E il seme cadde altrove - unibo.itferri/hm/FerriRiccione2015.pdf · inserisce nel suo trattato "De...

E il seme cadde altrove

Massimo Ferri

Dip. di Matematica

Univ. di Bologna


• Le idee

• Probabilità

– Giochi d’azzardo -Meccanica quantistica - Google Rank

• Geometria proiettiva

– Prospettiva - Goal fantasma - Robotica

• Seno e coseno

– Aryabhata - Fourier - jpg

• Conoscenza e applicazioni

Festa della Matematica, Riccione, 22/3/2015 M. Ferri - E il seme cadde altrove 2/49

Le idee

Un'idea viene (se viene...) quando ce n'è bisogno. E poco importa se chi la concepisce è o si sente matematico, fisico, ingegnere o astronomo. O artista.

Ma poi magari il matematico si chiede: quest'idea funziona in condizioni più generali? Allora (se ci riesce...) produce un modello formale che forse spartisce ben poco con la situazione originale.


Le idee

Spesso il modello formale costruito dal matematico resta solo un vestito elegante per l'idea iniziale.

Qualche volta (molte volte!) avviene un miracolo: il modello formale viene riconosciuto come applicabile in ambiti totalmente diversi. La formalizzazione, la generalizzazione matematica ha portato il seme di quell'idea in un campo lontano... Festa della Matematica, Riccione, 22/3/2015 M. Ferri - E il seme cadde altrove 4/49


• Le idee

• Probabilità




• Seno e coseno




Probabilità

La divisione della posta in caso d'interruzione di un gioco d'azzardo aveva già interessato Cardano, Pacioli, Tartaglia. Nel 1654 Pascal e Fermat mettono a punto il primo vero studio sulla probabilità discreta.


Probabilità

Il primo vero trattato di probabilità come branca della matematica è dovuto a Jakob Bernoulli (1713).

Intanto la probabilità si è affrancata dall'ambito discreto. Compare il concetto di densità di probabilità.

(Problema dell'ago di Buffon, 1777)


Probabilità

Con la meccanica quantistica la fisica perde il suo fondamento deterministico. Nell'equazione di Schrödinger (1926) la funzione incognita ψ è una funzione complessa di ampiezza di probabilità che permette interferenze e il cui modulo costituisce una densità di probabilità.


Probabilità

Ma anche nell'ambito discreto si verificano progressi, per esempio con le catene di Markov (1906), sequenze di transizioni fra gli stati di un sistema.

Le applicazioni sono innumerevoli: dalla fisica alla chimica all'intelligenza artificiale.


Probabilità

Un'applicazione delle catene di Markov, insieme a un teorema di teoria dei grafi, arricchisce due giovani di genio: Larry Page e Sergey Brin.

Infatti il Google Rank (1996) mediante il quale Google ordina le pagine pertinenti alla query indica la probabilità di arrivare in una pagina attraverso un "cammino casuale" saltando da link in link.



• Le idee

• Probabilità




• Seno e coseno




Geometria proiettiva

Una prospettiva intuitiva era conosciuta già nell'antichità



Ma fino al XIV secolo c‘è chi la sbaglia del tutto...



... e probabilmente Mantegna (1431-1506) la "sbaglia" volutamente.



Filippo Brunelleschi (1377-1446) inventa la prospettiva geometrica lineare e Leon Battista Alberti (1404-1472) la inserisce nel suo trattato "De pictura".



Anche Piero della Francesca (1416-1492), pittore e matematico, teorizza e usa la moderna prospettiva.



Mentre Girard Desargues (1591-1661) formalizza il concetto di spazio proiettivo, René Descartes (1596-1650) inventa le coordinate.



Tocca ad August Ferdinand Möbius (1790-1868) mettere insieme le due cose e inventare le coordinate omogenee.



Affinità

Omografia



Foto multiple -> foto panoramica



Le traslazioni non vanno bene. Occorre usare la geometria proiettiva!



Un altro effetto per cui è necessaria la geometria proiettiva



A. Zisserman (Oxford) applica la geometria proiettiva al controllo dei "goal fantasma" e alle telecamere virtuali.



Generica

affinità

Generica omografia

Formule di passaggio

Affinità come particolare omografia



Nella cinematica di un braccio robotico si deve ottenere la posizione del punto finale (end effector) da una composizione di trasformazioni.


Geometria proiettiva Per esempio una rotazione seguita da una traslazione avrà la forma:

ma nelle composizioni quella somma dà fastidio, perciò anche se non ci sono questioni di punti impropri, di prospettiva ecc. si preferisce passare a coordinate omogenee, in modo che ogni composizione sia semplicemente un prodotto di matrici. La stessa trasformazione si rappresenta dunque così:



• Le idee

• Probabilità




• Seno e coseno




Seno e coseno

499 dC: Āryabhaṭa (in parte preceduto da Ipparco di Nicea) inventa il seno di un angolo per i suoi calcoli astronomici; lavoro proseguito dai matematici arabi.

Nel 1295 Ramon Llull ne descrive l’uso per la navigazione.


Seno e coseno

Leibniz studia la funzione seno nel 1682, dimostrando che non è algebrica.

E’ Roger Cotes il primo, nel 1722, a dimostrare che la derivata del seno è il coseno (e la derivata seconda è - seno).


Seno e coseno

Eulero studia approfonditamente le funzioni trigonometriche e nel 1748 le lega a quella curiosità matematica che sono i numeri complessi:

exp(ix) = cos(x) + i sin(x)


Seno e coseno

Jean-Baptiste Fourier studia la conduzione del calore in una sbarra, regolata da una semplice equazione differenziale:


Seno e coseno

Fourier affronta nel 1807 il problema mediante "separazione delle variabili":

da cui

e la soluzione


Seno e coseno

Ciò lo porta alla costruzione della serie di Fourier:

che si presta alla soluzione di numerosi altri problemi e che permette la rappresentazione in termini di seno e coseno di (quasi) ogni funzione periodica!


Seno e coseno

Le applicazioni della serie di Fourier sono ormai molto lontane dal problema della diffusione del calore; due esempi importanti sono:

• Analisi del segnale

– Riconoscimento di un'onda radar

– Analisi del parlato

• Compressione del segnale

– CD

– telefonia


Seno e coseno

La serie di Fourier rende possibile oggi qualcosa che ieri era solo fantascienza...


Seno e coseno


Seno e coseno

L'evoluzione della serie in campo complesso, passando per la formula di Eulero, è la trasformata di Fourier (1822):

fondamentale, per esempio, nell'elaborazione e correzione di immagini.


Seno e coseno

Due funzioni periodiche (in alto) e le loro trasformate di Fourier

(http://www.cs.unm.edu/~brayer/vision/fourier.html)


Seno e coseno

Due immagini reali (in alto) e le loro trasformate di Fourier


Seno e coseno

Eliminazione di frequenze indesiderate Festa della Matematica, Riccione, 22/3/2015 M. Ferri - E il seme cadde altrove 41/49

Seno e coseno

Restauro di immagini sfocate


Seno e coseno

Compressione di immagini. La compressione di immagini mediante trasformata di Fourier è alla base del formato jpg (1994), oggi comunissimo.


Seno e coseno

Agendo sulla trasformata di Fourier si può correggere una foto mossa!



• Le idee

• Probabilità




• Seno e coseno




Conoscenza e applicazioni

Le ricadute concrete di conoscenze apparentemente fini a se stesse sono innumerevoli:

• Struttura della molecola d'acqua -> Forno a microonde

• Stati energetici del nucleo -> Risonanza magnetica

• Linguistica -> Traduzione automatica

• Algebra modulare -> Crittografia a chiave pubblica

• Legge di Faraday-Neumann-Lenz -> Dinamo, motori elettrici ("Why, sir, there is every probability that you will soon be able to tax it")

• ...



Nel fastidioso dibattito fra chi sostiene il sapere e chi gli contrappone il saper fare occorrerebbe riconoscere quanto spesso sono stati intrecciati nella storia del progresso tecnico e scientifico.

Spesso un problema concreto ha stimolato un'idea. Poi ci si è affezionati all'idea e si è voluto "saperne di più". Molte volte questo passaggio è stato di carattere matematico.

Ma l'importante è lasciarci liberi:

• di trarre spunto da qualsiasi cosa per allargare e approfondire le nostre conoscenze

• di applicare le nostre conoscenze per il benessere comune.



Se osate parlare della vostra curiosità per la conoscenza pura e semplice, troverete senz'altro chi vi rinfaccerà obiettivi più urgenti. Allora, per favore, ricordate al vostro interlocutore che anche i nostri lontani progenitori, pur con tutti i loro concretissimi problemi, guardavano con stupore le stelle.


GRAZIE PER L'ATTENZIONE !

[email protected]


E il seme cadde altrove - unibo.itferri/hm/FerriRiccione2015.pdf · inserisce nel suo trattato "De...

Documents

Transcript of E il seme cadde altrove - unibo.itferri/hm/FerriRiccione2015.pdf · inserisce nel suo trattato "De...