Post on 16-Feb-2019
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1
2
Cosa c’è nell’Unità 2
In questa sezione si affronterannointroduzione alle reti dinamiche
determinazione dei valori inizialitransitori nelle reti ad una costante di tempopoli (o frequenze naturali) di una retetransitori nelle reti a due costanti di tempoequazioni differenziali di una rete
2
3
Reti nel dominio del tempo
4
Introduzione alle reti dinamiche
3
5
Tagli e maglie di elementi reattivi
Classificazione:reti non degeneri
reti degeneri
Elementi topologici che comportanodegeneranza:
maglie di condensatori:maglie i cui lati sono o condensatori o generatoridi tensione
tagli di induttori: tagli i cui lati sono o induttori o generatori di corrente
6
Esempio
La rete presenta un taglio di induttori (indicato in blu) ed una maglia di condensatori(indicata in rosso)
Esempio
4
7
Reti non degeneri 1/2
Una rete che contiene maglie di condensatorie/o tagli di induttori s i dice degenere
esempio di rete degenere:
8
Reti non degeneri 2/2
Esempio di rete non degenere:
5
9
Introduzione alle reti dinamiche
10
Variabili di stato 1/2
Grandezze importanti nelle reti dinamiche:
variabili di stato:tensioni sui condensatoricorrenti sugli induttori
6
11
Variabili di stato 2/2
Nella rete le variabili di stato sono: vc1, vc2 e iL
12
Uscite
Uscite: tutte le tensioni e le correnti cheinteressa calcolare nella rete
Nella rete le uscite sono vL, i1, i2, vc1
vc1 è anche variabile di stato
7
13
Ingressi
Ingressi: sono le tensioni e le correnti deigeneratori ideali indipendenti presenti nella rete
Nella rete gli ingressi sono a, e1 e e2
14
Reti nel dominio del tempo
8
15
Determinazione dei valori iniziali
16
Definizioni
Se non sarà indicato diversamente le attivazioni delle reti saranno suppostenell’istante t=0
Condizioni e valori iniziali
condizioni iniziali:sono i valori delle grandezze di rete nell’istante 0-esempio v(0-), i(0-)
valori iniziali:sono i valori delle grandezze di rete nell’istante 0+esempio v(0+), i(0+)
9
17
Teoremi
Nelle reti che non sono degeneri dopo l’attivazionedi interruttori, non si hanno discontinuitàtemporali delle variabili di stato
Nelle reti non degeneri non si ha discontinuitàdelle variabili di stato anche in presenza di discontinuità temporali nei generatori
18
Continuità
(0 ) (0 )c cv v+ −=
La rete non è degenere. Siha continuità dello stato
(0 ) 0 , (0 )c c ov v E− += =
La rete è degenere. Si puòavere discontinuità dellostato
10
19
Discontinuità delle uscite 1/2
In generale le uscite di una rete in presenza di interruttori e/o generatori discontinui sonodiscontinui
(0 ) 0 , (0 ) oEi i
R− += =
20
Discontinuità delle uscite 2/2
La rete non è degeneretuttavia la corrente i(t) non è una variabile di stato: il valore iniziale in questo caso è differente dalla condizione iniziale!
11
21
Esempio 1/3
Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore
Variabili di stato:corrente i1(t) sull’induttore L1
corrente i2 (t) sull’induttore L2
tensione vC (t) sul condensatore C
22
Esempio 2/3
Continuità dello stato:
1 1 2 2(0 ) (0 ) 0 (0 ) (0 ) 0
(0 ) (0 ) 0C C
i i i i
v v+ − + −
+ −
= = = == =
Nell’istante t=0+:gli induttori equivalgono a circuiti apertiil condensatore equivale ad un corto circuito
12
23
Esempio 3/3
3(0 ) 0i + =Ne consegue
24
Determinazione dei valori iniziali
13
25
Esercizio 1 (1/5)
Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore
Continuità della corrente sull’induttore e dellatensione sul condensatore
26
Esercizio 1 (2/5)
Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)
il condensatore è un circuito apertol’induttore è un corto circuito
14
27
Esercizio 1 (3/5)
(0 ) 1||2 1 0.66Cv V− = × =1
(0 ) 1 0.332 1Li A− = × =+
Condizione iniziale dell’uscita
3
2(0 ) 1 0.66
2 1i A− = × =
+
Condizione iniziale dello stato
28
Esercizio 1 (4/5)
Situazione della rete in t=0+
15
29
Esercizio 1 (5/5)
Valore iniziale dell’uscita: si applichi Millman
3 3
(0 )10 (0 ) 111 2(0 ) 4.4 (0 ) 0.661 1 1 11 2 1
CL
v ii A i A
++
+ −
+ − += = ≠ =
+ +
30
Esercizio 2 (1/5)
Calcolare v(0+) dopo la deviazione dell’interruttore
Continuità della corrente sull’induttore e dellatensione sul condensatore
16
31
Esercizio 2 (2/5)
Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)
il condensatore è un circuito apertol’induttore è un corto circuito
32
Esercizio 2 (3/5)
1||1(0 ) 10 3.33 ,
1 1||1(0 )
(0 ) 3.331
C
CL
v V
vi A
−
−−
= =+
= =
Condizione iniziale dell’uscita 1||1(0 ) 10 3.33
1 1||1v V− = =
+
17
33
Esercizio 2 (4/5)
Situazione della rete in t=0+
(0 ) (0 ) 3.33C Cv v V+ −= =
(0 ) (0 ) 3.33L Li i A+ −= =
34
Esercizio 2 (5/5)
Valore iniziale dell’uscita: si applichi Millman
(0 )20(0 )
1 1(0 ) 6.6 (0 )1 1 11 1 1
CL
vi
v V v+
+
+ −
− += = ≠
+ +
18
35
Reti nel dominio del tempo
36
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
19
37
Tipologie
Presenza di un induttore
Presenza di un condensatore
38
Formula fondamentale
( )
valore finale
( ) (0 )
valore iniziale
t
y t y Y e Yτ−
+ ∞ ∞
⇓
= − +
⇑
e
e
L induttoreRR C condensatore
τ
τ
=
=
20
39
Esempio 1/8
Calcolare i(t)
[ ]
( ) (0 ), 0
( ) (0 ) , 0t
i t i t
i t i I e I tτ
−
−
+ ∞ ∞
= <
= − + >
Continuità della corrente sull’induttore
40
Esempio 2/8
Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)
l’induttore è un corto circuito
21
41
Esempio 3/8
12 52 4(0 ) 5.81 1 1
2 2 4
ABv V−
+= =
+ +
Condizione iniziale dell’uscita(0 )(0 ) 2.72
ABvi A−− = =
12 (0 )(0 ) 3.1
2AB
L
vi A−
−
−= =
42
Esempio 4/8
Situazione della rete in t=0+
(0 ) (0 ) 3.1L Li i A+ −= =
22
43
Esempio 5/8
Valore iniziale dell’uscita:
(0 ) (0 ) 3.1 (0 ) 2.7Li i A i A+ + −= = ≠ =
44
Esempio 6/8
Costante di tempo
30.75
4e
Ls
Rτ = = =2 2 4 , 3eR L H= + = Ω =
23
45
Esempio 7/8
Valore finale dell’uscita:l’induttore è un corto circuito
123
2 2I A∞ = =
+
46
Esempio 8/8
0.75( ) 0.1 3 [ ], 0t
i t e A t−
= + >
Transitorio dell’uscita
(0 ) 3.1, 3, 0.75i I τ+ ∞= = =
24
47
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
48
Circuito con amplificatore
Calcolare v(t) [ ]
( ) (0 ), 0
( ) (0 ) , 0t
v t v t
v t v V e V tτ
−
−
+ ∞ ∞
= <
= − + >
Continuità della tensione sul condensatore
25
49
Interruttore non ancora attivato 1/2
Condizioni iniziali dello stato e dell’uscita:
in t=0- la rete è a regime (stazionario)
il condensatore è in una parte di rete senzageneratoriil condensatore equivale ad un corto circuito
50
Interruttore non ancora attivato 2/2
(0 ) 0
(0 ) 0Cv
v−
−
=
=
26
51
Valori iniziali dello stato e dell’uscita:
in t=0+ la rete è in funzionamento dinamico
il condensatore è un corto circuito:
Valori iniziali 1/2
(0 ) (0 ) 0C Cv v+ −= =
52
Valori iniziali 2/2
(0 ) 10 (0 ) (0 ) 10M Nv v v V+ + += = = =Tensione differenziale ingresso amplificatore nulla:
27
53
Costante di tempo 1/3
Costante di tempo:
rendere inerte la retesostituire il condensatore con un generatore di corrente ipcalcolare Re=vp/ip
54
Costante di tempo 2/3
Sovrapposizione effetti:
20 2025||20 25||20 20 20
20 25 20 25p p u p p pv i v i i i= − = + =+ +
2525||20 0
20 25
20
N p u M
u p
v i v v
v i
= + = =+
⇓=−
28
55
Costante di tempo 3/3
Resistenza equivalente:
Costante di tempo:
20pe
p
vR k
i= = Ω
3 620 10 50 10 1eR C sτ −= = × × × =
56
Valori finali 1/2
Valore finale uscita:il condensatore è un circuito aperto
2510
20 25
4510 18
25
v v v
v V
+ − ∞
∞
= = =+
⇓
= =
29
57
Valori finali 2/2
( ) 8 18 [ ], 0tv t e V t−= − + >Transitorio dell’uscita:
( (0 ) 10, 18, 1)v V τ+ ∞= = =
58
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
30
59
Circuito con generatore pilotato
Calcolare ix(t)
[ ]
( ) (0 ), 0
( ) (0 ) , 0
x x
t
x x x x
i t i t
i t i I e I tτ
−
−
+ ∞ ∞
= <
= − + >
Continuità della corrente sull’induttore
60
Condizioni iniziali 1/2
Condizioni iniziali dello stato e dell’uscita:in t=0- la rete è a regime (stazionario)
l’induttore è in serie con un circuito aperto
(0 ) 0Li − =
31
61
Condizioni iniziali 2/2
(0 ) 0(0 ) 2 (0 ) 0x x xi i i− − −⇒= =+
Equazione nodo M:
62
Valori iniziali 1/2
(0 ) (0 ) 0L Li i+ −= =
Valori iniziali dello stato e dell’uscita:in t=0+ la rete è in funzionamento dinamico
l’induttore equivale ad un circuito aperto
32
63
Valori iniziali 2/2
(0 ) 0(0 ) 2 (0 ) 0x x xi i i+ + +⇒= =+
Equazione nodo M:
64
Costante di tempo 1/3
Costante di tempo: rendere inerte la retesostituire l’induttore con un generatore di corrente ipcalcolare Re=vp/ip
33
65
Costante di tempo 2/3
Equazione nodo M:
2 013x x p x pI Ii i i⇒ = −+ + =
66
Costante di tempo 3/3
53
5 9,
3
1 2
5
p p
p
M p x
ee
p
p
v I
v LR s
i
v I i I
Rτ
= =
= = =
+ × +
=
=
Ω
−
13x pi I= −
Equazione maglia:
34
67
Valori finali 1/2
Valore finale uscita:l’induttore è un corto circuito (regime stazionario)
1 (3 ) 5 2( )
1x x
x
I I
I A∞ ∞
∞
× = − ⇒
=
68
Valori finali 2/2
59( ) 1 [ ], 0
t
xi t e A t−
= − + >Transitorio dell’uscita:
9( (0 ) 0, 1, )5x xi I sτ+ ∞= = =
35
69
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
70
Formula 1/2
Formula del transitorio nel caso di ingressisinusoidali
le costanti di tempo non cambianoil valore finale è sostituito con il termine di regime
il termine di regime è sinusoidale ed isofrequenzialecon gli ingressiesso si calcola con il calcolo simbolico
36
71
Formula 2/2
termine di regime
( ) (0 ) (0) ( )
valore iniziale
t
p py t y y e y tτ−
+
⇓
= − + ⇑
72
Esempio 1/8
Nella rete l’ingresso è sinusoidale. Calcolare i(t)
( ) (0 ) (0) ( ), 0t
p pi t i i e i t tτ−
+ = − + >
37
73
Esempio 2/8
in t=0- la rete funziona a regime (sinusoidale)
nel dominio dei fasori:
il condensatore è modellato con l’impedenza –j0.5
il fasore dell’ingresso vale -2 j
74
Esempio 3/8
[ ]0.5( 2) 0.47 0.12
2 0.5C
jV j j V
j−
= − =− −−
Condizione iniziale dello stato e dell’uscita:
2(0 ) Re[ ] Re[ ] 0.2352 0.5
ji I Aj−
−= = =−
[ ]0
(0 ) Re
Re 0.47
j tC c t
c
v V e
V V
ω− =
= =
= = −
38
75
Esempio 4/8
Situazione della rete in t=0+e(0)=0la rete non è degenere: (0 ) (0 ) 0.47C Cv v V+ −= = −
76
Esempio 5/8
Valore iniziale dell’uscita:
(0 )1||1(0 ) 0.156 (0 ) 0.2351 1||1 1
Cvi A i A+
+ −= − = ≠ =+
39
77
Esempio 6/8
Costante di tempo
1.5eR C sτ = =
1 1||1 1.5 , 1eR C F= + = Ω =
78
Esempio 7/8
2
( ) Re[ ]
Re[(0.1 1.3) ]0.1cos(2 ) 1.3sin(2) [ ]
(0) 0.1[ ]
j tp p
j t
p
i t I e
j et t A
i A
ω= =
= − =+
=
20.1 1.3 [ ]
1 (1 0.5)||1p
jI j A
j−
= = −+ −
Termine di regime dell’uscita (dominio dei fasori):
40
79
Esempio 8/8
1.5( ) (0.156 0.1)0.1cos(2 ) 1.3sin(2 ) [ ], 0
t
i t et t A t
−= − +
+ >
Transitorio dell’uscita:
80
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
41
81
Metodo 1/4
Presenza nella rete di interruttori che siaprono (chiudono) e si richiudono (riaprono) in istanti successivi
Caso trattato: ingressi in continua (costanti nel tempo)
82
Metodo 2/4
( ) 1
integrale particolare
( ) ( ) ,
valore all'istante inizialedell'intervallo
i
i
t t
i pi pi i ix t x t X e X t t tτ−
−
+
⇓
= − + ≤ ≤
⇑
Nell’intervallo ti – ti+1 relativo ad ogni fase di funzionamento:
42
83
Metodo 3/4
Le variabili di stato sono continue negli istanti in cui finisce una fase e comincia la fase successiva
La costante di tempo può cambiare da una fase all’altra
( ) 1( ) ( ) ,i
i
t t
i pi pi i ix t x t X e X t t tτ−
−
+= − + ≤ ≤
84
Metodo 4/4
L’integrale particolare Xpi dipende dalla fase considerata e può essere calcolato supponendo che tale fase duri abbastanza per poter raggiungere il regime stazionario
43
85
Esempio 1/7
L’interruttore si apre nell’istante t=0 e si richiudenell’istante t=0.4 s
calcolare vC (t)
86
Esempio 2/7
Presenza di tre fasi di funzionamentofase 1: t<0la rete è in regime stazionariofase 2: 0<t<0.4la rete è in fase transitoria ma non raggiunge ilregimefase 3: t>0.4la rete è in fase transitoria ma raggiunge il regime
44
87
Esempio 3/7
Fase 1: t<0 la parte di rete dove è inserito il condensatore è inerte
( ) 0, 0
(0 ) 0C
C
v t t
v −
= ≤
=
88
Fase 2:
valore iniziale
costante di tempo
Esempio 4/7
( ) 11 10 0.4: ( ) (0 ) ,
t
C C p pt v t v V e Vτ−
+≤ ≤ = − +
(0 ) (0 ) 0C Cv v+ −= =
1 1 13 2 5 0.5e eR CR sτ= + = Ω ⇒ = =
45
89
Fase 2:
integrale Particolare
transitorio
Esempio 5/7
1 1 10pV V V∞= =
0.5( ) 10 10, 0 0.4t
Cv t e t−
= − + ≤ ≤
90
Esempio 6/7
Fase 3: ( ) 2
0.4
2 20.4: ( ) (0.4 ) ,t
C C p pt v t v V e Vτ−
−
+≥ = − +
valore iniziale:
costante di tempo:
2
0.4(0.4 ) (0.4 ) 10(1 ) 5.5t
C C tv v e V−
+ − == = − =
2 2 22 0.2e eR CR sτ= Ω ⇒ = =
46
91
Esempio 7/7
2 2 0pV V V∞= =
0.40.2( ) 5.5 , 0.4
t
Cv t e t s−
−= ≥
integrale particolare :
transitorio :
92
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
47
93
Teorema 1/2
Nelle reti non degeneri se in determinatoistante sono noti gli ingressi e le variabili di stato, in quello stesso istante si può calcolarequalsiasi uscita della rete
94
Teorema 2/2
Le equazioni che esprimono l’uscita in funzionedello stato e dell’ingresso si chiamano equazionidi uscita
lavorando nel dominio del tempo, nelle reti non degeneri, conviene sempre calcolare le evoluzionitemporali delle variabili di stato
vantaggio: le variabile di stato sono continue e comunque a partire da esse, le uscite si calcolanocon l’equazioni di uscita
48
95
Esempio 1/4
Ingressi: e,aVariabili di stato : vC, ilUscite: v4,i1,i2
96
Esempio 2/4
Sostituire condensatori con generatori di tensioneSostituire induttori con generatori di corrente
49
97
Esempio 3/4
La sovrapposizione degli effetti dovuti aigeneratori equivalenti associati alle variabili di stato ed ai generatori associati agli ingressiporge le equazioni:
3 444
3 4 3 4
21
1 2 1 2 1 2
12
1 2 1 2 1 2
1 1
1 1
C
L C
L C
R RRv v a
R R R R
Ri e i v
R R R R R R
Ri e i v
R R R R R R
= ++ +
= + ++ + +
= − −+ + +
98
Esempio 4/4
Le equazioni precedenti definiscono le equazioni dell’uscita delle rete considerata
50
99
Reti nel dominio del tempo
100
Poli (o frequenze naturali) di una rete
51
101
Definizione 1/2
Il comportamento qualitativo di una retedinamica dipende dalle sue frequenze naturalio poli
Per studiare i poli di rete si introduce la pulsazione complessa s definita da:
s jω=
102
Definizione 2/2
Per determinare i poli di rete: si consideri la rete nel dominio della pulsazionecomplessa s l’insieme dei valori s per i quali qualche uscita dellerete diventa infinita costituisce l’insieme dei poli di rete
Nel dominio delle pulsazioni complessel’impedenza di un induttore L diventa s L e l’impedenza di un condensatore C diventa 1/(s C)
52
103
Esempio 1/5
La rete considerata è nel dominio dellepulsazioni s. Gli ingressi A1 e A2 sono con pulsazione s
104
Esempio 2/5
Impedenza dell’induttore di 2 H: 2s
Impedenza dell’induttore di 1 H: s
Impedenza del condensatore di 1 F: 1/s
Applicando il metodo delle tensioni ai nodi si ha
53
105
Esempio 3/5
1 2 1
1 2 2
1 1 1ˆ ˆnodo 11 11 2s 1 1
1 1 1ˆ ˆnodo 21 12 s1 1
V V A
s s
V V A
s s
+ − = + + +
− + + = + + +
106
Esempio 4/5
Risolvendo il sistema si ottengono le uscite:3 2 3 2
1 1 2
2 2
2 1 2
2 7 5 1 2 5 2ˆ( 1)(1 3 ) ( 1)(1 3 )
( 2)(2 ) ( 2)(2 2 1)ˆ( 1)(1 3 ) ( 1)(1 3 )
s s s s s sV A As s s s
s s s s s sV A As s s s
+ + + + += ++ + + +
+ + + + += ++ + + +
54
107
Esempio 5/5
I poli della rete sono definiti dai valori di s cherendono nulli i denominatori delle uscite:
s=-1, s=-1/3
108
Proprietà
Salvo casi eccezionali tutte le uscite presentanogli stessi poli di rete
I poli di rete non dipendono dai valori degliingressi e da come essi sono posizionati nellarete
Le reti che rese inerti risultano le stesse, hannole stesse frequenze naturali o poli
55
109
La rete di figura quando viene resa inerte è identica a quella dell’esempio precedente (resainerte)
i poli di rete sono gli stessi e cioè: s=-1, s=-1/3
Invarianza dei poli
110
Poli (o frequenze naturali) di una rete
56
111
Caratteristiche 1/3
I poli di una rete sono strutturali:essi sono gli stessi per tutte le reti che rese inertihanno la stessa configurazione
I poli di rete derivano dagli zeri dei polinomiche costituiscono i denominatori nell’espressioni(nel dominio s) dell’uscite
i polinomi che danno luogo ai poli di rete sono a coefficienti realii poli di rete sono reali o (se complessi) sipresentano in coppie complesse coniugate
112
Caratteristiche 2/3
Nelle reti non degeneri il numero di poli(contati con la loro molteplicità) è uguale allasomma dei condensatori ed induttori presentinella rete
57
113
Caratteristiche 3/3
L’ordine di complessità di una rete (degenere o non degenere) è definito dalle condizioni inizialiche devono essere definite per poter determinarela sua evoluzione temporale
l’ordine di complessità di una rete si può esprimerecome differenza tra il numero totale di condensatoried induttori e la somma totale di maglie di condensatori e tagli di induttori
Il numero di poli di una rete coincide con il suoordine di complessità
114
Implicazioni 1/4
I poli di una rete che risultano nulli sono pocosignificativi
il numero di poli nulli è dato dalla somma dei taglidi condensatori e delle maglie di induttori
58
115
Implicazioni 2/4
Una rete di dice stabile se i suoi poli hanno tuttiparti reali non positive
una rete passiva è sicuramente stabile
Una rete con una costante di tempo τ ha solo un polo significativo di rete espresso da:
1s
τ= −
116
Implicazioni 3/4
Il modello matematico di una rete dinamica è costituito da un sistema di equazioni differenziali
nel caso di sola presenza di poli semplici, la soluzione del sistema omogeneo associatopresenta la forma:
1 21 2( ) .... ns ts t s t
t ny t K e K e K e= + + +
59
117
Implicazioni 4/4
s1,s2,…sn sono i poli della rete
Nelle reti passive gli esponenziali tendono a zero per valori elevati di t
la soluzione del sistema omogeneo costituisce un transitorio
118
Poli (o frequenze naturali) di una rete
60
119
Generalità
Ogni rete può essere vista come connessionedi due bipoli
120
Formula
Resi inerti i bipoli, i poli di rete si ottengonodall’equazione:
0Z Z+ =s r
0Y Y+ =s r
oppure
61
121
Esercizio 1 (1/3)
Determinare i poli della rete
122
Esercizio 1 (2/3)
La figura illustra la rete rese inerte
1 11, | |1
1Z Z s s
s s= = + = +
+
s r
62
123
Esercizio 1 (3/3)
Risulta
Poli di rete:
1 11, ||1
1Z Z s s
s s= = + = +
+
s r
1 21
1 0 1 , 11
Z Z s s j s js
+ = + + = ⇒ = − + = − −+
s r
124
Esercizio 2 (1/3)
Calcolare i poli della rete
63
125
Esercizio 2 (2/3)
La figura illustra la rete rese inerte
1 11 ||1, 1
2Z Z
s s = + = +
s r
126
Esercizio 2 (3/3)
Risulta:
Poli di rete:
1 11 ||1, 1
2Z Z
s s = + = +
s r
2
1 22
6 6 1 1 10 ( 3 3), ( 3 3)2 4 6 6s sZ Z s s
s s+ ++ = = ⇒ = − + = − −+
s r
64
127
Esercizio 3 (1/3)
Calcolare i poli della rete
128
Esercizio 3 (2/3)
La figura illustra la rete resa inerte
1 11||1 , 22
Z Zs
= = = +s r
65
129
Esercizio 3 (3/3)
1 11||1 , 22
Z Zs
= = = +s r
1 1 1 22 0
2 5oZ Z ss τ
+ = + + = ⇒ = − = −s r
Risulta:
Poli di rete:
130
Reti nel dominio del tempo
66
131
Transitori nelle reti a due costanti di tempo
132
Formula del transitorio
Si prenderanno in considerazione come uscitesolo variabili di stato
transitorio relativo ad una variabile di stato:
s1, s2 poli della rete
K1, K2 costanti da calcolare a partire dai valori iniziali
1 21 2( ) , 0s t s t
tx t K e K e t= + ≥
67
133
Procedimento con ingressi costanti
Si prenderanno in considerazione come uscite solo variabili di stato
transitorio relativo ad una variabile di stato:
s1, s2 poli della rete
K1, K2 costanti da calcolare a partire dai valori iniziali
valore finale della variabile di stato (regime stazionario)
1 21 2( ) , 0s t s tx t K e K e X t∞= + + ≥
X∞
134
Determinazione del valore finalecalcolare la rete in regime stazionario:
condensatori sostituiti da circuiti apertied induttorida corto circuiti
Determinazione parametri 1/2
Determinazione dei poli s1 e s2 della rete:fatto nelle slides precedenti
X∞
68
135
Determinazione parametri 2/2
1 2
1 1 2 2
(0 ) (0 ) condizione iniziale nota'(0 ) ? valore iniziale della derivata
x K K X xx s K s K
+ ∞ −
+
= + + = == + = =
Determinazione delle costanti K1 e K2è necessario scrivere due equazioni:
136
Uso delle variabili coniugate 1/2
Variabili coniugate allo stato:
correnti iC sui condensatori e tensioni vL sugliinduttorile variabili coniugate non sono continue
tuttavia si sanno calcolare i valori iniziali
69
137
Uso delle variabili coniugate 2/2
Formula che lega i valori iniziali delle derivate dello stato con i valori iniziali delle variabiliconiugate
'
'
1(0 ) (0 ) per un condensatore
1(0 ) (0 ) per un induttore
C C
L L
v iC
i vL
+ +
+ +
=
=
138
Sommario 1/4
Si determinano i poli s1 e s2 della rete:
C LV o I∞ ∞Si determini il valore finale
1 2
1 2
1 2
1 2
( ) , per un condensatore
( ) , per un induttore
s t s tC C
s t s tL L
v t K e K e V
i t K e K e I∞
∞
= + +
= + +
70
139
Sommario 2/4
Si determini il valore iniziale della variabileconiugata
'
'
1(0 ) (0 ) per un condensatore
1(0 ) (0 ) per un induttore
C C
L L
v iC
i vL
+ +
+ +
=
=
(0 ) (0 )C Li o v+ +
Si determini il valore iniziale della derivatadello stato
140
Sommario 3/4
1 2
'1 1 2 2
per un condensatore:(0 )
1(0 ) (0 )
C
C C
v K K V
v i s K s KC
+ ∞
+ +
= + +
= = +
Si determinano le costanti K1 e K2 con le due equazioni
71
141
Sommario 4/4
1 2
'1 1 2 2
per un induttore:(0 )
1(0 ) (0 )
L
L L
i K K I
i v s K s KL
+ ∞
+ +
= + +
= = +
142
Esempio 1/8
Nella rete l’interruttore si apre nell’istante t=0 calcolare v(t)
1 21 2
( ) (0 ), 0
( ) , 0s t s t
v t v t
v t K e K e V t−
∞
= <
= + + ≥
Continuità delle variabili di stato
72
143
Esempio 2/8
Poli di rete
Risulta:
Poli di rete:
45,Z Z s
s= = +
s r
2
1 2
5 40 1, 4
s sZ Z s s
s+ +
+ = = ⇒ = − = −s r
144
Esempio 3/8
24V V∞ =
Valore finale dell’uscita:l’induttore è un corto circuitoil condensatore un circuito aperto
73
145
Esempio 4/8
Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)
l’induttore è un corto circuito, il condensatore un circuito aperto
1(0 ) 24 4 ,
5 124
(0 ) 45 1L
v V
i A
−
−
= =+
= =+
146
Esempio 5/8
Situazione della rete in t=0+
(0 ) (0 ) 4(0 ) (0 ) 4
0
L Li i Av v V
t
+ −
+ −
+
= == =
=
74
147
Esempio 6/8
Valore iniziale della variabile coniugata:
(0 ) (0 ) 4Li i A+ += =
148
Esempio 7/8
Valore iniziale della derivata dello stato: 1
'(0 ) (0 ) 16 /v i V sC+ += =(0 ) (0 ) 4Li i A+ += =
75
149
Esempio 8/8
464 4( ) 24, 0
3 3t tv t e e t− −= − + + ≥
Soluzione dell’equazioni:
1 2
64 4,
3 3K K= − =
Transitorio richiesto:
Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
(0 ) 24 4
'(0 ) 4 16
v K K V K K
v s K s K K K+ ∞
+
= + + = + + =
= + = − − =
150
Transitori nelle reti a due costanti di tempo
76
151
Poli complessi 1/3
Nel caso di presenza di poli complessi s1 e s2
*2 1 ( )s s coniugato=
*2 1K K coniugato=
( ) ( )
1 2 11 2 1
2 cos sin
( 2
, 0
) Res t s t s t
t
x t K e K e X K
e M t N t X t
e Xσ ω ω−
∞
− − −∞ ∞
− + ≥
= + + = + =
=
1s jσ ω= − +
1K M jN= +
152
Transitorio nel caso di poli complessi coniugati: cisoide
Poli Complessi 2/3
( ) ( )( ) 2 cos sin , 0ttx t e M t N t tσ ω ω−= − ≥
77
153
Forma d’onda della cisoide:esempio
M=3,N=4,
Gli inviluppi sono definiti da:
Poli Complessi 2/3
1, 3σ ω= =
2 22 10t tM N e eσ− −± + = ±
t
154
Parametri alternativi di una cisoide
Espressione dei poli:
Poli Complessi 3/3
2 22 0o o
o
s ssmorzamentopulsazione
ξ ω ωξω
+ + =
1,2
21
o
o
s jσ ω
σ ξ ω
ω ξ ω
= − ±
=
= −
78
155
Esempio 1/9
Calcolare iL(t)
1 21 2
( ) (0 ), 0
( ) , 0L L
s t s tL L
i t i t
i t K e K e I t−
∞
= <
= + + ≥
156
Esempio 2/9
Poli di rete
2
1 23 3, (2 ) ||
1 2s
Z Z ss s
= + = =+
s r
79
157
Esempio 3/9
Risulta:
Poli di rete:
2
1 23 3, (2 )||
1 2s
Z Z ss s
= + = =+
s r
2*
1 2 12
2(6 3) 10 ( 1 71),1 2 12s sZ Z s j s s
s+ ++ = = ⇒ = − + =
+
s r
158
Esempio 4/9
32 1
3 3LI A∞ = =+
Valore finale dell’uscita:l’induttore è un corto circuitoil condensatore un circuito aperto
80
159
Esempio 5/9
Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)
l’induttore è un corto circuito, il condensatore un circuito aperto
(0 ) 0,
(0 ) 0C
L
v
i−
−
==
160
Esempio 6/9
Valori iniziali dello stato e della variabileconiugata
la rete non è degenere:
(0 ) (0 ) 0(0 ) (0 ) 0
L L
C C
i iv v
+ −
+ −
= == =
(0 ) 0Lv + =
81
161
Esempio 7/9
Valore iniziale della derivata dello stato:
' 1(0 ) (0 ) 0L Li v
L+ += =
162
Esempio 8/9
Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:
1 2 1 2
'1 1 2 2
(0 ) 1 0
(0 ) 0L L
L
i K K I K K
i s K s K+ ∞
+
= + + = + + =
= + =
Soluzione dell’equazioni:
*1 2 1
1 1,
2 2 71K j K K= − + =
82
163
Esempio 9/9
t
112 1 71 1 71( ) 2 cos( ) sin( ) 1, 0
2 12 122 71
t
Li t e t t t−
= − − + ≥
Transitorio richiesto:
)(tiL
164
Transitorio esponenziale
Nel caso di poli reali se K1+K2 è diverso da 0, il transitorio ha forme simili a quelle che sihanno nel caso di una costante di tempo
esempio: s1=-1, s2=-2, K1=4, K2=-0.5
ttt eety 25.04)( −− −=
t
83
165
Transitorio impulsivo
Nel caso di poli reali se invece K1+K2 =0, iltransitorio ha una forma di tipo impulsivo
esempio: s1=-1, s2=-2, K1=4, K2=-4
ttt eety 244)( −− −=
t
166
Transitorio cisoidale
Nel caso di poli complessi coniugati, iltransitorio ha una forma cisoidale
esempio: s1=-1+j 3, s2=-1-j 3 , K1=3+j 4, K2=3-j 4
t
tstst eKeKty 21
21)( +=
84
167
Transitori nelle reti a due costanti di tempo
168
Descrizione del fenomeno 1/2
Fenomeno:
85
169
Descrizione del fenomeno 2/2
Modello circuitale:
Valori tipiciparametri:
(0 ) 20 , 300 ,
0.1 , 50Cv kV R
L H C pFµ− = = Ω
= =
( ) ?i t =
170
Analisi circuitale 1/6
Poli di rete
1,Z Z R sL
s C= = +
s r
86
171
Analisi circuitale 2/6
Risulta:
Poli di rete:
1,Z Z R sL
s C= = +
s r
22
1,2
1 2
1 102 2
2.932 / , 68.218 /
s LC sRC R RZ Z ssC L L LC
s Grad s s M rad s
+ + + = = ⇒ = − ± −
= − = −
s r
172
Analisi circuitale 3/6
Prima della scarica
Valore finale della corrente di scarica:
(0 ) 20
(0 ) (0 ) 0C
L
v kV
i i−
− −
=
= =
( ) 0i I ∞∞ = =
87
173
Analisi circuitale 4/6
Valori iniziali dello statola rete non è degenere:
(0 ) (0 ) 0
(0 ) (0 ) 20L L
C C
i i
v v kV+ −
+ −
= =
= =
Valore iniziale della variabile coniugata:
(0 ) (0 ) 20L Cv v kV+ += =
174
Analisi circuitale 5/6
Valore iniziale della derivata della corrente di scarica:
' 91(0 ) (0 ) 200 10Li v
L+ += = ×
88
175
Analisi circuitale 6/6
Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:
1 2 1 2
' 91 1 2 2
(0 ) 0
(0 ) 200 10L L
L
i K K I K K
i s K s K+ ∞
+
= + + = + =
= + = ×
Soluzione dell’equazioni:
1 2 169.61 ,K A K K= − = −
176
Impulso di scarica
)(ti
t
68.218 2932( ) 69.61( ) ,t ti t e e A t in sµ− −= −
Corrente di scarica elettrostatica:
89
177
Reti nel dominio del tempo
178
Equazioni differenziali di una rete
90
179
Modelli per Simulatori
In pratica le reti dinamiche presentano ordinedi complessità elevato e soprattutto alcune voltenon possono essere trascurate le non linearità
Necessità di simulatori numericii sistemi di equazioni differenziali costituisconoil modello matematico alla base dei simulatorinumerici di rete
180
Equazioni differenziali di una rete
91
181
Generalità 1/2
Metodo dei nodi
caso più semplice: tutti i lati sono comandabili in tensione
incognite: tensioni ai nodi indipendenti
equazioni:equazioni ai nodi indipendenti
182
Generalità 2/2
esempi di latinon comandabili in tensione:
generatori (indipendenti o dipendenti) di tensione
Induttori
scritta con comando in tensione la relazionecostitutiva degli induttori porta a equazioniintegrodifferenziali anziche differenziali
92
183
Metodo nodi modificato 1/2
Metodo dei nodi modificato:
sono presenti lati non comandabili in tensione
lato modificato è il lato non comandabile in tensioneche viene sostituito con generatore di corrente incognito
184
Metodo nodi modificato 2/2
incognite:tensioni ai nodi e correnti sui lati modificati
equazioni:equazioni ai nodi indipendentirelazioni costitutive dei lati modificati
93
185
Quattro nodi indipendenti (1,2,3,4)Tre lati da modificare:
generatore indipendente einduttore Lgeneratore di tensione pilotato
Esempio
2ˆ me R i=
2ˆ me R i=
186
Sette incognite:quattro tensioni ai nodi:tre correnti dei lati modificati:
i1 sul generatore indipendente eiL sull’induttore Li4 sul generatore di tensione pilotato
Incognite
e
1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v v v v
94
187
Le quattro equazioni ai nodi 1/2
2ˆ me R i=
Le equazioni ai nodi 1 e 2:
1 21
1
2 31 2 2 21
1 2 3
ˆ ˆNodo 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆNodo 2
v vi
Rv vv v v dv
CR R dt R
−=
−−= + +
188
Le quattro equazioni ai nodi 2/2
2ˆ me R i=
Le equazioni ai nodi 3 e 4:
2 3 3 42
3
3 42 4
ˆ ˆ ˆ ˆNodo 3
ˆ ˆNodo 4 L
v v dv dvC
R dt dt
dv dvC i i
dt dt
− = −
− + =
95
189
Equazioni dei lati
1 1
L
24 2
2
4
4
ˆ
ˆˆ
lato modi
ˆ
ˆ
ficato con i :
lato modificato con i :
lato modificato con i :
m m
L
v e
vv e R i R
Rdi
v Ldt
=
= = =
=
2ˆ me R i=
Le tre equazioni dei lati modificati:
190
4 2
1
2
2
4
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
m
L
m
v e
vv ReR
div
t
i
d
R
L
=
= =
=
=
Sistema
Sistema misto di sette equazioni differenziali e algebriche:
1 21
1
2 31 2 2 21
1 2 3
2 3 3 42
3
3 42 4
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆL
v viR
v vv v v dvCR R dt R
v v dv dvC
R dt dt
dv dvC i idt dt
−=
−− = + +
− = −
− + =
quattro equazioni ai nodi tre equazioni ai latimodificati
96
191
Incognite
Incognite del sistema:
quattro tensioni ai nodi:
tre correnti dei lati modificati:
1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v v v v
1 4, ,Li i i
192
Equazioni differenziali di una rete
97
193
Storia SPICE 1/2
Simulatori numerici per soluzioni equazionidifferenziali reti elettriche
ECAP prodotto dalla IBM
CANCER sviluppato all’Università di California in Berkeley
194
Storia SPICE 2/2
SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) sviluppato all’Università di California in Berkeley
SPICE2 evoluzione di SPICE
SPICE3 prodotto come supporto ai programmiCAD sviluppati a Berkeley
98
195
Versioni per grossi calcolatori
Famiglia SPICE:
versioni per grossi calcolatori:
HSPICE della Meta-SoftwareIG-SPICE della A.B. AssociatesI-SPICE della NCSS Time SharingPRECISE della Electronic Engineering SoftwarePSpice della Microsim
196
Versioni per PC
Famiglia SPICE
versioni per PC:
ALLSPICE della AcotechIS-SPICE della IntusoftZ-SPICE della Z-TechSPICE-Plus della Analog Design ToolsPSpice della MicrosimWinSPICE della Ousetech
99
197
Editori di SPICE 1/2
Editori che si utilizzano per il programmaSPICE:
Scrittura diretta NETLIST in file ASCII
Disegno con editore grafico (schematics editor)
198
Editori di SPICE 2/2
Programmi in ambiente Windows scaricabili dallarete gratuitamente:
http://www.ousetech.co.uk/winspice2/numero nodi: arbitrarioscrittura diretta NETLIST in file ASCII
http://www.cadencepcb.com/products/downloads/PSpicestudent/default.asp
numero nodi: massimo 64disegno con editore grafico (schematics editor)
100
199
Testi su SPICE
Alcuni testi di riferimento:
M.Biey: SPICE e PSPICE. CLUT Torino(Scrittura diretta NETLIST in file ASCII)
R.Perfetti: Circuiti Elettrici. Zanichelli, Bologna, 2003(Disegno con editore grafico (schematics editor))
200
Equazioni differenziali di una rete
101
201
Svantaggi metodo nodi
Il metodo dei nodi è alla base di SPICE e altrisimulatori
svantaggio: dà luogo ad un sistema con un numero elevato di equazioni differenziali e algebricheil sistema non si presenta in forma normale
202
Vantaggi equazioni stato
Il metodo dell’equazioni di stato è miglioreda un punto di vista matematico
le incognite sono le variabili di statonoto lo stato, qualsiasi uscita si determina con l’equazioni di uscita
102
203
Procedimento
Procedimento per dedurre le Equazioni di stato di una rete non degenere:
esprimere le variabili coniugate allo stato in funzione degli ingressi e degli stati
esprimere le variabili coniugate con l’equazionicostitutive che le legano alle di variabili di stato
il confronto delle due espressioni consente di eliminare le variabili coniugate e scriverel’equazioni differenziali che collegano le variabili di stato alle variabili di ingresso
204
Esempio 1/6
Dedurre l’equazioni di stato della rete
Ingressi: e, aVariabili di stato: vC, ilVariabili coniugate: iC, vl
103
205
Esempio 2/6
Esprimere le variabili coniugate in funzione degliingressi e delle variabili di stato
206
Esempio 3/6
1 4
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4
1 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 1( ) | | ( )C C L
L C L
R Ri v i e a
R R R R R R R R R R
R R R Rv v i eR R R R R R
= − − + ++ + + + +
= − ++ + +
La sovrapposizione degli effetti porge:
104
207
Esempio 4/6
Esprimere le variabili coniugate attraverso le relazioni costitutive che le legano alle variabili di stato
1 4
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4
1 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 1( ) | | ( )
CC L
LC L
dv R RC v i e adt R R R R R R R R R R
di R R R RL v i edt R R R R R R
= − − + ++ + + + +
= − ++ + +
,C LC L
dv dii C v L
dt dt= =
Confronto tra le due espressioni:
208
Esempio 5/6
Equazioni di stato:
1 4
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4
1 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 1( ) | | ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
CC L
LC L
dv R Rv i e adt C R R R R C R R C R R C R R
di R R R Rv i edt L R R L R R L R R
= − − + ++ + + + +
= − ++ + +
105
209
Esempio 6/6
Forma matriciale dell’equazioni di stato:
1 4
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4
1 1 2 1
1 2 1 2 1 2
, , ,
1 1( ) | | ( ) ( ) ( ) ( )
,0
( ) ( ) ( )
C
L
v ed xAx B s x s
i adt
R RC R R R R C R R C R R C R R
A BR R R R
L R R L R R L R R
= + = =
− −+ + + + +
= =−
+ + +