposizionale, enunciati come“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”

esprimono fatti semplici, vale a dire non ulteriormente analizzabili. Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici.È naturalmente possibile introdurre enunciati composti (o molecolari), generati a partire da un certo numero di proposizioni atomiche.

L’enunciato“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa e Italo Calvino era nato a Cuba”rappresenta un enunciato composto, generato mediante l’applicazione di una particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici

“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”,

“Italo Calvino era nato a Cuba”

Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che non sono provviste in sé di significato ma che permettono di formare enunciati composti a partire da enunciati atomici.Connettivi principali della logica enunciativa:- non (connettivo unario, si applica a un singolo enunciato)- e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a coppie di enunciati).

Se ‘’ rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la seguente notazione:se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo ‘’ è rappresentato in forma funzionale come

: {A, B} AB

dove il simbolo ‘AB’ rappresenta l’enunciato molecolare.

Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto e della nozione di verità, si pone allora in modo naturale il seguente problema: come si comporta la verità rispetto alla composizione di enunciati composti a partire da un certo numero di enunciati atomici?

: {A, B} AB

vero,falso vero,falso ?

Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base (proposizionali)

I connettivi si comportano come funzioni di verità: i valori di verità degli enunciati atomici determinano univocamente il valore di verità dell’enunciato composto.

: {A, B} AB

vero,falso vero,falso vero,falso

I connettivi della logica proposizionale sono verofunzionali: il valore di verità di un generico enunciato P è funzione dei valori di verità degli enunciati atomici che compongono P.

Per comprendere più chiaramente la condizione di verofunzionalità, richiamiamo la definizione generale di funzione.

La nozione di funzioneUna funzione f: S T è una corrispondenza tra due insiemi S e T, tale che a uno o più elementi di S associa uno e un solo elemento di T. Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è detto l’argomento della funzione e y è detto il valore della funzione. L’insieme S è detto dominio della funzione, mentre l’insieme T è detto codominio della funzione.Attenzione: la definizione appena fornita consente il caso che S = T.

Esempio 1: SeS = insieme dei bambini di una scuola

elementare (con maestra unica!)T = insieme delle maestre della scuola

indichiamo con l’espressione‘Maestra di’: S T

la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra. In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il codominio).

Esempio 2

La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a ogni numero naturale (positivo) n associa il numero naturale (positivo) nn, può essere rappresentata come

‘quadrato di’: N+ N+

In questo caso, dominio e codominio coincidono.

Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per singoli valori, ma è possibile definire funzioni per coppie di argomenti.Esempio 3La funzione ‘somma di’ è definita per coppie di numeri: se N è l’insieme dei numeri naturali, la funzione associa a ogni coppia di numeri naturali n, m il numero naturale n + m.La notazione è la seguente:

+ : {N x N} N + : {n,m} n+m

Riformuliamo allora a questo punto la condizione di verofunzionalità: un generico connettivo binario della logica proposizionale può essere interpretato come una funzione

: {‹V, V›, ‹V, F›, ‹ F, V›, ‹F, F›} {V, F} che a una qualsiasi coppia di valori di verità - corrispondenti ai possibili valori di verità di due proposizioni - associa uno e un solo valore di verità - corrispondente al valore di verità della relativa proposizione composta.

Il problema delle condizioni di verità

Quali sono le condizioni di verità di una generica proposizione di L1?

Come possiamo valutare queste condizioni?

Possiamo rispondere a queste domande mediante le tavole di verità.

Le tavole di verità possono essere considerati semplici algoritmi per calcolare il valore di verità di enunciati.

TAVOLA DI VERITÀ DI (congiunzione)

A BV V VV F FF F VF F F

TAVOLA DI VERITÀ DI A BV V VV V FF V VF F F

TAVOLA DI VERITÀ DI A BV V VV F FF V VF V F

TAVOLA DI VERITÀ DI

AF VV F

TAVOLA DI VERITÀ DI (‘se e solo se’)

A BV V VV F FF F VF V F

Carattere algoritmico delle tavole di verità

valore di A, valore di B

valore di (AB)

Proviamo ora ad applicare le tavole di verità, risolvendo un semplice esercizio.

Prima di tutto definiamo tautologia un enunciato che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati componenti.

Poiché un’assegnazione di valori di verità agli enunciati componenti equivale a un ‘mondo possibile’, una tautologia risulta essere nient’altro che una verità logica.

Verifichiamo ora se un dato enunciato è una tautologia, calcolandone il valore di verità. In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli enunciati componenti.

Sia dunque data un certa enunciato, per esempio(pq)(qp)

(p q) ( q p)V V V V F V V F VV F F V V F F F VF V V V F V V V FF V F V V F V V F

Nella colonna del connettivo (il connettivo principale dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti, e risulta dunque una tautologia.

Vediamo ora la proposizione (pq)(qp)

(p q) (q p)V V V V V V VV F F F F V VF V V F V F FF V F V F V F

Sotto il connettivo principale non troviamo sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti: l’enunciato dato non è una tautologia.

Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale:

«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di logica. Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario ha studiato.»

1) Come è possibile formalizzare questo argomento?

2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento valido?

Se Mario ha studiato p allora Mario ha passato l’esame di logica q Mario ha passato l’esame di logicaquindi Mario ha studiato

((p q) q) p

((p q) q) p V V V V V V V V F F F F V V F V V V V F F F V F F F V F

Conclusione: l’argomento non è valido, perché esiste almeno un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa (la terza riga).

Verso un linguaggio formale per la logica enunciativa

Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale: evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell’indagine sulla struttura logica degli argomenti.

Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci occuperemo è il linguaggio della logica enunciativa, composto dei seguenti elementi:

1. Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative (eventualmente infinito), indicate con p, q, r, ...

2. Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (), disgiunzione (), implicazione (), negazione ()

3. Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,

Una formula del linguaggio enunciativo è una qualsiasi successione finita di simboli: q r, (s s), st, p r Si vede subito che non tutte queste successioni possono rappresentare effettivamente degli enunciati:

come è possibile distinguere in modo adeguato tra formule che rappresentano enunciati (che chiameremo ben formate) e formule prive di significato?

Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva o ricorsiva.

Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una definizione che caratterizza un certo insieme mediante l’applicazione di certe operazioni a certi elementi di base dell’insieme.

Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti un insieme che di fatto è infinito (perché il numero di formule ben formate è in linea di principio infinito).

Esempio: definizione ricorsiva dell’insieme N dei numeri naturali, sulla base della relazione primitiva ‘successore’.

BASE: 0 è un numero naturale;

PASSO: Se n è un numero naturale, anche il successore di n è un numero naturale;

CHIUSURA: Nient’altro è un numero naturale.

Prima di fornire la definizione di formula ben formata, però, è necessario introdurre la nozione di meta-variabile.I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo funzionano come variabili nel senso che uno qualsiasi di questi simboli ‘sta per’ un enunciato.Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo bisogno di simboli che ‘stanno per’ le variabili enunciative: chiameremo questi simboli meta-variabili (variabili ‘di secondo grado’): simboli che ‘stanno per’ altri simboli.

IN SINTESI:

Enunciato(es.: «Mario mangia la mela»)

Variabile enunciativa p

(variabile che ‘sta per’ l’enunciato«Mario mangia la mela»)

Meta-variabile a

(variabile che ‘sta per’ la variabile enunciativa p)

Definizione RICORSIVA di formula ben formata (fbf) in un linguaggio enunciativo

BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf.PASSO: 1) Se a è una fbf, allora anche a è una fbf.2) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.3) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.4) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.CHIUSURA: Nient’altro è una fbf.

Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una fbf.

Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di quel simbolo in una fbf.

Prima occorrenza di p Seconda occorrenza di p

(pq)(qp)

Prima occorrenza di q Seconda occorrenza di q

Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un connettivo.

Campo (di un connettivo):La più piccola fbf in cui compare quel connettivo.

Es: nella fbf (pq)(qp)

il campo della prima occorrenza di è (pq)il campo della prima occorrenza di è ……il campo di è l’intera formula.

Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula, quel connettivo si chiama principale.

Subordinazione (di un connettivo rispetto a un altro)

Un connettivo # è subordinato rispetto al connettivo @ quando il campo di # è incluso nel campo di @.

Es.: nella fbf p(q r)

il connettivo è subordinato rispetto al connettivo . Infatti, la più piccola fbf in cui compare (cioè il campo di ) è (q r), che risulta sottofbf di p(q r), che è la più piccola fbf in cui compare (campo di , che in questo caso è l’intera formula).

Proprietà importante delle definizioni ricorsive/induttive

Se n è un numero naturale, anche il successore di n è un numero naturale

n non è necessariamente uguale a 0

Se a e b sono fbf, allora anche a , a b , a b , a b sono fbf.

a e b non sono necessariamente atomiche

Calcolo logico per la logica enunciativa

Verifica della correttezza di un argomento esprimibile in logica enunciativa

Date le fbf a1,…, an, b, la forma generale di un argomento in logica enunciativa sarà

a1,…, an / bdovea1,…, an = premesseb = conclusione / = simbolo di inferenza («quindi»)

Calcolo logico per la logica enunciativa

Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni possibile assegnazione di valori di verità degli enunciati atomici che compongono le premesse

Due casi possibili:

1. In tutte le assegnazioni in cui sono vere le premesse è vera anche la conclusione argomento corretto

2. Esiste almeno un’assegnazione in cui sono vere le premesse ma la conclusione è falsa argomento scorretto

Esempio del caso possibile 1:p q, q / p

p q (p q) q / p)V V V F FV F F V FF V V F VF F V V V

Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera: dunque l’argomento è corretto.

Esempio del caso possibile 2:p q, p / q

p q (p q) p / q)V V V F FV F F F VF V V V FF F V V V

Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano entrambe vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento è scorretto.

Argomenti e forme condizionali corrispondenti

Dato un qualsiasi argomento a1,…, an / b,

definiamo forma condizionale corrispondente di questo argomento la fbf

(a1 … an) b

Si dimostra cheUn argomento è corretto

se e solo se la sua forma condizionale corrispondente è una tautologia.

Caso possibile 1:

Argomento Forma condizionalep q, q / p [(p q) q] p

corretto tautologia

Caso possibile 2:

Argomento Forma condizionalep q, p / q [(p q) p] q

scorretto non-tautologia