Carlo A. Pensavalle 1

Via Vienna 2- 07100 SASSARI tel. 079- 229485 Fax 079-229482 Dr Carlo Andrea Pensavalle e-mail: pensa@uniss.it

INTRODUZIONE ALL’ORIGAMICA:

ALLA SCOPERTA DELLA GEOMETRIA

DIETRO LE PIEGHE.

STRUTTURA DIPARTIMENTALE DI MATEMATICA E FISICA

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI SASSARI

Carlo A. Pensavalle 2

Il termine Origamica è stato introdotto per primo dal biologo e matematico giapponese Kazuo Haga nel 1994.

Le attività di origamica differiscono da quelle ordinarie del mondo dell’origami, dove l’obiettivo è realizzare figure di animali, fiori e altri oggetti famigliari.

L’Origamica è un approccio all’esplorazione matematica attraverso la piegatura della carta.

I suoi aspetti manipolativi la rendono un ottimo strumento per l’insegnamento ed apprendimento della matematica.

COSA SIGNIFICA ORIGAMICA

Carlo A. Pensavalle 3

COSA SI FA IN ORIGAMICA

In Origamica si svolgono attività sperimentali di esplorazione, visualizzazione, scoperta, congettura e dimostrazione.

Tali attività portano allo studio degli effetti del piegare il foglio ed al cercare regolarità nelle pieghe prodotte.

Regolarità che portano alla caratterizzazione di punti, rette, angoli, poligoni, etc.

Carlo A. Pensavalle 4

QUALI PIEGHE IN ORIGAMICA?

In origamica, le pieghe accettabili sono quelle che hanno la proprietà di essere riproducibili.

Il risultato di una piega o di una sequenza di pieghe deve essere sempre lo stesso.

Non importa chi la esegue. Deve sempre essere possibile descrivere a parole o

mediante un disegno, la sequenza di pieghe da eseguire per ottenere il risultato finale.

Se il processo è eseguito con rigore e precisione si ottiene necessariamente il risultato atteso.

Carlo A. Pensavalle 5

Le prime pieghe dell’origamica che rispettano il principio di riproducibilità sono di due tipi:

Pieghe che portando punti su punti. Pieghe che portando linee su linee.

QUALI PIEGHE IN ORIGAMICA?

Carlo A. Pensavalle 6

PIEGARE UN RETTANGOLO

PROBLEMA 1: Supponiamo di voler piegare un rettangolo di carta usando come riferimenti per condurre pieghe riproducibili i quattro lati ed i quattro vertici.

Quanti modi diversi abbiamo per effettuare una piega riproducibile?

Sono due i tipi di pieghe riproducibili che possiamo eseguire.

Carlo A. Pensavalle 7

LA PIEGA A LIBRO

La piega a Libro: sovrappone due lati opposti.

L L

Carlo A. Pensavalle 8

LA PIEGA SGHEMBA

La piega sghemba, sovrappone due vertici opposti. Ogni altra piega non è una piega riproducibile!

S

Carlo A. Pensavalle 9

Un approccio alle superfici piane equivalenti con l’ausilio dell’Origamica.

Un lembo di stoffa, un cartoncino, un foglio di compensato comunque ritagliati e disposti su un piano in modo da aderire completamente ad esso, forniscono l’idea intuitiva di ciò che chiamiamo superficie piana.

L’idea intuitiva di estensione di una superficie, può essere chiarita associandola alla quantità di vernice che occorre per colorarla, oppure, se la ritagliamo da un foglio di compensato, al suo peso.

Due superfici piane si dicono equivalenti, quando hanno uguale estensione. Ad uguali estensioni corrispondono uguali quantità di vernice e uguali pesi, se sono estensioni ottenute da uguale materiale!

Carlo A. Pensavalle 10

PRIMA DISCUSSIONE

Le pieghe effettuate hanno lasciato sul foglio di carta una traccia. Evidenziala con un pastello colorato.

Quale relazione osservi tra le due parti in cui resta diviso il rettangolo?

Carlo A. Pensavalle 11

VERSO L’EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE

Considera una sola delle due parti in cui le pieghe dividono il rettangolo.

Possiamo dire che le parti sono uguali perché hanno tutte stessa forma?

In base a quale proprietà possiamo dire che sono … uguali?

Carlo A. Pensavalle 12

VERSO L’UGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA

Ecco che possiamo rappresentare la proprietà che accomuna le parti, “l’essere uguale a”, con il simbolo di uguale che finalmente svela il suo ruolo fondamentale in matematica, quello di relazione di equivalenza. In questo caso significa “essere la metà dell’intero rettangolo”.

= =

Carlo A. Pensavalle 13

VERSO L’UGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA

OSSERVAZIONE 1

Se si realizza il materiale in legno tipo MDF, è possibile rafforzare l’idea di “uguaglianza” pesando le singole parti di forma diversa ed osservando che hanno tutte stesso peso, la metà del peso del rettangolo iniziale.

Quindi le parti sono uguali perché hanno stesso peso!Ecco che “l’essere uguale a” in questo caso significa “avere

lo stesso peso”.

Carlo A. Pensavalle 14

COME COSTRUIRE IL PUZZLE IN LEGNO

Si realizzano in legno MDF 6 rettangoli (sovrapponibili). 3 di questi, li si taglia in metà come quelle ottenute

piegando la carta: 2 metà tagliando lungo l’asse del lato minore, 2 metà tagliando lungo l’asse del lato maggiore, 2 metà tagliando lungo una sezione per il centro e

simmetrica rispetto ai vertici. Questa strategia è più indicata con gli allievi più piccoli. Si

chiede loro di confrontare le parti con il tutto, sovrapponendole sui rettangoli interi, di pesare i pezzi del puzzle e di discutere quanto osservato.

Carlo A. Pensavalle 15

VERSO L’UGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA

OSSERVAZIONE 2

Nel caso di allievi già con abilità di calcolo, si può iniziare l’esplorazione che nasce dal trovare la misura dell’area delle singole parti. Se le dimensioni del rettangolo iniziale sono base 8 e altezza 10 cm, l’osservazione del calcolo dell’area dei due rettangoli porta a stabilire relazioni aritmetiche che fanno riflettere sulle rappresentazioni non canoniche dello stesso numero:

40 = 4 x 10 = 8 x 5

Carlo A. Pensavalle 16

VERSO L’UGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA

OSSERVAZIONE 3

Il calcolo dell’area del trapezio porta ad un problema nuovo:

Il concetto di EQUAZIONE. Non avendo informazioni sulle

basi del trapezio, risulta solo possibile scrivere:

40 = ((B + b) x 8) : 2 10 = B + b

B b

8

Carlo A. Pensavalle 17

ALLA RICERCA DI ALTRI POLIGONI EQUIALENTI

Vogliamo espandere la famiglia di figure che sono uguali “alla metà dell’intero rettangolo”.

Per fare questo dobbiamo compiere nuove pieghe riproducibili sul rettangolo.

L’idea sta nel comporre sequenze di pieghe riproducibili!

Carlo A. Pensavalle 18

SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI

SFIDA: Quali sequenze di due pieghe riproducibili possiamo costruire utilizzando la piega a Libro e la piega Sghemba?

Adottiamo la convenzione di indicare con L la piega a libro e con S quella sghemba.

Ad esempio la scrittura SL indica che la sequenza di pieghe da effettuare nell’ordine sul rettangolo è: prima la piega a Libro e poi quella Sghemba.

Carlo A. Pensavalle 19

POSIZIONE STANDARD DEL RETTANGOLO

Per facilitare la descrizione della sequenza delle pieghe e la discussione, fissiamo la posizione standard del rettangolo di carta.

Il rettangolo è posizionato sul tavolo (o sulla lavagna o proiettato sullo schermo) con due lati orizzontali (quello in alto e quello in basso) e due verticali (quello di destra e quello di sinistra).

Carlo A. Pensavalle 20

SEQUENZA SL

L

S

Carlo A. Pensavalle 21

TRACCE DELLA SEQUENZA SL

Carlo A. Pensavalle 22

SEQUENZA LS

S

L

Carlo A. Pensavalle 23

TRACCE DELLA SEQUENZA LS

Carlo A. Pensavalle 24

VERSO LA CLASSIFICAZIONE DEI POLINOMI

Possiamo arricchire d’altre immagini la relazione di equivalenza “essere la metà dell’intero rettangolo”.

= =

==

Carlo A. Pensavalle 25

SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI

SFIDA: Quali sequenze di tre pieghe riproducibili possiamo costruire utilizzando la piega a Libro e la piega Sghemba?

Quali nuove forme che corrispondono alla metà dell’intero rettangolo possiamo ottenere?

Carlo A. Pensavalle 26

SEQUENZA LSL

S

L

L

Carlo A. Pensavalle 27

TRACCE DELLA SEQUENZA LSL

Carlo A. Pensavalle 28

SEQUENZA SLL

S

L

L

Carlo A. Pensavalle 29

TRACCE DELLA SEQUENZA SLL

Carlo A. Pensavalle 30

SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI

SFIDA: Quali sequenze di più di tre pieghe riproducibili generano nuove forme che corrispondono alla metà dell’intero rettangolo?

Carlo A. Pensavalle 31

SEQUENZA LSLL

S

L

L

L

Carlo A. Pensavalle 32

TRACCE DELLA SEQUENZA LS LL

Carlo A. Pensavalle 33

SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI

Introduciamo una nuova piega elementare: la piega a Diagonale, D = LS come in fig.

D+D-

Carlo A. Pensavalle 34

SEQUENZA D+RD-L(dove con R si intende un ribaltamento verso sinistra del foglio)

Si ottengono le seguenti tracce

Carlo A. Pensavalle 35

Un mondo senza Matematica, sarebbe il CAOS! Un mondo senza Matematica, sarebbe il CAOS! Non aver paura!!!Non aver paura!!!