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Dark solitonsVortici solitonici
ConclusioniBibliogra�a
Dark solitons e vortici solitonici
Università del SalentoFacoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di laurea magistrale in Fisica
Lecce, 18 Giugno 2010
Gabriele Sicuro Dark Solitons e Vortici Solitonici
Dark solitonsVortici solitonici
ConclusioniBibliogra�a
Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre ottiche
Adoperiamo le equazioni di Maxwell nella materia in assenza di cariche e
supponendo la magnetizzazione del mezzo trascurabile
∇ ·D = 0, ∇ · B = 0, ∇×H =∂D
∂t, ∇× E = −∂B
∂t,
D = ε0E+ P, B = µ0H+M ≈ µ0H,
Si pone:
1
ε0P =
∫ +∞
−∞χ(1)(t − τ)E(τ)dτ︸ ︷︷ ︸termine lineare PL
+
+
∫∫∫ +∞
−∞χ(3)(t − τ1, t − τ2, t − τ3) [E(τ1) · E(τ2)]E(τ3) dτ1 dτ2 dτ3︸ ︷︷ ︸
termine non lineare PNL
Il termine∫∫ +∞−∞ χ(2)(t − τ1, t − τ2)E(τ1)× E(τ2) dτ1 dτ2 è nullo se c'è
simmetria E→ −E.
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Assumiamo che il campo elettrico mantenga nel tempo la sua direzione di
polarizzazione e che∣∣∣χ(3)∣∣∣ |E|3 � ∣∣∣χ(1)
∣∣∣ |E| (debole nonlinearità del mezzo, o mezzo di Kerr)
L'equazione è
∇2E−∇ (∇ · E)− 1
c2
∂2E
∂t2− 1
ε0c2
∂2PL
∂t2=
1
ε0c2
∂2PNL
∂t2. (1)
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Solitoni ottici temporali in una �bra ottica
Ipotesi di lavoro
Applichiamo il metodo multiscala
E 'N∑
n=0
µnEn
Supponiamo una dipendenza debole dalle variabili z , t; introduciamo dunque
Z =
N∑n=0
µn+1z , T =
N∑n=0
µn+1t
e supponiamo
k = (0, 0, k), E0(x , y , z , t) = ei(kz−ωt)U (x , y , ω)
inviluppo nella direzione z︷ ︸︸ ︷A(Z ,T ) +c.c.
con U tale che E = ei(kz−ωt)U (x , y , ω) sia soluzione dell'equazione (1) (treno
d'onda con�nato).
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Si applica il metodo multiscala �no al terzo ordine in µ
∂A
∂z+
β1︷︸︸︷1
vg︸︷︷︸vg=
dωdk
velocità di gruppo
∂A
∂t+
i
2
β2︷︸︸︷d2k
dω2︸︷︷︸parametro
di dispersione
∂2A
∂t2= i γ(ω)︸ ︷︷ ︸
dipendentedal mezzo
|A|2 A
(Equazione di Schrödinger non lineare)
z −→ z , t −→√|β2|t + β1z , A −→ u√
|γ|
i∂u
∂z− sgn (β2)
2
∂2u
∂t2± |u|2 u = 0.
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Dark solitons
i∂u
∂z− sgn (β2)
2
∂2u
∂t2± |u|2 u = 0←−−→
z↔−zi∂u
∂z+
sgn (β2)
2
∂2u
∂t2∓ |u|2 u = 0
Indichiamo i ∂u∂z− sgn(β2)
2∂2u
∂t2+ ε |u|2 u = 0. Allora
sgn (β2) = +1 sgn (β2) = −1ε = 1 (mezzo di Kerr self-focusing) solitoni dark solitoni bright
ε = −1 (mezzo di Kerr self-defocusing) solitoni bright solitoni dark
D'ora in poi porremo ε = −1. L'equazione di Schrödinger non lineare
defocusing (sgn (β2) = −1) è
i∂u
∂z+
1
2
∂2u
∂t2− |u|2 u = 0.
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Problema di Zakharov-Shabat e IST
Il problema spettrale associato è sempre quello di Zakharov-Shabat, nella
forma particolare
(ψ1t
ψ2t
)=
[−iζ
(1 0
0 −1
)+
(0 q
r 0
)](ψ1
ψ2
)(ψ1z
ψ2z
)=
(A B
C D
)(ψ1
ψ2
) , limt→±∞
|u(0, t)| = u0,
postulando la forma di polinomi di secondo grado in ζ per gli elementi della
matrice del problema ausiliario ed eseguendo la riduzione q = r ∗ = u. A
questo punto si ricavano i dati di scattering per u(0, t), li si fanno evolvere
grazie alla seconda relazione e li si sostituisce nelle equazioni trovate per il
problema inverso (con la sostituzione z ↔ t il problema ha una forma più
familiare).
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Una soluzione trovata con questo metodo è
u(z , t) = u0 {cosφ tanh [u0 cosφ (t − u0z sinφ)] + i sinφ} e−iu20z .
La fase φ è l'unico vero parametro del solitone. Per |cosφ| < 1 si dice che il
solitone è grey, altrimenti è black.
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Solitoni ottici spaziali in un bulk
Procedendo invece in generale con E0 = A(X ,Y ,Z ,T )eikz−iωt + c.c. si ottiene
i∂A
∂z+
1
vg
∂A
∂t+
1
2k
(∂2A
∂x2+∂2A
∂y 2
)− 1
2
d2k
dω2
∂2A
∂t2− k
n2
n|A|2 A = 0,
n(ω) =√1+ χ(1)(ω), n2(ω) =
3
2
χ(3)
n(ω).
Se A non dipende da x e y si ha l'equazione già ottenuta. Se cerchiamo una
soluzione in cui A non dipende dal tempo (inviluppo stazionario) si ha
l'equazione
i∂A
∂z+
1
2k
(∂2A
∂x2+∂2A
∂y 2
)− k
n2
n|A|2 A = 0.
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Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali
Eseguendo le sostituzioni dovute e scegliendo un mezzo autodefocalizzante
i∂u
∂z+
1
2
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y 2
)− |u|2 u = 0.
che è l'equazione di Schrödinger non lineare in 2+1 dimensioni. Posto
u = ψe−iz (supponiamo che u → 1 all'in�nito) si ottiene
i∂ψ
∂z+
1
2∇2ψ +
(1− |ψ|2
)ψ = 0, ∇ ≡ (∂x , ∂y ).
In analogia con il caso dei solitoni temporali, ci aspettiamo soluzioni tipo dark.
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Soluzione stazionaria
Cerchiamo una soluzione del tipo ψ(x , y , x) = χ(x , y , z)eiφ(x ,y ,z)
(trasformazione di Madelung):{∂zχ
2 +∇ · (χ2∇φ) = 0
∂zφ+ 12(∇φ)2 = 1− χ2 + ∇2χ
2χ
applicando χ2∇ alla 2a−−−−−−−−−−−−−→%=χ2, v=∇φ, p= %
2{∂t%+∇ · (%v) = 0
% (∂tv + v∇ · v) = −∇p+%2∇(∇2√%2√%
)La forma è quella delle equazioni di un �uido comprimibile non viscoso a
meno di un termine, detto pressione quantomeccanica nel contesto dei
super�uidi.
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Vortici
La trasformazione di Madelung è singolare per χ = 0. Pensando z come
tempo, ciò signi�ca che sono presenti punti di singolarità nel piano (x , y).Questi difetti topologici sono detti vortici. La circuitazione attorno ad uno di
detti punti vale∮v · dl =
∮∇φ · dl =
∮dφ = 2π (la fase deve
necessariamente avere una variazione di 2nπ, n ∈ N).Passiamo in coordinate polari e sia
√2r → r : ψ(r , ϑ; z) = U(r)eimϑ (m carica
del vortice); l'equazione diventa:
d2U
dr 2+
1
r
dU
dr+
(1− m2
r 2− U2
)U = 0, U(0) = 0,U(∞) = 1.
r → 0 −→ d2U
dr 2+
1
r
dU
dr+
(1− m2
r 2
)U = 0
Eq. Bessel−−−−−→ U(r) ∼ ar |m|
r →∞ −→(1− m2
r 2− U2
)U = 0 −→ U(r) ∼ 1− m2
2r 2
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Vortici
La trasformazione di Madelung è singolare per χ = 0. Pensando z come
tempo, ciò signi�ca che sono presenti punti di singolarità nel piano (x , y).Questi difetti topologici sono detti vortici. La circuitazione attorno ad uno di
detti punti vale∮v · dl =
∮∇φ · dl =
∮dφ = 2π (la fase deve
necessariamente avere una variazione di 2nπ, n ∈ N).Passiamo in coordinate polari e sia
√2r → r : ψ(r , ϑ; z) = U(r)eimϑ (m carica
del vortice); l'equazione diventa:
d2U
dr 2+
1
r
dU
dr+
(1− m2
r 2− U2
)U = 0, U(0) = 0,U(∞) = 1.
r → 0 −→ d2U
dr 2+
1
r
dU
dr+
(1− m2
r 2
)U = 0
Eq. Bessel−−−−−→ U(r) ∼ ar |m|
r →∞ −→(1− m2
r 2− U2
)U = 0 −→ U(r) ∼ 1− m2
2r 2
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Equazioni del moto
Se il fondo non è uniforme come supposto �nora, allora, occorre aggiungere la
modulazione dovuta al fondo utot = uB, B = beiϑb (supponiamo che nel
centro del vortice b = 1), da cui
i∂zutot +1
2∇2utot − |utot|2 utot = 0 −→
{i∂zB + 1
2∇2B − |B|2 B = 0,
i∂zu + b2
2∇2u − |u| u =−∇u · f
Il termine f = ∇BB
= ∇ ln b + i∇ϑb funge da campo di forze.
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Sia r0 il centro del vortice in un riferimento che si muove con velocità v = dr0dz
;
supponiamo che B vari lentamente:
b2 ≡ Ib ' 1− r ∇Ib|r=0 = 1− 2r · <f0
Poiché in questo riferimento u non dipende da z , sostituendo si ottiene
∇2u +1
2(1− |u|2)u = −∇u · f + r · <f0(1− |u|2)u ≡ εF (u)
dove ε indica che il secondo termine è piccolo.
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Utilizziamo uno sviluppo asintotico u = u0 + εu1 + ε2u2 + . . . , e poniamo
r→√2r:
Ordine zero
∇2u0+(1−|u0|2 u0)u0 = 0 −→ equazione per un fondo costante
Ordine primo
∇2u1 + u1 − 2 |u0|2 u1 − u20u∗1 = F (u0)
Svolgendo i calcoli Kivshar et al. hanno ottenuto la seguente equazione del
moto per il centro del vortice:
dr0
dz=
[−∇ϑb −
m
2ln
(ceγ|∇Ib|4Ib
)(0 −11 0
)∇ ln Ib
]∣∣∣∣r=r0
dove γ ≈ 0.577 è la costante di Eulero-Mascheroni e c è un parametro da
trovare sperimentalmente (in un mezzo di Kerr come il nostro c ≈ 1.126).
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Analizziamo le componenti dell'equazione
dr0
dz=
−∇ϑb︸ ︷︷ ︸
componente normaleal fronte d'onda del fondo
−m2ln
(ceγ|∇Ib|4Ib
) rotazione diπ
2︷ ︸︸ ︷(0 −11 0
)∇ ln Ib︸ ︷︷ ︸
componente tangenzialealle linee di data intensità del fondo
(isophotes,�isofote�)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣r=r0
L'interazione di N vortici si ha includendo nel fondo dell'equazione di ciascuno
gli altri N − 1 vortici. Un vortice singolo in un fondo costante ha isofote
circolari, e inoltre il primo termine −∇ϑb = −m∇ϑ = mrϑ, che è anch'esso
diretto lungo l'isofota: ciascun vortice si muove in direzione normale alla
congiungente i due centri.
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Osservazioni sperimentali
Vortici solitonici in un cristallo SBN
(stronzio-bario-niobio) di 11.7mm.
Questo materiale cambia le sue
proprietà di mezzo di Kerr a seconda
del potenziale applicato alle estremità
di un suo asse cristallino. In (a) si ha il
vortice in input, in (b) l'output senza
potenziale applicato, in (c) l'output
con un potenziale V = −450V.L'applicazione del potenziale rende il
mezzo self-defocusing e il vortice
manifesta proprietà di stabilità: questo
tipo di vortici sono detti screening
vortex solitons. I primi vortici solitonici
sono stati ottenuti nel 1992.
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E�etto Aharonov-Bohm
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Consideriamo un processo di di�usione tra una dark-soliton stripe (ovvero una
striscia solitonica) e un vortice solitonico in un mezzo di Kerr
autodefocalizzante. Il problema dello scattering è molto complesso ed è stato
a�rontato col metodo multiscala.
Si vede però che in generale la striscia solitonica dopo lo scattering diventa
instabile. Per studiarne la stabilità si utilizzano metodi numerici, variando il
parametro v : ciè equivale a studiare la di�usione di un pacchetto d'onda in un
esperimento alla Aharonov-Bohm.
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Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm
Consideriamo un processo di di�usione tra una dark-soliton stripe (ovvero una
striscia solitonica) e un vortice solitonico in un mezzo di Kerr
autodefocalizzante. Il problema dello scattering è molto complesso ed è stato
a�rontato col metodo multiscala.
Si vede però che in generale la striscia solitonica dopo lo scattering diventa
instabile. Per studiarne la stabilità si utilizzano metodi numerici, variando il
parametro v : ciè equivale a studiare la di�usione di un pacchetto d'onda in un
esperimento alla Aharonov-Bohm.
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Istantanee di un processo di scattering a diverse velocità della striscia: la
striscia viene progressivamente deformata, a causa di sopraggiunti sfasamenti,
mentre il vortice si sposta.
La striscia �nisce per frammentarsi in vortici di carica opposta, come in
idrodinamica.
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L'interazione col vortice in de�nitiva �spacchetta� la striscia per e�etto del
regime fortemente non lineare dello scattering Aharonov-Bohm. Il vortice
iniziale, invece, riemerge semplicemente sfasato dalla sua posizione iniziale.
Da un punto di vista strettamente �sico avviene che la parte della striscia più
vicina al vortice si rompe creando una coppa di vortici con cariche opposte,
uno dei quali si annichila col vortice iniziale, mentre l'altro sostituisce il
vecchio vortice: ciò appare come un grande shift complessivo.
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Il salto di fase evolve regolarmente, a meno del vortice che procede per suo
conto, nelle due strisce solitoniche dark quasi rettilinee. Quanto sopra è stato
osservato in un esperimento del 2000:
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ConclusioniBibliogra�a
Conclusioni
In conclusione abbiamo visto che
è possibile ricavare, dall'equazione di Schrödinger non lineare per un
mezzo di Kerr self-defocusing, un sistema di equazioni analoghe a quelle
per un �uido non viscoso;
le soluzioni del sistema ammettono soluzione di tipo vortice solitonico,
analogo in 2+ 1 dimensioni del solitone dark in 1+ 1 dimensioni;
tali soluzioni hanno grande importanza in quanto analisi di tipo numerico
ed analitico mostrano che, a di�erenza delle strisce dark, di griglie dark
(sovrapposizione di strisce dark nelle direzioni trasverse), i vortici
mostrano la stabilità peculiare dei solitoni mentre le altre soluzioni
mostrano instabilità nella modulazione nelle direzioni trasverse.
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In conclusione abbiamo visto che
è possibile ricavare, dall'equazione di Schrödinger non lineare per un
mezzo di Kerr self-defocusing, un sistema di equazioni analoghe a quelle
per un �uido non viscoso;
le soluzioni del sistema ammettono soluzione di tipo vortice solitonico,
analogo in 2+ 1 dimensioni del solitone dark in 1+ 1 dimensioni;
tali soluzioni hanno grande importanza in quanto analisi di tipo numerico
ed analitico mostrano che, a di�erenza delle strisce dark, di griglie dark
(sovrapposizione di strisce dark nelle direzioni trasverse), i vortici
mostrano la stabilità peculiare dei solitoni mentre le altre soluzioni
mostrano instabilità nella modulazione nelle direzioni trasverse.
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Conclusioni
In conclusione abbiamo visto che
è possibile ricavare, dall'equazione di Schrödinger non lineare per un
mezzo di Kerr self-defocusing, un sistema di equazioni analoghe a quelle
per un �uido non viscoso;
le soluzioni del sistema ammettono soluzione di tipo vortice solitonico,
analogo in 2+ 1 dimensioni del solitone dark in 1+ 1 dimensioni;
tali soluzioni hanno grande importanza in quanto analisi di tipo numerico
ed analitico mostrano che, a di�erenza delle strisce dark, di griglie dark
(sovrapposizione di strisce dark nelle direzioni trasverse), i vortici
mostrano la stabilità peculiare dei solitoni mentre le altre soluzioni
mostrano instabilità nella modulazione nelle direzioni trasverse.
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Bibliogra�a
G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Third Edition, Academic Press
(2001).
M. Boiti, Fibre ottiche in regime non lineare (appunti per il corso di
Fisica dei sistemi non lineari, modulo B) (2009).
D. Neshev, A. Nepomnyashchy, Y.S. Kivshar, Nonlinear Aharonov-Bohm
Scattering by Optical Vortices, Phys. Rev. Lett., 87,4 (2001).
Y.S. Kivshar, G.P. Agrawal, Optical solitons, Academic Press (2003).
Y.S. Kivshar, A. Nepomnyashchy, V. Tikhonenko, J. Christou, B.
Luther-Davies, Vortex-stripe soliton interactions, Optics Letters, 25,2
(2000).
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Dark solitonsVortici solitonici
ConclusioniBibliogra�a
Grazie per l'attenzione!
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