458.grassman
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La formula di Grassman Note aggiuntive per il corso di Geometria Analitica e Algebra Lineare a.a. 2008-2009 — docente: P. Lisca Teorema 1 (Formula di Grassmann) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K, e siano U, W ⊂ V due sottospazi. Allora, dim(U + W ) + dim(U ∩ W ) = dim(U ) + dim(W ) Dimostrazione. Sappiamo che ` e possibile completare una base {v 1 ,...,v r } di U ∩ W a basi {v 1 ,...,v r ,u 1 ,...,u s } e {v 1 ,...,v r ,w 1 ,...,w t } di U e W , rispettivamente. Se verifichiamo che {v 1 ,...,v r ,u 1 ,...,u s ,w 1 ,...,w t } ` e una base di U + W abbiamo finito. Infatti in tal caso l’identit`a (r + s + t)+ r =(r + s)+(r + t) equivale alla formula di Grassman. Chiaramente ciascuno dei vettori v i , u j e w k appartiene a U + W . Inoltre, poich´ e ogni elemento di U ` e combinazione lineare dei vettori v i e u j mentre ogni elemento di W ` e combinazione lineare dei vettori v i e w k , ne segue che ogni elemento di U + W ` e combinazione lineare dei v i , u j e w k , e dunque i vettori in questione sono generatori di U + W . Per vedere che sono linearmente indipendenti, osserviamo che un’uguaglianza a 1 v 1 + ··· a r v r + b 1 u 1 + ··· + b s u s + c 1 w 1 + ··· + c t w t =0 equivale a a 1 v 1 + ··· a r v r + b 1 u 1 + ··· + b s u s = -(c 1 w 1 + ··· + c t w t ), la quale implica che il membro di sinistra (e di destra) dell’uguaglianza appartiene sia a U che a W , ovvero a U ∩ W . Ma gli elementi di U si scrivono in modo unico come com- binazioni lineari degli elementi della sua base {v i ,u j }, mentre gli elementi del sottospazio U ∩ W ⊆ U si scrivono tutti come combinazioni lineari dei soli elementi v i . Questo implica b 1 = ··· = b s = 0, quindi le uguaglianze qui sopra danno una relazione di dipendenza lineare tra i vettori v i e w k . Ma i vettori v i e w k sono indipendenti per costruzione, quindi a 1 = ··· = a r =0e c 1 = ··· = c t = 0. Questo mostra chiaramente che i vettori v i , u j e w k sono indipendenti, dunque sono una base di U + W .
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La formula di Grassman
Note aggiuntive per il corso di Geometria Analitica e Algebra Linearea.a. 2008-2009 docente: P. Lisca
Teorema 1 (Formula di Grassmann) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finitasu un campo K, e siano U, W V due sottospazi. Allora,
dim(U + W ) + dim(U W ) = dim(U) + dim(W )
Dimostrazione. Sappiamo che e possibile completare una base {v1, . . . , vr} di U Wa basi
{v1, . . . , vr, u1, . . . , us} e {v1, . . . , vr, w1, . . . , wt}
di U e W , rispettivamente. Se verifichiamo che
{v1, . . . , vr, u1, . . . , us, w1, . . . , wt}
e una base di U + W abbiamo finito. Infatti in tal caso lidentita
(r + s + t) + r = (r + s) + (r + t)
equivale alla formula di Grassman. Chiaramente ciascuno dei vettori vi, uj e wk appartienea U + W . Inoltre, poiche ogni elemento di U e combinazione lineare dei vettori vi e ujmentre ogni elemento di W e combinazione lineare dei vettori vi e wk, ne segue che ognielemento di U +W e combinazione lineare dei vi, uj e wk, e dunque i vettori in questionesono generatori di U +W . Per vedere che sono linearmente indipendenti, osserviamo cheunuguaglianza
a1v1 + arvr + b1u1 + + bsus + c1w1 + + ctwt = 0
equivale aa1v1 + arvr + b1u1 + + bsus = (c1w1 + + ctwt),
la quale implica che il membro di sinistra (e di destra) delluguaglianza appartiene sia aU che a W , ovvero a U W . Ma gli elementi di U si scrivono in modo unico come com-binazioni lineari degli elementi della sua base {vi, uj}, mentre gli elementi del sottospazioUW U si scrivono tutti come combinazioni lineari dei soli elementi vi. Questo implicab1 = = bs = 0, quindi le uguaglianze qui sopra danno una relazione di dipendenzalineare tra i vettori vi e wk. Ma i vettori vi e wk sono indipendenti per costruzione, quindia1 = = ar = 0 e c1 = = ct = 0. Questo mostra chiaramente che i vettori vi, uj ewk sono indipendenti, dunque sono una base di U + W .
