Allievo

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Prima che tu inizi a svolgere gli esercizi è bene che legga con molta attenzione le poche pagine di teoria, schematizzate in modo da rendere meno pesante la lettura. Ricorda che questo non sostituisce il libro di testo di cui devi fare sempre un buon uso. Prendi appunti cerca di costruire mappe concettuali e se non hai chiaro qualche concetto chiedi aiuto all’insegnante.

Buon Lavoro

Molto spesso la risoluzione di problemi tratti dalla fisica, chimica, economia, elettronica ecc.inducono a risolvere equazioni non lineari.

Le più semplici sono quelle di secondo grado o equazioni quadratiche.

Ricordiamo che il grado di una equazione ridotta in forma normale è il massimo esponente della variabile.

a,b,c vengono chiamati coefficienti dell’equazione.

Il coefficiente a deve essere diverso da zero altrimenti l’equazione diventa un’equazione di primo grado.

Il coefficiente c è detto termine noto

EQUAZIONE

PURA (b=0)

SPURIA (c=0)

MONOMIA(b=c=0)

Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente

b=0

Allora l’equazione si presenta nella forma

ax2 + c=0

per risolverla si procede così:

ax2 = - c

x2 = - c a

x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero positivo allora a e c devono

avere segni diversi.

Se c=0 l’equazione diventa

ax2 + bx=0

Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto

alla somma si scrive:

x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si

ha: x=0 e ax+b=0

allora le soluzioni sono

x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)

Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma :

ax2 =0

le cui soluzioni che sono sempre due (anche se

coincidenti) sono :

x1=x2=0

Per risolvere una equazione di 2° si applica la formula risolutiva:

Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valore è dato dall’espressione

Dato che il discriminante è un numero sotto posto il segno di radice dobbiamo distinguere tre casi cioè quando è maggiore di zero, minore di zero o uguale a zero

In pratica per risolvere un’equazione completa di secondo grado applicando la formula risolutiva conviene procedere seguendo i seguenti passi:

1° passo: Se l’equazione non è nella forma ax2+bx+c= 0 occorre riportarla a tale forma utilizzando la proprietà delle uguaglianze e delle operazioni

2° passo: Per evitare inutili complicazioni di calcolo bisogna fare in modo che il coefficiente di x2 sia positivo: se non lo è basta moltiplicare ambo i membri per -1

3° passo: Si controllano i coefficienti a,b,c per vedere se sono multipli di uno stesso numero. Se lo sono si provvede ad eseguire le opportune semplificazioni

4° passo: Si calcola il discriminante (DELTA) dell’equazione e se ne controlla il segno: se esso è positivo l’equazione ha due soluzioni reali e distinte, se è uguale a zero le soluzioni sono reali e coincidenti, se è negativo l’equazione ammette soluzioni complesse.

Esercizi guidati

5x2-6x+1=0 è già nella forma normale e nessuna semplificazione è possibile fra i coefficienti che sono

a=5; b=-6; c=1

Calcoliamo il discriminante: b2 - 4ac= (-6)2-4(5)(1)= 36-20= 16

16 >0 due soluzioni reali e distinte date da

x1,2= -b+D x1= 6 + 16 =6+4 = 1 x2= 6 - 16= 6-4 = 2 = 1 2a 10 10 10 10 10 5

-8x2+24x-18=0 a=-8; b=24; c=-18 Essendo a=-8 negativo moltiplichiamo ambo i membri per -1: 8x2-24x+18=0 quindi dividiamo ambo i membri per 2:

4x2-12x+9=0 a=4; b=-12; c=9

Calcoliamo il discriminante: b2 - 4ac= (-12)2-4(4)(9)= 144-144= 0 Delta è zero le due soluzioni sono reali e coincidenti date da

x1=x2= - b = - 12=- 3 2a 8 2

ESERCIZI

Test 1

Una equazione di secondo grado si dice

completa quando………..

a,b,c sono uguali a zero

b e c sono diversi da zero

C=0

a=0

10

Test 2

Quali soluzioni ammette una equazione di secondo grado che sia monomia?

0

-b/a

1, -1

nessuna

11

Test 3

Se Delta è maggiore di zero le soluzioni sono:

Reali e coincidenti

Reali e negative

Nulle

Reali e distinte

12

Test 4

Una equazione di secondo grado è pura quando:

c=0

a=0

b=0

b=c=0

13

Test 5

X2-4x=0 è:

Pura

Spuria

Monomia

6

Completa

Test 6

Le soluzioni dell’equazione :

3x2-x-10=0 è

3, 4

2, -2

15

Sol. immaginarie

-5/3, 2

Test 7

3x-9x2=0 ammette come soluzioni

X=1 X=3

X=0; x=1/3

X=0

X=3; x=0

16

Test 8

Quale dei seguenti numeri è radice dell’equazione: 9x-x2=0

1

0

9

-2

17

Test 9

Se Delta è uguale a zero le soluzioni sono:

Una sola

Due, ma coincidenti

Una reale e una nulla

Due coincidenti e nulle

18

Test 10

La soluzione dell’equazione

(x+2)2 - 4(x+1)=3x

x=1; x=3

X=0 ; x=3

X= 1 ; x= 0

X= 3; x=-3

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I coefficienti b,c devono essere diversi da zero allora l’equazione si dice completa

Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma :

ax2 =0

le cui soluzioni che sono sempre due (anche se coincidenti) sono :

x1=x2=0

Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0

Allora l’equazione si presenta nella forma

ax2 + c=0

per risolverla si procede così:

ax2 = - c

x2 = - c a

x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero

positivo allora a e c devono avere segni diversi.

Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0

Allora l’equazione si presenta nella forma

ax2 + c=0

per risolverla si procede così:

ax2 = - c

x2 = - c a

x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero

positivo allora a e c devono avere segni diversi.

Se c=0 l’equazione diventa

ax2 + bx=0

Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive:

x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0

allora le soluzioni sono

x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)

Per risolvere una equazione di 2° si applica la formularisolutiva:

Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valoreè dato dall’espressione

Se c=0 l’equazione diventa

ax2 + bx=0

Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive:

x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0

allora le soluzioni sono

x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)

Per verificare che un numero è radice di una equazione devi sostituire al posto della variabile (x) il numero dato e verificare che ci sia un’uguaglianza

osserva…….

Per risolvere una equazione di 2° si applica la formularisolutiva:

Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valoreè dato dall’espressione

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