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ITIS “G. Marconi” – Bari Corso di Meccanica Applic. e Macchine a Fluido Caratteristiche della Sollecitazione 4a serale prof. Ing. Nazzareno Corigliano
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CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE PREMESSA E DEFINIZIONI
Ci siamo occupati, in precedenza, dell’equilibrio statico dei corpi rigidi ed abbiamo
affrontato e risolto il problema della ricerca delle reazioni vincolari per un’asta rigida vincolata nel
piano. Ora, più realisticamente, considereremo i corpi non più rigidi ma elastici e deformabili.
Studieremo le sollecitazioni su una
TRAVE che viene definita come un solido
generato dalla traslazione lungo un asse
(generalmente rettilineo) di una figura piana di
forma qualsiasi (fig.1) e composto di materiale
elastico, omogeneo ed isotropo.
Omogeneo è un materiale che presenta le stesse caratteristiche fisiche in ogni punto, mentre
se le presenta uguali anche in ogni direzione allora si dice isotropo.
Elastico è un materiale che pur deformandosi, sotto l’azione di forze esterne, al cessare del
loro effetto torna nelle dimensioni e nella forma originali.
Si tratta quindi di qualità che ci semplificano il problema ma che nella realtà dei materiali da
costruzione non sono sempre rispettate. Ad esempio, il legno, il cemento, la pietra non sono né
omogenei né isotropi mentre l’acciaio, i metalli e molte materie plastiche lo sono abbastanza. In
quanto al comportamento elastico, in tutti i materiali, lo possiamo riscontrare più o meno evidente
ma solo entro certi limiti di carico al di sopra del quale le deformazioni diventano permanenti e
portano alla rottura. Tuttavia, se consideriamo che ci preoccupiamo di progettare ed impiegare le
nostre strutture limitando i possibili carichi affinché provochino deformazioni solo nel campo
elastico, è chiaro che praticamente l’elasticità è una ipotesi plausibile.
EFFETTI DELLA SOLLECITAZIONE
Se consideriamo la nostra trave caricata da una serie di forze o SOLLECITAZIONI esterne,
comprese le reazioni vincolari, esse metteranno in movimento la trave fino a quando si ferma in una
nuova configurazione di equilibrio ma DEFORMATA.
Possiamo pensare che durante la deformazione il materiale della trave ha reagito
internamente, in ogni punto, con una serie di piccole forze che si sono opposte all’azione
Fig. 1 – Trave
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deformante del carico esterno fino ad equilibrarlo. Le stesse piccole forze, che chiameremo
TENSIONI interne, sono responsabili, al cessare del carico esterno, del movimento contrario,
definito ritorno elastico, della trave alla sua forma originale.
La catena di eventi spiegata appare interessante perché pone la necessità dell’esistenza di
questo stato di tensioni interne che vale la pena studiare.
Intanto, essendo diffuse in ogni punto del materiale, tali
tensioni avranno l’unità di misura di una pressione, esempio N/mm2.
Poi se immaginiamo, in un punto di una sezione qualsiasi della trave,
la generica tensione S la potremmo
sempre scomporre in una componente
σ perpendicolare alla sezione e in
una componente τ giacente su di essa (fig. 2).
Le tensioni normali σ si opporranno agli allungamenti e
accorciamenti cioè alle deformazioni che provocano allontanamento
o avvicinamento tra le sezioni. Le conseguenti deformazioni
unitarie le indicheremo con 0
0
L
LL −=ε (fig. 3).
Le tensioni tangenziali τ si
opporranno agli scorrimenti cioè alle
deformazioni che provocano slittamento tra le
sezioni o, lineare, secondo una direzione
giacente sulla sezione, o rotatorio, rispetto ad
un asse normale alla sezione. Le conseguenti
deformazioni unitarie le indicheremo con
l’angolo 0L
a=γ (fig. 4).
Per le due tensioni e le relative
deformazioni unitarie vale la relazione di proporzionalità diretta stabilita dalla legge di Hooke:
εσ ⋅= E e γτ ⋅= G
dove E e G sono i moduli di elasticità normale e tangenziale, costanti caratteristiche del materiale
della trave. Le due preziose relazioni saranno alla base dei calcoli di progetto e verifica.
Fig. 2 – Tensioni interne
Fig. 3 – Allungamento e
tensione normale
Fig. 4 – Scorrimenti e tensione tangenziale
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CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE
Supponiamo ora di avere (fig. 5)
una trave rigida, nello spazio, soggetta
all’azione di varie forze, comprese le
reazioni vincolari, e consideriamo una
generica sezione S della trave.
La sezione S si trova in perfetto
equilibrio sotto l’azione di tutte le forze
alla sua sinistra e alla sua destra. Possiamo
inoltre asserire che nella sezione S la parte
di trave alla sua destra comunica un’azione equilibrante alla parte a sinistra, e viceversa (l’una parte
sorregge l’altra), tanto che se separiamo in S le due parti si viene a rompere l’equilibrio e le due
parti di trave precipitano sotto l’azione delle forze non più equilibrate.
Se vogliamo che la parte di sinistra rimanga in equilibrio anche dopo la separazione allora,
ovviamente, dobbiamo applicare nel baricentro
della sezione S la risultante di tutte le forze
presenti sulla parte di destra, che tramite essa
agivano sul resto della trave, e la risultante dei
loro momenti rispetto ad S.
La risultante delle forze la possiamo
scomporre nelle tre componenti lungo le
direzioni degli assi coordinati (x, y, z) e cioè: N,
Tx e Ty mentre, il momento risultante lo
possiamo scomporre nei tre momenti intorno gli
assi coordinati: M fx, M fy e M t. Queste 6 azioni
(3 forze e 3 momenti) rappresentano l’azione
complessiva che la parte di sinistra della trave
esercitava su quella di destra nella sezione S.
Naturalmente le stesse azioni, ma con i versi opposti, rappresentano l’azione della parte di sinistra
su quella di destra, così come illustrato nella fig. 6. Le 6 azioni, ora dette, vengono chiamate
CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE nella sezione S e vengono meglio definite nella
seguente tabella:
Fig. 5 – Trave caricata nello spazio
Fig. 6 – Caratteristiche di sollecitazione nello spazio
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N sforzo normale
agente lungo l’asse longitudinale z (normale alla sezione S), provoca allungamento, se di trazione, e accorciamento, se di compressione, quindi tensioni normali σ .
Tx e Ty sforzi di taglio
agenti lungo gli assi trasversali x e y (giacenti sulla sezione S), provocano taglio (azione di tranciatura) cioè scorrimento lineare tra le sezioni, quindi tensioni tangenziali τ .
M fx e M fy momenti flettenti
agenti intorno gli assi trasversali x e y (giacenti sulla sezione S), provocano la flessione (ossia il piegamento) della trave sui piani yz e xz. Con tale deformazione si hanno fibre tese (cioè allungate) e fibre compresse (cioè accorciate), quindi tensioni normali σ .
M t momento torcente
agente intorno all’asse longitudinale z, provoca la torsione (attorcigliamento) della trave intorno all’asse z, cioè le sezioni ruotano le une rispetto alle altre avendosi scorrimento rotatorio, quindi tensioni tangenziali τ .
Se introduciamo l’ulteriore
ipotesi, per altro abbastanza
attinente a molti casi pratici, di
considerare tutti i carichi giacenti
sul piano mediano della trave,
contenente l’asse z, avremo una
notevole semplificazione giacché le
nostre caratteristiche di
sollecitazione si riducono a tre
soltanto e cioè: sforzo normale N,
taglio T e momento flettente M f ,
così come mostrato in fig. 7.
Il nostro nuovo problema
sarà ora quello di andare a
determinare il valore delle tre caratteristiche di sollecitazione in ogni sezione di un sistema piano
isostatico, costituito da travi variamente caricate e vincolate. Tali valori verranno rappresentati con
Fig. 7 – Caratteristiche di sollecitazione nel piano
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opportuni diagrammi da cui sarà immediato riconoscere la sezione
più sollecitata ed il corrispondente valore di sollecitazione massima
utile alla progettazione.
Per prima cosa stabiliamo la convenzione sui segni delle
caratteristiche di sollecitazione. Nella fig. 8 vengono rappresentati i
versi POSITIVI delle forze orizzontali, che provocano sforzo
normale, e verticali, che provocano taglio, a seconda che si guardi a
destra o a sinistra di S. Inoltre vengono rappresentati, per le stesse
condizioni, anche i versi positivi dei momenti flettenti. Ovviamente i
versi NEGATIVI saranno quelli opposti.
In definitiva avremo:
per lo sforzo normale N, guardando a sinistra di S le forze saranno positive se andranno
verso sinistra e negative se andranno verso destra; invece,
guardando a destra di S le forze saranno positive se andranno
verso destra e negative se andranno verso sinistra;
per il taglio T, guardando a sinistra di S le forze saranno positive se andranno verso l’alto e
negative se andranno verso il basso; invece, guardando a
destra di S le forze saranno positive se andranno verso il
basso e negative se andranno verso l’alto;
per il momento flettente M, guardando a sinistra di S i momenti saranno positivi se
provocheranno rotazioni orarie e negativi se provocheranno
rotazioni antiorarie; invece, guardando a destra di S i
momenti saranno positivi se provocheranno rotazioni
antiorarie e negativi se provocheranno rotazioni orarie.
I DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI
Per poter disegnare, in opportuna scala, i diagrammi delle sollecitazioni basta seguire poche
semplici regole la prima delle quali è che in ogni sezione della trave:
lo sforzo normale N è dato o dalla somma di tutte le forze orizzontali presenti a sinistra o
dalla somma di tutte le forze orizzontali presenti a destra, tenendo conto della convenzione sui
segni;
Fig. 8 – Convenzione sui segni
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il taglio T è dato o dalla somma di tutte le forze verticali presenti a sinistra o dalla somma di
tutte le forze verticali presenti a destra, tenendo conto della convenzione sui segni;
il momento flettente M è dato o dalla somma dei momenti di tutte le forze presenti a
sinistra (calcolati rispetto alla sezione) più eventuali momenti applicati o dalla somma dei momenti
di tutte le forze presenti a destra (calcolati rispetto alla sezione) più eventuali momenti applicati,
tenendo conto della convenzione sui segni.
In secondo luogo, occorre considerare che le sezioni significative, dove operare i calcoli,
sono solo quelle in cui vi è l’applicazione di un carico o una reazione vincolare, giacché, nei tratti
intermedi, sforzo normale e taglio si mantengono costanti mentre il momento flettente varia
linearmente. Solo nei tratti caricati con carico ripartito occorrerà considerare una sezione generica
per determinare la legge di variazione del taglio che è lineare e quella del momento che ha
andamento parabolico.
Tra il diagramma del taglio e quello del momento flettente corre una stretta relazione, la
legge del taglio è di un ordine di grande inferiore a quella del momento (la legge del taglio si ottiene
per derivazione da quella del momento), dove il taglio è costante il momento è lineare, dove il
taglio è lineare il momento è parabolico. Inoltre, dove il taglio è positivo il momento è crescente e
dove il taglio è negativo il momento è decrescente.
Vediamo un primo esempio
considerando la trave appoggiata con
carico concentrato in fig. 9.
Per prima cosa, fig. 10,
ridisegniamo la trave scomponendo il
carico F nelle componenti
)cos(α⋅= FFX e )sin(α⋅= FFY e
sostituendo i vincoli con le reazioni vincolari
l
bFR YA =
l
aFR YBY = XBX FR =
Dopo aver fissato delle opportune scale di rappresentazione per le lunghezze, le forze ed i
momenti, possiamo riportare sotto la linea fondamentale rappresentante la trave e su di essa
costruire il diagramma dello sforzo normale N (fig. 10). Possiamo notare come, fissata una
qualunque sezione nel tratto AC, guardando a sinistra non ci sono forze orizzontali mentre
guardando a destra si trovano XF e BXR che sono uguali e contrarie e quindi la loro somma è nulla;
di conseguenza in tale tratto non c’é sforzo normale. Fissando una generica sezione del tratto CB e
Fig. 9 – Trave appoggiata con carico concentrato
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guardando a sinistra si trova
la forza di trazione XF
mentre, guardando a destra
troviamo XBX FR = , quindi
in tale tratto avremo uno
sforzo normale di trazione
costante pari a XF che nel
grafico è stato riportato
nella parte superiore della
trave (appunto quella
positiva).
Possiamo passare al
diagramma del taglio (fig.
10). Nel tratto AC, fissata
una qualsiasi sezione e
guardando alla sua sinistra
troviamo AR quindi, in
questo tratto il valore del
taglio sarà costante, positivo
(perché AR è rivolta verso
l’alto) e pari ad l
bFR YA ⋅= . Se avessimo guardato a destra avremmo avuto YF (positiva) e BYR
(negativa) quindi il taglio sarebbe stato l
bF
l
alF
l
aF
l
aFFRF YYYYYBYY ⋅=
−=
−=⋅−=− 1
uguale a quanto trovato prima. Considerando una generica sezione del tratto CB e guardando alla
sua destra troviamo la forza BYR (negativa perché rivolta verso l’alto) e quindi in questo tratto il
taglio è costante, negativo e pari a l
aFY ⋅ . Anche in questo caso, guardando a sinistra avremmo
avuto lo stesso risultato dalla differenza YA FR − .
Infine costruiamo il diagramma del momento flettente (fig. 10). Nella sezione del punto A
non ci sono momenti applicati e se guardiamo alla sinistra non ci sono forze che danno momento
quindi possiamo ritenere che il momento in tale punto sia nullo (facciamo osservare che se
Fig. 10 – Diagrammi delle sollecitazioni per trave appoggiata con carico concentrato
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avessimo guardato a destra avremmo visto due forze, YF e BYR , che danno momenti contrari quindi
il momento totale sarebbe risultato sempre nullo: 0=⋅−⋅⋅=⋅−⋅ aFll
aFaFlR YYYBY ). Per una
qualunque sezione compresa tra A e C, guardando a sinistra, il momento è dato da AR per la
distanza della sezione da A (positivo perché fa ruotare in senso orario) e, poiché, andando da A
verso C, la distanza aumenta, il momento è linearmente crescente (in accordo con il fatto che il
taglio è costante e positivo) fino al valore massimo, in C, pari a l
abFaRM YA ⋅=⋅=max .
Considerando una generica sezione del tratto CB e guardando alla sua destra troviamo che l’unica
forza capace di dare momento è BYR . Tale momento (positivo perché fa ruotare in senso antiorario)
è dato da BYR per la distanza della sezione da B e, poiché, andando da C verso B, la distanza
diminuisce, il momento è linearmente decrescente (in accordo con il fatto che il taglio è costante e
negativo) fino al valore minimo, in B, pari a zero. Anche in questo caso se si fosse guardato alla
sinistra della generica sezione, dalla somma del momento positivo dato da AR e di quello negativo
dato da YF , si avrebbe ottenuto lo stesso risultato. Si fa notare inoltre, come ulteriore regola, che il
diagramma del momento flettente è disegnato sempre dalla parte delle fibre tese della trave.
Consideriamo ora il caso di una trave incastrata con carico concentrato, come illustrato nella
fig. 11.
Anche in questo caso, per prima
cosa, fig. 12, ridisegniamo la trave
scomponendo il carico F nelle componenti
)cos(α⋅= FFX e )sin(α⋅= FFY e,
sostituendo il vincolo con le reazioni
vincolari
XAX FR = YAY FR = e il momento d’incastro lFM YA ⋅=
Dopo aver fissato delle opportune scale di rappresentazione per le lunghezze, le forze ed i
momenti, possiamo riportare sotto la linea fondamentale rappresentante la trave e su di essa
costruire il diagramma dello sforzo normale N (fig. 12). Considerando una generica sezione del
tratto AB e guardando a sinistra si trova la forza orizzontale di compressione XAX FR = ; quindi, per
tutta la lunghezza della trave, avremo uno sforzo normale di compressione costante pari a XF che
nel grafico è stato disegnato nella parte inferiore della trave (appunto quella negativa).
Fig. 11 – Trave incastrata con carico concentrato
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Per quanto
riguarda il diagramma
del taglio (fig. 12)
consideriamo una
generica sezione del
tratto AB e guardando
alla sua sinistra
troviamo la forza
verticale AYR (positiva
perché rivolta verso
l’alto) e quindi, per
tutta la lunghezza della
trave, il taglio è
costante, positivo e pari
a YAY FR = .
Passiamo al
diagramma del
momento flettente (fig.
12) considerando una
generica sezione del
tratto AB e guardando alla sua destra. Troviamo che l’unica forza capace di dare momento è YF .
Tale momento (negativo perché fa ruotare in senso orario) è dato da YF per la distanza della
sezione da B e, poiché, andando da B verso A, la distanza aumenta, il momento è linearmente
crescente (in accordo con il fatto che il taglio è costante e positivo) dal valore minimo (o massimo
negativo), in A, pari a AY MlF =⋅− , ossia il momento d’incastro, al valore massimo, in B (dove la
distanza si annulla), pari a zero. Si fa osservare che il diagramma del momento è correttamente
disegnato dalla parte delle fibre tese.
Prima di fare alcuni esempi
numerici, trattiamo il caso di una trave
appoggiata con carico ripartito, come
illustrato nella fig. 13.
Come al solito, la prima cosa da
Fig. 12 – Diagrammi delle sollecitazioni per trave incastrata con carico concentrato
Fig. 13 – Trave appoggiata con carico ripartito
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fare è la ricerca delle reazioni vincolari per sostituirle al posto dei vincoli. Nel nostro caso, essendo
il carico totale lqQ ⋅=
esattamente in mezzeria
avremo solo due reazioni
verticali uguali
22
lqQRR BA
⋅=== mentre
non ci sono forze né reazioni
orizzontali e di conseguenza
mancherà la sollecitazione da
sforzo normale ed il relativo
diagramma. Per valutare il
taglio, fig. 14, consideriamo
una generica sezione, della
trave, distante x dall’estremo
A. Guardando alla sinistra della
sezione scelta, il valore del
taglio è dato dalla somma della
forza verticale positiva AR e della forza verticale negativa xq ⋅ corrispondente al totale della parte
di carico ripartito nel tratto, lungo x , da A alla sezione considerata:
xqRT Ax ⋅−=
Poiché x è una distanza generica, la legge trovata ci fornisce, al variare di x, il valore del taglio in
tutte le sezioni. Inoltre il taglio varia linearmente con x (essendo questa di primo grado).
Per 0=x , cioè in A, AA RT =
per lx = , cioè in B, BAB Rlq
lqlq
lqRT −=⋅−=⋅−⋅=⋅−=22
mentre il taglio si annulla se xqRA ⋅−=0 ossia per 22
l
q
lq
q
Rx A =
⋅⋅== come appare evidente nel
diagramma riportato in fig. 14.
Per valutare il momento flettente ci riferiamo alla stessa sezione generica distante x da A e,
guardando alla sua sinistra, vediamo che AR provoca momento positivo (rotazione oraria) mentre
xq ⋅ provoca momento negativo (rotazione antioraria) pertanto avremo:
Fig. 14 – Diagrammi delle sollecitazioni per trave appoggiata con carico ripartito
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2
xxqxRM Ax ⋅⋅−⋅= ossia
2
2xqxRM Ax ⋅−⋅=
che, al variare di x, ci fornisce il valore del momento in tutte le sezioni della trave. Il momento varia
con il quadrato di x (quindi il diagramma ha andamento curvilineo).
Per 0=x , cioè in A, 0=AM
per lx = , cioè in B, 0222
222
=⋅−⋅=⋅−⋅= lqlqlqlRM AB
mentre, dove il taglio si annulla, per 2
lx = avremo il massimo valore del momento flettente:
844222
222
max
lqlqlqllqM
⋅−⋅=⋅−⋅⋅= ossia 8
2
max
lqM
⋅=
come riportato nel diagramma in fig. 14.
ESEMPI NUMERICI
ESEMPIO 1:
Calcoliamo le caratteristiche di
sollecitazione e tracciamo i relativi
diagrammi per la trave rappresentata
in fig. 15, in cui NF 15001 = ,
NF 10002 = e mNq /500= .
Per poter calcolare le reazioni
vincolari con le equazioni cardinali della statica scomponiamo le forze inclinate nelle componenti
orizzontali e verticali e introduciamo al posto del carico ripartito il suo valore complessivo Q posto
a 2,5 metri da A:
NFF X 7505,01500)60cos(11 =⋅=°⋅= ;
NFF Y 1299866,01500)60sin(11 =⋅=°⋅= ;
NFF X 707707,01000)45cos(22 =⋅=°⋅= ;
NFF Y 707707,01000)45sin(22 =⋅=°⋅= ;
NlqQ q 15003500 =⋅=⋅= .
Possiamo quindi calcolare le tre reazioni vincolari AR , BXR e BYR :
Fig. 15 – Trave appoggiata
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PAG. 12
===
∑∑∑
0
0
0
A
Y
X
M
F
F
⇒
=⋅−⋅−⋅+⋅=++−−
=+−−
0765,35,1
0
0
21
21
21
BYYY
BYYYA
BXXX
RFQF
RFQFR
RFF
⇒
=⋅−−+=++−−
=+−−
07424252505,1948
070715001299
0707750
BY
BYA
BX
R
RR
R
⇒
⇒
=⋅−=+=
5,29567
2092
707750
BY
BYA
BX
R
RR
R
⇒
===
NR
NR
NR
BY
A
BX
422
1670
1457
Possiamo passare al calcolo delle caratteristiche di sollecitazione in ogni sezione
cominciando con il diagramma dello sforzo normale, con riferimento alla fig. 16, abbiamo:
in una qualsiasi sezione da A a C, guardando a sinistra non ci sono forze orizzontali e
quindi lo sforzo normale è
nullo.
In una qualunque
sezione da C ad H,
guardando a sinistra si
trova XF1 positiva e quindi,
in questo tratto abbiamo
sforzo normale di trazione
pari a 750 N.
Nel tratto da H a B,
considerata una qualunque
sezione e guardando a
destra, troviamo BXR
positiva e quindi, in questo
tratto lo sforzo normale di
trazione è pari a 1457 N
mentre, proprio nella
sezione H, avremo un salto
pari alla forza applicata di
707 N.
Passiamo al
diagramma del taglio:
in una qualunque Fig. 16 – Diagrammi per la trave appoggiata dell’esempio 1
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sezione da A a C, guardando a sinistra troviamo AR positiva quindi, in questo tratto, il taglio è
costantemente pari a 1670 N.
In una qualunque sezione da C a D, guardando a sinistra si trova YA FRT 1−= e quindi il
taglio sarà positivo e pari a 371 N mentre, proprio nella sezione C, avremo un salto pari alla forza
applicata di 1299 N.
Passando a destra vediamo che in una qualunque sezione da H a B, guardando a destra
troviamo BYR negativa e quindi, in questo tratto il taglio sarà pari a -422 N.
Nel tratto da E ad H, considerata una qualunque sezione e guardando a destra abbiamo
YBY FRT 2−−= e quindi il taglio sarà costante e negativo pari a -1129 N mentre, proprio nella
sezione H, avremo un salto pari alla forza applicata di -707 N.
Infine ci resta da valutare il taglio da D ad E dove, per il carico ripartito, avremo andamento
lineare la cui legge, guardando a sinistra della generica sezione distante x da D, è data da:
xqxFRT YAX 5003711 −=−−=
che, per x=0 (sezione D) fornisce NTD 371= e, per x=3 (sezione E) fornisce NTE 1129−= , così
come trovato precedentemente in tali sezioni. Ponendo 0=XT possiamo calcolare la distanza x da
D dove il taglio si annulla: mx 742,0500
371== .
Passando al diagramma del momento flettente avremo che in una qualunque sezione da A
a C, guardando a sinistra troviamo AR che produce un momento positivo (rotazione oraria)
variabile linearmente, in modo crescente in accordo con il fatto che il taglio è positivo, dal valore
zero in A al valore NmRM AC 25055,1 == in C.
In una qualunque sezione da C a D, guardando a sinistra, alla AR (che provoca momento
positivo) si aggiunge YF1 (che provoca momento negativo) quindi, in D avremo
NmFRM YAD 5,26905,02 1 =−= , pertanto, in questo tratto, il momento crescerà linearmente da
2505 Nm (in C) a 2690,5 Nm (in D), in accordo col fatto che il taglio è positivo.
Passando a destra vediamo che in una qualunque sezione da H a B, guardando a destra
troviamo BYR che produce un momento positivo (rotazione antioraria) variabile linearmente, in
modo decrescente in accordo con il fatto che il taglio è negativo, dal valore NmRM BYH 4221 == ,
in H, al valore zero in B.
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Nel tratto da E ad H, considerata una qualunque sezione, e guardando a destra, abbiamo che
alla BYR (che provoca momento positivo) si aggiunge YF2 (che provoca momento positivo); il
valore maggiore lo avremo in E dove NmFRM YBYE 5,155312 2 =+= , pertanto, in questo tratto, il
momento sarà linearmente decrescente da 1553,5 Nm (in E) a 422 Nm (in H), in accordo col fatto
che il taglio è negativo.
Ci resta da valutare il momento flettente da D ad E dove, per il carico ripartito, avremo
andamento parabolico la cui legge (quadratica), guardando a sinistra della generica sezione distante
x da D, è data da:
22
1 2503715,26902
)5,0()2( xxx
qFxRxM YAX −+=−+−+=
che, per x=0 (sezione D) fornisce NmM D 5,2690= e, per x=3 (sezione E) fornisce
NmM E 5,1553= , così come trovato precedentemente in tali sezioni. Per x=0,742 (dove 0=XT )
avremo il valore massimo del momento: NmM 2828max = (pertanto questa sarà la sezione più
sollecitata a flessione). Anche in questo tratto il momento sarà crescente dove il taglio è positivo e
decrescente dove il taglio è negativo.
ESEMPIO 2:
Calcoliamo le caratteristiche
di sollecitazione e tracciamo i relativi
diagrammi per la trave, appoggiata
con sbalzo, rappresentata in fig. 17, in
cui NF 1500= e mNq /500= .
Per poter calcolare le reazioni
vincolari con le equazioni cardinali della statica scomponiamo la forza inclinata nelle componenti
orizzontali e verticali e introduciamo al posto del carico ripartito il suo valore complessivo Q posto
a 1,5 metri da B:
NFFX 7505,01500)60cos( =⋅=°⋅= ;
NFFY 1299866,01500)60sin( =⋅=°⋅= ;
NlqQ q 15003500 =⋅=⋅= .
Fig. 17 – Trave appoggiata con sbalzo
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Scegliendo come punto di rotazione il punto A, possiamo calcolare le tre reazioni vincolari AR ,
BXR e BYR :
===
∑∑∑
0
0
0
A
Y
X
M
F
F
⇒
=⋅+⋅−⋅=+−+−
=+−
05,545,1
0
0
BYY
BYAY
BXX
RQF
RQRF
RF
⇒
=⋅+−=+−+−
=+−
05,560005,1948
015001299
0750
BY
BYA
BX
R
RR
R
⇒
⇒
=⋅−=
=
5,40515,5
2799
750
BY
BYA
BX
R
RR
NR
⇒
===
NR
NR
NR
BY
A
BX
737
2062
750
Passiamo al diagramma dello sforzo normale, con riferimento alla fig. 18, abbiamo:
in una qualunque
sezione da C a B,
guardando a sinistra si
trova XF positiva e quindi,
in tutta la trave abbiamo
sforzo normale di trazione
pari a 750 N.
Passiamo al
diagramma del taglio:
in una qualunque
sezione da C ad A,
guardando a sinistra
troviamo YF negativa
quindi, in questo tratto, il
taglio è costantemente pari
a -1299 N.
In una qualunque
sezione da A a D,
guardando a sinistra si
trova AY RFT +−= e
quindi il taglio sarà
positivo e pari a 763 N
mentre, proprio nella Fig. 18 – Diagrammi per la trave appoggiata dell’esempio 2
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sezione C, avremo un salto pari alla forza applicata di 2062 N.
Infine ci resta da valutare il taglio da D a B dove, per il carico ripartito, avremo andamento
lineare la cui legge, guardando a destra della generica sezione distante x da B, è data da:
737500 −=−= xRqxT BYX
che, per x=0 (sezione B) fornisce NTB 737−= e, per x=3 (sezione D) fornisce NTD 763= .
Ponendo 0=XT possiamo calcolare la distanza x da B dove il taglio si annulla:
mx 474,1500
737 == .
Passando al diagramma del momento flettente avremo che in una qualunque sezione da C
ad A, guardando a sinistra troviamo YF che produce un momento negativo (rotazione antioraria)
variabile linearmente in modo decrescente, in accordo con il fatto che il taglio è negativo, dal valore
zero in C al valore NmFM YA 5,19485,1 −== in A.
In una qualunque sezione da A a D, guardando a sinistra, alla YF (che provoca momento
negativo) si aggiunge AR (che provoca momento positivo) quindi, in D avremo
NmRFM AYD 395,24 −=+−= , pertanto, in questo tratto, il momento crescerà linearmente da
-1948,5 Nm (in A) a -39 Nm (in D), in accordo col fatto che il taglio è positivo.
Ci resta da valutare il momento flettente da D a B dove, per il carico ripartito, avremo
andamento parabolico la cui legge (quadratica), guardando a destra della generica sezione distante x
da B, è data da:
22
2507372
xxx
qxRM AX −=−=
che, per x=0 (sezione B) fornisce NmM B 0= e, per x=3 (sezione D) fornisce NmM D 39−=
(così come trovato precedentemente). Per x=1,474 (dove 0=XT ) avremo un massimo relativo del
momento (apice della curva): NmM 543= mentre, la sezione più sollecitata a flessione, sarà
quella in A. Anche in questo tratto il momento sarà crescente dove il taglio è positivo e decrescente
dove il taglio è negativo. Ponendo la legge del momento uguale a zero troveremo una equazione di
secondo grado spuria in x le cui radici sono x=0 e x=2,948 che rappresentano le distanze da B in cui
il momento si annulla.
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ESEMPIO 3:
Come ultimo esempio, Trattiamo il caso
della trave incastrata, rappresentata in fig. 19, in
cui NF 1500= e mNq /800= .
Per poter calcolare le reazioni vincolari
con le equazioni cardinali della statica
scomponiamo la forza inclinata nelle componenti orizzontali e verticali e introduciamo al posto del
carico ripartito il suo valore complessivo Q posto nella mezzeria della trave:
NFFX 7505,01500)60cos( =⋅=°⋅= ;
NFFY 1299866,01500)60sin( =⋅=°⋅= ;
NlqQ q 24003800 =⋅=⋅= .
Scegliendo come punto di rotazione il punto A, possiamo calcolare le tre incognite, ossia le reazioni
vincolari AXR e AYR ed il momento reagente ( momento d’incastro) AM :
===
∑∑∑
0
0
0
A
Y
X
M
F
F
⇒
=⋅−⋅+=+−
=−
063
0
0
YA
YAY
XAX
FQM
FQR
FR
⇒
=−+=+−
=−
077947200
012992400
0750
A
AY
AX
M
R
R
⇒
===
NmM
NR
NR
A
AY
AX
594
1101
750
Passiamo, ora. al diagramma dello sforzo normale. Con riferimento alla fig. 20, abbiamo:
in una qualunque sezione da A a B, guardando a sinistra si trova AXR negativa e quindi, in tutta la
trave abbiamo sforzo normale di compressione pari a -750 N.
Passiamo al diagramma del taglio:
in una qualunque sezione da A ad C, guardando a sinistra troviamo AYR positiva quindi, in
questo tratto, il taglio è costantemente pari a 1101 N.
In una qualunque sezione da D a B, guardando a destra si trova YF negativa e quindi il
taglio, in questo tratto, sarà negativo e pari a -1299 N.
Infine ci resta da valutare il taglio da C a D dove, per il carico ripartito, avremo andamento
lineare la cui legge, guardando a sinistra della generica sezione distante x da C, è data da:
xqxRT AYX 8001101−=−=
che, per x=0 (sezione C) fornisce NTC 1101= e, per x=3 (sezione D) fornisce NTD 1299−= .
Ponendo 0=XT possiamo calcolare la distanza x da C dove il taglio si annulla: mx 38,1800
1101== .
Fig. 19 – Trave incastrata
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Passando al diagramma del
momento flettente avremo che in una
qualunque sezione da A a C, guardando
a sinistra troviamo il momento applicato
NmM A 594= a cui si somma quello,
positivo (rotazione oraria), prodotto dalla
reazione AYR , pertanto, in questo tratto il
momento sarà dato da AYA xRMM += e
risulterà linearmente crescente, in
accordo con il fatto che il taglio è
positivo, dal valore di 594 Nm (in A) al
valore di 2245,5 Nm (in C).
In una qualunque sezione da D a
B, guardando a destra, si trova la YF che
provoca momento positivo (rotazione
antioraria) il cui valore massimo, in D, è
NmFM YD 5.19485,1 == , pertanto, in
questo tratto, il momento sarà
linearmente decrescente da 1948,5 Nm
(in D) a zero (in B), in accordo col fatto
che il taglio è negativo.
Ci resta da valutare il momento
flettente da C a D dove, per il carico ripartito, avremo andamento parabolico la cui legge
(quadratica), guardando a sinistra della generica sezione distante x da C, è data da:
22
40011015,22452
)5,1( xxx
qxRMM AYAX −+=−++=
che, per x=0 (sezione C) fornisce NmM C 5,2245= e, per x=3 (sezione D) fornisce
NmM D 5,1948= (così come trovato precedentemente nelle due sezioni). Per x=1,38 (dove
0=XT ) avremo il massimo valore del momento (apice della curva): NmM 3003max = e questa
sarà la sezione più sollecitata a flessione. Anche in questo tratto il momento sarà crescente dove il
taglio è positivo e decrescente dove il taglio è negativo.
Fig. 20 – Diagrammi per la trave incastrata dell’esempio 3