Determinazione delle funzioni delle caratteristiche della sollecitazione

Dal momento che le sollecitazioni, in generale, variano da sezione a sezione, esse sono delle funzioni (scalari) definite lungo l’asse della trave. Sono pertanto definite o da un’espressione analitica, o da un diagramma.

Obiettivi delle lezioneObiettivi delle lezione:

• Apprendere i metodi per la determinazione delle funzioni N,T,M

• Apprendere i metodi per tracciarne diagrammi significativi, coerenti con i dati e che contengano tutte le informazioni utili al progetto.

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Esempio

P

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1. Determinare le reazioni vincolari

2. Fissare un sistema di riferimento localeP

z

y

P P

P l

l

P

P l

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3. Eseguire una sezione retta in un punto qualsiasi della trave, identificata dalla sua ascissa.

4. Determinare con l’equilibrio di uno dei due segmenti il valore delle sollecitazioni nella sezione di ascissa z. Le espressioni trovate sono le funzioni richieste.

zy

P

P l

T(z)

N(z)

M(z)T(z)

M(z)

N(z)

zPzMPzTzN −=−== )()(0)(

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5. Si possono diagrammare le funzioni trovate. Si utilizza come asse di riferimento lo stesso asse della trave.

6. I diagrammi vanno fatti in scala.

7. Si riportano sul diagramma i valori notevoli, che consentono di avere le informazioni quantitative.

-P

T M -Pl

P Scala delle forze Pl Scala dei momenti

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Convenzione per il diagramma del momentoNon esiste una regola che stabilisce qual è il lato positivo neldiagramma dello sforzo normale, del taglio e del momento torcente. Conviene indicare un segno.

Esiste una regola per disegnare il diagramma del Momento Flettente, che prescinde da considerazioni di segno.

Il diagramma del momento flettente si disegna in modo tale che in ogni sezione l’ordinata del momento viene riportata dal lato teso della trave.

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Un ulteriore esempio

x

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kNmxxPzMkNPzV 5.2)(5.22

)( ====

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( ) ( ) kNmxxlPzMkNPzV 5.2102

)(5.22

)( −=−=−=−=

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5 kNm

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Nell’esempio precedente le funzioni presentano discontinuità di I o di II specie (sulla funzione o sulla sua derivata). Vanno quindideterminate 2 espressioni separate per le funzioni taglio e momento.

E’ quindi importante determinare in quali punti si hanno delle discontinuità in una qualunque delle funzioni N,V,M,T.

Chiamiamo tali punti punti notevoli.

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Procedura per il tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione e per

la determinazione delle loro funzioni1. Determinare le reazioni vincolari.2. Identificare i punti notevoli.3. Considerare una sezione di ascissa arbitraria per ogni

intervallo compreso fra due punti notevoli. 4. Determinare N,T,M,Mt in ciascuna di queste sezioni. 5. Usare la convenzione dei segni.6. Disegnare i diagrammi o per punti o sulla base della

conoscenza delle funzioni nei punti notevoli e del loro andamento.

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p=60 kN/m

4 m 4 m

pL/2LpL/2

4

2pL

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pL/2

4

2pL

x

Lxp 2

Lxp

2

2/3 x

2

324)(

2)(

322

Lx

LxpxLpLpxM

LxpLpxT

≤

−+−=−=

T(x)

M(x)

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4

2pL

pL/2pL/4

p 2(L-x)/L

R1

R2

LxLp

LxRLxRLxLpxLpLpxM

LxLp

LxLp

LxLxpLpLpxT

LxLpLx

LxLpR

LxLxpLx

LxLpR

3)(

232

221

32

424)(

)(4

)2(2342

)(

4)2(

21

2)(21

232

)(2

3

21

2

222

2

2

2

1

−−

=

−−

−−

−−+−=

−=−−

−−−−=

−=

−

−−=

−−=

−−=

T(x)

M(x)

x

x-L/2

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0 2 4 6 8x

0

50

100

150

200

TNk

0 2 4 6 8x m

0

200

400

600

800

MmNk

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B

p

L/2 L/2

x

p

p L/2

243 Lp

241 Lp

B

B

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p

243 Lp

x

p x

T(x)

M(x)

−=

−=

≤

283)(

83)(

22xxLpxMxLpxT

Lx

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241 Lp

L-x

T(x)

M(x)

( )xLLpxMLpxT

Lx

−=−=

≥

8)(

8)(

2

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T

Lp83

Lp81−

22 0625.0161 LpLp =22 0703.0

1289 LpLp =

M

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Punti Notevoli

1. Estremità della trave (condizioni al contorno)2. Punti di applicazione di forze concentrate (attive o

reattive)3. Punti di applicazione di coppie concentrate (attive o

reattive)4. Punti in cui varia la legge di variazione (forma) del

carico distribuito5. Inizio e fine del carico distribuito6. Nodi (punti in cui varia la tangente all’asse della

trave).

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3 m 6 m6 kN

Determinare le sollecitazioni nelle sezioni immediatamente a sinistra e a destra della forza

9 kN m

Punti Notevoli

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4 ft 4 ft

50 lb/ft

A C

Punti Notevoli

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Pw

aL

b

x1x2

x3

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Pwa

Lb

x1x2

x3

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4 ft 4 ft

50 lb/ft

A C

Punti Notevoli

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Esercizi proposti

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Diagrammi delle sollecitazioni su un sistema di travi

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Ci sono 3 reazioni esterne e 2 elementi incernierati a 2 forze.

Le reazioni interne ed esterne si valutano con le equazioni di equilibrio esterno (3) e con le equazioni di equilibrio del nodo C (2)

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RB

HAVA

NHRHF

NVVF

NRRM

ABAx

AAy

BBA

3000

6000600

300016002

−=⇒=+=

=⇒=−=

=⇒=⋅−⋅=

∑

∑

∑

Calcolo delle reazioni esterne

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Reazioni interne

NR

NP

5.8482600

600

==

=

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Equilibrio del perno in A, per determinare le reazioni interne su AB

300

300 600 R=848.5

300

300

600

HAB

VAB VAB

HAB

NHV

AB

AB

3000

==

600 N

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Diagramma di corpo libero della trave verticale AB

300

300

600 Nz

yB

D

A

1 m

1 m

NmzMNT

N

BD

BD

BD

3003000

−=−=

=

NmzMNT

N

BD

DA

DA

)2(3003000

−−=+=

=

T + -

300

-300

M

300 Nm

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Gz

z

848.5 N

NmzMNTNN

AG

AG

AG

600600600

=+=+=

NmzMNTNN

AG

CG

CG

600600600

−=−=+=

+600

+600

N

+600

-600T

600 Nm

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+600

-600

+600

+600

-600

+300

-300

300 Nm

600 Nm

N T M

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Esercizi sulle caratteristiche della sollecitazione

Cap. 5

N. 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5.20, 5.30, 5.34, 5.59, 5.60,

5.115, 5.116,

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