Dipartimento di Ingegneria

1Ingegneria dei sistemi di controllo - Sensori

Controllo

ABS – Anti-lock Braking System

Michele Ermidoro

ABS

Problema duale – Traction control

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

• Le ruote sono il componente che più influiscesul comportamento dinamico e sulleperformance di un veicolo da strada.

• Permettono il contatto tra la parte mobile e la parte fissa.

• Garantiscono aderenza su ogni tipo di strada

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

La forza verticale Fz nel punto di contatto sidecompone in:

• Forza longitudinale Fx [trazione/frenata]• Forza laterale Fy [sterzata]

• 𝛼 è l’angolo di scivolamento laterale, cioè l’angolo tra l’asse longitudinale della ruota e il vettore velocità del punto di contatto.

𝑭𝒙 = 𝑭𝒙 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒚 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

• Fz è la forza verticale nel punto di contatto. In condizioni quasi statiche corrisponde a 𝐹𝑧 = 𝑚 𝑔 (m varia con condizioni dinamiche e distribuzionecarico)

𝑭𝒙 = 𝑭𝒙 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒚 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

• Fz è la forza verticale nel punto di contatto. In condizioni quasi statiche corrisponde a 𝐹𝑧 = 𝑚 𝑔 (m varia con condizioni dinamiche e distribuzionecarico)

• 𝛾 è l’angolo di camber

𝑭𝒙 = 𝑭𝒙 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒚 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

• Fz è la forza verticale nel punto di contatto. In condizioni quasi statiche corrisponde a 𝐹𝑧 = 𝑚 𝑔 (m varia con condizioni dinamiche e distribuzionecarico)

• 𝛾 è l’angolo di camber

• 𝜆 è lo slip longitudinale della ruota

𝝀 ≔𝒗 −𝝎𝒓

𝐦𝐚𝐱 𝒗,𝝎𝒓

𝜔 - velocità angolare ruota

r – raggio ruota

v – velocità body

𝜆 ≔𝑣 − 𝜔𝑟

𝑣𝜆 ≔ −

𝑣 − 𝜔𝑟

𝜔𝑟

In frenata: In trazione:

𝑭𝒙 = 𝑭𝒙 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒚 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

• Fz è la forza verticale nel punto di contatto. In condizioni quasi statiche corrisponde a 𝐹𝑧 = 𝑚 𝑔 (m varia con condizioni dinamiche e distribuzionecarico)

• 𝛾 è l’angolo di camber

• 𝜆 è lo slip longitudinale della ruota

𝝀 = 𝟎 – Rotazione pura

𝝀 = 𝟏 – Ruota bloccata

𝑭𝒙 = 𝑭𝒙 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒚 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

𝝀 ≔𝒗 −𝝎𝒓

𝐦𝐚𝐱 𝒗,𝝎𝒓

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza sull’asfalto contatto ruota-strada

Tyre – Road contact forces

𝑭𝒙 = 𝑭𝒛𝝁𝒙 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒛𝝁𝒚 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

𝝁𝒙 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒙𝑭𝒛

𝝁𝒚 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒚

𝑭𝒛

𝜇𝑥 e 𝜇𝑦 sono detti coefficienti d’attrito

laterale e longitudinale.

Assumendouna relazione

lineare

𝑭𝒙 = 𝑭𝒙 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀𝑭𝒚 = 𝑭𝒚 𝑭𝒛, 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀

• 𝝀 = 𝟎: non c’è forza trasmessa a terra; rotolamento puro

• 𝝀 = 𝟏: Perdita del 20-30% di forzalongitudinale rispetto al picco[ruote bloccate]

Longitudinal friction coefficient

𝝁𝒙 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒙𝑭𝒛

HP: 𝛾 = 0, asciutto

• 𝝀 = 𝟎: Picco di forza lateraletrasmessa a terra

• 𝝀 = 𝟏: Perdita completadell’abilità di sterzare [ruotebloccate]

• Solo con sideslip angle diversoda zero

Lateral friction coefficient

𝝁𝒚 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒚

𝑭𝒛

HP: 𝛾 = 0, asciutto

• Trade off laterale vs longitudinale

• Massima forza sviluppata per piccoli angolidi slip laterali

• Per curvare meglio devo ridurre la velocità

Longitudinal vs Lateral friction coefficient

𝝁𝒙 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒙𝑭𝒛

𝝁𝒚 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒚

𝑭𝒛

HP: 𝛾 = 0, asciutto

Longitudinal vs Lateral friction coefficientNella realtà?

Ayrton Senna, Adelaide 1987 Herbert , Silverstone 1993

Cosa succede al variare della superficie?

𝝁𝒚 𝜶𝒕, 𝜸, 𝝀 ≔𝑭𝒚

𝑭𝒛

HP: 𝛾 = 0

• Al variare della superficie varia la forza che si riesce a scaricare al suolo

• Oltre ai picchi varia anche la forma della curva (notare la neve)

Cosa succede al variare della superficie?

HP: 𝛾 = 0

Come modellizzare il contatto pneumatico-strada?

Modello di Burckhardt

𝝁 𝝀, 𝜽𝒓 = 𝜽𝒓𝟏 𝟏 − 𝐞𝐱𝐩 −𝝀𝜽𝒓𝟐 − 𝝀𝜽𝒓𝟑

• Sia in frenata che in accelerazione la 𝜆 ideale è nell’intorno del picco

– Frenata ideale massima tenuta

– Accel. Ideale massimo trasferimento

• A ruote bloccate (𝜆 = 1) Perdita di tenuta longitudinale (freno/accelero meno)

• A ruote bloccate (𝜆 = 1) tenuta laterale va a zero (perdo direzionalità)

• Dopo il picco longitudinale il sistema è instabile e converge rapidamente al bloccaggio

Problema Bloccaggio

ABS - storia

ABS - storia

Attuatori

• É il nuovo paradigma all’interno dei sistemi di controllo dei veicoli

• I sistemi meccanici vengono sostituiti con sensori/attuatori

• X sta per Throttle, Shift, Brake, Steer, Park..

• Migliora qualità di guida e tenuta derivanti dal “dialogo” di sterzo freni e sospensioni in un unicocontrollo

X-by-wire

• Permette implementazione sistemi di sicurezza (line keeping, collision avoidance)

• Migliora la sicurezza passive, rimuovendo vincoli di abitacolo (piantone, serbatoio freni…)

• Da più spazio a designer e ergonomisti

• Diminuisce tempo taratura, ritarando l’elettronica invece di sostituire pezzi meccanici

• Problemi di sicurezza e fault nella strumentazione elettronica!

Modellazione

24

• 𝜔 [rad/s] – velocità angolare della ruota

• 𝑣 [m/s] – velocità longitudinale del veicolo

• 𝑇𝑏 [Nm] – coppia di frenata

• 𝐹𝑥 [N] – forza di contatto ruota-strada longitudinale

• 𝐽 [Kg m^2] – momento di inerzia della ruota

• 𝑟 [m] – raggio ruota

• 𝑚 [Kg] – massa veicolo

Modello Single-corner

ቊ𝐽 ሶ𝜔 = 𝑟𝐹𝑥 − 𝑇𝑏𝑚 ሶ𝑣 = −𝐹𝑥

• Ricordando:

𝐹𝑥 = 𝐹𝑧𝜇(𝜆)

𝜆 =𝑣 − 𝜔𝑟

𝑣

• Ipotizzando

𝐹𝑥 = 𝐹𝑧𝜇(𝜆, 𝛼)

• E sostituendo nel sistema otteniamo:

• Sistema del 2° ordine, non lineare tempo invariante.

• Di nostro interesse è avere come variabile di stato 𝜆

Modello Single-corner

𝐽 ሶ𝜔 = 𝑟𝐹𝑧𝜇𝑣 − 𝜔𝑟

𝑣− 𝑇𝑏

𝑚 ሶ𝑣 = −𝐹𝑧𝜇𝑣 − 𝜔𝑟

𝑣

• Calcoliamo ሶ𝜆 :

ሶ𝜆 = −𝑟

𝑣ሶ𝜔 +

𝑟𝜔

𝑣2ሶ𝑣

𝜔 =𝑣

𝑟(1 − 𝜆)

• Sostituendo, otteniamo:

൞ሶ𝜆 = −

1

𝑣

1 − 𝜆

𝑚+𝑟2

𝐽𝐹𝑧𝜇 𝜆 +

𝑟

𝑣𝐽𝑇𝑏

𝑚 ሶ𝑣 = −𝐹𝑧𝜇(𝜆)

• Sistema del 2° ordine, non linearetempo invariante.

• Sistema 1° ordine, non linearetempo variante

Modello Single-corner

𝐽 ሶ𝜔 = 𝑟𝐹𝑧𝜇𝑣 − 𝜔𝑟

𝑣− 𝑇𝑏

𝑚 ሶ𝑣 = −𝐹𝑧𝜇𝑣 − 𝜔𝑟

𝑣

La dinamica longitudinale si puòconsiderare molto più lenta rispetto

alla dinamica della ruota

*

ሶ𝜆 = −1

𝑣

1 − 𝜆

𝑚+𝑟2

𝐽𝐹𝑧𝜇 𝜆 +

𝑟

𝑣𝐽𝑇𝑏

Modello Single-corner

Modello dinamico dello slip della ruota

Il modello single-corner si basa su alcune semplificazioni, le principali sono:

• la dinamica delle sospensioni non è considerate

• La relazione tra forze verticali e attrito è modellizata come proporzionale

• Raggio ruot considerate costante

• Camber angle non considerate

• La deformazione della ruota non è considerate

• Le 4 ruote sono disaccoppiate dinamicamente, il fenomeno di pitch motion non è considerato

Equilibrio e linearizzazione

29

Punti di equilibrio

ቊ𝐽 ሶ𝜔 = 𝑟𝐹𝑥 − 𝑇_𝑏𝑚 ሶ𝑣 = −𝐹𝑥

• Il classico approccio consiste nell’annullare le derivate

ሶ𝑣 = 0 , ሶ𝜆 = 0

• Questo porta però a un punto di equilibrio in cui:

𝜆 = 0 , 𝑇𝑏 = 0

Questo punto corrisponde ad una velocità costante, senza frenata.

È un punto di equilibrio completamente inutile dal punto di vista del controllo di frenata.

Punti di equilibrio

• Decidiamo quindi di considerare 𝜆 costante:

ሶ𝜆 = 0 , 𝜆 = ҧ𝜆

• Richiamando la dinamica dello slip longitudinale:

ሶ𝜆 = −1

𝑣

1 − 𝜆

𝑚+𝑟2

𝐽𝐹𝑧𝜇 𝜆 +

𝑟

𝑣𝐽𝑇𝑏

• Assumendo 𝑣 =𝜔𝑟

1−𝜆

ሶ𝜆 = −1 − 𝜆

𝐽𝜔(Ψ 𝜆 − 𝑇𝑏)

Ψ 𝜆 = 𝑟 +𝐽

𝑟𝑚(1 − 𝜆) 𝐹𝑧𝜇(𝜆)

Punti di equilibrio

ሶ𝜆 = −1 − 𝜆

𝐽𝜔(Ψ 𝜆 − 𝑇𝑏)

• Abbiamo quindi due equilibri:

– 𝜆 = 1: ruote completamente bloccate, che comporta ሶ𝜆 = 0 per ogni coppia di frenata applicata. Il sistema rimarrà nella condizione di bloccaggio

– Ψ 𝜆 = 𝑇𝑏

• Se 𝑇𝑏 > max𝜆

Ψ 𝜆

– Nessun punto d’equilibrio

• Se 𝑇𝑏 ≤ max𝜆

Ψ 𝜆

– Due punti di equilibrio 𝜆1, 𝜆2 soluzioni di 𝑇𝑏 = Ψ 𝜆

Eq. as. stabile

Equilibrioinstabile

Linearizzazione

• Nel linearizzare il sistema, la scelta principale deve ricadere su come trattare la secondavariabile di stato 𝑣

• In letteratura molte volte si effettua la assunzione della “quasi staticità”. 𝑣 varia in modopiù lento rispetto a 𝜆 e quindi la si può considerare costante.

ሶ𝜆 = −1

𝑣

1 − 𝜆

𝑚+𝑟2

𝐽𝐹𝑧𝜇 𝜆 +

𝑟

𝑣𝐽𝑇𝑏

𝛿𝑇𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑏

Metodo del sistema tangente

𝛿𝜆 = 𝜆 − ҧ𝜆

*

Linearizzazione

ሶ𝜆 = −1

𝑣

1 − 𝜆

𝑚+𝑟2

𝐽𝐹𝑧𝜇 𝜆 +

𝑟

𝑣𝐽𝑇𝑏

• Linearizzando attorno ҧ𝜆 e 𝑇𝑏

𝛿 ሶ𝜆 = −𝐹𝑧𝑣

−1

𝑚𝜇0 +

1 − ҧ𝜆

𝑚𝜇1 +

𝑟2

𝐽𝜇1 𝛿𝜆 +

𝑟

𝑣𝐽𝛿𝑇𝑏

• Da cui, cercando la relazione tra COPPIA DI FRENATA e SLIP LONGITUDINALE

𝐺𝜆 𝑠 =

𝑟𝑣𝐽

𝑠 +𝐹𝑧𝑣

1 − ҧ𝜆𝑚

+𝑟2

𝐽𝜇1 −

𝜇0𝑚

Linearizzazione

• Introduciamo il concetto di decelerazione normalizzata

𝜂 = −ሶ𝜔𝑟

𝑔

• Richiamando l’equazione della dinamica del single-corner otteniamo:

𝜂 = −𝑟2

𝐽𝑔𝐹𝑧𝜇 𝜆 +

𝑟

𝐽𝑔𝑇𝑏

• Con lo stesso procedimento precedente otteniamo

𝐺𝜂 𝑠 =𝑟

𝐽𝑔

𝑠 +𝐹𝑧𝑚𝑣

1 − ҧ𝜆 𝜇1 − 𝜇0

𝑠 +𝐹𝑧𝑣

1 − ҧ𝜆𝑚

+𝑟2

𝐽𝜇1 −

𝜇0𝑚

Relazione tra COPPIA FRENANTE e DECELERAZIONE LONGITUDINALE NORMALIZZATA

*

Linearizzazione (Metodo II)

• Fino ad ora abbiamo scelto di linearizzare attorno ad un equilibrio considerando la velocità del veicolo come un “parametro lento”

• Si può pensare di linearizzare attorno a un punto di non equilibrio ҧ𝑣 ≔ 𝛿𝑣 = 𝑣 − ҧ𝑣

• La linearizzazione della curva di attrito diventa quindi:

*

Linearizzazione (Metodo II)

• Linearizzando in questo modo, otteniamo il seguente sistema:

• Che porta ad avere le due seguenti Fdt

Linearizzazione (Metodo II)

*

Linearizzazione (Metodo II)

• In vicinanza del picco del coefficiente d’attrito longitudinale 𝜇 𝜆 la sua derivata è prossima a zero– In questo punto, il primo metodo di linearizzazione fornisce un sistema instabile

– Il secondo sistema ha invece in questo punto il limite di stabilità

• Nel resto della curva d’attrito, dove la derivate prima 𝜇1 𝜆 è dominante rispetto a 𝜇0 𝜆 i due metodi di linearizzazione portano ad avere risultati comparabili.

• Per questo motive da qui in poi si farà sempre riferimento al secondo metodo di linearizzazione:

Analisi Open Loop

• Polo [stabilità]

𝜇1 ҧ𝜆 𝐹𝑧𝑚ഥ𝑣

(1 − ҧ𝜆) +𝑚𝑟2

𝐽> 0 → 𝜇1 ҧ𝜆 > 0

• Zero [fase minima]:

𝜇1 ҧ𝜆 𝐹𝑧𝑚ഥ𝑣

1 − ҧ𝜆 > 0 → 𝜇1 ҧ𝜆 > 0

Sistema stabile solo prima del picco

Sistema Fase minima solo prima del picco

Analisi Open Loop

Analisi Open Loop

Next steps:

Come è fatto il controllo?

43

Struttura di controllo

Abbiamo 2 funzioni di trasferimento che legano la nostra azione di controllo a una variabile di frenata:

• 𝐺𝜂: lega la coppia frenante alla decelerazione normalizzata

• 𝐺𝜆: lega la coppia frenante allo slip longitudinale della ruota

Quale variabile controlliamo?

• Wheel slip (𝜆)?

• Wheel deceleration (𝜂)?

Wheel slip control

Controllare il Wheel slip (𝜆) corrisponde a impostare un ҧ𝜆. Analizziamone il significato neldominio (𝜆, 𝜂):

• Che significato ha il grafico (𝜆, 𝜂)?

• La linea tratteggiata rappresenta un possibile set-point su 𝜆

• I punti neri sono invece i punti di equilibrio in diverse condizioni di terreno

• Per ogni valore di 𝜆 è garantita unicitàequilibrio

Wheel slip control - closed loop analisys

Consideriamo ora, la 𝐺𝜆 in un anello di controllo con il controllore piùsemplice che esiste:

Iniziamo quindi con l’analizzare il polinomio caratteristico del sistema in anello chiuso

Wheel slip control - closed loop analisys

Il polinomio caratteristico è quindi:

Che porta alla seguente condizione di stabilità:

Wheel slip control - closed loop analisys

La condizione è sempre valida se:

• 𝜇1 ҧ𝜆 > 0

• 𝜇1 ҧ𝜆 < 0: siccome 𝜇1 ҧ𝜆 è limitata, esisterà un ഥ𝐾, tale per cui la stabilità è garantita

per K > ഥ𝐾

Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile in tutte le condizioni di lavoro (per ogni tipo di strada e per ogni ҧ𝜆)

Wheel slip control - conclusioni

In conclusione il controllo dello Wheel Slip:

• Dato un set point ҧ𝜆 garantisce l’unicità dell’equilibrio

• La scelta di ҧ𝜆 non è critica. Si può facilmente trovare un valore di ҧ𝜆 che garantisce

buone prestazioni in tutte le condizioni.

• Si può usare una struttura di controllo fissa, senza stima delle condizioni della strada

• Con una struttura di controllo fissa la stabilità in anello chiuso è garantita in ogni

condizione

• La stima della wheel slip è difficile e poco affidabile, soprattutto a basse velocità.

Wheel deceleration control

Controllare la decelerazione della ruota (𝜂) corrisponde a impostare un ҧ𝜂. Analizziamone il significato nel dominio (𝜆, 𝜂):

• Che significato ha il grafico (𝜆, 𝜂)?

• La linea tratteggiata rappresentaun possibile set-point su 𝜂

• I punti neri sono invece i punti di equilibrio in diverse condizioni di terreno

• La selezione di ҧ𝜂 è critica (no equilibrio o conservativa)

Wheel deceleration controlclosed loop analisys

Consideriamo ora, la 𝐺𝜂 in un anello di controllo con il controllore più

semplice che esiste:

Analizziamo anche in questo caso il comportamento del sistema in anellochiuso.

Wheel deceleration controlclosed loop analisys

Il polinomio caratteristico è quindi:

Che porta alla seguente condizione di stabilità:

Wheel deceleration controlclosed loop analisys

• Non esiste nessun valore di K che garantisce stabilità in ogni condizionidi strada e valori di 𝜆. (𝜇1 può essere sia positive che negativo)

Ipotizziamo un K costante, i due punti di equilibrio sono ai due latidel picco:

• A sinistra del picco: equilibrioas.stabile, condizione verificata

• A destradel picco: equilibrioinstabile, condizione non verificata

Wheel deceleration controlconclusioni

In conclusione il controllo della wheel deceleration:

• La scelta di ҧ𝜂 è critica. Deve essere adattata online in base alle

condizioni della strada

• Con un controllore a struttura fissa, l’asintotica stabilità del sistema in

anello chiuso non è garantita, nemmeno nella stessa condizione di

strada

• L’equilibrio oltre il picco è a fase non minima, limitando le prestazioni

del controllore

• La misura della wheel deceleration è molto facile (basta un encoder

montato sulla ruota) Mai usato in un sistema ABS reale

Wheel slip control

Prima di procedure con strutture più complesse proviamo a costruire un controllore per questo problema:

Wheel slip control

Prima di procedure con strutture più complesse proviamo a costruire un controllore per questo problema:

• 𝑁 = 1.5, condizione tipica di unafront wheel

• La posizione dei poli è normalizzata rispetto alla velocità

• È mostrato solo l’andamento deipoli a parte reale positiva (worst case, equilibrio instabile)

• Poli più veloci su superfici con piùgrip

• 𝜆 = 0.62 su asfalto otteniamo un

polo pari a sp =60

ഥ𝑣

rad

𝑠

Wheel slip control

𝐺𝜆 𝑠 =

0.3ҧ𝑣

𝑠 −60ҧ𝑣

=𝜌

𝑠 + 𝛾, 𝜌 > 0

Abbiamo già considerate il singolo controllo P, che garantisce stabilità in anello chiuso. Non garantisce però performance; proviamo con un controllore puramente integrale:

𝑅𝐼 𝑠 =𝐾

𝑠𝜒𝜆 𝑠 𝐼 = 𝑠2 + 𝛾𝑠 + 𝐾𝜌

Controllore integrale Polinomio caratteristico

Wheel slip control

𝑅𝑃𝐼 𝑠 = 𝐾𝜏𝑠 + 1

𝑠𝜏 > 0

𝜒𝜆 𝑠 𝑃𝐼 = 𝑠2 + (𝐾𝜌𝜏 + 𝛾)𝑠 + 𝐾𝜌

As. stabile se 𝐾 > −𝛾

𝜌𝜏

𝐺𝜆 𝑠 =

0.3ҧ𝑣

𝑠 −60ҧ𝑣

=𝜌

𝑠 + 𝛾, 𝜌 > 0

Per garantire stabilità e performance introduciamo quindi un controllorePI:

Ottenute stesse “proprietà” di un controllore P, con l’aggiunta di uno zero che ci permette di modellare la dinamica a nostro piacimento.

Wheel slip control

𝑅𝑃𝐼𝐷 𝑠 = 𝐾(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏2𝑠 + 1)

𝑠(𝜏3𝑠 + 1)𝜏1,2,3 > 0

𝜒𝜆 𝑠 𝑃𝐼𝐷

= 𝜏3𝑠3 + (𝐾𝜌𝜏1𝜏2 + 𝜏3𝛾 + 1)𝑠2 + (𝛾

+ 𝐾𝜌(𝜏1 + 𝜏2))𝑠 + 𝐾𝜌

𝐺𝜆 𝑠 =

0.3ҧ𝑣

𝑠 −60ҧ𝑣

=𝜌

𝑠 + 𝛾, 𝜌 > 0

Per avere maggior spazio di manovra sulla dinamica del nostro sistema in anello chiuso garantire stabilità e performance introduciamo quindi un controllore PID:

As. Stabile se:

Effetti degli attuatori

Attuatori

Un tipico attuatore elettro meccanico per la frenata ha la seguentefunzione di trasferimento:

𝐺𝑐𝑎𝑙𝑖𝑝𝑒𝑟(𝑠) =𝜔𝑎𝑐𝑡

𝑠+𝜔𝑎𝑐𝑡𝑒−𝑠𝜏

Funzione di trasferimento con un polo ed un ritardo puro di attuazione

Attuatorimodello del sistema

Richiamando quindi la funzione di trasferimento 𝐺𝜆:

[𝑚 = 225, 𝐽 = 1, 𝑟 = 0.28]

Ipotizziamo un singolo controllore P (che abbiamo visto garantire la stabilità in anello chiuso in ogni condizione):

𝐾 = 1000

𝐺𝜆 𝑠 =

0.28𝑣

𝑠 +1𝑣 𝜇1 𝜆 9.8 1 − 𝜆 + 1.76

Attuatorimodello del sistema

Scegliamo il punto di lavoro osservando il grafico della posizione del polo al variaredi 𝜆:

• Consideriamo il worst case

• Polo INSTABILE a 60 rad/s

𝐺𝜆 𝑠 =

0.28𝑣

𝑠 +1𝑣 𝜇1 𝜆 9.8 1 − 𝜆 + 1.76

𝐺𝜆 𝑠 =

0.28𝑣

𝑠 −60𝑣

Attuatorimodello del sistema

Polo instabile. ( P=1)

Tracciamo il diagramma di Nyquist:

• Numero di giri antiorarioattorno al punto critico = 1

• Numero di giri antiorario = numero di poli instabili ilsistema in anello chiuso è as. stabile

𝐿𝜆 𝑠 = 1000 ∗

0.28𝑣

𝑠 −60𝑣

Attuatoridinamica attuatore

Attuatoridinamica attuatore – effetti stabilità

Attuatoridinamica attuatore – effetti stabilità

Sono stati considerati 3 diversi tipi di attuatori:

1. Delay 20 ms / BW 70 rad/sil sistema si mantiene as. stabile

2. Delay 50 ms/ BW 70 rad/ssistema INSTABILE

3. Delay 20 ms/ BW 10 rad/ssistema INSTABILE

Valutare tutte le caratteristiche del sistema, anche dopo aver tarato il controllore!

Activation/Deactivation logic

Activation/deactivation logic

L’ABS è un sistema di sicurezza, solitamente è spento, si accende solamente in determinate condizioni critiche

Activation/deactivation logic

• Anti wind-up

• Derivazione dell’uscita

Activation/deactivation logic

In una manovra di frenata, l’ABS si attiva se:

1. 𝜆 supera una soglia dipendente dall’intensità della frenata

2. Un controllo sulla quantità di frenata richiesta dal pilota

3. Un controllo sulla velocità del veicolo (non deve attivarsi a bassevelocità, stabilità in anello chiuso non garantita)

1 2 3

Activation/deactivation logic

La deattivazione avviene quando:

𝑇𝑏𝐷𝑟 < 𝜌𝑇𝑏𝑜𝑓𝑓

𝑇𝑏𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟 , 𝜌𝑇𝑏𝑜𝑓𝑓

< 1

Solo se la richiesta del pilota è inferiore a quella del controllo.

A basse velocità, se il pilota sta ancora frenando, non è sicuro ridare ilpieno controllo al pilota. Si mantiene il controllo, frenando in modocontrollato.

Si uscirà dalla modalità automatica, in questo secondo caso quando ilveicolo sarà fermo oppure il pilota avrà rilasciato il pedale.

𝑣 < 𝑣𝑠𝑡𝑜𝑝 𝑂𝑅 (TbDr < 𝜌𝑇𝑏𝑜𝑓𝑓

𝑇𝑏𝐿𝑃𝐹)

Activation/deactivation logic

Activation/deactivation logic

Asfalto

𝑣0 = 100𝐾𝑚

ℎ

Activation/deactivation logic

Neve

𝑣0 = 100𝐾𝑚

ℎ

Mixed Slip and Deceleration Control

(MSDC)

Mixed Slip and Deceleration Control

L’idea alla base del controllo MSD è quello di creare una variabile di controllo 𝝐 che sia una combinazione convessa della wheel deceleration e dello wheel slip:

𝜖 = 𝛼𝜆 + 1 − 𝛼 𝜂 , 𝛼 ∈ [0,1]

Mixed Slip and Deceleration Control

• 𝛼 = 0 – puro wheel deceleration control

• 𝛼 =1 – puro wheel slip control

• È chiaro come si presentiun solo equilibrio

• Il set point può esserefisso

• Soglia alfa?

𝝐 = 𝜶𝝀 + 𝟏 − 𝜶 𝜼 , 𝜶 ∈ [𝟎, 𝟏]

𝜶

MSD Control

Analisi anello aperto

In anello aperto la funzione di trasferimento non è altro che unacombinazione convessa definite da 𝜶:

𝐺𝜖 𝑠 =𝛿𝜖

𝛿𝑇𝑏= 𝛼𝐺𝜆 𝑠 + 1 − 𝛼 𝐺𝜂 𝑠 , 𝛼 ∈ [0,1]

MSD Control

Analisi anello aperto

In anello aperto la funzione di trasferimento non è altro che unacombinazione convessa definite da 𝜶:

Stabile se:

𝜇1 ҧ𝜆 𝐹𝑍𝑚𝑣

1 − ҧ𝜆 + 𝑚𝑟2/𝐽 > 0

Anche 𝐺𝜖 𝑠 presenta lo stesso comportamento di 𝐺𝜆 𝑠 , as. stabile prima del picco, instabile dopo il picco

MSD Control

Analisi anello chiuso

In anello chiuso, il polinomio caratteristico è il seguente:

Stabile se:

1 − 𝛼𝜇1 ҧ𝜆 𝐹𝑍𝑚𝑔

1 − ҧ𝜆 + 𝛼 > 0

In questo caso se:

• 𝜇1 ҧ𝜆 > 0 as.stabile, per ogni 𝛼

• 𝜇1 ҧ𝜆 < 0 dipende da 𝛼. Quanto star lontani da alfa=0 che

corrisponde alla wheel deceleration?

Indipendente da v

MSD Control

scelta di 𝜶

• 𝛼 > 𝛼𝑚𝑖𝑛: il sistema saràas. Stabile anche quando

𝜇1 ҧ𝜆 < 0, cioè dopo il

picco

• 𝛼 è massimo per:– 𝜆 oltre il picco

– Condizioni stradali con tantogrip

• 𝜶𝒎𝒊𝒏 ≈ 𝟎. 𝟑

MSD Control

Noise sensitivity

Dove sta il vero vantaggio del controllore MSD?

𝐷𝜖 𝑠, 𝛼 = 𝛼𝐷𝜆 𝑠 + 1 − 𝛼 𝐷𝜂 𝑠 𝑆𝜖(𝑠, 𝛼)

𝛾 𝛼 =𝑉𝑎𝑟 𝑑𝜖 𝛼

𝑉𝑎𝑟 𝑑𝜖 1

𝛼 = 1 → 𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 𝑠𝑙𝑖𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙

𝛾 𝛼 è il rapporta tra la varianza del disturbo che agisce sulla variabile d’uscitanel caso di MSD e di wheel control

MSD Control

Noise sensitivity

Per valutare la differenza di prestazione è necessario valutare come variala funzione di SENSITIVITA’:

𝑆(𝑠, 𝛼)

)(1

1)(

sLsS

funzione di sensitività

e +

+

d

R(s)u y

G(s)+

-

w

L(s) = R(s)G(s)

MSD Control

Noise sensitivity

Funzione sensitività:

• 𝑆 𝑠, 1 : funzione di sensitività wheel slip control

• 𝑆 𝑠, 𝛼 : funzione di sensitività MSD control

MSD Control

Noise sensitivity

Riassumendo, i vantaggi del controllo MSD sono, da un punto di vista di reiezione del disturbo:

• Posizione dello zerola posizione dello zero è indipendente dal parametro \alpha

• Posizione del poloil polo si sposta rapidamente verso la bassa frequenza al variare del parametro\alpha

• Guadagno in bassa frequenzail guadagno in bassa frequenza varia di poco al variare del parametro \alpha

• Guadagno in alta frequenzail guadagno in alta frequenza varia drasticamente con 𝛼 ∈ [0.85 − 1]

MSD Control

Noise sensitivity

Il polo si sposta in bassa frequenza

Lo zero si mantienepressochè inalterato

Il guadagno in bassafrequenza restainalterato

Il guadagno in altafrequenza cambia drasticamente

Simulazione numerica

88

Con l’obbiettivo di valutare il funzionamento del sistema, sono state effettuatealcune simulazioni di confront tra il classic “wheel slip control” e la struttura piùavanzata, l’MSD.

In particolare si è valutata la loro capacità a reagire a disturbi.

• Wheel sleep controller: PID

• MSD controller: PI - 𝛼 =0.9

Le analisi sono state effettuate prendendo in considerazione la ruotaanteriore

Sensitività ai disturbi

Ingresso:

Sensitività ai disturbi

MSD - Sensitività a cambi di superficie

Performance del controllore MSD in condizioni di frenata intense. A 2 secondi c’è un cambio improvviso di tenuta di strada

MSD - Sensitività a cambi di superficie

Performance del controllore MSD in condizioni di frenata intense. Tra 2 e 2.5 secondi c’è un cambio improvviso di tenuta di strada

Conclusioni

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Riassunto

• Introduzione al problema

• Modellistica

• Analisi stabilità anello aperto

• Analisi delle variabili 𝜆 ed 𝜂 in frenata

• Analisi stabilità controllo chiuso

• Controllo Wheel slip e Wheel deceleration

• Controllo MSD