Post on 03-Feb-2021
Contenuti:
Aspetti generali della dinamica delle strutture e dei terreni
Sistemi ad un grado di libertà
Spettri di risposta
Sistemi anelastici
Sistemi a più gradi di libertà
Sistemi continui
Esercitazioni
Elementi di Dinamica Sismica
Monitoraggio Strutturale: Prof. Felice Carlo Ponzo – Univ. Degli studi della Basilicata
1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreniAzione dinamica: azione variabile con il tempo che induce in una struttura con
massa non trascurabile un moto tale che le forze di inerzia (Fi = massa x
accelerazione) non possono essere trascurate rispetto alle altre forze.
Classificazione delle azioni dinamiche (in relaz. alla forma):
Periodiche:
Non
Periodiche:
1 armonica
più armoniche
impulsivi
di lunga durata
Macchina
rotante
Motori
Scoppio di
una bomba
Terremoto
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1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreniClassificazione delle azioni dinamiche
(in relazione alla descrizione):
DETERMINISTICHE:
ALEATORIE:
Noto istante per istante
Il valore dell’azione
Note istante per istante
Le caratteristiche probabi-
listiche dell’azione
ANALISI
ANALISI
spostamenti
deformazioni
sollecitazioni
tensioni
deformazioni
sollecitazioni
tensioni
spostamenti
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1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreni
Proprietà dinamiche delle strutture:
- Meccanismo di accumulo e rilascio dell’energia di deformazione
KK
- Massa
Entità e distribuzione si assumono costanti durante l’eccitazione dinamica
MM
- Meccanismo di dissipazione dell’energia
CC
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
Si consideri un oscillatore elementare di massa m, rigidezza k e coefficiente di smorzamento viscoso c.
Dato un sistema di riferimento inerziale fisso e rappresentata l’eccitazione
sismica come uno spostamento orizzontale del suolo xg(t), il sistema oscillerà
con uno spostamento relativo u(t) rispetto al terreno. Spostamento, velocità ed
accelerazione assoluti del sistema sono espressi dalle relazioni in figura.
x(t) = u(t) + xx(t) = u(t) + xgg(t) = spostamento assoluto(t) = spostamento assoluto
x(t) = u(t) + xx(t) = u(t) + xgg(t) = velocit(t) = velocitàà assolutaassoluta
x(t) = u(t) + xx(t) = u(t) + xgg(t) = accelerazione assoluta(t) = accelerazione assoluta
.. ....
.... .... ....
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
Le forze in gioco sono: (i) la forza di richiamo elastico, (ii) la
forza resistente viscosa e (iii) la forza di inerzia.
∑ = xmFi &&
Applicando la seconda legge di Newton, si ottiene l’equazione del
moto del sistema:
xmkuuc &&& =−−
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)Riscrivendo l’accelerazione assoluta come somma dell’accelerazione
relativa più l’accelerazione del terreno, e dividendo tutto per la massa,
l’equazione del moto può essere riscritta nella forma:
osmorzament di critico rapporto 2m
c
[sec] vibrazione di naturale periodo 2
T
[rad/sec] propria pulsazione m
k
=ω
=ξ
=ωπ
=
==ω
g
2 xuu2u &&&&& −−−−====⋅⋅⋅⋅ωωωω++++⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ξξξξ⋅⋅⋅⋅++++
Il periodo naturale di vibrazione ed il rapporto critico di smorzamento
sono caratteristiche dinamiche intrinseche del sistema (non dipendono
dall’azione).
Il periodo di vibrazione T rappresenta il tempo impiegato dalla
struttura (non smorzata) per compiere un’intera oscillazione.
Il rapporto critico di smorzamento ξ porta in conto le capacitàdissipative in campo elastico del sistema.
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gxmukucum &&&&& ⋅−=⋅+⋅+⋅
2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
• Per ξ > 1, la struttura disturbata dal suo stato di quiete (u(0)≠0), ritorna nella sua configurazione iniziale senza oscillazioni.
• Per ξ < 1, il sistema, disturbato dal suo stato di quiete, oscilla con ampiezze decrescenti, con pulsazione e periodo pari a:
)1(2
D ξ−⋅ω=ω )1(TT2
D ξ−=
Per le strutture in c.a. e muratura si assumono comunemente rapporti
critici di smorzamento intorno al 5%; per quelle in acciaio intorno al 2%.
Da ciò si ricava che, per le strutture usuali, il termine (1-ξ2) risulta molto prossimo ad 1, per cui l’influenza dello smorzamento sui parametri
caratteristici della risposta dinamica del sistema risulta trascurabile.
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
La soluzione dell’equazione del moto, assumendo ω=ωD, può essere scritta nella forma (integrale di Duhamel):
τ⋅∫ τ−ω⋅⋅τω
−= τ−ξω− d)t(sene)(x1
)t(u )t(g&&
derivando si ottiene:
)t(ud)t(cose)(x)t(u)t(
g ⋅ω⋅ξ−τ⋅∫ τ−ω⋅⋅τ−=τ−ξω−
&&&
ed infine:
)t(u2)t(ux2
&&& ⋅ωξ−⋅ω−=
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
Determinato u(t), e nota la rigidezza k del sistema, è possibile definire,
in ogni istante di tempo, una forza statica equivalente :
)t(ukFs ⋅=
che applicata staticamente alla struttura produce gli stessi effetti
(spostamenti, sollecitazioni, ecc.) calcolati risolvendo l’equazione del
moto. La forza statica equivalente Fs può anche essere calcolata come
prodotto fra la massa del sistema m ed un’accelerazione a(t)
generalmente indicata con il termine di pseudoaccelerazione:
)t(am)t(um)t(ukF2
s ⋅=⋅ω⋅=⋅=
Analogamente si può definire una pseudovelocità v(t) pari a :
)t(u)t(v ⋅ω=
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
Quando lo smorzamento ξ è nullo, la pseudoaccelerazione coincide con l’accelerazione assoluta del sistema. Analogamente, quando lo
smorzamento ξ è nullo, la pseudovelocità coincide con la velocitàrelativa del sistema:
)t(ud)t(cose)(x)t(u)t(
g ⋅ω⋅ξ−τ⋅∫ τ−ω⋅⋅τ−=τ−ξω−
&&&
)t(u2)t(ux2
&&& ⋅ωξ−⋅ω−=
a(t)
≈v(t)
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2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)
Quando lo smorzamento è abbastanza piccolo (0-20%),
l’approssimazione continua a funzionare bene se si fa riferimento ai
valori massimi della risposta(1), a patto che il periodo non sia troppo
elevato:
Confronto fra accelerazione e pseudoaccelerazione massima
(1) Nell’istante in cui si verifica il massimo spostamento si ha la massima accelerazione e velocità nulla. Nell’istante in cui si ha la massima velocità si ha spostamento circa nullo
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Valutazione del fattore di smorzamento
Esistono diverse metodologie per il calcolo dei fattori di smorzamento.
- Metodo del decremento logaritmico
- Metodo dell’ampiezza di banda
Al fine di semplificare la trattazione, si farà riferimento ai metodi che si prestano alla valutazione del fattore di smorzamento associato al modo fondamentale di vibrazione di una struttura.
)(...
tpkyycym =++ ωξ ⋅⋅⋅= mc 2
Smorzamento: metodo del decremento logaritmico
È noto che un sistema dotato di smorzamento, perturbato all’istante di tempo t=0, oscilla seguendo una legge del tipo
tωξeAu(t) ⋅⋅−⋅±=
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
TD
U1
U2
Smorzamento: metodo del decremento logaritmico
Si definisce decremento logaritmico, e lo si indica con δ, il logaritmo naturale del rapporto:
Tale grandezza permette di valutare la rapidità con cui si attenua l’ampiezza dell’oscillazione di un sistema in oscillazioni libere e dotato di smorzamento
1
ln+
=n
n
U
Uδ
Ai fini pratici possiamo ipotizzare che
1
1
teAU
⋅⋅−⋅= ωξ
)(
212 DTtt eAeAU+⋅⋅−⋅⋅− ⋅=⋅= ωξωξ
DD TTtt eeU
U ⋅⋅+−⋅⋅− == ωξωξ )]([
2
1 11
DTU
U⋅⋅== ωξδ
2
1ln22 42 πδ
δπδ
ξ⋅+
=⋅
=
Smorzamento: metodo del decremento logaritmico
È importante notare che fino a valori di ξ prossimi a 0,3 la formulazione approssimata e quella esatta forniscono valori coincidenti
ξπξ
ξπδ ⋅⋅≅
−
⋅⋅= 21
2
2
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Valore approssimato Valore esatto
δ
ξ
Smorzamento: metodo del decremento logaritmico
• Fine lezione
3. Spettri di risposta
Generalmente non è necessario calcolare Fs in ogni istante di tempo,
ma basta conoscere la massima forza agente sul sistema durante il
sisma, essendo quella che indurrà le massime sollecitazioni:
maxmaxmax
s amukF ⋅=⋅=
da cui deriva il concetto di spettro di risposta elastico.
Lo spettro di risposta elastico Se(T,ξ) è un diagramma che fornisce il valore massimo della risposta di sistemi elastici ad 1-GL in
funzione del loro periodo proprio di vibrazione e del loro rapporto critico
di smorzamento. Generalmente come parametri di risposta si utilizzano
lo spostamento relativo, la pseudo-velocità e la pseudoaccelerazione.
Quindi, per una data eccitazione sismica, gli spettri di risposta elastici
riassumono il comportamento di tutti i sistemi elastici ad 1-GL con
periodo variabile fra 0 e ∞ e rapporto critico di smorzamento fissato.
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M=cost.
K0=∞
Ki+1MiMi
……
……
……
M0=0
i
ii
K
M2πT ⋅⋅⋅⋅====
Ki+1
Ti
Tj
Tk
sk(t)sj-maxai-max
si-max
sk-max
aj-max
ak-max
Figura tratta da:
“Progetto sismico di strutture nuove in c.a.
ai sensi dell’Ordinanza n. 3274”, a
cura di R. Marnetto, L. Massa e M. Vailatiwww.sipacam.it
3. Spettri di risposta
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Sd/P
GD
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
0 0.5 1 1.5 2
T (sec)0
1
2
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2
Sa/P
GA
T (sec)
2%
5%
10%
15%
20%
25%
T2 , ξ
vmax2
T3 , ξT1 , ξ
vmax1
Sd = vmax
Sv = ω Sd
Sa = ω2 Sd
vmax3
3. Spettri di risposta
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Componente E-W della registrazione di Gemona del terremoto del Friuli (1976)
(a) Storia delle
accelerazioni, velocità
e spostamenti del
terreno,
(b) Spettro di risposta
elastico delle pseudo-
accelerazioni
normalizzato rispetto
all’accelerazione di
picco del terreno,
(c) Spettro di risposta
elastico delle pseudo-
velocità normalizzato
rispetto alla velocità di
picco del terreno,
(d) Spettro di risposta
elastico degli
spostamenti
normalizzato rispetto
allo spostamento
massimo del terreno.
3. Spettri di risposta
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Componente E-W della registrazione di Sturno del terremoto Campano-Lucano (1980)
(a) Storia delle
accelerazioni, velocità
e spostamenti del
terreno,
(b) Spettro di risposta
elastico delle pseudo-
accelerazioni
normalizzato rispetto
all’accelerazione di
picco del terreno,
(c) Spettro di risposta
elastico delle pseudo-
velocità normalizzato
rispetto alla velocità di
picco del terreno,
(d) Spettro di risposta
elastico degli
spostamenti
normalizzato rispetto
allo spostamento
massimo del terreno.
3. Spettri di risposta
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Componente vert. della registrazione di Sturno del terremoto Campano-Lucano (1980)
(a) Storia delle
accelerazioni, velocità
e spostamenti del
terreno,
(b) Spettro di risposta
elastico delle pseudo-
accelerazioni
normalizzato rispetto
all’accelerazione di
picco del terreno,
(c) Spettro di risposta
elastico delle pseudo-
velocità normalizzato
rispetto alla velocità di
picco del terreno,
(d) Spettro di risposta
elastico degli
spostamenti
normalizzato rispetto
allo spostamento
massimo del terreno.
3. Spettri di risposta
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� per valori del periodo prossimi a zero (strutture molto rigide)
l’accelerazione massima del sistema tende a quella del terreno;
� per piccoli aumenti del periodo si ha una notevole amplificazione
della accelerazione massima. Al 5% di smorzamento, l’amplificazione
massima si attesta intorno a 2.5 nell’intervallo 0.2sec e 0.8 sec circa;
� per valori del periodo superiori a quelli predominanti del sisma
(strutture flessibili) l’accelerazione massima del sistema tende
rapidamente a zero.
Sa/P
GA
T>>T T ≈ 0
3. Spettri di risposta
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Sd/P
GD
� per strutture rigide lo spostamento relativo del sistema risulta
inferiore a quello del terreno, al limite tende a zero per periodi prossimi
a zero;
� per strutture con periodo intermedio (nel caso in esame 1-2.5 sec) lo
spostamento relativo del sistema risulta amplificato rispetto a quello del
terreno;
� per strutture molto flessibili lo spostamento relativo del sistema tende
a quello del terreno.
T>>Tc T ≈ 0
3. Spettri di risposta
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Sd/P
GD
� all’aumentare dello smorzamento la risposta massima del sistema si
riduce. L’entità di tale riduzione varia a seconda del periodo del
sistema (e delle caratteristiche del sisma).
Comunque, l’effetto tende a scomparire per T � 0 e T � ∞.
Sa/P
GA
3. Spettri di risposta
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3. Spettro di risposta
Utilizzando lo spettro di risposta elastico è possibile ricondurre lo
studio di un problema dinamico (determinazione dei massimi effetti
prodotti dal sisma su una struttura) ad un problema statico:
AeDe
2
De
max
s SmSmSkF ⋅=⋅ω⋅=⋅=
Cg
S
W
Sm
W
F AeAemax
s ==⋅
=
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4. SISTEMI ANELASTICI
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4. Sistemi anelastici� Sistema elastico non smorzato (c = 0)
� Sistema anelastico non smorzato (c = 0)
Cerniera
plastica
L’energia immessa dal sisma nella struttura (area abc), attraverso il moto del terreno, viene accumulata dal sistema sottoforma di energia elastica di deformazione e di energia cinetica. Durante il moto si verifica un continuo scambio fra le due forme di energia ed il sistema continua ad oscillare, attorno alla posizione originaria, con ampiezza costante.
All’atto dell’inversione del moto (raggiungimento dello spostamento massimo), solo parte dell’energia di deformazione accumulata (area cdef) si trasforma in energia cinetica (area efg), poiché la restante parte (area cdeg) èstata dissipata, sottoforma di calore, dalla cerniera plastica. Le oscillazioni del sistema risultano smorzate ed esso ritorna rapidamente nella sua posizione di quiete.
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Sotto certe ipotesi (...), oscillatore
elastico ed oscillatore anelastico,
aventi il medesimo periodo di
vibrazione iniziale, esibiscono lo
stesso spostamento massimo a
seguito del sisma (umax).
Medesime prestazioni (↔ livelli di sicurezza) sotto sisma possono
essere ottenute facendo affidamento (i) su livelli di resistenza elevati
(Fse_max), con oscillazioni in campo elastico della struttura o (ii) sulla
capacità del sistema di subire escursioni in campo plastico dissipando energia (duttilità), ammettendo in tal caso livelli di resistenza molto più
bassi (Fs_y). � Costi inferiori
4. Sistemi anelastici
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geqeq xmukucum &&&&& −−−−====++++++++WsWdKo
umax
Keq
Keq
ceq
m
s
d
eq
eq
W2
W
km
c
⋅=
⋅ π
La risposta sismica di sistemi anelastici può essere studiata seguendo due
approcci diversi:
2. Utilizzando un modello non lineare per il legame costitutivo del materiale:
1. Considerando un sistema elastico equivalente:
FFs(u)
c
m
gs xm)u(Fucum &&&&& −−−−====++++++++
max
y
equ
Fk =
u
4. Sistemi anelastici
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4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari
gs xm
)u(Fu2u &&&&& −−−−====++++⋅⋅⋅⋅ωξωξωξωξ++++
m
k====ωωωω
ωωωω====ξξξξm2
c
Oscillatore semplice elasto-plastico soggetto ad azione sismica
EE’’ facile dimostrare che la risposta dellfacile dimostrare che la risposta dell’’oscillatore elastooscillatore elasto--plastico tende plastico tende
a coincidere con quella di un oscillatore identico ma a comportaa coincidere con quella di un oscillatore identico ma a comportamento mento
indefinitamente elastico, nellindefinitamente elastico, nell’’ipotesi di:ipotesi di:
(i) (i) sistema molto deformabilesistema molto deformabile,,
(ii) (ii) sistema molto rigidosistema molto rigido..
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sistemi molto deformabili(sia elastici che elasto-plastici)
0dt
xd
dt
ud
dt
xd
dt
xd
dt
udxu0uxx
2
g
2
2
2
2
2
2
g
2
2
2
gg ≈≈≈≈++++====⇒⇒⇒⇒−−−−≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈++++====
max
g2
2max
2
2
De
2
Ae
max
s xT
4mu
T
4mSmSmF ⋅⋅⋅⋅
ππππ⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅
ππππ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
0xxudt
xd
dt
xdxx g2
g
2
2
2
g ≈≈≈≈−−−−====⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈
0F xumax
s
max
g
max →→→→→→→→
max
g
max
s
maxxmF 0u &&⋅⋅⋅⋅→→→→→→→→
sistemi molto rigidi(sia elastici che elasto-plastici)
4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari
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Quanto detto finora, in aggiunta all’evidenza di numerosi studi di
carattere numerico e sperimentale, consente di correlare la risposta
(in termini di spostamento e forza massima) di un sistema elastico con
la risposta di un sistema anelastico avente lo stesso periodo iniziale
To.
Bisogna distinguere tre casi:
(1) Strutture che hanno un periodo iniziale To maggiore del periodo
dominante del sisma (0.1sec < Tav < 0.3sec per terreni rigidi, Tav >
1sec per terreni molto soffici);
(2) Strutture molto rigide, che hanno un periodo proprio iniziale Tomolto prossimo a zero;
(3) Strutture che hanno un periodo proprio iniziale To nell’intorno del
periodo dominante del sisma.
4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari
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(1) To > Tav il massimo spostamento raggiunto dal sistema anelastico risulta mediamente uguale a quello raggiunto dal corrispondente sistema elastico 11.
max
g
max
e
max
a xuu ≈≈≈≈≈≈≈≈
y
De
y
max
e
y
max
a
u
S
u
u
u
u====≅≅≅≅====µµµµ
AeDe
max
e
max
e,s SmSkukF ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
µµµµ⋅⋅⋅⋅
====µµµµ
≅≅≅≅⋅⋅⋅⋅==== Aemax
e,s
yy,s
SmFukF
µµµµ============ Aey,s
max
a,s
Aa
S
m
F
m
FS
1...e l’accelerazione spettrale pari a quella del sistema elastico divisa per la duttilità. Resta quindi definito un fattore di riduzione della forza R = µ
4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari
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(2) To ≈ 0 le accelerazioni massime raggiunte dai due sistemi (elastico ed anelastico) risultano all’incirca pari all’accelerazione massima del terreno11......111..
111...conviene progettare il sistema anelastico in modo che rimanga in campo elastico. Il fattore di riduzione della forza risulta quindi R = 1
max
g
max
e,s
max
a,s xmFF &&⋅⋅⋅⋅======== AeAa SS ====
y,s
max
a,s FF
(3) To < Tav sistema elastico e sistema anelastico presentano stessa energia di deformazione in corrispondenza del rispettivo spostamento massimo1...
111...Il fattore di riduzione della forza del sistema anelastico rispetto alla massima del sistema elastico risulta proporzionalealla radice quadrata della duttilità.
(((( )))) (((( ))))ymaxey,smaxe,s uuFF2
1−−−−⋅⋅⋅⋅−−−− (((( ))))maxemaxay,s uuF −−−−⋅⋅⋅⋅
12
FF
e,s
y,s−−−−µµµµ
====12
SS AeAa
−−−−µµµµ====
y
max
e
y,s
max
e,s
u
u
F
F====
y
max
a
u
u====µµµµ
max
e
max
a u12
u−−−−µµµµ
µµµµ====
4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari
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SAe
12R −−−−µµµµ====
µµµµ====R
1R→→→→
Forze di progetto per un sistema anelastico � Spettro elastico diviso per un
fattore di riduzione della forza (R) funzione della duttilità della struttura e
dipendente dal periodo di vibrazione iniziale del sistema.
SAa
4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari
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5. SISTEMI AD PIÙ GRADI DI LIBERTA’
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5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Le strutture tipiche dell’ingegneria civile non sono schematizzabili
come semplici oscillatori elementari ad 1-GL. Nel caso, ad esempio, di edifici multipiano, con solai rigidi nel piano, è possibile concentrare
le masse nei piani, assumendo come gradi di libertà dinamici
gli spostamenti orizzontali, secondo due direzioni ortogonali, e la
rotazione attorno all’asse verticale di ciascuna massa di piano.
Il comportamento nello spazio di un edificio di N piani è descritto da 3N gradi di libertà dinamici, che si riducono ad N se si opera nel piano.
Elemento fondamentale della dinamica dei sistemi elastici ad N-GL èla individuazione dei modi di vibrare del sistema, in numero pari al
numero di gradi di libertà del sistema.
In ciascun modo, tutte le masse oscillano con la medesima pulsazione ed in fase, mantenendo immutati i rapporti tra le ampiezze.
La risposta di una struttura elastica ad una qualsiasi forzante esterna o
perturbazione iniziale può comunque essere espressa attraverso una
combinazione lineare di modi di vibrare.
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(a) Schematizzazione di un edificio a 5 piani con solai rigidi nel piano (5-GL), (b) modello a masse concentrate, (c) modi
di vibrare del sistema
Modi di vibrare � Analisi modale
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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• Fine lezione
Equazioni del moto per sistema non smorzato in oscillazioni libere:
Forma della soluzione (definizione di modo di vibrare):
====
nn
11
m000
0...00
00...0
000m
M
====
nn1n
n111
k......k
............
............
k......k
K
====
)t(d
...
...
)t(d
)t(U
n
1
0
0
U)0(U
U)0(U&& ====
====
0KUUM ====++++&&
Le soluzioni dell’equazione del moto diverse da quella banale Φ = 0 sono tutte e sole quelle che soddisfano la relazione:
tie)t(U
ωωωω⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ==== (((( )))) 0MK 2 ====ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ωωωω−−−− [[[[ ]]]]n1T ...... φφφφφφφφ====ΦΦΦΦ
0MK2 ====ωωωω−−−− Equazione di grado “n” in ω
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Elementi di Dinamica Sismica
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La soluzione del problema agli autovalori fornisce le pulsazioni dei modi
di vibrare del sistema (ωj).
Gli autovettori ad essi associati (Φj) rappresentano le forme modali del sistema, definite a meno di una costante.
0MK2 ====ωωωω−−−− (((( )))) 1,...n j 0M-K 2T j2j
j
jj ========ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ωωωω→→→→ωωωωππππ
====→→→→ωωωω
E’ possibile dimostrare che gli autovettori associati a due pulsazioni
distinte (ωj ≠ ωi) risultano ortogonali rispetto alla matrice delle masse e delle rigidezze, cioè:
0K
0M
j
T
i
j
T
i
====ΦΦΦΦΦΦΦΦ
====ΦΦΦΦΦΦΦΦ
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Elementi di Dinamica Sismica
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j ≠ i
j ≠ i
Esempio 1:
struttura intelaiata a tre piani, con impalcati rigidi e pianta quadrata
Modello 2D (3-GL)
Modello 3D (9-GL)Modello 3D_dirX (3-GL)
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Elementi di Dinamica Sismica
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La soluzione dell’equazione del moto di un sistema ad N-GL può
comunque essere espressa come combinazione lineare dei modi di
vibrare del sistema:
∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ========
n
1iii )t(y)t(U
le funzioni del tempo yi(t) rappresentano le incognite del problema e
vengono dette coordinate principali.
Sostituendo l’espressione della soluzione nelle equazioni del moto:
0KUUM ====++++&& [[[[ ]]]] 0yKyMn
1iiiii ====∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅
====&&
Premoltiplicando per Φi e sfruttando la proprietà di ortogonalità:
0yKyM iiT
jii
T
j ====⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ++++⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ &&TT...T
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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T..T..ponendo quindi:
0ykym j*
jj
*
j ====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ &&
i
T
j
*
j Mm ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ==== iT
j
*
j Kk ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====
si ottiene:
ovvero:
0yy j2
jj ====⋅⋅⋅⋅ωωωω++++&&
essendo il quadrato della pulsazione del j-mo modo di
vibrare del sistema.
*
j
*
j
2
j mk====ωωωω
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Elementi di Dinamica Sismica
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Introducendo i modi di vibrare si è trasformata l’equazione del moto da
un sistema di equazioni differenziali accoppiate ad un sistema di “n”
equazioni differenziali indipendenti (una per ogni modo), ad un solo
grado di libertà yj(t):
1,...nj 0yy j2
jj ========⋅⋅⋅⋅ωωωω++++&&0KUUM ====++++&&
Determinate le n coordinate principali yj(t), la risposta totale del
sistema si ottiene sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti
:
∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ========
n
1iii )t(y)t(U
Da un punto di vista operativo, ciò corrisponde a vedere la struttura
come un insieme di n sistemi ad 1-GL che concorrono, in misura
diversa, a definire la risposta totale del sistema.
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Elementi di Dinamica Sismica
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I contributi dei modi di vibrare alla risposta totale del sistema non sono
tutti uguali. Generalmente, il contributo è maggiore per i modi con
periodo di vibrazione alto, diminuendo progressivamente per i modi
con periodo di vibrazione basso.
Generalmente, quindi, non è necessario portare in conto tutti quanti i
modi per determinare, con sufficiente approssimazione, la risposta
totale della struttura.
Al limite, se il primo modo risulta essere preponderante sugli altri, è
possibile approssimare il comportamento di un sistema ad N-GL con
quello di un sistema ad 1-GL, avente periodo pari a quello del primo
modo di vibrare della struttura.
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
Elementi di Dinamica Sismica
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In presenza di sisma:
gxRMKUUCUM &&&&& ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++++++
= storia delle accelerazioni del terreno (accelerogramma)
R = vettore di trascinamento, che fornisce i coseni direttori dei gradi di libertàrispetto alla direzione dell’azione sismica
gx&&
Problema 2D (sisma_dirX) Problema 3D (sisma_XY)
KM
c......c
............
............
c......c
C
nn1n
n111
⋅⋅⋅⋅ββββ++++⋅⋅⋅⋅αααα====
====
C = matrice di smorzamento viscoso),,,(f, 2121 ξξωωβα =
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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Esprimendo la soluzione dell’equazione del moto come combinazione
dei modi di vibrare del sistema(*):
gxRMKUUCUM &&&&& ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++++++
∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ========
n
1iii )t(y)t(U
x2 g2
&&&&& ⋅−=⋅+⋅⋅⋅+ jjjjjjj yyy πωωξ
è possibile disaccoppiare le equazioni del moto:
Il termine πj viene detto coefficiente di partecipazione modale e misura l’importanza di ciascun modo alla risposta totale del sistema. Il
coefficiente di partecipazione modale si esprime come:
M
RM
j
T
j
T
j
j ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====ππππ
(*) I modi di vibrare sono una caratteristica intrinseca del sistema, non dipendono dall’azione: restano quelli calcolati in oscillazioni libere
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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La soluzione di ciascuna delle n equazioni del moto:
x2 g2
&&&&& ⋅−=⋅+⋅⋅⋅+ jjjjjjj yyy πωωξ
si ottiene dalla soluzione dell’equazione del moto dell’oscillatore
elementare:
gj
2
jjjjj xuu2u &&&&& −−−−====⋅⋅⋅⋅ωωωω++++⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ξξξξ⋅⋅⋅⋅++++
amplificata del fattore πj:
)t(u)t(y jjj ⋅⋅⋅⋅ππππ====
Il vettore dei gradi di libertà del sistema, al j-mo modo, risulta quindi:
)t(u)t(y)t(U jjjjjj ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ππππ====⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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La soluzione totale è sovrapposizione dei contributi modali:
Z~
)t(u)t(Un
1jjjj ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ππππ====
====
φφφφφφφφ
φφφφφφφφ
====ΦΦΦΦ
n
n
n
1
1
n
1
1
......
............
............
......
~
====
)t(y
...
...
)t(y
)t(Z
n
1
E’ possibile quindi definire “n” sistemi di forze statiche equiv.:
)t(a~
M)t(y~
M)t(y~
K)t(Z~
K)t(UK)t(F jjjj2
jjjs ⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====spostamento
pseudoaccelerazione
con cui ricavare, tramite
analisi statica, reazioni e
sollecitazioni agenti nella
struttura al generico istante
di tempo t, per ciascun
modo di vibrare.1° modo 2° modo 3° modo 4° modo 5° modo
Distribuzione schematica delle forze statiche equivalenti associate ai diversi modi
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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Ad esempio, il taglio totale alla base di un edificio multipiano è pari alla
somma delle forze statiche equivalenti relative agli “n” modi:
)t(um~)t(u)M(
)MR()t(FR )t(f)t(V j
2
j
n
1jj
n
1jj
2
j
j
T
j
2
j
T
s
Tn
1i
i
sb ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅∑∑∑∑====∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅∑∑∑∑ ========
============forza al piano i-mo
Il termine:
)M(
)RM(m~
j
T
j
2T
j
j ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====
ha le dimensioni di una massa ed è solitamente indicato come massa
efficace della struttura al modo j-mo, poiché può essere interpretato
come la quota parte della massa totale della struttura eccitata dal j-mo
modo di vibrare.
(*)
(*) se si sono normalizzati i modi di vibrare ( )
tot
n
1jj Mm
~ ====∑∑∑∑====
Mm~ totnm
1jj ⋅⋅⋅⋅αααα====∑∑∑∑
Se non si è interessati al comportamento nel tempo del sistema, ma
solo alla risposta massima, si può utilizzare lo spettro di risposta.
Ad esempio, il vettore dei massimi spostamenti relativi ed il massimo
taglio alla base, in corrispondenza del j-mo modo, risultano:
)t(u)t(U jjjj ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ππππ==== ),T(SU jjDejjmax
j ξξξξ⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====
)t(am~)t(V jjbj ⋅⋅⋅⋅==== ),T(Sm~V jjAej
max
bj ξξξξ⋅⋅⋅⋅====
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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I massimi modali sono in valore assoluto. Inoltre, essi non sono
contemporanei fra loro. Pertanto, la risposta globale del sistema non
può essere ottenuta semplicemente sommando i massimi modali
dedotti con lo spettro di risposta. Si ricorre a tecniche di combinazione
modale derivanti da analisi probabilistica:
SRSS � E = (Σi Ei2)1/2 se (Ti-Tj)/Ti > 0.1
CQC � E = (ΣiΣj ρij Ei Ej)1/2 se (Ti-Tj)/Ti ≤ 0.1
E è il valore totale della componente di risposta sismicaEi è il valore della medesima componente dovuta al modo i Ej è il valore della medesima componente dovuta al modo jρij = (8ξ2 (1 + βij) βij3/2) / ((1 - βij2)2 + 4ξ2βij(1 + βij)2)ξ è il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente βij è il rapporto tra le frequenze dei modi i-j (βij = ωi/ωj).
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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Analisi modale con spettro di risposta di un edificio multipiano
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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Esempio 1: struttura intelaiata ad N
piani: influenza sui modi di vibrare
della regolarità della struttura in
pianta
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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Esempio 2: struttura intelaiata ad N
piani: influenza sui modi di vibrare
della struttura di irregolarità in pianta
conseguenti ad una non coincidenza
fra centro di massa e centro di
rigidezza
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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Esempio 3: struttura intelaiata ad N
piani: influenza sui modi di vibrare
della struttura di irregolarità in pianta
conseguenti ad una non coincidenza
fra centro di massa e centro di
rigidezza
5. Sistemi elastici a più gradi di libertà
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1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
1. Modello strutturale, matrici di massa e di rigidezza
m, EJt = ∞
m, EJt = ∞EJpEJp
EJpEJp
h
h
v1
v2
gv&&
====
m0
0mM
3
p
h
EJ12k
⋅=
F,v
h = 4m
m = 1 tonsec2/m
K = 900 ton/m
−−−−
−−−−====
k4k2
k2k2K
{{{{ }}}}21T vvU ==== {{{{ }}}}11RT ====
sec 09.07.682T2 ====ππππ====
sec 24.01.262T1 ====ππππ====⇒⇒⇒⇒
{{{{ }}}}0.619 1T1 ====ΦΦΦΦ {{{{ }}}}1 0.619T2 −−−−====ΦΦΦΦ
1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
2. Calcolo autovalori e autovettori
0k4mk6mmk4k2
k2mk2MK 222 ====⋅⋅⋅⋅++++λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−λλλλ⋅⋅⋅⋅====
λλλλ−−−−−−−−
−−−−λλλλ−−−−====⋅⋅⋅⋅λλλλ−−−−
)mk(236.5 ),mk(763.0)mk()53( 21 ⋅⋅⋅⋅====λλλλ⋅⋅⋅⋅====λλλλ⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅±±±±====λλλλ
rad/sec 1.26mk87.01 ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅====ωωωω
rad/sec 7.68mk29.22 ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅====ωωωω
0vk2v)k763.0k2( 21 ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
( ) 0763.042 21 ⇒=⋅−+⋅− vkkvk
1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
3. Normalizzazione autovettori
{ } ⇒⋅=
⋅
⋅=Φ⋅⋅Φ mmMT 383.1
619.0
1
10
01619.0111 {{{{ }}}}526.085.0TN1 ====ΦΦΦΦ
{ } ⇒⋅=
−⋅
⋅−=Φ⋅⋅Φ mmMT 383.1
1
619.0
10
011619.022 {{{{ }}}}85.0526.0TN2 −−−−====ΦΦΦΦ
1°modo 2°modo
1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
4. Coefficienti di partecipazione modale
{{{{ }}}} 376.11
1
10
01526.085.0RMT11 ====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====ππππ
{{{{ }}}} 323.01
1
10
0185.0526.0RMT22 ====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====ππππ
tot
2
2
2
1 M2 ⇔⇔⇔⇔====ππππ++++ππππ
1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
5. Risposta massima modale
2
11A1
max
1 m/sec 12.6
89.9SU
====ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ππππ====&&
2
A11 m/sec 58.8Ssec 24.0T ====⇒⇒⇒⇒====2
A22 m/sec 52.6Ssec 09.0T ====⇒⇒⇒⇒====
2
22A2
max
2 m/sec 79.1
1.1SU
−−−−
====ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ππππ====&&
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Periodo (sec)
Sa (
m/s
ec2)
Spettro elastico NI
(zona 1_suolo A)
PGA = 0.35g
ξ = 5%
1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
6. Forze statiche equivalenti
ton 12.6
89.9vMF max1
max
1
====⋅⋅⋅⋅==== ton 79.1
1.1vMF max2
max
2
−−−−
====⋅⋅⋅⋅====
1°modo 2°modo
9.89
6.12 1.79
1.1
2max
2b
2max
1b
max
b )V()V(V ++++====
ton 03.16
2max
2b
2max
1b
max
b )M()M(M ++++====
tm 03.611
1. Concetti di base di dinamica delle strutture
1.4 Sistemi elastici ad N-GL
Esempio:
Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta
7. Effetti (sollecitazioni, reazioni, ecc.) massimi
{{{{ }}}} ton 01.61 12.6
89.911FRV max1
Tmax
1b ====
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
{{{{ }}}} ton 69.0 79.1
1.111FRV max2
Tmax
2b ====
−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
=
SRSS
{{{{ }}}} tm 6.103 12.6
89.948FHM max1
Tmax
1b ====
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
{{{{ }}}} tm 64.1 79.1
1.148FHM max2
Tmax
2b −−−−====
−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
=
SRSS
5. SISTEMI CONTINUI
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Vi sono casi in cui non è possibile individuare masse ed elasticità
concentrate in numero finito (sistemi a n GL) e occorre fare riferimento a
modelli continui.
TRAVE DEFORMABILE A TAGLIO
XX
m(X),m(X), AAss(X),(X), GG
v(x, t)v(x, t)
p(x, t)p(x, t)
Rigidezza tagliante: Ks(x) = G As(x)
Per piccoli spostamenti: γ = dv / dx = v’(x, t) da cui:
T(x) = -G As(x) v’ (x, t)
Ft = m(x) v(x,t) dxFt = m(x) v(x,t) dx
dxdx
T T+
dvdv
p(x, t) dxp(x, t) dx
x
T
∂∂
..
6. Sistemi continui
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6. Sistemi continui
Per la scrittura dell’equazione del moto si impone l’equilibrio alla
traslazione verticale:
0),(),()( =+−∂∂
−− dxtxpdxtxvxmdxx
TTT
....
[ ] ),(),(')(),()( txptxvxKx
txvxm s =∂∂
−....
Nel caso di travi a sezione costante: ),(),(''),( txptxvKtxmv s =−....
Nel caso di oscillazioni libere, ponendo:
0),(''),( 2 =− txvcdxtxv s....
m
Kc ss =
si ottiene quindi:
dove cs ha dimensioni di una velocità.
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6. Sistemi continui
TRAVE DEFORMABILE A SFORZO ASSIALE
XX
m(X),m(X), A(X),A(X), EE
u(x, t)u(x, t)
n(x, t)n(x, t)
Ft = m(x) u(x,t) dxFt = m(x) u(x,t) dx
dxdx
N N +
n(x, t) dxn(x, t) dx
x
N
∂∂
..
Rigidezza estensionale: KN(x) = E As(x)
Per piccoli spostamenti: ε = du / dx = u’(x, t) da cui:
N(x) = EAs(x) u’ (x, t)
è pari allo sforzo N che
produce una deformazione
e unitaria
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6. Sistemi continui
Per la scrittura dell’equazione del moto si impone l’equilibrio alla
traslazione orizzontale:
0),(),()( =+−∂∂
−− dxtxndxtxuxmdxx
NNN
....
[ ] ),(),(')(),()( txntxuxKx
txuxm N =∂∂
−....
Nel caso di travi a sezione costante: ),(),(''),( txntxuKtxmu N =−....
Nel caso di oscillazioni libere, ponendo:
0),(''),( 2 =− txucdxtxu N....
m
Kc NN =
si ottiene quindi:
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6. Sistemi continui
0),(''),( 2 =− txvcdxtxv s....
0),(''),( 2 =− txucdxtxu N....
l’equazione del moto è formalmente identica per entrambi le condizioni:
SFORZO ASSIALE TAGLIO
La soluzione si ottiene per separazione delle variabili, ponendo:
v(x,t) = φ(x) y(t)
Da cui:
φ(x) y(t) – c2 φ’’(x) y(t) = 0....
22
)(
)(
)(
)(''ω
φφ
−==ty
ty
x
xc
.... La costante ω deve essere necessariamente negativa
altrimenti la soluzione non è
accettabile perché divergente.
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6. Sistemi continuiLa soluzione dell’equazione nelle incognite x e t viene ricondotta alla
soluzione delle seguenti due equazioni differenziali:
0)()(''2
2
=+ xc
x φω
φ
....
0)()( 2 =+ tyty ω&&
Trattandosi di equazioni differenziali lineari del secondo ordine e a
coefficienti costanti, ponendo g=ω/c, si ottengono le seguenti soluzioni:
φ(x) = A1sin(gx) + A2cos(gx)
y(t) = B1sin(ωt) + B2cos(ωt)
Condizioni al contorno:
y(0) = y0
y(0) = y0
. . )0(;)0(
21 yBy
B ==ω&
Risposta in spostamento (x) Risposta nel tempo (t)
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6. Sistemi continui
Mensola deformabile a tagliox
L
Si analizza la risposta al variare di x fornita dall’equazione:
φ(x) = A1sin(gx) + A2cos(gx)
Le costanti Ai si ricavano dalle seguenti condizioni:
φ(0) = spostamento nullo all’incastro
φ’(L) = taglio nullo all’estremo libero (T(L)=-GAsφ’(L)y(t))
Il sistema ammette infinite soluzioni, cioè sono infiniti i valori di Ai che
soddisfano le assegnate condizioni al contorno
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6. Sistemi continui
Mensola deformabile a taglioDalla condizione φ(0) = 0 si ottiene A2 = 0
Considerado che:
φ’(L)= g A1 cos(gL) = 0φ’(x) =g A1 cos(gx)
Se si esclude il caso banale di assenza di moto A1 = 0, la precedente
condizione è verificata, qualunque sia il valore di A1, per:
gL = ((2j -1) π/2 gj = ((2j -1) π/2L
Esistono pertanto infinite soluzioni, ottenibili al variare di j, conseguenza
del fatto che il sistema continuo possiede infiniti gradi di libertà, che
assumono la forma
φ(x) = A1sin(gx) + A2cos(gx)
−= xL
jAx jj2)12(sin)( 1π
φ
Con la costante A1j arbitraria
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−= xL
jAx jj2)12(sin)( 1π
φ
6. Sistemi continui
Mensola deformabile a taglio
Fornisce le infinite forme modali
o autofunzioni possedute dal
sistema
Ricordando che gj = ωj / cs si ottengono anche i valori delle infinite pulsazioni ωi e degli infiniti periodo di vibrare Tj:
m
K
Lj
L
cj sj
sj
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Elementi di Dinamica Sismica
Monitoraggio Strutturale: Prof. Felice Carlo Ponzo – Univ. Degli studi della Basilicata