A cura della 3 G e della prof.ssa Rosa ZolloAnno scolastico 2010/2011

LE SEZIONI CONICHE DI APOLLONIO E I LUOGHI GEOMETRICI DI DESCARTES

a

LE CONICHE

La teoria delle coniche si sviluppa nella seconda metà del IV secolo a.C. ad opera di Menecmo e successivamente di Apollonio.

Nella teoria di Menecmo vengono usati solo coni retti e la tecnica di esecuzione della sezione è sempre la stessa: i coni vengono tagliati con piani perpendicolari alla generatrice e sono ottenuti con la rotazione attorno a un cateto.

- Cono acutangolo: OXITOME (ellisse)- Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola)- Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole)

Le Coniche di Menecmo

OXITOME (ELLISSE)

Se il triangolo per l’ asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l’oxitome.

ORTOTOME (PARABOLA)

Se il triangolo per l’ asse è isoscele e rettangolo, si ottiene l’ortotome.

AMBLYTOME (IPERBOLE)

Se il triangolo per l’ asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l’ amblytome.

Libro “ Coniche”

APOLLONIO di Perga (262 - 190 a.C.)

Definizione di cono

Se una retta, prolungata all'infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio.

“Si conus plano per axem secetur; secetur autem et altero plano secante basis secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli per axem sit perpendicularis: et sit diameter sectionis uni later trianguli per axem aequidistans: recta linea, quae a sectione coni ducitur aequidistans communi sectioni plani secantis, et basis coni, usque ad sectionis diametrum; poterit spatium aequale contento linea, quaeex diametro abscissa inter ipsam et verticemsectionis interiicitur, et alia quadam, quae ad linea inter coni angulum, et verticem sectionis interiectam, eam proportionem habeat, quam quadratum basis trianguli per axem, ad id quod reliquis duobus trianguli lateribus continetur. Dicantur autem huiusmodi sectio parabole.”

THEOREMA XI PROPOSITIO XI

TEOREMA PARABOLA IN LATINO

Si conus plano per axem secetur, et secetur altero plano conveniente cum utroque latere trianguli per axem, quod neque basi coni aequidistet, neque subcontrarie ponatur: planum autem, in quo est basis coni, et secans planum conveniant secundum rectam lineam, quae sit perpendicularis vel ad basim trianguli per axem, vel ad eam, quae in directum ipsi constituitur. Recta linea quae a sectione coni ducitur aequidistans communi sectioni planorum usque ad diametrum sectionis poterit spatium adiacens lineae, ad quam sectionis diameter eam proportionem habeat, quam quadratum lineae diametro aequidistantis a vertice coni usque ad triangoli basim ductae, habet ad rectangulum contentum basis partibus, quae inter ipsam et rectas trianguli lineas interiiciuntur; latitudinem habens lineam, quae ex diametro ab ipsa abscinditur ad verticem sectionis deficiensque; figura simili, et similiter posita ei, quae diametro, et linea iuxta quam possunt,continetur. Dicatur autem huiusmodi sectio ellipsis.

THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII

TEOREMA ELLISSE IN LATINO

Teorema XI di Apollonio

Propositio XI sezione conica

parabolica

Tagliamo il cono con un piano α passante per l’asse del cono. Otteniamo così un triangolo ABC.

Tracciamo una retta ED perpendicolare alla base BC del triangolo ABC

Tagliamo il cono con un piano β secante la base del cono secondo la retta ED. Otteniamo una sezione conica avente vertice Z e diametro ZH, parallelo al segmento AC.

Conduciamo dalla sezione conica un segmento KP, parallelo al segmento ED, sul diametro ZH.

Il quadrato del segmento KP sarà equivalente a ZP · OZ (avremo quindi KP² = ZP · OZ), sapendo che OZ è il segmento individuato dalla relazione OZ/ZA = (BC²)/(AB · AC). La sezione ottenuta verrà chiamata “parabola”.

Con riferimento alla figura, il segmento OZ costituisce un parametro fisso indicabile

con “2p”.Associamo poi un sistema di assi cartesiani

in cui Z è l’origine degli assi, KP è l’ordinata y e ZP è l’ascissa x.

Ricaveremo dunque dalla formula “KP² = ZP · OZ” l’espressione analitica di una

parabola: “y² = 2px”

Come ricavare l’espressione analitica dal disegno

Applicazioni pratiche della parabola

Sfruttando le Leggi della Riflessione, è possibile sfruttare la parabola per ricevere segnali

satellitari, posizionando il recettore nel fuoco.

La parabola è utilizzata per i fari delle automobili.Ponendo la lampadina nel fuoco, si ottiene un fascio di luce cilindrico (come nel caso degli abbaglianti).

Spostando la lampadina tra vertice e fuoco, il cono di luce si allarga.

PARABOLA

Rappresentazione grafica del teorema

Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un altro piano b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto né parallelamente né antiparallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del piano a, perpendicolare al prolungamento di questa base. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 che incontrerà il prolungamento della base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:

THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII

ELLISSE PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)

Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.

DISEGNO TEOREMA DELL’ELLISSE

ELLISSE

Equazione cartesiana della ELLISSE

Sia V l’origine degli assicartesianiPV = xQV = yPL indica il parametro p,PP ‘ diametro a dell’ellisseDalla similitudine deitriangoli PP’L e P’VRsi ottieneLS = (p/a)xDalla tesi abbiamoQV2 = VR . PV = (PL –

LS)PVQuindiy2 = px - (p/a) x2

ELLISSE

Rappresentazione grafica del teorema

Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un altro piano b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano a della base del cono e il piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC in un punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 (si osservi che il punto P1 si trova sull’altra falda del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:

THEOREMA XII PROPOSITIO XII

PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul prolungamento di P1L , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR. TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE

Equazione cartesiana della IPERBOLE

Considerando la similitudine dei triangoli PP’L e VP’R si ha: PP’ : P’V = PL : VR

Sia PP’= a, VP = ascissa x, VQ = ordinata y, LP = pquindi si ha:a : (a+x) = p : VR

VQ = PV x VR

2

y = px + xpa

2 2

IPERBOLERappresentazione grafica del teorema

FINE PRIMA PARTE