Alla scoperta di una regolarità…

… e poi generalizziamo!

Quanti quadrati ci sono in questa scacchiera?

Guardando una scacchiera potrai trovarci quadrati piccoli e quadrati più grandi. Quanti quadrati riesci a contare?

Non importa il colore!

Esprimi a parole tue la strategia che hai adottato e poi indica la soluzione trovata.

N.B. Può essere un esercizio da dare ai ragazzi e da

far svolgere a gruppi. Un suggerimento utile per i ragazzi potrebbe

essere quello di costruire una tabella: lunghezza del lato del quadrato (l ) numero di quadrati con quel lato (n)

Ci sono più strategie, cioè più strade!

Ma la soluzione è una!

La mia strada: esigenza di semplificare!

n=1Un quadrato

1

n=2Un quadrato 2x2 +4 quadrati 1x1 =

5

n=3Un quadrato 3x3 +4 quadrati 2x2 + 9 quadrati 1x1 =

14

N=4Un quadrato 4x4 +4 quadrati 3x3 + 9 quadrati 2x2 +16 quadrati 1x1 =

30

Un animazione che aiuta…

È possibile creare delle animazioni, cioè immagini gif con il programma gratuito UnFREEz.exe (facile da utilizzare)

Avete scoperto la regola che c’è dietro?

È la somma dei quadrati!

Quindi generalizziamo… nel caso di un quadrato nxn dovrò svolgere questa somma

Ritorniamo al caso 8x8

Dall’esigenza di semplificare… la scoperta di una regola che mi aiuta nel calcolo.

Questo esempio aiuta nel far capire la convenienza delle formule!

Ma la matematica si ferma qui???

Il cuore si ferma qui???

La matematica non si ferma qui, perché ancora non abbiamo dimostrato che sia vero per n! Finora sono solo ipotesi!

Il cuore dell’uomo non si ferma! Non gli basta aver ipotizzato la soluzione! Il cuore desidera la certezza!

Come facciamo ad essere certi che aumentando di uno la suddivisione dei lati del quadrato, cioè suddividendo i lati in n+1 parti uguali, aumentiamo la somma precedente di (n+1)x(n+1) possibilità?

Un problema di certezza!

Un problema di tagli

il primo taglioCon un taglio divido sempre il quadrato in due parti, in questo caso, esse sono uguali perché ho fatto il taglio congiungendo i punti medi dei lati opposti

Ora dobbiamo fare un secondo taglio, ma ci sono due modi:

secondo taglio

Se il taglio non interseca il primo taglio aumento di 1 il numero di parti

Se il taglio interseca il primo taglio aumento di 2 il numero di parti

Avendo scoperto questa proprietà sui tagli, possiamo dimostrare che se le suddivisioni del lato sono n+1, facendo i primi n tagli tra loro paralleli (e quindi non intersecandoli) ottengo n+1 parti.

Adesso, facendo i tagli in modo perpendicolare ai precedenti, ad ogni taglio aumentiamo le parti di n+1:

infatti con il primo taglio trasversale otteniamo 2(n+1) parti

Con il secondo taglio trasversale abbiamo3(n+1)…All’ennesimo taglio avremo (n+1)x(n+1)

In questo modo abbiamo dimostrato che ogni volta che aumento di uno il numero di tagli (n+1), la formula finale che conteggia il numero di quadrati che ci sono nella figura aumenta sempre del suo quadrato ( ).

Ma il cuore dell’uomo e quindi il matematico si ferma qui???

Il cuore dell’uomo continua a porsi domande, perché il cuore è esigenza di verità, di totalità! Il cuore continua a porsi domande del tipo: “ma è sempre così?” oppure “e se invece …?”

E se invece non ho un quadrato? Se ho un rombo?

Si intuisce che la questione è la stessa se ho un rombo, se ho un rettangolo, se ho un parallelogramma

Nel costruire la scacchiera ho diviso il lato del quadrato in n parti uguali e poi ho congiunto i punti sui lati, generati dalla suddivisione, in modo che i segmenti fossero paralleli ai lati.

Ma ci basta???

E se invece non ho un quadrato? Se ho un triangolo cosa succede

Nel costruire la scacchiera ho diviso il lato del quadrato in n parti uguali e poi ho congiunto i punti sui lati, generati dalla suddivisione, in modo che i segmenti fossero paralleli ai lati.

Costruiamo…

e cerchiamo la regolarità…

N=1 N=2 N=3 N=4

Numero di quadrati nella figura

Tot = 1 Tot = 1+4 =5 Tot = 1+4 +9= 14 Tot = 1+4 +9+ 16= 30

Tot = 1 Tot = 1+4 =5 Tot = 1+3 +9= 13 Tot = 1+3 +7+ 16= 27

Numero di triangoli nella figura

Non vale la “regola” di prima!

E quindi???

Ci fermiamo?????

Qual è la vostra strategia?Il numero di triangoli di lato 1 con la punta verso l'alto è la sommatoria dei primi n numeri (n=4). Una volta contati i triangoli di lato 1 con la punta verso l'alto contiamo quelli di lato uno con la punta verso il basso e si può notare che questi sono la sommatoria dei primi n-1 numeri (n=4). Poi conto i triangoli di lato 2 con la punta verso l’alto e ottengo la sommatoria dei primi n numeri (con n=3) e conto quelli con la punta verso il basso e ne conto solo 1. C’è una formula per contarli tutti?

E se invece di… contare tutti i quadrati della figura conto solo quelli sul bordo?

Come li posso contare?

Più strategie… un’unica soluzione!

Chiamo n il valore del lato del quadrato bianco

Prima strategia

Seconda strategia

Più strategie… un’unica soluzione!

Chiamo n il valore del lato del quadrato bianco

Terza strategia

Quarta strategia

• Le quattro strategie sono tutte algebricamente equivalenti!

Se avete notato…

Al lavoro

Gli esempi fatti fino ad ora non sono prettamente didattici. Come conseguite l'obiettivo che i ragazzi imparino a generalizzare? Che esercizi proponete nelle vostre lezioni?