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Analisi Matematica 1Tredicesima lezione
prof. Claudio Saccon
Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/Cemail: saccon@mail.dm.unipi.it
web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 8.30 alle 11.30
19 novembre 2009
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 1 / 13
Teorema (di composizione o di cambio di variabile)Siano f : A→ B e g : B→ R dove A e B sono sottoinsiemi di R, siano x0 unpunto di accumulazione per A e y0 un punto di accumulazione per B.Supponiamo che
limx→x0
f (x) = y0, limy→y0
g(y) = l
dove l ∈ R. Supponiamo ancora che valga UNA TRA LE DUE ipotesi
g(x) 6= y0 per x vicino a x0
y0 ∈ B e g(y0) = l
ALLORAlim
x→x0g(f (x)) = l
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Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 3 / 13
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Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 3 / 13
OsservazioneIl teorema di composizione nei limiti puo essere interpretato come un teoremadi “cambio di variabile” nei limite. Per esempio dimostriamo che
limx→1
ln(x)x−1
= 1
Se chiamiamo g(x) = x−1 il limite sopra si presenta come
limx→1
ln(1+ f (x))g(x)
= limy→0
ln(1+ y)y
= 1
dove nella prima eguaglianza si sfrutta il teorema di composizione – notiamoche f (x) x→1−−→ 0 (quindi il limite per x→ 1 si e trasformato in un limite pery→ 0) e che f (x) 6= 0 per x 6= 1 (e quindi risulta verificata l’ipotesi delteorema suddetto).Formalmente si puo dire: “pongo y = x−1”, noto che per x→ 1 si ha y→ 0 ey 6= 0; allora posso sostituire x−1 con y e fare il limite per y→ 0
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 4 / 13
Teorema (limiti destro e sinistro per funzioni monotone)Sia f : I→ R una funzione crescente (decrescente) dove I e un intervallo diestremi a < b (anche infiniti). Allora per ogni x0 con a≤ x0 < b esiste
limx→x+
0
f (x) = infx>x0
f (x)(
= supx>x0
f (x))
.
Analogamente per ogni x0 con a < x0 ≤ b esiste
limx→x−0
f (x) = supx<x0
f (x)(
= infx<x0
f (x))
.
Di conseguenza, se a < x0 < b e se f e crescente
limx→x−0
f (x)≤ f (x0)≤ limx→x+
0
f (x)
mentre se f e decrescente
limx→x−0
f (x)≥ f (x0)≥ limx→x+
0
f (x)
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 5 / 13
Limiti notevoli
limx→+∞
axk +potenze di grado minore di kbxh +potenze di grado minore di h
=
0 se k < hab se k = hab ·+∞ se k > h
limx→−∞
axk +potenze di grado minore di kbxh +potenze di grado minore di h
=
0 se k < hab se k = h(−1)k−h a
b ·+∞ se k > h
limx→+∞
Ax
xα= +∞ se A > 1 e α ∈ R
limx→−∞
xαAx = 0 se 0 < A < 1 e α ∈ R
limx→+∞
ln(x)xε
= 0 se ε > 0
limx→0+
xε ln(x) = 0 se ε > 0
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 7 / 13
Limiti notevoli
limx→0
(1+ x)1x = lim
x→+∞
(1+
1x
)x
= e
limx→0
ex−1x
= 1
limx→0
ln(1+ x)x
= 1
limx→0
(1+ x)α −1x
= α se α ∈ R
limx→0
sin(x)x
= 1
limx→0
1− cos(x)x2 =
12
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 8 / 13
Ordine di infinitesimo per funzioniDefinizionef e g definite vicino a x0 in R. Diremo che f e g sono a asintotiche in x0 se
limx→x0
f (x)g(x)
= 1
Diremo che che f e un o piccolo di g in x0 e scrivendo f (x) = o(g(x)) se
limx→x0
f (x)g(x)
= 0
Diremo anche che f e un o grande di g e scrivendo f (x) = O(g(x)) se
f (x)g(x)
e limitata vicino a x0.
ATTENZIONE - in queste definizioni il punto x0 CONTA. Spesso pero,quando x0 e chiaro dal contesto x0 viene sottinteso
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 9 / 13
Teorema (Proprieta de gli o piccoli/ o grandi per funzioni)Siano f e g due funzioni definite vicino a un punto x0.
1 f ' g⇔ f = g(1+o(1))⇔ f = g+o(g)⇒ f = O(g) g+o(g) = O(g);2 f = o(g)⇒ f = O(g) o(g) = O(g);3 Se f1 = O(g), f2 = O(g)⇒ f1 + f2 = O(g) O(g)+O(g) = O(g);4 Se f1 = o(g), f2 = O(g)⇒ f1 + f2 = O(g) o(g)+O(g) = O(g);5 Se f1 = o(g), f2 = o(g)⇒ f1 + f2 = o(g) o(g)+o(g) = o(g);6 Se f1 = O(g1), f2 = O(g2)⇒ f1f2 = O(g1g2) O(g1)O(g2) = O(g1g2);7 Se f1 = o(g1), f2 = O(g2)⇒ f1f2 = o(g1g2) o(g1)O(g2) = o(g1g2);8 Se f1 = o(g1), f2 = o(g2)⇒ f1f2 = o(g1g2) o(g1)o(g2) = o(g1g2);9 Se f = O(g),h = O(f )⇒ h = O(g) O(O(g)) = O(g);10 Se f = o(g),h = O(f )⇒ h = o(g) O(o(g)) = o(g);11 Se f = O(g),h = o(f )⇒ h = o(g) o(O(g)) = o(g);12 Se f = o(g),h = o(f )⇒ h = o(g) o(o(g)) = o(g).
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Limiti notevoli in termini di ordine di infinitesimo
ex = 1+ x+o(x)ln(1+ x) = x+o(x)(1+ x)α = 1+αx+o(x)sin(x) = x+o(x)
cos(x) = 1− x2
2+o(x2)
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 11 / 13
esercizi
limx→0
(√1+ x2− cos(x)
)xsin(x)
limx→0
ln(cos(x))x
limx→0
cos(x)1
x2
limx→0
√1+ x−1− x/2
x2
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