La formula di Grassman

Note aggiuntive per il corso di Geometria Analitica e Algebra Linearea.a. 2008-2009 docente: P. Lisca

Teorema 1 (Formula di Grassmann) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finitasu un campo K, e siano U, W V due sottospazi. Allora,

dim(U + W ) + dim(U W ) = dim(U) + dim(W )

Dimostrazione. Sappiamo che e possibile completare una base {v1, . . . , vr} di U Wa basi

{v1, . . . , vr, u1, . . . , us} e {v1, . . . , vr, w1, . . . , wt}

di U e W , rispettivamente. Se verifichiamo che

{v1, . . . , vr, u1, . . . , us, w1, . . . , wt}

e una base di U + W abbiamo finito. Infatti in tal caso lidentita

(r + s + t) + r = (r + s) + (r + t)

equivale alla formula di Grassman. Chiaramente ciascuno dei vettori vi, uj e wk appartienea U + W . Inoltre, poiche ogni elemento di U e combinazione lineare dei vettori vi e ujmentre ogni elemento di W e combinazione lineare dei vettori vi e wk, ne segue che ognielemento di U +W e combinazione lineare dei vi, uj e wk, e dunque i vettori in questionesono generatori di U +W . Per vedere che sono linearmente indipendenti, osserviamo cheunuguaglianza

a1v1 + arvr + b1u1 + + bsus + c1w1 + + ctwt = 0

equivale aa1v1 + arvr + b1u1 + + bsus = (c1w1 + + ctwt),

la quale implica che il membro di sinistra (e di destra) delluguaglianza appartiene sia aU che a W , ovvero a U W . Ma gli elementi di U si scrivono in modo unico come com-binazioni lineari degli elementi della sua base {vi, uj}, mentre gli elementi del sottospazioUW U si scrivono tutti come combinazioni lineari dei soli elementi vi. Questo implicab1 = = bs = 0, quindi le uguaglianze qui sopra danno una relazione di dipendenzalineare tra i vettori vi e wk. Ma i vettori vi e wk sono indipendenti per costruzione, quindia1 = = ar = 0 e c1 = = ct = 0. Questo mostra chiaramente che i vettori vi, uj ewk sono indipendenti, dunque sono una base di U + W .