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Dark solitonsVortici solitonici

ConclusioniBibliogra�a

Dark solitons e vortici solitonici

Università del SalentoFacoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di laurea magistrale in Fisica

Lecce, 18 Giugno 2010

Gabriele Sicuro Dark Solitons e Vortici Solitonici



Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre otticheSolitoni ottici temporaliSolitoni ottici spaziali

Propagazione dei segnali luminosi nelle �bre ottiche

Adoperiamo le equazioni di Maxwell nella materia in assenza di cariche e

supponendo la magnetizzazione del mezzo trascurabile

∇ ·D = 0, ∇ · B = 0, ∇×H =∂D

∂t, ∇× E = −∂B

∂t,

D = ε0E+ P, B = µ0H+M ≈ µ0H,

Si pone:

1

ε0P =

∫ +∞

−∞χ(1)(t − τ)E(τ)dτ︸︷︷︸termine lineare PL

+

+

∫∫∫ +∞

−∞χ(3)(t − τ1, t − τ2, t − τ3) [E(τ1) · E(τ2)]E(τ3) dτ1 dτ2 dτ3︸︷︷︸

termine non lineare PNL

Il termine∫∫ +∞−∞ χ(2)(t − τ1, t − τ2)E(τ1)× E(τ2) dτ1 dτ2 è nullo se c'è

simmetria E→ −E.





Assumiamo che il campo elettrico mantenga nel tempo la sua direzione di

polarizzazione e che∣∣∣χ(3)∣∣∣ |E|3 � ∣∣∣χ(1)

∣∣∣ |E| (debole nonlinearità del mezzo, o mezzo di Kerr)

L'equazione è

∇2E−∇ (∇ · E)− 1

c2

∂2E

∂t2− 1

ε0c2

∂2PL

∂t2=

1

ε0c2

∂2PNL

∂t2. (1)





Solitoni ottici temporali in una �bra ottica

Ipotesi di lavoro

Applichiamo il metodo multiscala

E 'N∑

n=0

µnEn

Supponiamo una dipendenza debole dalle variabili z , t; introduciamo dunque

Z =

N∑n=0

µn+1z , T =

N∑n=0

µn+1t

e supponiamo

k = (0, 0, k), E0(x , y , z , t) = ei(kz−ωt)U (x , y , ω)

inviluppo nella direzione z︷︸︸︷A(Z ,T ) +c.c.

con U tale che E = ei(kz−ωt)U (x , y , ω) sia soluzione dell'equazione (1) (treno

d'onda con�nato).





Si applica il metodo multiscala �no al terzo ordine in µ

∂A

∂z+

β1︷︸︸︷1

vg︸︷︷︸vg=

dωdk

velocità di gruppo

∂A

∂t+

i

2

β2︷︸︸︷d2k

dω2︸︷︷︸parametro

di dispersione

∂2A

∂t2= i γ(ω)︸︷︷︸

dipendentedal mezzo

|A|2 A

(Equazione di Schrödinger non lineare)

z −→ z , t −→√|β2|t + β1z , A −→ u√

|γ|

i∂u

∂z− sgn (β2)

2

∂2u

∂t2± |u|2 u = 0.





Dark solitons

i∂u

∂z− sgn (β2)

2

∂2u

∂t2± |u|2 u = 0←−−→

z↔−zi∂u

∂z+

sgn (β2)

2

∂2u

∂t2∓ |u|2 u = 0

Indichiamo i ∂u∂z− sgn(β2)

2∂2u

∂t2+ ε |u|2 u = 0. Allora

sgn (β2) = +1 sgn (β2) = −1ε = 1 (mezzo di Kerr self-focusing) solitoni dark solitoni bright

ε = −1 (mezzo di Kerr self-defocusing) solitoni bright solitoni dark

D'ora in poi porremo ε = −1. L'equazione di Schrödinger non lineare

defocusing (sgn (β2) = −1) è

i∂u

∂z+

1

2

∂2u

∂t2− |u|2 u = 0.





Problema di Zakharov-Shabat e IST

Il problema spettrale associato è sempre quello di Zakharov-Shabat, nella

forma particolare

(ψ1t

ψ2t

)=

[−iζ

(1 0

0 −1

)+

(0 q

r 0

)](ψ1

ψ2

)(ψ1z

ψ2z

)=

(A B

C D

)(ψ1

ψ2

) , limt→±∞

|u(0, t)| = u0,

postulando la forma di polinomi di secondo grado in ζ per gli elementi della

matrice del problema ausiliario ed eseguendo la riduzione q = r ∗ = u. A

questo punto si ricavano i dati di scattering per u(0, t), li si fanno evolvere

grazie alla seconda relazione e li si sostituisce nelle equazioni trovate per il

problema inverso (con la sostituzione z ↔ t il problema ha una forma più

familiare).





Una soluzione trovata con questo metodo è

u(z , t) = u0 {cosφ tanh [u0 cosφ (t − u0z sinφ)] + i sinφ} e−iu20z .

La fase φ è l'unico vero parametro del solitone. Per |cosφ| < 1 si dice che il

solitone è grey, altrimenti è black.





Solitoni ottici spaziali in un bulk

Procedendo invece in generale con E0 = A(X ,Y ,Z ,T )eikz−iωt + c.c. si ottiene

i∂A

∂z+

1

vg

∂A

∂t+

1

2k

(∂2A

∂x2+∂2A

∂y 2

)− 1

2

d2k

dω2

∂2A

∂t2− k

n2

n|A|2 A = 0,

n(ω) =√1+ χ(1)(ω), n2(ω) =

3

2

χ(3)

n(ω).

Se A non dipende da x e y si ha l'equazione già ottenuta. Se cerchiamo una

soluzione in cui A non dipende dal tempo (inviluppo stazionario) si ha

l'equazione

i∂A

∂z+

1

2k

(∂2A

∂x2+∂2A

∂y 2

)− k

n2

n|A|2 A = 0.





Eseguendo le sostituzioni dovute e scegliendo un mezzo autodefocalizzante

i∂u

∂z+

1

2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y 2

)− |u|2 u = 0.

che è l'equazione di Schrödinger non lineare in 2+1 dimensioni. Posto

u = ψe−iz (supponiamo che u → 1 all'in�nito) si ottiene

i∂ψ

∂z+

1

2∇2ψ +

(1− |ψ|2

)ψ = 0, ∇ ≡ (∂x , ∂y ).

In analogia con il caso dei solitoni temporali, ci aspettiamo soluzioni tipo dark.




Soluzione stazionaria; vorticiMoto di deriva e rotazione dei vorticiE�etto Aharonov-Bohm

Soluzione stazionaria

Cerchiamo una soluzione del tipo ψ(x , y , x) = χ(x , y , z)eiφ(x ,y ,z)

(trasformazione di Madelung):{∂zχ

2 +∇ · (χ2∇φ) = 0

∂zφ+ 12(∇φ)2 = 1− χ2 + ∇2χ

2χ

applicando χ2∇ alla 2a−−−−−−−−−−−−−→%=χ2, v=∇φ, p= %

2{∂t%+∇ · (%v) = 0

% (∂tv + v∇ · v) = −∇p+%2∇(∇2√%2√%

)La forma è quella delle equazioni di un �uido comprimibile non viscoso a

meno di un termine, detto pressione quantomeccanica nel contesto dei

super�uidi.





Vortici

La trasformazione di Madelung è singolare per χ = 0. Pensando z come

tempo, ciò signi�ca che sono presenti punti di singolarità nel piano (x , y).Questi difetti topologici sono detti vortici. La circuitazione attorno ad uno di

detti punti vale∮v · dl =

∮∇φ · dl =

∮dφ = 2π (la fase deve

necessariamente avere una variazione di 2nπ, n ∈ N).Passiamo in coordinate polari e sia

√2r → r : ψ(r , ϑ; z) = U(r)eimϑ (m carica

del vortice); l'equazione diventa:

d2U

dr 2+

1

r

dU

dr+

(1− m2

r 2− U2

)U = 0, U(0) = 0,U(∞) = 1.

r → 0 −→ d2U

dr 2+

1

r

dU

dr+

(1− m2

r 2

)U = 0

Eq. Bessel−−−−−→ U(r) ∼ ar |m|

r →∞ −→(1− m2

r 2− U2

)U = 0 −→ U(r) ∼ 1− m2

2r 2





Equazioni del moto

Se il fondo non è uniforme come supposto �nora, allora, occorre aggiungere la

modulazione dovuta al fondo utot = uB, B = beiϑb (supponiamo che nel

centro del vortice b = 1), da cui

i∂zutot +1

2∇2utot − |utot|2 utot = 0 −→

{i∂zB + 1

2∇2B − |B|2 B = 0,

i∂zu + b2

2∇2u − |u| u =−∇u · f

Il termine f = ∇BB

= ∇ ln b + i∇ϑb funge da campo di forze.





Sia r0 il centro del vortice in un riferimento che si muove con velocità v = dr0dz

;

supponiamo che B vari lentamente:

b2 ≡ Ib ' 1− r ∇Ib|r=0 = 1− 2r · <f0

Poiché in questo riferimento u non dipende da z , sostituendo si ottiene

∇2u +1

2(1− |u|2)u = −∇u · f + r · <f0(1− |u|2)u ≡ εF (u)

dove ε indica che il secondo termine è piccolo.





Utilizziamo uno sviluppo asintotico u = u0 + εu1 + ε2u2 + . . . , e poniamo

r→√2r:

Ordine zero

∇2u0+(1−|u0|2 u0)u0 = 0 −→ equazione per un fondo costante

Ordine primo

∇2u1 + u1 − 2 |u0|2 u1 − u20u∗1 = F (u0)

Svolgendo i calcoli Kivshar et al. hanno ottenuto la seguente equazione del

moto per il centro del vortice:

dr0

dz=

[−∇ϑb −

m

2ln

(ceγ|∇Ib|4Ib

)(0 −11 0

)∇ ln Ib

]∣∣∣∣r=r0

dove γ ≈ 0.577 è la costante di Eulero-Mascheroni e c è un parametro da

trovare sperimentalmente (in un mezzo di Kerr come il nostro c ≈ 1.126).





Analizziamo le componenti dell'equazione

dr0

dz=

−∇ϑb︸︷︷︸

componente normaleal fronte d'onda del fondo

−m2ln

(ceγ|∇Ib|4Ib

) rotazione diπ

2︷︸︸︷(0 −11 0

)∇ ln Ib︸︷︷︸

componente tangenzialealle linee di data intensità del fondo

(isophotes,�isofote�)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣r=r0

L'interazione di N vortici si ha includendo nel fondo dell'equazione di ciascuno

gli altri N − 1 vortici. Un vortice singolo in un fondo costante ha isofote

circolari, e inoltre il primo termine −∇ϑb = −m∇ϑ = mrϑ, che è anch'esso

diretto lungo l'isofota: ciascun vortice si muove in direzione normale alla

congiungente i due centri.





Osservazioni sperimentali

Vortici solitonici in un cristallo SBN

(stronzio-bario-niobio) di 11.7mm.

Questo materiale cambia le sue

proprietà di mezzo di Kerr a seconda

del potenziale applicato alle estremità

di un suo asse cristallino. In (a) si ha il

vortice in input, in (b) l'output senza

potenziale applicato, in (c) l'output

con un potenziale V = −450V.L'applicazione del potenziale rende il

mezzo self-defocusing e il vortice

manifesta proprietà di stabilità: questo

tipo di vortici sono detti screening

vortex solitons. I primi vortici solitonici

sono stati ottenuti nel 1992.





E�etto Aharonov-Bohm





Consideriamo un processo di di�usione tra una dark-soliton stripe (ovvero una

striscia solitonica) e un vortice solitonico in un mezzo di Kerr

autodefocalizzante. Il problema dello scattering è molto complesso ed è stato

a�rontato col metodo multiscala.

Si vede però che in generale la striscia solitonica dopo lo scattering diventa

instabile. Per studiarne la stabilità si utilizzano metodi numerici, variando il

parametro v : ciè equivale a studiare la di�usione di un pacchetto d'onda in un

esperimento alla Aharonov-Bohm.





Istantanee di un processo di scattering a diverse velocità della striscia: la

striscia viene progressivamente deformata, a causa di sopraggiunti sfasamenti,

mentre il vortice si sposta.

La striscia �nisce per frammentarsi in vortici di carica opposta, come in

idrodinamica.





L'interazione col vortice in de�nitiva �spacchetta� la striscia per e�etto del

regime fortemente non lineare dello scattering Aharonov-Bohm. Il vortice

iniziale, invece, riemerge semplicemente sfasato dalla sua posizione iniziale.

Da un punto di vista strettamente �sico avviene che la parte della striscia più

vicina al vortice si rompe creando una coppa di vortici con cariche opposte,

uno dei quali si annichila col vortice iniziale, mentre l'altro sostituisce il

vecchio vortice: ciò appare come un grande shift complessivo.





Il salto di fase evolve regolarmente, a meno del vortice che procede per suo

conto, nelle due strisce solitoniche dark quasi rettilinee. Quanto sopra è stato

osservato in un esperimento del 2000:




Conclusioni

In conclusione abbiamo visto che

è possibile ricavare, dall'equazione di Schrödinger non lineare per un

mezzo di Kerr self-defocusing, un sistema di equazioni analoghe a quelle

per un �uido non viscoso;

le soluzioni del sistema ammettono soluzione di tipo vortice solitonico,

analogo in 2+ 1 dimensioni del solitone dark in 1+ 1 dimensioni;

tali soluzioni hanno grande importanza in quanto analisi di tipo numerico

ed analitico mostrano che, a di�erenza delle strisce dark, di griglie dark

(sovrapposizione di strisce dark nelle direzioni trasverse), i vortici

mostrano la stabilità peculiare dei solitoni mentre le altre soluzioni

mostrano instabilità nella modulazione nelle direzioni trasverse.




Bibliogra�a

G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Third Edition, Academic Press

(2001).

M. Boiti, Fibre ottiche in regime non lineare (appunti per il corso di

Fisica dei sistemi non lineari, modulo B) (2009).

D. Neshev, A. Nepomnyashchy, Y.S. Kivshar, Nonlinear Aharonov-Bohm

Scattering by Optical Vortices, Phys. Rev. Lett., 87,4 (2001).

Y.S. Kivshar, G.P. Agrawal, Optical solitons, Academic Press (2003).

Y.S. Kivshar, A. Nepomnyashchy, V. Tikhonenko, J. Christou, B.

Luther-Davies, Vortex-stripe soliton interactions, Optics Letters, 25,2

(2000).




Grazie per l'attenzione!


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