Post on 20-Oct-2019
Analisi incrementale di travi e telai EPP:
Il diagramma Momento-Curvatura
Ipotesi di Eulero-Bernoulli: sezione trasversale rimane piana,
normale all’asse inflesso della trave � γγγγ=0, scorrimento nullo
Il diagramma Momento-Curvatura
Deformazione
nella fibra in
posizione y
χ=θ==ε ydz
dy
dz
)y(du)y(
curvatureofradiusR
curvatureR
1=χ
Momento flettente dAy)y(MA∫σ=A
modello elastico
perfettamente plastico EPP
εεεεel= deformazione
limite elastica
Cerniera plastica in sezione rettangolare
ε=χy σ=Eχy
Deforma
zione
Stress
Stato
elastico
Stress
Stato
Elasto-
plastico
Stress
Sezione
totalmente
plasticizzata
hE
2
h
2
2
hmax 0el
elel
σ=ε=χ<χ⇒ε<χ=ε
χ=χ=⇒χ=σ ∫−
2/h
2/h
JEydyyEbMyE
Fase elastica
Cerniera plastica in sezione rettangolare
Momento di inerzia della sezione trasversale rispetto dAyJ
A
2
∫= Momento di inerzia della sezione trasversale rispetto
all’asse orizzontale baricentrico x
12
bhJ
3
= Sezione rettangolare
⇒χ=χ elSnervamento all’intradosso ed estradosso
⇒σ=σ=χ=χ bhJ2
EJ)(M2
00momento limite
Limite Elastico
⇒σ=σ=χ=χ
6
bh
h
J2EJ)(M 00
elelel momento limite
Elastico
el0el
2
el WM6
bhW σ=⇒= Modulo Elastico Wel
elelM
M
χχ=
Legge costitutiva adimensionalizzata
Eh
2 0el
σ=χ>χ
Alla fibra y=d
Fase elasto-plastica
χχ=
χσ=⇒
σ=ε=χ⇒ε=ε el00elel 2
h
Ed
Ed)d(
χχ= el
2
1
h
d
braccio=2*(d+1/2(h/2-d))
Braccio=2*(2/3d)
Risultante=
σ0*(h/2-d)
=
σ+χ= ∫∫2/hd
2 dyydyyEb2M
Cerniera plastica in sezione rettangolare
Risultante=
σ0*d/2
χχ−=
−σ=
=
−+
−σ+σ
=
σ+χ= ∫∫
2
elel
220
00
d
0
0
2
2
1
2
3M
h
d2
2
3
6
bh
d2
h
2
1dd
2
hd
3
2d
2
1b2
dyydyyEb2M
χχ−=
2
el
el 3
11
2
3
M
M
el0 M2
3MMlim ==∞→χ
Cerniera plastica in sezione rettangolare
Quando la curvatura diventa infinita, il
momento flettente tende ad un valore
limite che rappresenta il momento
limite plastico o di snervamento M0
Cerniera plastica in sezione rettangolare
Cerniera plastica in sezione rettangolare
χ>χχ≤χ
χχ−
χχ
=el
el2
el
el
el ||
||
3
11
2
3M
M
Cerniera plastica in sezione rettangolare
Modulo plastico
00
200
0 W4
bh
2
h
2
bhM σ=σ=σ= Sezione rettangolare
4
bhydAydAW
2
AA
0 =−= ∫∫−+
Cerniera plastica in sezione rettangolare
M0 ed Mel dipendono linearmente dallo stress di snervamento σσσσ0
cosicchè il loro rapporto M0/Mel dipende solo dalla forma della
sezione, ovvero da un fattore di forma αααα
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
z
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
M(z)=P/2*z
Il momento massimo per un qualunque
P è M=P/2*ℓ/2
Aumentando P fino a Pel si raggiungerà
in ℓ/2 il momento limite elastico
Mel= Pel /2*ℓ/2 cui corrisponde
Pel= 4Mel/ℓ
z
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
Pel= 4Mel/ℓ
Risposta elastica finchè M=Pℓ/4<=Mel
EJ12
M
EJ48
Pv,
EJ48
Pv
2el
3el
el
3lll ===
elel P
P
v
v =
Il momento massimo per un qualunque
P è M=P/2*ℓ/2
Aumentando P fino a Pel si raggiungerà
il momento limite elastico
Mel= Pel /2*ℓ/2z
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
M(z)=P/2*z
Mel=Pel/2*ℓ/2
M/Mel=(P/Pel)z*2/ℓ
Poichè
z
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
χ>χχ≤χ
χχ−
χχ
=el
el2
el
el
el ||
||
3
11
2
3M
M
Invertendo
<≤≤
−=
−
=
=χχ
0el
el
elel
elel
el MMM
MM
PPz
43
1
MM
23
1P
Pz2
M
M
l
l
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
= Pz2M
*
<≤≤
−=
−
=
=χχ
0el
el
elel
elel
el MMM
MM
PPz
43
1
MM
23
1P
Pz2
M
M
l
l
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
Analisi incrementale di una trave EP appoggiata
Leone Corradi, Vol II pag 62
Sezioni monosimmetriche
A-
A+
la posizione dell’asse neutro dipende dalla geometria della sezione
Risposta sezione totalmente plasticizzata
Momento plastico
2/AAA0dAdANA
0
A
0 ==⇒=σ−σ= −+∫∫
−+
)tAtA(M 0p−−++ +σ=
Mono-symmetric sections
I-Section
Tensioni residue allo scarico
Tensioni residue allo scarico
Tensioni residue allo scarico
Cerniera plastica
Leone Corradi, Vol II pag 63
Leone Corradi, Vol II pag 62
Cerniera plastica
Leone Corradi, Vol II pag 63
Leone Corradi, Vol II pag 59
Cerniera plastica
Cerniera plastica
Cerniera plastica
Cerniera plastica
Cerniera plastica
L’effetto della curvatura plastica su una porzione limitata δ della
trave viene messo in conto attraverso un dispositivo chiamato
cerniera plastica
In corrispondenza della cerniera plastica si ammette una rotazione
relativa regolata dalla legge M-θ θ θ θ di un modello rigido plastico
Cerniera plastica
Le coppie M0 hanno verso opposto rispetto alla
rotazione relativa
La dissipazione in una cerniera plastica si scrive come
θ= &0MD
Analisi Incrementale di travi e telai
Elasto Plastici Perfetti
•Legame Momento curvatura M=Ejχχχχ
•Rigidezza infinita nei confronti dello sforzo normale e
del taglio
•Attivazione di una cerniera rigido plastica•Attivazione di una cerniera rigido plastica
•Funzione di snervamento φφφφ=|M|-M0<=0
•Leggi di flusso
0,M
≥λλ∂
φ∂=θ &&&
Travi isostatiche
Travi isostatiche
Travi isostatiche
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Esempio: telaio 3 volte iperstatico
1/12Pℓ
Analisi incrementale di travi e telai EPP
1- risposta elastica
el0 µ≤µ≤
ll
l
0
0el00el
0elel
0elel
P
M6MP
6
1
PP
MP6
1M
=µ⇒=µ
µ=
==
Analisi incrementale di travi e telai EPP
2- cerniera plastica sezione E
2el µ≤µ≤µ
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Tra tutti i moltiplicatori µµµµ prendiamo quello che verifica la condizione di
plasticizzazione in C e D
Analisi incrementale di travi e telai EPP
3- cerniere plastiche nelle sezioni E,C,D, valutiamo il
moltiplicatore di collasso µµµµ3
µµµµ3
Vc= µµµµ3 P0/2=4M0/ℓ quindi µµµµ3 =8M0/(P0ℓ)
Con 3 cerniere plastiche si ha il collasso (meccanismo parziale) dato che las
truttura è affetta da un cinematismo
Analisi incrementale di travi e telai EPP
Inoltre, variazioni dela rigidezza elsatica influenzano la risposta
elsato-plastica ma non alterano il moltiplicatore di collasso µµµµc