Post on 01-Jan-2020
E il seme cadde altrove
Massimo Ferri
Dip. di Matematica
Univ. di Bologna
E il seme cadde altrove
• Le idee
• Probabilità
– Giochi d’azzardo -Meccanica quantistica - Google Rank
• Geometria proiettiva
– Prospettiva - Goal fantasma - Robotica
• Seno e coseno
– Aryabhata - Fourier - jpg
• Conoscenza e applicazioni
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Le idee
Un'idea viene (se viene...) quando ce n'è bisogno. E poco importa se chi la concepisce è o si sente matematico, fisico, ingegnere o astronomo. O artista.
Ma poi magari il matematico si chiede: quest'idea funziona in condizioni più generali? Allora (se ci riesce...) produce un modello formale che forse spartisce ben poco con la situazione originale.
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Le idee
Spesso il modello formale costruito dal matematico resta solo un vestito elegante per l'idea iniziale.
Qualche volta (molte volte!) avviene un miracolo: il modello formale viene riconosciuto come applicabile in ambiti totalmente diversi. La formalizzazione, la generalizzazione matematica ha portato il seme di quell'idea in un campo lontano... Festa della Matematica, Riccione, 22/3/2015 M. Ferri - E il seme cadde altrove 4/49
E il seme cadde altrove
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Probabilità
La divisione della posta in caso d'interruzione di un gioco d'azzardo aveva già interessato Cardano, Pacioli, Tartaglia. Nel 1654 Pascal e Fermat mettono a punto il primo vero studio sulla probabilità discreta.
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Probabilità
Il primo vero trattato di probabilità come branca della matematica è dovuto a Jakob Bernoulli (1713).
Intanto la probabilità si è affrancata dall'ambito discreto. Compare il concetto di densità di probabilità.
(Problema dell'ago di Buffon, 1777)
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Probabilità
Con la meccanica quantistica la fisica perde il suo fondamento deterministico. Nell'equazione di Schrödinger (1926) la funzione incognita ψ è una funzione complessa di ampiezza di probabilità che permette interferenze e il cui modulo costituisce una densità di probabilità.
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Probabilità
Ma anche nell'ambito discreto si verificano progressi, per esempio con le catene di Markov (1906), sequenze di transizioni fra gli stati di un sistema.
Le applicazioni sono innumerevoli: dalla fisica alla chimica all'intelligenza artificiale.
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Probabilità
Un'applicazione delle catene di Markov, insieme a un teorema di teoria dei grafi, arricchisce due giovani di genio: Larry Page e Sergey Brin.
Infatti il Google Rank (1996) mediante il quale Google ordina le pagine pertinenti alla query indica la probabilità di arrivare in una pagina attraverso un "cammino casuale" saltando da link in link.
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Geometria proiettiva
Una prospettiva intuitiva era conosciuta già nell'antichità
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Geometria proiettiva
Ma fino al XIV secolo c‘è chi la sbaglia del tutto...
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Geometria proiettiva
... e probabilmente Mantegna (1431-1506) la "sbaglia" volutamente.
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Geometria proiettiva
Filippo Brunelleschi (1377-1446) inventa la prospettiva geometrica lineare e Leon Battista Alberti (1404-1472) la inserisce nel suo trattato "De pictura".
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Geometria proiettiva
Anche Piero della Francesca (1416-1492), pittore e matematico, teorizza e usa la moderna prospettiva.
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Geometria proiettiva
Mentre Girard Desargues (1591-1661) formalizza il concetto di spazio proiettivo, René Descartes (1596-1650) inventa le coordinate.
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Geometria proiettiva
Tocca ad August Ferdinand Möbius (1790-1868) mettere insieme le due cose e inventare le coordinate omogenee.
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Geometria proiettiva
Affinità
Omografia
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Geometria proiettiva
Foto multiple -> foto panoramica
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Geometria proiettiva
Le traslazioni non vanno bene. Occorre usare la geometria proiettiva!
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Geometria proiettiva
Un altro effetto per cui è necessaria la geometria proiettiva
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Geometria proiettiva
A. Zisserman (Oxford) applica la geometria proiettiva al controllo dei "goal fantasma" e alle telecamere virtuali.
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Geometria proiettiva
Generica
affinità
Generica omografia
Formule di passaggio
Affinità come particolare omografia
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Geometria proiettiva
Nella cinematica di un braccio robotico si deve ottenere la posizione del punto finale (end effector) da una composizione di trasformazioni.
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Geometria proiettiva Per esempio una rotazione seguita da una traslazione avrà la forma:
ma nelle composizioni quella somma dà fastidio, perciò anche se non ci sono questioni di punti impropri, di prospettiva ecc. si preferisce passare a coordinate omogenee, in modo che ogni composizione sia semplicemente un prodotto di matrici. La stessa trasformazione si rappresenta dunque così:
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Geometria proiettiva
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Seno e coseno
499 dC: Āryabhaṭa (in parte preceduto da Ipparco di Nicea) inventa il seno di un angolo per i suoi calcoli astronomici; lavoro proseguito dai matematici arabi.
Nel 1295 Ramon Llull ne descrive l’uso per la navigazione.
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Seno e coseno
Leibniz studia la funzione seno nel 1682, dimostrando che non è algebrica.
E’ Roger Cotes il primo, nel 1722, a dimostrare che la derivata del seno è il coseno (e la derivata seconda è - seno).
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Seno e coseno
Eulero studia approfonditamente le funzioni trigonometriche e nel 1748 le lega a quella curiosità matematica che sono i numeri complessi:
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
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Seno e coseno
Jean-Baptiste Fourier studia la conduzione del calore in una sbarra, regolata da una semplice equazione differenziale:
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Seno e coseno
Fourier affronta nel 1807 il problema mediante "separazione delle variabili":
da cui
e la soluzione
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Seno e coseno
Ciò lo porta alla costruzione della serie di Fourier:
che si presta alla soluzione di numerosi altri problemi e che permette la rappresentazione in termini di seno e coseno di (quasi) ogni funzione periodica!
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Seno e coseno
Le applicazioni della serie di Fourier sono ormai molto lontane dal problema della diffusione del calore; due esempi importanti sono:
• Analisi del segnale
– Riconoscimento di un'onda radar
– Analisi del parlato
• Compressione del segnale
– CD
– telefonia
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Seno e coseno
La serie di Fourier rende possibile oggi qualcosa che ieri era solo fantascienza...
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Seno e coseno
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Seno e coseno
L'evoluzione della serie in campo complesso, passando per la formula di Eulero, è la trasformata di Fourier (1822):
fondamentale, per esempio, nell'elaborazione e correzione di immagini.
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Seno e coseno
Due funzioni periodiche (in alto) e le loro trasformate di Fourier
(http://www.cs.unm.edu/~brayer/vision/fourier.html)
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Seno e coseno
Due immagini reali (in alto) e le loro trasformate di Fourier
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Seno e coseno
Eliminazione di frequenze indesiderate Festa della Matematica, Riccione, 22/3/2015 M. Ferri - E il seme cadde altrove 41/49
Seno e coseno
Restauro di immagini sfocate
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Seno e coseno
Compressione di immagini. La compressione di immagini mediante trasformata di Fourier è alla base del formato jpg (1994), oggi comunissimo.
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Seno e coseno
Agendo sulla trasformata di Fourier si può correggere una foto mossa!
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E il seme cadde altrove
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Conoscenza e applicazioni
Le ricadute concrete di conoscenze apparentemente fini a se stesse sono innumerevoli:
• Struttura della molecola d'acqua -> Forno a microonde
• Stati energetici del nucleo -> Risonanza magnetica
• Linguistica -> Traduzione automatica
• Algebra modulare -> Crittografia a chiave pubblica
• Legge di Faraday-Neumann-Lenz -> Dinamo, motori elettrici ("Why, sir, there is every probability that you will soon be able to tax it")
• ...
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Conoscenza e applicazioni
Nel fastidioso dibattito fra chi sostiene il sapere e chi gli contrappone il saper fare occorrerebbe riconoscere quanto spesso sono stati intrecciati nella storia del progresso tecnico e scientifico.
Spesso un problema concreto ha stimolato un'idea. Poi ci si è affezionati all'idea e si è voluto "saperne di più". Molte volte questo passaggio è stato di carattere matematico.
Ma l'importante è lasciarci liberi:
• di trarre spunto da qualsiasi cosa per allargare e approfondire le nostre conoscenze
• di applicare le nostre conoscenze per il benessere comune.
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Conoscenza e applicazioni
Se osate parlare della vostra curiosità per la conoscenza pura e semplice, troverete senz'altro chi vi rinfaccerà obiettivi più urgenti. Allora, per favore, ricordate al vostro interlocutore che anche i nostri lontani progenitori, pur con tutti i loro concretissimi problemi, guardavano con stupore le stelle.
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GRAZIE PER L'ATTENZIONE !
massimo.ferri@unibo.it
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