CURVE E INTEGRALI CURVILINEIIN R2 E R3

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Curve e loro Curve e loro lunghezzalunghezza

Integrali curvilinei. Integrali curvilinei.

CURVE E LORO CURVE E LORO LUNGHEZZALUNGHEZZA

Abbiamo già accennato alla nozione Abbiamo già accennato alla nozione di di curvacurva o arco di curva continua. o arco di curva continua.Saremo ora un po’ più completi.Saremo ora un po’ più completi.

Un’applicazione Un’applicazione f: If: I RRmm , dove , dove II è è un intervallo di un intervallo di RR e e m = 2 o 3m = 2 o 3, si dice , si dice una curva continua se una curva continua se ff è continua. è continua.Diremo che la curva è Diremo che la curva è regolareregolare se se la funzione la funzione ff è derivabile su è derivabile su II e se la e se la norma del vettore derivata non ènorma del vettore derivata non ènulla in alcun punto di nulla in alcun punto di II..

D’ora in avanti useremo la lettera D’ora in avanti useremo la lettera per indicare una curva. Dunque, per indicare una curva. Dunque, è una curva regolare se è una curva regolare se (t)(t) è è continua e continua e ||’(t)| > 0’(t)| > 0 per ogni per ogni t t I I..

(I)(I) si dice il si dice il sostegnosostegno della curva. della curva. Dunque la nozione di curva o Dunque la nozione di curva o camminocammino è una nozione non solo è una nozione non sologeometrica, ma anche cinematica. geometrica, ma anche cinematica. Cioè teniamo conto della legge orariaCioè teniamo conto della legge orariacon la quale si percorre un certo con la quale si percorre un certo cammino.cammino.

Due curve o cammini possonoDue curve o cammini possonoavere lo stesso sostegno, ma essereavere lo stesso sostegno, ma esserediverse:diverse:

11(t)(t) = (cos t, sen t)= (cos t, sen t)TT, t , t I = [0,2π] I = [0,2π]

ee

22(t)(t) = (cos2t, sen2t)= (cos2t, sen2t)TT, t , t I = [0,2π] I = [0,2π]

hanno lo stesso sostegno, la hanno lo stesso sostegno, la circonferenza di centro l’origine e circonferenza di centro l’origine e raggio raggio 11, ma la seconda è percorsa, ma la seconda è percorsadue volte (a velocità doppia) nellodue volte (a velocità doppia) nellostesso tempo.stesso tempo.

Una curva si dice Una curva si dice chiusachiusa se, detto se, dettoI = [a,b]I = [a,b], , (a)(a) = = (b)(b);; è detta è detta semplicesemplice se da se da tt11≠ t≠ t22 segue segue (t(t11)) ≠ ≠ (t(t22) ) a meno chea meno che t t1 1 e e tt22 non non sianosiano a a e e bb. La restrizione di una. La restrizione di unacurva ad un sottointervallo curva ad un sottointervallo JJ di di II si sidice un dice un arcoarco di curva. Due archi sono di curva. Due archi sonoconsecutiviconsecutivi se sono esprimibili come se sono esprimibili come due archi di curva definiti su intervallidue archi di curva definiti su intervallicon un estremo in comune.con un estremo in comune.

11 e e 22 sono consecutivi se sono consecutivi se 11 è definito è definito

su su [a,c][a,c] e e 22 su su [c,b][c,b] (o si possono (o si possono riparametrizzare in modo che ciò riparametrizzare in modo che ciò accada) e accada) e 11(c) = (c) = 22(c)(c)..

11

22

11(c)(c) = = 22(c)(c)

11(a)(a)

22(b)(b)

Una curva è Una curva è generalmente regolaregeneralmente regolarese esiste una decomposizione di se esiste una decomposizione di IIin un numero finito di puntiin un numero finito di puntitt00 = a < t = a < t11 < .. < t < .. < tnn = b = b tale che latale che larestrizione a ogni sottointervallorestrizione a ogni sottointervallo[t[tk-1k-1, t, tkk]] è regolare. è regolare.

Diremo che due curve Diremo che due curve 11(t)(t) e e 22(t)(t) definite sugli intervalli definite sugli intervalli II11 e e II22 rispettivamente, sono rispettivamente, sono equivalentiequivalentise esiste un’applicazione se esiste un’applicazione h:h: II11 II22 tale che: (1) tale che: (1) h(Ih(I11) =) = II2 2 ; (2) ; (2) h h è diè di

classe classe C1(I) e h’(t) > 0h’(t) > 0; (3) 11= = 2 2 h h..

Due curve equivalenti si dice che Due curve equivalenti si dice che differiscono per la differiscono per la rappresentazione rappresentazione parametricaparametrica. Ogni intervallo ha due. Ogni intervallo ha dueversi naturali d’orientazione e cosìversi naturali d’orientazione e cosìogni curva. Se ogni curva. Se : [a,b] : [a,b] RRm m è una è una curva assegnata curva assegnata -- : [-b,-a] : [-b,-a] RRm m èèla curva orientata in la curva orientata in verso oppostoverso opposto..

Fra i vari tipi di curve considereremo,Fra i vari tipi di curve considereremo,in particolare, i segmenti di rettain particolare, i segmenti di retta

congiungenticongiungenti due punti due punti xx e e yy di di RRmm..

(t)(t) = (x= (x11 + (y + (y11 - x - x11)t, x)t, x22 + (y + (y22 - x - x22)t))t)TT, , t t I = [0,1] I = [0,1],, sese m = 2 m = 2..

Diciamo ora che cosa intendiamo perDiciamo ora che cosa intendiamo perlunghezzalunghezza di una curva. di una curva.

Data Data : [a,b] : [a,b] RRm m , consideriamo la, consideriamo ladecomposizione decomposizione = {t = {t00 = a < t = a < t11 < .. < .. < t< tnn = b} = b} di di [a,b][a,b]. Consideriamo la. Consideriamo lapoligonale Ppoligonale P data dall’unione dei data dall’unione deisegmenti di retta congiungenti isegmenti di retta congiungenti i

punti punti (t(t00) = ) = (a) (a) ee (t(t11)); ; (t(t11)) e e (t(t22));;… … ; ; (t(tn-1n-1)) e e (t(tnn) = ) = (b)(b). .

La lunghezza della poligonale P èLa lunghezza della poligonale P èdata dadata da

n

l(P) (tk ) (tk 1

)k1

Nel caso Nel caso m = 3m = 3, osserviamo che, osserviamo che

|(tk ) (tk 1

) |i1

3

(xi(tk ) xi(tk 1))2

Diremo Diremo lunghezza della curvalunghezza della curva l’l’estremo superiore delle lunghezzeestremo superiore delle lunghezzedelle poligonali inscritte alla curvadelle poligonali inscritte alla curvastessa se tale estremo è finito. In stessa se tale estremo è finito. In tale caso la curva si dice tale caso la curva si dice rettificabilerettificabile

l( ) sup{l(P) : P dedotta da }

0

100

80

60

40

20

0

0

86

420

-2-4

0

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

La figura precedente rappresenta unaLa figura precedente rappresenta unacurva di curva di RR33 e una poligonale ad essa e una poligonale ad essa inscritta.inscritta.

Può accadere che sia Può accadere che sia l(l( )= +∞ )= +∞ anche anche per curve aventi sostegno limitato per curve aventi sostegno limitato in in RR33..

Se Se y(t) =y(t) =00 se se t = 0t = 0,,

ttsen(1/t)sen(1/t) se se t≠ 0t≠ 0

Allora Allora (t)=(t,y(t))(t)=(t,y(t))TT è un esempioè un esempioin cui in cui l(l( )= +∞ )= +∞..

Il seno del topologoIl seno del topologo

x0.50.40.30.20.1

0

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

Si può dimostrare che se Si può dimostrare che se = = 11 + + 22 ossia se l’arco ossia se l’arco è ottenuto dall’unione è ottenuto dall’unionedegli archi consecutivi degli archi consecutivi 11 e e 22 , allora , alloral(l() = l() = l(11) + l() + l(22)). Inoltre la . Inoltre la lunghezza lunghezza nonnon dipende dalla dipende dalla rappresentazione parametrica.rappresentazione parametrica.

Per trattare in modo preciso il Per trattare in modo preciso il problemaproblema della lunghezza delle curvedella lunghezza delle curvee, in generale, l’integrale di funzionie, in generale, l’integrale di funzionia valori vettoriali,a valori vettoriali, conviene ricordareconviene ricordareche l’integrale di Riemann si puòche l’integrale di Riemann si può

presentare come limite di sommepresentare come limite di somme(essendo la nozione di limite intesa in(essendo la nozione di limite intesa inmodo opportuno). Precisamente, modo opportuno). Precisamente, accanto alla somme integrali inferioriaccanto alla somme integrali inferiorie superiori si possono considerare lee superiori si possono considerare lesomme che diremo di Riemannsomme che diremo di Riemann

fm( I

)

, l

f L

Si può dimostrare che Si può dimostrare che f: If: I RR è R-è R-integrabile se e solo se integrabile se e solo se , , tale che setale che se diam( diam() < ) < alloraallora

| fdm I f

m( I

) |

Questo fatto si esprime dicendo cheQuesto fatto si esprime dicendo che

lim

diam( ) 0fm( I

) fdm

I

Vale un risultato più generale, cheVale un risultato più generale, checi sarà utile nel calcolo della ci sarà utile nel calcolo della lunghezza degli archi di curva lunghezza degli archi di curva generalmente regolarigeneralmente regolari

Supponiamo che, in corrispondenzaSupponiamo che, in corrispondenzaad ogni multi indice ad ogni multi indice sia dato un sia dato unnumero numero in modo da essere in modo da essere uniformemente limitato:uniformemente limitato: , , tale che setale che se diam( diam() < ) < allora allora ||||< < . Allora si ha . Allora si ha

lim

diam( ) 0(f

)m( I

) fdm

I

““Principio di Duhamel”Principio di Duhamel”

Teorema(Rettificazione delle curve regolari)

l() | (t) | dt

a

b

Se Se : [a,b] : [a,b] RRm m è regolare, alloraè regolare, allora

Infatti ogni singolo lato della poligonale misura

|(tk ) (tk 1

) |i1

3

(xi(tk ) xi(tk 1))2

[ x ii 1

3

( ik)]2(tk tk 1)2

[ x ii 1

3

(t k )]2 (tk tk 1)++ik

( )

Ciò vale per l’uniforme continuità dixk’(t) su [a,b], avendo tenuto conto del teorema di Lagrange su ogniintervallo [tk-1,tk].

Allora, per il principio di Duhamel:

l() lim

diam( ) 0( x i(tik )2

i1

3

ik )(tk k1

n

tk 1)

| a

b

(t) | dt

Una formula analoga vale per lecurve generalmente regolari

Esempi

1) Lunghezza dell’arco di circonferenza: x = r cos t, y = r sen t ;

s() = ∫√(x’2 + y’2) du = r ,

0≤ ≤ 2π

0

2) Lunghezza dell’arco di elicacilindrica: x = r cos t, y = r sen t, z = p t;

s(t) ( x 2(u) y 2(u) z 2(u)

0

t

du

(r 2

p2)0

t

dt r 2 p2 t

Se la curva è data in forma cartesiana y = f(x), con f e f’ continue

s(x) = ∫√(1 + f’2(t))dta

x

La lunghezza d’arco è un parametro molto conveniente per la rappresentazione delle curve

Infatti

dsdt x 2(t) y 2(t) z 2(t)

e quindi, poiché

dx

ds dx

dt dt

ds,dy

ds dy

dt dt

ds,dz

ds dz

dt dt

ds

x 2(s) y 2(s) z 2(s) 1

Cioè ’(s) ’(s) è il versore tangente alla curva nel punto di coordinata lunghezza d’arco s.

INTEGRALI INTEGRALI CURVILINEI.CURVILINEI.

Se Se : I = [a,b] : I = [a,b] RRm m è una curva è una curva regolare, regolare, f: A f: A RRmm RR è una è una funzione continua definita su un funzione continua definita su un aperto aperto AA che contiene il sostegno che contiene il sostegno della curva e della curva e w(t): I w(t): I RR è una è una funzione di classe funzione di classe C1(I), definiremodefiniremo

fdw f (x(t), y(t), z(t)) w (t)dta

b

fdw

si dice l’integrale curvilineo estesosi dice l’integrale curvilineo estesoalla curva alla curva di di ff rispetto al peso rispetto al peso ww..

In particolareIn particolare

fds f (x(t), y(t), z(t)) | (t) | dt

a

b

fdx f (x(t), y(t), z(t)) x (t)dta

b

ed espressioni simili in ed espressioni simili in dydy e e dzdz

Si definiranno ancheSi definiranno anche

(f1dx

f2dy f

3dz) f

1dx

f

2dy f

3dz

ee

dove dove f = (ff = (f11,f,f22,f,f33))TT

f ,d f ((t )), (t)

a

b

dt

f ,d f ((t )), (t)

a

b

dt

L’integrale di lineaL’integrale di linea

permette di calcolare il lavoropermette di calcolare il lavorodi una forza di una forza ff, lungo un cammino , lungo un cammino

Invece l’integraleInvece l’integrale

fds f (x(t), y(t), z(t)) | (t) | dt

a

b

permette di calcolare l’area delpermette di calcolare l’area delcilindro delimitato dalla curva cilindro delimitato dalla curva sul piano sul piano x yx y e dalla superficie e dalla superficiez = f(x,y)z = f(x,y)

z = f(x,y)z = f(x,y)

Si verifica facilmente che l’integraleSi verifica facilmente che l’integralecurvilineo è curvilineo è linearelineare rispetto alla rispetto alla funzionefunzione ff e al e al pesopeso ww; che ; che cambia cambia segnosegno invertendo il invertendo il versoverso del del camminocammino e che è e che è additivoadditivo su su archi archi consecutiviconsecutivi

EsempiEsempi1) Si calcoli l’area del cilindro 1) Si calcoli l’area del cilindro delimitato da delimitato da f(x,y) = yf(x,y) = y22 e dalla e dallasemicirconferenza semicirconferenza x = cos tx = cos t, , y = sen ty = sen t, , π ≤ t ≤ 2π (π/2)π ≤ t ≤ 2π (π/2)

2) Si calcoli il lavoro2) Si calcoli il lavoro

f ,d f ((t )), (t)

a

b

dt

dove dove f(x,y) = (x exp(y) +log x,f(x,y) = (x exp(y) +log x,arctg y + xarctg y + x22/2 exp(y) )/2 exp(y) )TT per per x > 0x > 0 e e (t) = (2 + sen t, t)(t) = (2 + sen t, t)TT per per 00 ≤≤t ≤ 2π (0)t ≤ 2π (0)