2x − 3 = 9

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x + 5 = 6

(x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1

2x = 12 + x

“Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero stesso, otteniamo 5”.

Questa frase può essere tradotta in un’uguaglianza. Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere:

Questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore attribuito alla lettera x, per esempio:

x + 5 − x = 5

• se x = 2 allora 2 + 5 − 2 = 5 5 = 5• se x = 0 allora 0 + 5 − 0 = 5 5 = 5

Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità.

L’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi

valore attribuito alle lettere che in essa figurano.

• “Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso dà come somma il triplo del numero.”

In termini matematici:2x + x = 3x 3x = 3x

Tale uguaglianza è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore venga attribuito alla lettera x.

• “Il triplo di un numero aumentato del suo doppio è uguale alquintuplo del numero.”Traduci questa frase in una espressione letterale: ...................

È una identità? ……

• L’uguaglianza (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b; per esempio:

se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1)2 = 02 + 2 × 0 × 1 + 12, cioè 1 = 1;se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1)2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12, cioè 16 = 16.

3x +2x = 5x 5x = 5x è una identità

“Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6”.

In termini matematici: x + 5 = 6

Tale uguaglianza è vera solo per un particolare valore attribuito alla lettera x, e cioè il valore 1. Infatti se x = 1 allora 1 + 5 = 6 6 = 6 (vero)

Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera x si dice incognita. Incognita vuol dire “non conosciuta”.

Se invece, per esempio: x = 0 allora 0 + 5 = 6 5 = 6 (falso) x = 3 allora 3 + 5 = 6 8 = 6 (falso)

Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo

per particolari valori attribuiti all’incognita o alle incognite che in essa figurano.

• Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5. Qual è il numero?

• Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano un’identità(I) e quali un’equazione (E).2x + 3x = 5x ...... 2x + 3x = 5 ...... 2x = 0 ......0 • x = 0 ...... (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 ......

Indicando con y il numero che non conosciamo (l’incognita), l’equazione che traduce il problema è: y + 8 = 5L’uguaglianza è vera quando a y attribuiamo il valore −3. Infatti: −3 + 8 = 5

• Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, dà 25.x2 = 25

L’uguaglianza è vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o −5. Infatti: (5)2 = 25 e (−5)2 = 25

I

I E E

E

Indicando con x l’incognita, l’equazione è:

Nelle equazioni l’espressione scritta a sinistra dell’uguale si dice 1° membro; quella a destra 2° membro:

2x = 25

1°membro

2° membro

1°membro

1°membro

2° membro

2° membro

y + 8 = 5 x2 = 25

• La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore numerico variabile, si dice incognita.

• Il numero che moltiplica l’incognita si dice coefficiente dell’incognita.

• I termini che non contengono incognite si dicono termini noti.

• Il valore che attribuito all’incognita rende vera l’uguaglianza, se esiste, si dice soluzione o radice dell’equazione. Un’equazione può avere più soluzioni o nessuna soluzione.

Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni.

La soluzione di un’equazione si indica solitamente con una semplice uguaglianza tra l’incognita utilizzata e il valore trovato.

2x = 25 y + 8 = 5 x2 = 25 a2 = −36

y = − 3 nessuna soluzionex = 5x = 2

25

Il grado di un’equazione a un’incognita è dato dall’esponente massimo con cui essa appare.

Se l’incognita compare con l’esponente 1 si ha un’equazione di 1° grado a un’incognita → y = 2

Se l’incognita compare con l’esponente 2 si ha un’equazione di 2° grado a un’incognita → x2 − 4 = 0

Avrai anche studiato le equazioni di Galileo (1564-1642) per il moto, che legano posizione e velocità di un corpo:

Lo sviluppo del saperescientifico è disseminatodi equazioni famose.

Sicuramente ti saràcapitato di leggere daqualche parte la celebreequazione di Albert Einstein(1879-1955), che lega l’energia alla massa:

E = mc2

Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione utilizzano spesso equazioni complicatissime.

x = x0 + v • t + a • t212

x • y = 24 è un’equazione di 2° grado perché il termine x • y è un monomio di 2º grado;

le incognite sono x e y e il termine noto è 24. I valori che rendono vera l’uguaglianza sono

infinite coppie ordinate: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), ……..

• Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni.6x − 1 = 15 2 = 4 + 3a 3xy = 1

2x − 3 = 9

l’incognita è x i termini noti sono −3 e 9

è un’equazione di 1° grado

L’uguaglianza è vera per x = 6.

L’uguaglianza è vera per x = 5 e x = − 5.

x2 = 25

l’incognita è x il termine noto è 25

è un’equazione di 2° grado

L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica con S.

2x = 25 y + 8 = 5 x2 = 25 a2 = −36Nel caso delle equazioni:

S = {− 3} S = { + 5; −5 } S =

S = 2

25

È sempre importante considerare l’insieme in cui si opera.

Quando per un’equazione abbiamo S = , l’equazione si dice impossibile.

Allora diciamo che l’equazione è impossibile.

Infatti può accadere che:

non esista alcun valore che verifichi l’equazione.

il valore esista ma non sia accettabile perché non appartiene all’insieme di esistenza.

• Troviamo quel numero intero relativo che è uguale a se stesso aumentato di 2.

x = x + 2 x ∈ Z

La frase che esprime il problema ci fa capire che non può esistere alcun numero che verifichi questa uguaglianza: quindi l’equazione è impossibile non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico.

• Troviamo quel numero naturale il cui doppio è uguale a 25.2x = 25 x ∈ N

L’uguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore2

25

infatti 2 • = 25 25 = 25 2

25

L’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali.

• in N □ x +1 = 3 □ 5x + 5 = 5 □ 3x = 5

• in Qa □ 5 + x = 0 □ 5x = 9 □ 4x = 1

• in R □ x2 = 4 □ x2 = −49

Tale valore però non è accettabile perché operiamo in N e 2

25 ∉N

Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono impossibili.

x

x

x

Una equazione è una ....................... fra due espressioni algebriche

di cui ........................ letterale, verificata solo per ..........................

attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano.

• Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori, almeno due, disuguaglianza, uguaglianza, almeno una, qualsiasi valore.

Una identità è una ............................ fra due espressioni algebriche di

cui ................................ letterale, verificata per ..............................

attribuito alle lettere che in essa figurano.

uguaglianza

almeno una qualsiasi valore

particolari valori

uguaglianza

almeno una

• Verifica che l’uguaglianza x2 − 2x + 1 = (1 − x)2 è una identità attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere.

Se x = ...... allora ........................ Se x = ...... allora ........................Se x = ...... allora .......................Se x = ...... allora ........................

• Considera l’equazione 4x + 3 = 13x − 2 e i suoi vari elementi.

L’equazione assegnata è di primo o di secondo grado? ..................

Come riconosci se è di primo o di secondo grado? .........................…………………………………………………….• Scrivi:a) una equazione di primo grado con la sola incognita x: ...................

b) una equazione di primo grado con le incognite x e y: .....................

c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y: ...............

primo