2974_10732_1862703206_Stati Limite_SLU_Tensioni Normali

Prof. Ing. Roberto Realfonzo

Università di Salerno

Dipartimento di Ingegneria Civile

Appunti di Tecnica delle CostruzioniAppunti di Tecnica delle CostruzioniANNO ACCADEMICO 2010ANNO ACCADEMICO 2010--20112011

CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A.

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

CONTENUTI

Stato Limite Ultimo per Tensioni NormaliStato Limite Ultimo per Tensioni Normali

MaterialiMateriali

• Calcestruzzo

• Acciaio

• Controlli di accettazione

• Legami di normativa

• Flessione semplice o composta

• Presso-flessione deviata

RICAPITOLANDO ...

EEd d ≤≤ RRdd

COMBINAZIONE DELLE AZIONI

MODELLI DI ANALISI

EFFETTI DELLE AZIONI

MATERIALI

MODELLI RESISTENTI

RESISTENZE DI CALCOLO

I MATERIALI

Cosa c’è nel capitolo 11

Cosa c’è nel capitolo 4

Legami costitutivi del calcestruzzo

Legami costitutivi dell’acciaio

Tensione tangenziale di aderenzaacciaio-calcestruzzo

Resistenze di calcolo

Controlli di qualità

sul calcestruzzosull’acciaiodi aderenza

IL COMPORTAMENTO DEI MATERIALI

Verificas

σs'/n

εs σs /n

'εc σc

Dimensionamento elementi strutturali

Ipotesi di elasticità lineare dei materiali

Ipotesi di non linearità meccanica dei materiali

I MATERIALI

LEGAMI COSTITUTIVILEGAMI COSTITUTIVI

I MATERIALI

IL CALCESTRUZZO IL CALCESTRUZZO –– tensione di rotturatensione di rottura

Rck = resistenzadi provini cubici

fck = resistenza di provini cilindrici

Che relazione c’e’ tra fck e Rck ?

I MATERIALI

IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO

Legame costitutivo del materialeLegame costitutivo del materiale

• Dopo il valore massimo della resistenza il legame σ−ε procede con un tratto decrescente la cui pendenza aumenta all’aumentare della resistenza

• Il valore della deformazione ultima aumenta al diminuire della resistenza

• Il legame σ−ε è non lineare fin da valori modesti della deformazione

• La deformazione corrispondente alla tensione massima èpressoché costante al variare della resistenza del cls

I MATERIALI

IL CALCESTRUZZO (IL CALCESTRUZZO (§§ 11.2)11.2)

La prescrizione del calcestruzzo all’atto del progetto deve essere caratterizzata almenomediante la classe di resistenza ed ildiametro massimo dell’aggregato.

La classe di resistenza è contraddistinta daivalori caratteristici delle resistenze cubica Rcke cilindrica fck a compressione uniassiale, misurate su provini normalizzati e cioèrispettivamente su cilindri di diametro 150 mm e di altezza 300 mm e su cubi di spigolo150 mm

La resistenza caratteristica a compressione èdefinita come la resistenza per la quale siha il 5% di probabilità di trovare valoriinferiori

• Rck : resistenza cubica del calcestruzzo a 28 gg

• fck = 0.83 Rck : resistenza cilindrica del calcestruzzo– È quella che si usa nel

progetto• fcm = fck + 8

Rck Rcm

P = 5%

RcmRck

P = 5%

I MATERIALI

IL CALCESTRUZZO CONFINATOIL CALCESTRUZZO CONFINATO

INCREMENTO DI RESISTENZA E DUTTILITÀ

I MATERIALI

CLASSE DI RESISTENZA MINIMA

Strutture non armate o a bassa percentuale di armatura

Strutture semplicemente armate

Strutture precompresse

Resistenza cilindrica Resistenza cubica

I MATERIALI

In sede di progettazione...In sede di progettazione...

Modulo elastico

Ecm = 22.000×[fcm/10]0,3 [N/mm2]

Resistenza a trazioneResistenza a trazione

• Resistenza media a trazione semplice (assiale) del calcestruzzo (in N/mm2):

fctm = 0,30 × fck 2/3 per classi ≤ C50/60 fctm = 2,12 × ln[1+fcm/10] per classi > C50/60

• I valori caratteristici corrispondenti ai frattili 5% e 95% sono assunti, rispettivamente, pari a 0,7 fctm, ed 1,3 fctm.

Il valore medio della resistenza a trazione per flessione è assunto, in mancanza di sperimentazione diretta, pari a: fcfm =1, 2 fctm

Resistenza a compressioneResistenza a compressione

• fck = 0.83 Rck : resistenza cilindrica del calcestruzzo

• fcm = fck + 8

I MATERIALI

LEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVALEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVA

0 2778 cu. ε⋅

εc2=2‰ εcu=3.5‰

σ0 416 cu. ε⋅0 584 cu. ε⋅

εc3=1.75‰ εcu=3.5‰

0 7222 cu. ε⋅

= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 75

εc4=0.70‰ εcu=3.5‰

0 40⋅ cu. ε0 60⋅ cu. ε

= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 80

arctg Es arctg Es

εyd εud=0.9·εuk

k·fyd

CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO

ACCIAIOACCIAIO . k .≤ ≤1 15 1 35ykyd

.= ⋅0 85

cd cuA . f ε⋅ ⋅0 8095

Legame di normativaLegame di normativa

I MATERIALI

LEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVALEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVA

0 2778 cu. ε⋅

εc2=2‰ εcu=3.5‰

0 416 cu. ε⋅0 584 cu. ε⋅

εc3=1.75‰ εcu=3.5‰

0 7222 cu. ε⋅

= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 75

εc4=0.70‰ εcu=3.5‰

0 40⋅ cu. ε0 60⋅ cu. ε

= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 80

CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO ckcd

.= ⋅0 85

I valori delle ε indicati in figura sono validi per classi di resistenza inferiore a C50/60

cd cuA . f ε⋅ ⋅0 8095

CFR. TRA I VARI MODELLI PER IL CALCESTRUZZOCFR. TRA I VARI MODELLI PER IL CALCESTRUZZO

Stress Block

Parabola-rettangolo

5.183.0 ck

ckcdcd

Rfff ⋅==⋅=′ α

γαα

Coeff. γc – Stato limite ultimo

γc=1.5 c.a. nel DM del 2008

γc=1.6 c.a. nel DM del 1996

85.0=α

ε f'cd

ε c1 0.0035

Coefficiente di PoissonCoefficiente di Poisson

A seconda dello stato di sollecitazione, si assume un valore compreso tra 0 (calcestruzzo fessurato) e 0,2 (calcestruzzo non fessurato)

CoefficienteCoefficiente di di dilatazionedilatazionetermicatermica

Si un valor medio pari a 10 x 10-6 °C-1, fermo restando che tale quantitàdipende significativamente dal tipo di calcestruzzo considerato (rapportoinerti/legante, tipi di inerti, ecc.) e puòassumere valori anche sensibilmentediversi da quello indicato.

I MATERIALI

IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOIn sede di progettazione...In sede di progettazione...

• DEFORMAZIONE TOTALE DA RITIRO:- εcs è la deformazione totale per ritiro- εcd è la deformazione per ritiro da essiccamento- εca è la deformazione per ritiro autogeno.εcs = εcd + εca

• valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento

εcd,∞ = kh · εc0

RitiroRitiro

Tabella 11.2.Va – Valori di εc0

Tabella 11.2.Vb – Valori di kh

con fck in N/mm2εca,∞ = -2.5 · (fck-10)·10-6

• valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro autogeno

h0 = 2 Ac /uAc: l’area della sezione in calcestruzzo

u: è il perimetro della sezione in calcestruzzo esposto all’aria

I MATERIALI

IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOIn sede di progettazione...In sede di progettazione...

ViscositaViscosita’’Se lo stato tensionale del calcestruzzo, al tempo t0 = j di messa in carico, non è superiore a 0,45×fckj, il coefficiente di viscosità φ(∞, t0), a tempo infinito, puo’ essere dedotto dalle seguentitabelle

I MATERIALI

Durabilita’Per garantire la durabilità delle strutture in calcestruzzo armato ordinario o precompresso, esposte all’azione dell’ambiente, si devono adottare i provvedimenti atti a limitare gli effettidi degrado indotti dall’attacco chimico, fisico e derivante dalla corrosione dellearmature e dai cicli di gelo e disgelo.

A tal fine in fase di progetto la prescrizione, valutate opportunamente le condizioni ambientalidel sito ove sorgerà la costruzione o quelle di impiego, deve fissare le caratteristiche del calcestruzzo da impiegare (composizione e resistenza meccanica), i valori del copriferro e le regole di maturazione.

Al fine di ottenere la prestazione richiesta in funzione delle condizioni ambientali, nonché per la definizione della relativa classe, si potrà fare utile riferimento alle indicazioni contenute nelleLinee Guida sul calcestruzzo strutturale edite dal Servizio Tecnico Centrale del ConsiglioSuperiore dei Lavori Pubblici ovvero alle norme UNI EN 206-1:2006 ed UNI 11104:2004.

I MATERIALI

ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO

Comportamento SperimentaleComportamento Sperimentale

ykfykt kff =

Modulo elastico2210000 N/mmsE =

In trazioneIn trazione

I MATERIALI

Comportamento SperimentaleComportamento Sperimentale

In compressioneIn compressione

I MATERIALI

B450 AB450 A

stessi del B450C

≥ 2.5 %

I MATERIALI

B450 CB450 C

≥ 7.5 %

I MATERIALI

Diagramma di normativaDiagramma di normativa

I MATERIALI

Diagramma di normativaDiagramma di normativa

ykfykt fkf =

ukε sε

sσ idealizzato

di calcolo

sykfk γ/

sykyd ff γ= /

/yd yd sf Eε = 0.010suε =

DM ’96

I MATERIALI

ADERENZA ACCIAIOADERENZA ACCIAIO--CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO

I MATERIALI

ADERENZA ACCIAIOADERENZA ACCIAIO--CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO

I MATERIALI

34ACCI

O ––

e di c

Prove di aderenza

GENERALITAGENERALITA’’ ((§§ 11.1)11.1)

I materiali e prodotti per uso strutturale devono essere:- identificati univocamente a cura del produttore, secondole procedure applicabili;-qualificati sotto la responsabilità del produttore, secondo le procedure applicabili;- accettati dal Direttore dei lavori mediante acquisizione e verifica della documentazione di qualificazione, nonchémediante eventuali prove sperimentali di accettazione

I MATERIALI

’’ ((§§

IL CALCESTRUZZO (IL CALCESTRUZZO (§§ 11.11..2.2.2.2))Controlli di Controlli di qualita’qualita’

• VALUTAZIONE PRELIMINARE DELLA RESISTENZAServe a determinare, prima dell’inizio della costruzione delle opere, la miscela per produrre ilcalcestruzzo con la resistenza caratteristica di progetto.

• CONTROLLO DI PRODUZIONERiguarda il controllo da eseguire sul calcestruzzo durante la produzione del calcestruzzo stesso.

• CONTROLLO DI ACCETTAZIONERiguarda il controllo da eseguire sul calcestruzzo prodotto durante l’esecuzione dell’opera, con prelievo effettuato contestualmente al getto dei relativi elementi strutturali.

• PROVE COMPLEMENTARISono prove che vengono eseguite, ove necessario, a complemento delle prove di accettazione. Le prove di accettazione e le eventuali prove complementari, sono eseguite e certificate dailaboratori di cui all’art. 59 del DPR n. 380/2001.

Il calcestruzzo va prodotto in regime di controllo di qualità, con lo scopo di garantire che rispetti le prescrizioni definite in sede di progetto

OI MATERIALI

IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOControlli di Controlli di qualita’qualita’: fasi: fasi

• 11.2.3 VALUTAZIONE PRELIMINARE DELLA RESISTENZAIl costruttore, prima dell’inizio della costruzione di un’opera, deve effettuare idonee prove preliminari di studio, per ciascuna miscela omogenea di calcestruzzo da utilizzare, al fine di ottenere le prestazioni richieste dal progetto

11.2.5 CONTROLLO DI ACCETTAZIONEIl Direttore dei Lavori ha l’obbligo di eseguire controlli sistematici in corsod’opera per verificare la conformità dellecaratteristiche del calcestruzzo messo in opera rispetto a quello stabilito dal progettoe sperimentalmente verificato in sede di valutazione preliminare. Il controllo di accettazione va eseguito su misceleomogenee e si configura, in funzione del quantitativo di calcestruzzo in accettazione, nel:- controllo di tipo A di cui al § 11.2.5.1- controllo di tipo B di cui al § 11.2.5.2

Il controllo di accettazione è positivo ed ilquantitativo di calcestruzzo accettato se risultano verificate le disuguaglianze di cui alla

Tab. 11.2.

I MATERIALI

CONTROLLO DI TIPO B

CONTROLLO DI TIPO A

11.2.6 CONTROLLO DELLA RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO IN OPERA

Nel caso in cui le resistenze a compressione dei provini prelevati durante il getto non soddisfino i criteri di accettazione della classe di resistenza caratteristica prevista nel progetto, oppure sorganodubbi sulla qualità e rispondenza del calcestruzzo ai valori di resistenza determinati nel corsodella qualificazione della miscela, oppure si renda necessario valutare a posteriori le proprietà di un calcestruzzo precedentemente messo in opera, si può procedere ad una valutazione dellecaratteristiche di resistenza attraverso una serie di prove sia distruttive che non distruttive. Taliprove non devono, in ogni caso, intendersi sostitutive dei controlli di accettazione. Il valor medio della resistenza del calcestruzzo in opera (definita come resistenza strutturale) è in genere inferiore al valor medio della resistenza dei prelievi in fase di getto maturati in condizionidi laboratorio (definita come resistenza potenziale). È accettabile un valore medio della resistenzastrutturale, misurata con tecniche opportune (distruttive e non distruttive) e debitamentetrasformata in resistenza cilindrica o cubica, non inferiore all’85% del valore medio definito in fasedi progetto. Per la modalità di determinazione della resistenza strutturale si potrà fare utile riferimento alle norme UNI EN 12504-1:2002, UNI EN 12504-2:2001, UNI EN 12504-3:2005, UNI EN 12504- 4:2005 nonché alle Linee Guida per la messa in opera del calcestruzzo strutturale e per la valutazione delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo pubblicate dal Servizio TecnicoCentrale del Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici.

I MATERIALI

11.2.7 PROVE COMPLEMENTARI

Sono prove che eventualmente si eseguono al fine di stimare la resistenza del calcestruzzo in corrispondenza a particolari fasi di costruzione (precompressione, messa in opera) o condizioni particolari di utilizzo (temperature eccezionali, ecc.).Il procedimento di controllo è uguale a quello dei controlli di accettazione.Tali prove non possono però essere sostitutive dei “controlli di accettazione” chevanno riferiti a provini confezionati e maturati secondo le prescrizioni precedenti.I risultati di tali prove potranno servire al Direttore dei Lavori od al collaudatoreper formulare un giudizio sul calcestruzzo in opera qualora non sia rispettato il“controllo di accettazione”.

I MATERIALI

ACCIAIO (ACCIAIO (§§ 11.3.1)11.3.1)Controlli di Controlli di qualita’qualita’

Le presenti norme prevedono tre forme di controllo obbligatorie:

- IN STABILIMENTO DI PRODUZIONE, DA ESEGUIRSI SUI LOTTI DI PRODUZIONE

- NEI CENTRI DI TRASFORMAZIONE, DA ESEGUIRSI SULLE FORNITURE

- DI ACCETTAZIONE IN CANTIERE, DA ESEGUIRSI SUI LOTTI DI SPEDIZIONE

A tale riguardo si definiscono:Lotti di produzione: si riferiscono a produzione continua, ordinata cronologicamentemediante apposizione di contrassegni al prodotto finito (rotolo finito, bobina di trefolo, fasciodi barre, ecc.). Un lotto di produzione deve avere valori delle grandezze nominali omogenee(dimensionali, meccaniche, di formazione) e può essere compreso tra 30 e 120 tonnellate.

Forniture: sono lotti formati da massimo 90 t, costituiti da prodotti aventi valori dellegrandezze nominali omogenee.

Lotti di spedizione: sono lotti formati da massimo 30 t, spediti in un’unica volta, costituiti daprodotti aventi valori delle grandezze nominali omogenee.

I MATERIALI

Procedure di controllo (per barre e rotoli)Procedure di controllo (per barre e rotoli)

I MATERIALI

48ACCI

O ––

e di c

49ACCI

O ––

e di c

50ACCI

O ––

e di c

11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere

51ACCI

O ––

e di c

11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

SLU per Tensioni Normali: ipotesi di calcoloSLU per Tensioni Normali: ipotesi di calcolo

• Conservazione delle sezioni piane

• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa

• Perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo

• Calcestruzzo non resistente a trazione

• Comportamento non lineare dei materiali

• Deformazione massima del calcestruzzo compresso pari a 0.0035

• Deformazione ultima dell’armatura +0.9εuk nel caso di legame con incrudimento (acciaio infinitamente duttile nel caso di legame elasto-plastico)

Se consideriamo il legame dell’acciaio Se consideriamo il legame dell’acciaio elasticoelastico--incrudente...incrudente...

Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?

Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.

00350.cu =ε

0.90.0250 0.0750

ε = ⋅ ε

ε = ÷ud uk

'εc εcu<

εs =0.010εsu=

•• Deformazione ultima Deformazione ultima delldell’’acciaio:acciaio:

εs εsu<

εc εcu= =0.0035

(B450A − B450C)

• Deformazione ultima delcalcestruzzo:

s udε = ε

s udε < ε

arctgEs

εyd εud=0.9·εuk

k·fydfyd

arctgEs

εyd εud=0.9·εuk

k·fyd

Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso

00350.cu =εAs

εs εsu<

εc εcu= =0.0035

• Deformazione ultima delcalcestruzzo:

s ydε ≥ ε

0 0035c cu .= =ε ε

Se si rispettano i limiti di armatura previsti dalle NTC, nel caso di sezioni inflesse l’armatura in trazione risulta snervata: εs≥ εyd

Se consideriamo il legame dell’acciaio Se consideriamo il legame dell’acciaio elastoelasto--plastico indefinitoplastico indefinito fyd

arctg Es

Consideriamo il legame Consideriamo il legame dell’acciaiodell’acciaio--elastico incrudente...elastico incrudente...

Se consideriamo per l’acciaio un legame costitutivo elasto-plastico incrudente, è possibile riconoscere 6 regioni di rottura.

In tal caso si procede in maniera analoga rispetto a quanto fatto operando con il precedente DM’96che assumeva per l’acciaio un comportamento di tipo elasto-plastico con deformazione ultima convenzionale pari al 10‰

arctgEs

εyd εud=0.9·εuk

k·fydfyd

arctgEs

εyd εud=0.9·εuk

k·fyd

f /Esd s

udε/y d sf E

Stati di SollecitazioneStati di Sollecitazione

0<<−∞ cy

320 ,c yy <<

4332 ,yyy c, <<

dyy c, <<43

hyd c <<

+∞<< cyh

ZONE POSIZIONE ASSE NEUTRO

STATI DI SOLLECITAZIONE

1 (tenso flessione o trazione pura)

2 (tenso-pressoflessione/flessione)

5 (presso flessione)

6 (presso flessione/compr. sempl.)

Semplificazione per legame acciaio elasto-plastico indefinito

f /Esd s

udε/y d sf E

Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio

⋅ + ⋅ =∑∫nyc

si sii

b y dy A Nσ σ

( ) ( ) [ ]nyc

c si si i0i 1

b y h / 2 y y dy A h / 2 d N e Mσ σ=

⎡ ⎤⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = ⋅ =⎣ ⎦ ∑∫

Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:

Asse neutro internoalla sezione

Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio

( )nyc

si siy hc i 1

b y dy A Nσ σ−

⋅ + ⋅ =∑∫

( ) ( ) [ ]nyc

c si si iy hc i 1

b y h / 2 y y dy A h / 2 d N e Mσ σ−

⎡ ⎤⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = ⋅ =⎣ ⎦ ∑∫

Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:

Asse neutroesterno allasezione

Coefficienti Coefficienti ψ ψ e e λλ

Ponendo (per asse neutro interno alla sezione):

Si ottiene:

c cd si sii 1

b y f A Nψ σ=

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =∑

( ) [ ]n

c cd c si si ii 1

b y f h / 2 y A h / 2 d Mψ λ σ=

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − =∑⎣ ⎦

σψ =

⋅∫ ( ) ( )

( )( )

1 1y yc c

ycc c cd

y y y dy y y dy

y y fy dy

σ σλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫∫

Le precedenti relazioni possono scriversi in forma piu’ sempliceintroducendo le funzioni adimensionali ψ e λ

I coefficienti I coefficienti ψψ e e λλ sono funzioni della sono funzioni della profondità dell’asse neutroprofondità dell’asse neutro

0 y dyy fσ

ψ ∫=⋅

( ) ( )( )

( )y yc cc

ycc c cd

y y y dy y y dy1 1y y fy dy

σ σλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅∫ ∫= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σsiεsi

σc (y)

Analogamente, per asse neutro esterno alla sezione:

( ) ( ) ( )y y y h2 c c

0 0y dy y dy y dy

h f h f

σ σ σψ

−−

= =⋅ ⋅

∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

y y hc c

c y y hc c

y y dy y y dyh y

y dy y dy

σ σλ

⋅ − ⋅⋅ = −

∫ ∫∫ ∫

ψ = 0.8 λ = 0.4

Se si considera il legamecostitutivo dello stress-block, ilcalcolo dei coefficienti ψ e λ sisemplifica enormemente; in particolare:

Per asse neutrointerno alla sezione

y 0.80 h/2

y 0.75 hψ λ ψ

− ⋅= =

− ⋅Per asse neutroesterno alla sezione

εc4=0.70‰ εcu=3.5‰

In compressione centrata: ψ = 1; λ=0.5

Sezione Rettangolare: VerificaSezione Rettangolare: Verifica

Calcestruzzo (Calcestruzzo (fcfc<55 MPa)<55 MPa)

.= ⋅0 85

arctg Es

1 15yd

ESAMINIAMO IL PROBLEMA DI VERIFICA ESAMINIAMO IL PROBLEMA DI VERIFICA CONSIDERANDO I SEGUENTI LEGAMI COSTITUTIVI...CONSIDERANDO I SEGUENTI LEGAMI COSTITUTIVI...

STRESSSTRESS--BLOCKBLOCKAcciaioAcciaio

ELASTICOELASTICO--PLASTICO INDEFINITOPLASTICO INDEFINITO

εc4=0.70‰ εcu=3.5‰

0 40⋅ cu. ε0 60⋅ cu. ε

cd cuA . f ε⋅ ⋅0 80

Sezione Rettangolare: VerificaSezione Rettangolare: Verifica

NRd- NRd

+Trazionecentrata

Flessione semplice

Compressionecentrata

se As=A’s

Dominiosimmetrico

nsRd ydi i

N A f−

== ⋅∑ 1

nc s cRd Rd cd yd cdi i

N N f A A f f A+ −

== + ⋅ = ⋅ + ⋅∑

Sezione Rettangolare: VerificaSezione Rettangolare: VerificaA’s

As=A’s

Dominiosimmetrico

MRd (NEd )

e Ed=co

NEd NRd (MEd )

(NRd ,MRd )

( )Rd Ed Ed Rd EdM M N N M= ⇒ ≤

( )EdRd Ed Ed Rd Ed

Me e N N eN

= = = ⇒ ≤

Verifica tipo B:

Verifica tipo C:

( )Rd Ed Ed Rd EdN N M M N= ⇒ ≤Verifica tipo A:

Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE

Ed Ed RdN 0 M M ( 0 )= ⇒ ≤VERIFICA:

MRd (NEd=0)

c cd s s s sy b f A A⋅ ⋅ + ⋅ σ − ⋅ σ =0.8 ' ' 0EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE:

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO AL BARICENTRO ARMATURA TESA (AS)

c cd c s s Rdy b f d y A d d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ σ − =0.8 ( 0.4 ) ' ' ( ') 1 2( 0.4 ) ( ')c RdC d y C d d M⋅ − + ⋅ − =

EQUAZIONE DI CONGRUENZA:cu s s

c c cy y d d yε ε ε

= =− −'

1 2 0EdC C T N+ − = =

0.8 yc

σsσs

3.5‰ fcd fcd

C2ε’s

2 ' 's sC A= ⋅σ

1 0.8 c cdC y b f= ⋅ ⋅

s sT A= ⋅σRISULTANTE DI TRAZIONE NELL’ARMATURA METALLICA T :

RISULTANTE DI COMPRESSIONE NEL CALCESTRUZZO C1:

RISULTANTE DI COMPRESSIONE NELL’ARMATURA C2 :

DATI DEL PROBLEMA INCOGNITE

b h cA Af f

, ,' ,

geometria

armature

materiali

Sollecitazionidi calcolo

Asse neutro

Deform. armature

MomentoResistente

0.8 yc

σsσs

εcu fcd fcd

C2ε’s

IPOTESI: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE 's yd s ydf fσ = σ =

DALL’EQ. DI EQUILIBRIO ALLA TRASLASIONE SI CALCOLA yc 0.8

s yd s ydc

A f A fy

′⋅ − ⋅=

⋅ ⋅

1. Armatura dissimmetrica: As≠A’s

NOTO yc,DALL’ EQ. DI CONGRUENZA SI RICAVANO LE DEFORMAZIONI DELLE ARMATURE AL FINE DI VERIFICARE L’IPOTESI DI PARTENZA

( )0.0035' 's cc

ε = − ( )0.0035s c

yε = −

CASO 1: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE

' 's yd s ydfε ≥ ε → σ = s yd s ydfε ≥ ε → σ = Generalmentee’ snevata

L’IPOTESI DI PARTENZA E’ SODDISFATTA E DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd

0.8 ( 0.4 ) ' ( ')c cd c s yd Rdy b f d y A f d d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

PUO’ VERIFICARSI:

CASO 2: ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA

' ''s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε s yd s ydfε ≥ ε → σ = Generalmentee’ snevata

L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA

( )0.00350.8 ' ' 0c cd s s c s ydc

y b f A E y d A fy

⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = Equazione di 2°grado in yc

NOTO yc, DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd

( ) ( )0.00350.8 ( 0.4 ) ' ' 'c cd c s s c Rdc

y b f d y A E y d d d My

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

CASO 3: ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA (poco frequente)

s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε' 's yd s ydfε ≥ ε → σ =

L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA

( )0.00350.8 ' 0c cd s yd s s cc

y b f A f A E d yy

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = Equazione di 2°grado in yc

( )0.8 ( 0.4 ) ' 'c cd c s yd Rdy b f d y A f d d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − =

Osservando l’equazione di equilibrio alla traslazione si deduce facilmente che è impossibile che entrambe le armature siano snervate

c cd s s s sy b f A A⋅ ⋅ + ⋅ σ − ⋅ σ =0.8 ' ' 0

2. Armatura simmetrica: As=A’s

' 's yd s s sf Eσ = σ = ⋅ε DALL’EQUILIBRIO ALLA TRASLASIONE SI CALCOLA yc

( )0.00350.8 ' ' 0c cd s s c s ydc

y b f A E y d A fy

NOTO yc, DALL’EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd

( ) ( )0.00350.8 ( 0.4 ) ' ' 'c cd c s s c Rdc

y b f d y A E y d d d My

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

OVVIAMENTE L’ARMATURA IN TRAZIONE E’ QUELLA SNERVATA !!!

Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE

Rd Ed Ed Rd EdN N M M (N )= ⇒ ≤VERIFICA:

MRd (NEd)

MMRd (NEd )

IN PRESSOFLESSIONE...IN PRESSOFLESSIONE...

0.8 yc

ycε’s

A. ASSE NEUTRO INTERNO ALLA SEZIONEA. ASSE NEUTRO INTERNO ALLA SEZIONE

B. ASSE NEUTRO ESTERNO ALLA SEZIONEB. ASSE NEUTRO ESTERNO ALLA SEZIONEA’s

εcu fcd

ε’s '

ε = ε

≥ ε⎧ε = ⎨< ε⎩

Si Si puo’puo’ avere...avere...

' ,s s ydε ε ≥ εgeneralmentegeneralmente

's yds yd

ε = ε

ε < ε

.....ma.ma anche anche

2 ' 's sC A= ⋅σ

1 0.8 c cdC y b f= ⋅ ⋅

s sT A= ⋅σRISULTANTE DI TRAZIONE NELL’ARMATURA METALLICA T :

RISULTANTE DI COMPRESSIONE NEL CALCESTRUZZO C1:

RISULTANTE DI COMPRESSIONE NELL’ARMATURA C2 :

DATI DEL PROBLEMA INCOGNITE

, ,' ,

b h cA Af f

geometria

armature

materiali

Sollecitazionidi calcolo

Asse neutro

Deform. armature

MomentoResistente

0.8 yc

σsσs

εcu fcd fcd

C2ε’s

0.8 ' 'c cd s s s s Edy b f A A N⋅ ⋅ + ⋅ σ − ⋅ σ =

EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE:

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO ALL’ASSE BARICENTRICO:

0.8 ( 0.4 ) ' ' ( ') ( ')2 2 2c cd c s s s s Rdh h hy b f y A d A d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ σ − + ⋅ σ − = 1 2( 0.4 ) ( ') ( ')

2 2 2c Rdh h hC y C d T d M⋅ − + ⋅ − + − =

EQUAZIONE DI CONGRUENZA:

cu s s

c c cy y d d yε ε ε

= =− −

1 2 EdC C T N+ − =

0.8 yc

σsσs

fcd fcd

C2ε’s

DALL’ EQ. DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE SI CALCOLA yc

( )0.8

Ed s ydsc

N A A fy

′+ − ⋅=

⋅ ⋅

ASSE NEUTRO INTERNO ALLA SEZIONE CON YC<d

In genere si ha As=A’s

NOTO yc,DALL’ EQ. DI CONGRUENZA SI RICAVANO LE DEFORMAZIONI DELLE ARMATURE AL FINE DI VERIFICARE L’IPOTESI DI PARTENZA

( )0.0035' 's cc

ε = − ( )0.0035s c

yε = −

CASO 1: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE

' 's yd s ydfε ≥ ε → σ = s yd s ydfε ≥ ε → σ =

PUO’ VERIFICARSI (3 casi):

0.8 ( 0.4 ) ' ( ') ( ')2 2 2c cd c s yd s yd Rdh h hy b f y A f d A f d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =

CASO 2: ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA

L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA

( )0.00350.8 'c cd s yd s s c Edc

y b f A f A E d y Ny

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = Equazione di 2°grado in yc

( )0.00350.8 ( 0.4 ) ' ( ') ( ')2 2 2c cd c s yd s s c Rd

h h hy b f y A f d A E d y d My

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

CASO 3: ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA (IMPROBABILE)

' ''s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε s yd s ydfε ≥ ε → σ =

L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA

( )0.00350.8 ' 'c cd s s c s yd Edc

y b f A E y d A f Ny

( ) ( ) ( )2 20.00350.8 ( 0.4 ) ' ' ' ' '

c cd c s s c s yd Rdc

hy b f y A E y d d A f d My

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − + ⋅ − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

' 'cd s s s s Edh b f A A Nψ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ σ + ⋅ σ =

EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE:

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO ALL’ASSE BARICENTRICO:

( ) ' ' ( ') ( ')2 2 2cd c s s s s Rdh h hh b f y A d A d Mψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − λ ⋅ + ⋅ σ − − ⋅ σ − = 1 2 3( ) ( ') ( ')

2 2 2c Rdh h hC y C d C d M⋅ − λ ⋅ + ⋅ − − ⋅ − =

EQUAZIONE DI CONGRUENZA:

cu s s

c c cy y d y dε ε ε

= =− −

1 2 3 EdC C C N+ + =

εcu fcd

ε’s

0.8 10.4 0.5

≤ ψ ≤≤ λ ≤

DALL’ EQ. DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE SI CALCOLA yc

( )′− + ⋅=

ψ ⋅ ⋅Ed s yds

N A A fy

ASSE NEUTRO ESTERNO ALLA SEZIONE CON YC >h

In genere si ha As=A’s

NOTO yc,DALL’ EQ. DI CONGRUENZA SI RICAVA LA DEFORMAZIONE DELL’ARMATURA INFERIORE (As) AL FINE DI VERIFICARE L’IPOTESI DI PARTENZA

( )εε = −cu

0.80.75

− ⋅ψ =

− ⋅c

y hcon

CASO 1: ARMATURA ENTRAMBE SNERVATE

' 's yd s ydfε ≥ ε → σ = s yd s ydfε ≥ ε → σ =

PUO’ VERIFICARSI (solo 2 casi !!!):

( ) ' ' ( ') ( ')2 2 2

ψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − λ ⋅ + ⋅σ − − ⋅σ − =cd c s s s s Rdh h hh b f y A d A d M / 2λ = ψcon

CASO 2: ARMATURA INFERIORE (AS) IN FASE ELASTICA

L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA INFERIORE (As) IN FASE ELASTICA

( )'ε

ψ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − =cucd s yd s s c Ed

ch b f A f A E y d N

yEquazione di 2°grado in yc

( )( ) ' ( ') ( ')2 2 2

⎡ ⎤εψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − λ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦cu

cd c s yd s s c Rdc

h h hh b f y A f d A E y d d My

0.80.75

− ⋅ψ =

− ⋅c

y hcon

/ 2λ = ψcon

SEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONESEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONE

Esempio Numerico n. 1 (AEsempio Numerico n. 1 (Ass≠≠AA’’ss))

NEd =0

DATIDATI

• altezza geometrica h = 600 mm • base b = 300 mm • armatura superiore A’

s = 628 mm2 (2φ20) • armatura inferiore As = 1256 mm2 (4φ20) • copriferro d’ = 30 mm

MATERIALI • Calcestruzzo: Classe 20/25 Acciaio: B450C

• SOLLECITAZIONI DI PROGETTO : NEd=0; MEd = 200 kN m

0.85 /1.5 11.3= ⋅ =cd ckf f MPa /1.15 391.3yd ykf f MPa= =

IPOTESI: VERIFICA DELL’IPOTESI DI PARTENZA calcolo delle deformazioni

CALCOLO DI MRd VERIFICA

( ) ( )s s ydc

A ' A f 1256 628 391.3y 91 mm

0.8 b f 0.8 300 11.3− −

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )

0.0035' y d ' 91 30 2.34y 91

0.0035d y 570 30 1.84y 91

εε = − = − =

s yd s yd

' ' f OK

ε > ε → σ = →

f 391.3 1.86E 210000

ε = = = ‰

( ) ( )( ) ( )

Rd c cd c s ydM 0.8 y b f d 0.4y A ' f d d '

0.8 91 300 11.3 570 0.4 91 628 391.3 570 30 264 kN mm

= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅

Rd EdM M> → OK

s s yd' fσ = σ =

( )s s ydA A ' f− ⋅

91 18.4 ‰

SEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONESEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONE

Esempio Numerico n. 2 (AEsempio Numerico n. 2 (Ass==AA’’ss))

NEd =0

DATIDATI • altezza geometrica h = 600 mm • base b = 300 mm • armatura superiore A’

• SOLLECITAZIONI DI PROGETTO : NEd=0; MEd = 200 kN m

PER ARMATURA SIMMETRICA IN SEZIONI INFLESSE: CALCOLO DI MRd VERIFICA

cus s s s c

' E ' dove: ' y d 'y

εσ = ⋅ε ε = −

cuc cd s s c s yd

cd c s s cu s yd c s s cu

cd 2s s cu s yd c

s s cu

0.8 y b f A' E y d' A f 0y

0.8 b f y A' E A f y A' E d' 0

A 0.8 b fB B 4 A CB A' E A f y 49 mm

2 AC A' E d'

ε⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ε − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ε ⋅ =

⎫= ⋅ ⋅⎪ − + − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ε − ⋅ → = =⎬ ⋅⎪= − ⋅ ⋅ε ⋅ ⎭

( ) ( ) ( )

cuRd c cd c s s c

cM 0.8 y b f d 0.4y A' E y d' d d '

0.00350.8 49 300 11.3 570 0.4 49 1256 210000 49 30 570 30 266 kN m49

⎡ ⎤ε= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Rd EdM M> → OK

SEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A PRESSOFLESSIONESEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A PRESSOFLESSIONE

Esempio Numerico n. 3 (AEsempio Numerico n. 3 (Ass==AA’’ss))

DATIDATI

• altezza geometrica h = 400 mm • base b = 300 mm • armatura superiore A’

SOLLECITAZIONI DI PROGETTO : NEd=70 KN; MEd = 150 kN m

IPOTESI: VERIFICA DELLE IPOTESI DI PARTENZA calcolo delle deformazioni POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO CON ARMATURA AS IN FASE ELASTICA

s s yd3

N 700 10y 258 mm0.8 b f 0.8 300 11.3

σ = σ =

⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )

s yd s ydc

s yd s s s

f 391.3 1.86E 210000

0.0035' y d ' 258 30 3y 258

0.0035d y 370 258 1.52y 258

' ' f OKsi deve ricalcolare y

E ARMATURA IN FASE ELASTICA

ε = = =

εε = − = − =

ε > ε → σ = → ⎫⎪ →⎬ε < ε → σ = ε → ⎪⎭

cuc cd s yd s s c Ed

cd c s yd s s cu Ed c s s cu

cd 2s yd s s cu Ed c

s s cu

0.8 y b f A ' f A E d y Ny

0.8 b f y A ' f A E N y A E d 0

A 0.8 b fB B 4 A CB A ' f A E N y 247 mm

2 AC A E d

ε⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ε − ⋅ − ⋅ ⋅ ε ⋅ =

⎫= ⋅ ⋅⎪ − + − ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ ε − → = =⎬ ⋅⎪= − ⋅ ⋅ε ⋅ ⎭

CALCOLO DI MRd VERIFICA

( ) ( ) ( ) ( )

cuRd c cd c s yd s s c

h h hM 0.8 y b f 0.4y A' f d ' A E d y d '2 2 y 2

0.00350.8 247 300 11.3 200 0.4 247 1256 391.3 200 30 1256 210000 200 247 200 30 229 kN m247

⎡ ⎤ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Rd EdM M> → OK

Costruzione dei domini di resistenza allo SLUCostruzione dei domini di resistenza allo SLU

Per la determinazione della FRONTIERA del dominio di resistenzadi una sezione in c.a. presso o tenso inflessa, occorre determinare le caratteristiche della sollecitazione allo s.l.u. della sezione al variare della posizione dell’asse neutro, e quindi della condizione limite, nell’intervallo (-∞, +∞).

MRd (NEd )

e Ed=co

NEd NRd (MEd )

(NRd ,MRd )

MRd (NEd )

e Ed=co

NEd NRd (MEd )

(NRd ,MRd )

MRd (NEd )

e Ed=co

NEd NRd (MEd )

(NRd ,MRd )

( )EdRd Ed Ed Rd Ed

Me e N N eN

= = = ⇒ ≤

Verifica tipo B:

Verifica tipo C:

( )EdRd Ed Ed Rd Ed

Me e N N eN

= = = ⇒ ≤

Verifica tipo B:

Verifica tipo C:

Domini di Resistenza AdimensionalizzatiDomini di Resistenza Adimensionalizzati

La rappresentazione di domini di resistenza allo s.l.u. di sezioni èpreferibilmente effettuata in FORMA ADIMENSIONALE con il notevole vantaggio di utilizzare un abaco unico per un insieme di sezioni caratterizzate da geometrie e disposizioni di armatura simili.

In particolare per la sezione rettangolare a doppia armatura, si introducono le seguenti QUANTITA’ ADIMENSIONALI

=⋅ ⋅

Nb h f

ν =⋅ ⋅

Rd ,Rd ,

b h fμ ( )

( )s s yd

A A fb h f

ω ω′ ⋅

′ =⋅ ⋅

ch dy /h ; d /h ; d/h 1

hξ δ δ

′−′ ′ ′= = = = −

% % meccanicameccanica

ε’s

εs σs

yc 0.8 yc

σ’sεc

LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE ED ALLA ROTAZIONE DIVENTANO:

′′⋅ + ⋅ + ⋅ =s s

Rdyd ydf f

σ σψ ξ ω ω ν

′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rd ,yd yd

1 1 12 f 2 f 2

σ σψ ξ λ ξ ω δ ω δ μ

Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:

1 ( / )=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑n

c cd si siRd

icd cd yd yd cd

b y f A Nb h f b h f f f b h f

ψ σν

Le tensioni dell’armatura vanno prese con illoro segni (“-” trazione; “+” compressione)

Il dominio può essere ricavato assegnando valori dell’asse neutro adimensionale variabili con continuità nell’intervallo (−∞, +∞) e valutando νu

e μu,G dopo avere calcolato le deformazioni nell’acciaio ed i coefficienti ψ e λ. Come detto in precedenza, se si utilizza il legame costitutivo stress-block per il calcestruzzo, i coefficienti ψ e λ assumono valore costante per asse neutro interno alla sezione e sono funzione della posizione dell’asse neutro quando questo è esterno alla sezione

Una definizione sufficiente del dominio può ottenersi valutando i valori del momento e dello sforzo normale ultimi per i seguenti punti

A. trazione puraB 0ξ

ξ = −∞=

dycuC ( 1 ')

εξ δ

ε ε= −

E compD. 1

ressione pu'

raξξ δ

= += −

∞ →

ε ≥ εyd

ε>εyd

B 0ξ =

A. trazione puraξ = −∞ →

dycuC ( 1 ')

εξ δ

ε ε= −

E compressione puraξ = +∞ →

Il dominio e’ simmetricorispetto all’asse N se As=A’s

D. 1 'ξ δ= −

ν ω ω 2ω

′= − − = −

ξ = +∞

ε ≥ εyd

ω= ω’

ud su, ,

Eν ω δ ω

1 δ f

E 1 1μ ω δ δ ω δ1 δ f 2 2

′ ′= − ⋅ ⋅ −′−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟′− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ε=0 ω= ω’

σ 'ν 0.8 ξ ω ω

σ '1 1 1μ 0.8 ξ 0.4 ξ ω δ ω δ2 f 2 2

′= + ⋅ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

εξ ξ ( 1 δ )

ε ε′= = ⋅ −

ω= ω’

MC C’

ν 0.8 ξ ω ω

1 1 1μ 0.8 ξ 0.4 ξ ω δ ω δ2 2 2

′= + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,cu yd

εξ ξ ( 1 δ )

ε ε′= = ⋅ −

ω= ω’

MC C’

ξ 1 'δ= −

ν 0.8 ω

1 1μ 0.8 0.4 ω δ2 2

′= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

εcu ω= ω’

MC C’

ν 1 ω ω 1 2ωμ 0

′= + + = +

ξ = +∞

ω= ω’

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

μu 0.800.700.600.500.400.300.200.10

DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4

ξ=ξ4,5

ξ=ξ5,6

Costruzione semplificata dei domini di Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetricasimmetrica

2 /8cdbh f

A’s =

Nc/2 Nc

/ 2cdbhf/ 2cdbhfCompressione centrata

c cdN bhf=

2 /8cdbh f

2 4cN h

Il dominio della sola sezione in calcestruzzo ha Eq.⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠1

h NM NN

Costruzione semplificata dei domini di Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetricasimmetrica

2 /8cdbh f

A’s =

ATrazione centrata

2 s ydA f

Flessione semplice

( ) ( 2 )cs ydRdM A f h c≅ −

Nc/2 Nc

( ) ( ) ( );E C EcRd Rd RdM M N N= =

2 s ydA f/ 2cdbhf/ 2cdbhfCompressione centrata

F A fN bhf

2 /8cdbh f

F Nc/2

Massimo Momento flettente

( ) ( ) ( );2 4 2

D C Dc cRd Rd Rd

N NhM M N= + =

Dal dominio si rileva che la presenza di sforzo normale inferiore a Nc

produce necessariamente un aumento della resistenza flettente rispetto alla flessione semplice. Il massimo aumento e’ dato da:

2( ) ( )

( ) ( )/ 8 0.125 1 0.1581 1 1

( 2 ) 1 2 /

cdD CcRd Rd

C C s ydRd Rd

bh fM M N h

A f h c c hM M

+= ≅ + = + ≅ +

− ω − ω

2 /8cdbh f

Trazione centrata2 s ydA f

Flessione semplice

( ) ( 2 )cs ydRdM A f h c≅ −

Nc/2 Nc

( ) ( ) ( );E C EcRd Rd RdM M N N= =

F Nc/2

( ) ( ) ( );2 4 2

D C Dc cRd Rd Rd

N NhM M N= + =

F A fN bhf

L’aumento di resistenza flessionale fra i punti C e D è dunque

ASCRIVIBILE AL CONTRIBUTO DEL CALCESTRUZZO

2 /8cdbh fN

Trazione centrata

2 s ydA f

Flessione semplice

( ) ( 2 )cs ydRdM A f h c≅ −

Nc/2 Nc

( ) ( ) ( );E C EcRd Rd RdM M N N= =

F Nc/2

( ) ( ) ( );2 4 2

D C Dc cRd Rd Rd

N NhM M N= + =

F A fN bhf

Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetricasezioni ad armatura simmetrica

Considerando i diagrammi a stress-block è quindi possibile la costruzione del dominio individuando 5 punti significativi:

As syd ydRd

N A f F con F A fA

⎧ ⎫= = =⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭

( 2 ) ( 2 )

s ydRd

M A f h c F h c

⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬

≅ − = −⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) ( )

D C cRd Rd

N ND N hM M

⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬

= +⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) ( )

B As c c cyd cd cdRd Rd

N A f bhf N N F N conN bhfB

⎧ ⎫= + = + = + =⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭

( ) ( )

E CRd Rd

⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ = ⎪⎩ ⎭

Trazione centrata Compressione centrata

Flessione semplice (Simmetrico di C)

Limitazione di armatura longitudinale Limitazione di armatura longitudinale ((§7.4.6.2.1)

1.4 3.5'< ρ < ρ +yk ykf f

ρ= percentuale geometrica di armatura tesa =As/(bh)

ρ’= percentuale geometrica di armatura compressa = A’s/(bh)

fyk = tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio (MPa)

In tale limitazione e’ implicito che la profondita’ dell’asse neutro a rottura non puo’ essere eccessiva, conferendo un’ adeguata duttilità alla sezione

La normativa impone delle limitazioni alle percentuali geometrice di armatura tesa ρ e compressa ρ’

In particolare, in una sezione inflessa la percentuale della geometricadell’armatura tesa ρ deve rispettare la seguente limitazione

Per fyk=450 MPa si ha:

ρmin=0.3%

ρmax=1.56%

''0.8 0.8

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − → = →⎜ ⎟⎝ ⎠

s syd ydc s s ccd yd yd

A f A fy bf A f A f y h

( ) ( )1.25 ' 1.25 '→ = ω − ω → = ρ − ρydc c

fy yh h f

ε’s> εyd

εs> εyd σs=fyd

3.5‰ fcd

yc 0.8 yc

σ’s=fyd

3.5 1.25 3.5 3.8 ( )1.15

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ ≤ = = ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cd yk cd cd

fy y MPah h f f f f

UTILIZZANDO LA LIMITAZIONE INDICATA DALLA NORMATIVA:

EQ. ALLA TRASLAZIONE DI UNA SEZIONE INFLESSA

3.8 ( )⎛ ⎞ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

y MPah f

3.5‰ 0.653 0.59ε⎛ ⎞ ≅ = = ≅⎜ ⎟ ε + ε ε + ε⎝ ⎠c cu

cu y cu yy

y d d dh h h h

VALUTIAMO DALL’EQ. DI CONGRUENZA LA PROFONDITA’ DELL’ASSE NEUTRO CUI CORRISPONDE LA CRISI CON L’ACCIAIO AL LIMITE ELASTICO (yc/h)y

CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55

19.83 25.50

(yc/h)max 0.419 0.335 0.268 0.239 0.192 0.168 0.149

22.6715.87

fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33

Al variare della classe di calcestruzzo e’ possibile quindiconoscere il valore di (yc/h)max nel rispetto dei limitiforniti dalla normativa

3.5‰

Ben maggiori di quelliriportati in Tabella

L’ACCIAIO TESO IN UNA SEZIONE RETTANGOLARE INFLESSA, A SEMPLICE O DOPPIA ARMATURA, E’ AMPIAMENTE SNERVATO

1.1≅hd

,min/ 3.8 // /

/ 3.8 /−− −

ε = ε = ε ≥ ε = εc c cds cu cu s cu

c c cd

d h fd y d h y hy y h f

CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55

19.83 25.50

(yc/h)max 0.419 0.335 0.268 0.239 0.192 0.168 0.149 0.134

(εs )min 0.57% 0.80% 1.09% 1.26% 1.66% 1.95% 2.23%

22.6715.87

fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33

VALUTIAMO DALL’EQ. DI CONGRUENZA LA DEFORMAZIONE NELL’ACCIAIO TESO (εs,min) IN CORRISPONDENZA DEL MASSIMO DI ARMATURA DI NORMATIVA

1.1≅hd

LA CRISI AVVIENE CON L’ACCIAIO AMPIAMENTE IN CAMPO PLASTICO, GARANTENDO UN’ADEGUATA DUTTILITA’ ALLA SEZIONE

VALUTIAMO IL BRACCIO DELLA COPPIA INTERNA PER UNA SEZIONE INFLESSA IN SEMPLICE ARMATURA IN CORRISPONDENZA DELLA LIMITAZIONE INDICATA DALLA NORMATIVA

1.1≅hd

1.52* 1 0.4 1⎛ ⎞⎛ ⎞= − ≥ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y hd d d dd f d

CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55

19.83 25.50

(d*/d)min 0.816 0.852 0.882 0.895 0.916 0.926 0.934

22.6715.87

fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33

εs> εyd σs=fyd

3.5‰ fcd

yc 0.8 yc

LA LIMITAZIONE DEL MASSIMO DI ARMATURA IMPLICA

CHE IL BRACCIO DELLA COPPIA INTERNA E’ ≈ 0.9 d

εs> εyd σs=fyd

3.5‰ fcd

yc 0.8 yc

Progetto a flessione allo SLU Progetto a flessione allo SLU (Progetto di h ed (Progetto di h ed AsAs))

( ) 20.8 0.4 0.8 0.4⎛ ⎞− = → − =⎜ ⎟⎝ ⎠

c cc c ED EDcd cd

y ydy bf d y M bf h Mh h h

0.8 0.4= =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

ED EDu

M Mh ry yd b bfh h h

( )0.4− =s c EDydA f d y M

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO A T

( )0.4=

MAd y f

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO A C

CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/5519.83 25.50

(yc/h)max 0.419 0.335 0.268 0.239 0.192 0.168 0.149 0.134(εs)min 0.57% 0.80% 1.09% 1.26% 1.66% 1.95% 2.23% 2.52%

(d*/d)min 0.816 0.852 0.882 0.895 0.916 0.926 0.934

22.6715.8750/60

fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33

Progetto a flessione allo SLUProgetto a flessione allo SLU

0.8 0.4= =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

ED EDu

M Mh ry yd b bfh h h

( )0.4=

MAd y f2. 0.9

≈ 0.9 d

Per garantire un’adeguata duttilita’ alla sezione, per la quale la crisi avvienecon acciaio ampiamente in campo plastico, occorre fissare un valore di

yc/h ≤ (yc/h)max riportato in tabella per ciascuna classe di calcestruzzo

Per classi di calcestruzzo di resistenza ordinaria

MEddh=?

Armatura in compressione Armatura in compressione ((§7.4.6.2.1)

Influenza delle staffe sulla duttilitàInfluenza delle staffe sulla duttilità

VERIFICHE A PRESSO-FLESSIONE

DEVIATA

Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata

Una sezione soggetta a pressoflessione deviata e’caratterizzata dalla presenza contemporanea di sforzo normale e momento flettente secondo una direzione non principale di inerzia della sezione

Occorre verificare la seguente condizione:

Ed Rd Ed

M momento agenteM momento ultimo capacita sotto lo sforzo

assiale agente N

Si consideri una sezione rettangolare con armatura su ogni latosoggetta a pressoflessione deviata

La verifica della sezione richiede la costruzione del dominiod’interazione

Approccio classico

MEd,xNRd

MRd,x MRd,y

ys NEd

Il procedimento per la costruzione del dominio limite:

- concettualmente analogo a quello descritto per la pressoflessione retta

- piu’ complicato per l’inclinazione dell’asse neutro (n-n), non piu’ortogonale all’asse di sollecitazione (s-s)

Approccio classico

Ciascun punto sulla frontiera del dominio (NEd, MRd,x, MRd,y) è definito da:

- Inclinazione dell’asse asse neutro rispetto all’orizzontale (θ)

- Profondita’ dell’ asse neutro (y)

ys NEd

A causa della forma complessa della porzione compressa, il dominio di collasso è costruito per integrazione del diagramma delle tensioni per ciascuna combinazione di θ e y

Le terne (NEd, MRd,x, MRd,y ) sono calcolate risolvendo, per ciascunacombinazione di θ e y, le seguenti equazioni di equilibrio:

Approccio classico

Tali procedure sono pertanto iterative e richiedono un’integrazione al passo delle tensioni agenti sulla sezione difficolta’ ad eseguire manualmente la verifica di sezioni anche semplici come le sezioni rettangolari

In metodo in esame è il “load contourmethod” (Bresler,1960) che approssima la superficie con sezioni a sforzo assiale costante tramite l’equazione:

Approccio approssimato NRd

MRd,x MRd,y

Piano a NRdcostante

MRdy,0MRdx,0

MRdx,MRdy = momenti resistenti lungo x ed y nel caso di pressoflessione deviata

MRdx0,MRdy0 = momenti resistenti rispetto agli assi x ed y in regime di pressoflessione retta di una sezione rettangolare con armatura simmetrica

α = log(0.5)/log(β), dove β e’ l’ordinata o l’ascissa dell’intersezione del dominio adimensionalizzato con la bisettrice

,0 ,01RdyRdx

Rdx Rdy

αα ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

1.0μuy

β=0.5β=0.6

β=0.7β=0.8

β=0.9

μ Rdy

,0 ,01RdyRdx

Rdx Rdy

αα ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Definizione approssimata del dominio di resistenza per sezioni rettangolari

Al variare del parametro β tra 0.5 ed 1 il dominio semplificato può assumere una forma variabile tra quella triangolare e quella quadrata. Per β = 0.5 α = 1 il dominio e’rappresentato da una retta passante per i punti di coordinate (0,1) e (1,0); Per β =0.707 α = 2 il dominio e’rappresentato da una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario, Per β = 1 α=∞ il dominio e’rappresentato da due rette parallele agli assi passanti per i punti (0,1) e (1,0)

α = log(0.5)/log(β)

Valori del coefficiente α

NEd/NRd(B) 0.1 0.7 1.0

α 1.0 1.5 2.0

Bs tot yd cdRdN A f bhf= +

As,tot = area totaledell’armatura longitudinale

Per valori intermedi di NEd/NRd(B) e’ suggerita l’interpolazione lineare

NEd c γ ϕ ψ θ

>0 1.15 -0.01 -0.03-0.06-0.13

-0.07-0.03-0.14-0.30

=0 1.18 -0.02<0 1.30 -0.06 0.18

( ) ( ) ( )x ybch

γ ψϕ ϑ⎛ ⎞α = ω ω ν⎜ ⎟⎝ ⎠

sx ydx

A fbhf

ω = sy ydy

A fbhf

ω = Ed

1- EC2 (2004)

2- Monti e Alessandri (2007)

Cosa dice il DM’08 (§ 4.1.2.1.2.4)

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